Plan de clase (1/3) y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos.

Transcripción

1 Plan de clase (1/3) Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen ecuaciones cuadráticas de la forma y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos. ax 2 bx c 0 Consigna. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlas. a) Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m 2 Cuáles son sus dimensiones? b) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, cuántos años tiene Erick? Consideraciones previas:en el caso del primer problema se espera que los alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales como x y x+2 y que planteen la ecuación x(x+2)=80. Esta ecuación permite probar con distintos valores y encontrar la solución. Sin embargo, hay que pedir que x 2 2x 80 0 se hagan las operaciones necesarias para llegar a la expresión y pedir que la resuelvan por factorización. El problema del inciso b implica un camino más largo para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto del problema: x 2 +(x+2) 2 =340 y finalmente efectuar las operaciones y 2x 2 4x x 2 2x simplificar para llegar a la expresión o. Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es ax 2 + bx + c = 0, donde a 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla: ax 2 bx C Término de segundo Término de primer grado Término independiente grado o cuadrático o lineal Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es: b x b 2 4ac 2a EJERCICIO: Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general. Ecuación a b c 2x 2 + 2x + 3 = 0 5x 2 + 2x = 0 36x x 2 = 62 En la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula y hay que hacer las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales. Plan de clase (2/3) Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos asocien el valor del discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución de la ecuación.

2 Consigna: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide: ECUACIÓN VALOR DEL SOLUCIONES DISCRIMINANTE b² - 4ac 3x² - 7x + 2 = 0 x 1=, x 2 = 4x² + 4x + 1 = 0 x 1=, x 2 = 3x 2-7x +5 = 0 x 1=, x 2 = a) Si el valor del discriminante es mayor que cero, cuántas soluciones tiene la ecuación? b) Si el valor del discriminante es igual a cero, cuántas soluciones tiene la ecuación? c) Si el valor del discriminante es menor que cero, cuántas soluciones tiene la ecuación? Consideraciones Previas:Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese caso, puede pedirse que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios. La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a determinar tres tipos de soluciones: Discriminante b 2-4ac 0 b 2-4ac =0 b 2-4ac 0 Tipo de solución Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), ( 5, 0), (4, -4) etc. Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc. Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 4 i)/6) Se sugiere realizar la actividad complementaria Funciones Cuadráticas, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp También se pueden platear otros problemas tomados del libro de texto para que los alumnos reafirmen lo aprendido. Plan de clase (3/3) Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m 2, cuáles son sus dimensiones? X² X² X² Consideraciones previas:se espera que los alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x 2 + 8x = 0 y utilicen la fórmula general para encontrar la solución a dicho problema. En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces cumple con las condiciones del problema.

3 EJERCICIO: Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones: a) 3x 2-5x+2=0 b) x 2 +11x+24=0 c) 9x 2-12x+4=0 d) 6x 2 = x +222 e) 8x+5 = 36x 2 Plan de clase (1/2) Eje temático: F.E y M. Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Intenciones didácticas. Que los alumnos usen los criterios de congruencia de triángulos, al resolver problemas. Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Sea ABCD un cuadrilátero, qué condiciones debe cumplir para que al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos congruentes? 2. Se tienen dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del miden LM=5x+3, LN=2x+2 y MN=8X-1; y los lados del miden RS=3x+13, RT=4x-8, y, ST=6x+9 a) Los triángulos LMN y RST son congruentes? Por qué? RST LMN Consideraciones previas:la construcción de figuras congruentes (triángulos y cuadriláteros), así como la explicitación de los criterios de congruencia de triángulos se estudiaron en bloques anteriores, ahora se trata de utilizar estos criterios para resolver problemas. Para el problema 1, es necesario que los alumnos realicen conjeturas y que las argumenten ampliamente. Es posible que la atención se centre en el cuadrado y que el argumento sea que tiene los cuatro lados iguales, si es así, puede sugerirse que se analice el rectángulo, la idea es que adviertan que esta figura no tiene lados iguales y también cumple con las condiciones del problema. Ante esto, es posible que ahora la atención sea en los ángulos, es decir, que contesten que las figuras deben tener los ángulos iguales, ante esto, se puede sugerir que analicen si el rombo cumple con las condiciones, ya que éste no tiene sus ángulos iguales. Finalmente, se trata de que los alumnos adviertan que los paralelogramos cumplen con las condiciones del problema, por lo tanto, al trazar una diagonal en un cuadrado, rectángulo, rombo o en un romboide, se obtienen triángulos congruentes. Es importante preguntar las razones para considerar congruentes a los triángulos obtenidos y que para dicho fin utilicen los criterios de congruencia, por ejemplo, en el caso del cuadrado, los triángulos resultantes tienen un ángulo igual (el ángulo recto) y los dos lados que lo forman también son iguales, así, por el criterio LAL, estos triángulos son congruentes. En relación con el problema 2, una forma de iniciar es averiguar las medidas de los lados de los triángulos, para ello, considerando que los triángulos tienen el mismo perímetro, los estudiantes podrán establecer la siguiente igualdad: 2x x 1 + 5x + 3 = 4x 8 + 6x x + 13 Al resolver la ecuación anterior se darán cuenta que x vale 5 y que al sustituir este valor en las expresiones que indican las medidas de los lados, resulta que los triángulos tienen sus lados respectivamente iguales, razón suficiente para considerarlos congruentes por el criterio LLL. Una pregunta de reflexión es la siguiente, todos los triángulos de igual perímetro son congruentes? Plan de clase (2/2) Eje temático: F.E. y M. Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Intenciones didácticas. Que los alumnos usen los criterios de semejanza de triángulos, al resolver problemas. Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus respuestas: a) Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los que el ángulo desigual mide 45. b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

4 2. El siguiente dibujo representa una parte lateral de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información de la figura, contesten lo que se pide. Qué profundidad (x) tiene la piscina? Cuál es la distancia que hay desde el punto G hasta H? 3. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura. Considerando las medidas que se muestran, cuál es la longitud total de cada puente? Consideraciones previas:ahora se trata de utilizar los criterios de semejanza de triángulos para resolver diversos problemas. Es importante que los alumnos justifiquen ampliamente sus resultados. Recordemos que la intención es que los alumnos utilicen los criterios de semejanza de triángulos, en ese entendido, en la primera situación del primer problema, se espera que los alumnos adviertan, en primer lugar, que en un triángulo isósceles hay dos lados iguales y entre ellos el ángulo desigual, por lo tanto, si se tienen dos triángulos isósceles con el ángulo diferente de la misma medida y además los lados que lo forman, por medir lo mismo, resultan ser proporcionales, así, por el criterio LAL, los triángulos ABC y MNL son semejantes. Otra reflexión importante en esta situación es pensar en una misma figura con los dos triángulos, donde la diferencia es la longitud de los lados iguales y en el lado opuesto al ángulo de 45. En este caso el sustento teórico para considerarlos semejantes es AA (dos ángulos iguales) Una herramienta útil e importante para argumentar las respuestas de las dos situaciones del problema 1 es el trazo y medición de las figuras. Si algún equipo hace referencia a triángulos congruentes, vale la pena discutir ampliamente en plenaria la relación entre la semejanza y congruencia de triángulos, es decir, deducir que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

5 La expectativa en los problemas 2 y 3 es que los estudiantes, en primer lugar reconozcan la semejanza de los triángulos involucrados, considerando como argumento alguno de los criterios de semejanza de triángulos, posteriormente que puedan establecer las proporciones necesarias para encontrar los valores solicitados. Así, para el problema 2, los triángulos semejantes involucrados son CDG y HIC por tener al menos dos ángulos iguales (caso AA). Por lo tanto, se puede establecer lo siguiente: x x Entonces, la profundidad de la piscina es 3.45 m. Para determinar la distancia GH se puede recurrir al teorema de Pitágoras y para ello los alumnos pueden encontrar primero la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos y y después sumar ambos resultados; o bien considerar un solo triangulo rectángulo, donde los catetos miden ( ) y ( ). CDG HIC Del problema 3, es necesario que los alumnos tengan claro lo que deben calcular, la longitud de un puente es por lo tanto, es necesario calcular primero los valores de x e y. x 10.2 ; y la del otro es y 6.5, Considerando la relación de ángulos que se forman por dos paralelas que se cortan por una transversal, se puede determinar que los triángulos que forman al cruzarse los dos puentes son semejantes (caso AA), los cuales se pueden representar con los dibujos siguientes: De lo anterior se puede establecer la proporcionalidad entre los lados, tal como se muestra: x 6.8m 10.6 x 15.9 Los resultados anteriores se pueden sustituir así: y 15.9 y y 9.75m x y en y Lo anterior muestra la longitud total de cada puente, uno de 17 metros y el otro de metros. La resolución de problemas de congruencia y semejanza de triángulos demanda que los alumnos utilicen una gran cantidad de recursos que no se restringe solo a las relaciones geométricas, en este sentido es importante que si los alumnos no pueden establecer o realizar las figuras, se les brinde el apoyo necesario para continuar con el análisis de los problemas. Plan de clase (1/3) Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica. Que los alumnos determinen el teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos. Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente: El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED, D C, C B, B A ) de la barra reforzadora (EA ) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos?

6 a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas medidas. b) Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las que señala el ayudante del herrero. Justifícalas Consideraciones previas:se espera que los alumnos logren expresar la proporcionalidad entre los segmentos que se forman entre las paralelas atravesadas por las transversales ( AB BC = A' B' B' C', etc.). Pero que también observen que los segmentos paralelos entre las transversales son proporcionales ( También es importante que se den cuenta que los triángulos A AE, B BE, C CE, D DE son semejantes y el porqué de dicha afirmación. Con esta idea el docente puede mencionar que esta relación se cumple cuando dos o más paralelas son cortadas por transversales (secantes) y esta condición fue descubierta hace muchos años por el sabio matemático griego Tales de Mileto y en su honor recibe el nombre de Teorema de Tales. A' A B' B = B' B C' C, etc.). Plan de clase (2/3) Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica: Que los alumnos justifiquen, a partir del teorema de Tales por qué funciona una hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales y dividan cualquier segmento en partes iguales. Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno. a) Cuántos puntos obtuvieron? b) En cuántas partes quedó dividido el segmento? c) Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales?

7 Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás. Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo: Consideraciones previas:se espera que la consigna 1 no represente dificultades para los alumnos. En la consigna 2 es probable que algunos midan el segmento y dividan la longitud entre 7, obteniendo una segmentación aproximada; sin embargo, será importante observar si se les ocurre el uso de un segmento auxiliar y el trazo de paralelas, o bien una hoja rayada, basándose en el teorema de Tales. Si son necesarios más ejercicios, se sugiere resolver los del libro de texto del alumno. Plan de clase (3/3) Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica: Qué los alumnos apliquen el teorema de Tales en diversos problemas geométricos. Consigna 1: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades: a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3 B A b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada. Consigna 2: La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher. Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su respuesta.

8 Consideraciones previas:en la consigna uno, es probable que los alumnos se auxilien del juego de geometría o de las hojas rayadas de la libreta para dividir cada segmento en partes iguales. Es muy probable que la dificultad principal no sea la división de los segmentos en partes iguales, sino la división en una razón dada. Por ejemplo, qué quiere decir dividir un segmento en una razón de 2 a 3? Si es necesario, hay que volver a explicar que en este caso se requiere dividir el segmento en 5 partes iguales, de las cuales una parte tendrá dos y la otra tendrá tres. En la consigna dos se les puede pedir que consulten acerca de Maurits Escher y su obra, también acerca de las proyecciones o el concepto de punto de fuga que se usa en pintura. Si son necesarios más ejercicios se pueden resolver los del libro de texto del alumno. Si se tienen los medios se puede usar la propuesta del Teorema de Tales de Geometría Dinámica.EMAT sugerido en el programa (se anexa la lección).

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10 Plan de clase (1/5) Eje temático: FEM Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Intenciones didácticas: Que el alumno, a través de la observación de un experimento, tenga un primer acercamiento hacia la homotecia. Consigna: Organizados en equipos realicen el siguiente experimento: 1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador, un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared. 2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos. 3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos casos. 4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón entre las longitudes. Consideraciones previas: En función del espacio y del material con que cuente el grupo, el maestro determinará la pertinencia de usar una pantalla o algún otro recurso disponible (cartulina, fólder, entre otros). El objeto que se proyectará deberá ser de dimensiones que faciliten su manejo por los alumnos. La lámpara podrá ser sustituida por otro dispositivo que emane luz directa (foco, vela, retroproyector, etc.). El propósito es que los alumnos verifiquen que la razón entre m y n es la misma que hay entre a y b, como se muestra en el siguiente dibujo. m a n b También se puede coordinar con el profesor de física para realizar el experimento de la formación de imágenes en la caja negra. Plan de clase (2/5) Eje temático: FEM Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia. Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas. El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

11 A B C D E A B E a) Cuál es la razón entre OA y OA? b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma razón que OA y OA. c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas medidas. Consideraciones previas: Es importante que los alumnos verifiquen que todas las razones del tipo: punto de convergencia-sombra sobre punto de convergencia-objeto, son constantes y que éstas coinciden con las razones que se pueden establecer entre una longitud de la sombra y su correspondiente en el objeto. Por otra parte, este es el momento adecuado para decir a los alumnos que a las razones del tipo OA /OA se les llama razón de homotecia, mientras que al punto O donde convergen los segmentos, se le llama centro de homotecia. Además, la sombra proyectada lleva el nombre de figura homotética. Los alumnos han estudiado con profundidad la proporcionalidad, por lo que se espera que le encuentren sentido a la razón de homotecia. Asimismo, es importante que concluyan que dos figuras homotéticas son semejantes, basándose en la razón entre las medidas de sus lados. Plan de clase (3/5) Eje temático: FEM Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. C D Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la razón de homotecia, invariables y las que cambian en las figuras homotéticas. las características que permanecen Consigna: Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad. Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A ; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B, C y D, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A B C D y contesten las preguntas.

12 2 cm D A C 3 cm B 5 cm a) Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos? b) Cómo son los ángulos de las dos figuras? c) Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras? d) Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras? e) Cuál es la razón de homotecia? Consideraciones previas: Con esta actividad se pretende que los alumnos construyan una figura homotética y encuentren la razón de homotecia. También deberán analizar las características que varían en una homotecia y las que se conservan (la medida de los ángulos permanece invariante, mientras que, en este caso, la medida de los lados y por tanto el perímetro en la imagen se duplican; el área se cuadruplica). Es importante que en la puesta en común, los alumnos concluyan que es lo mismo decir que los lados de ABCD miden la mitad que los de A B C D, o bien, que los lados de A B C D miden el doble que los de ABCD y que esta relación se conserva en el perímetro de las figuras. Plan de clase (4/5) Eje temático: FEM Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan una figura homotética con razón igual a -1 e identifiquen las características que permanecen y las que cambian. Consigna: Organizados en equipo realicen la siguiente actividad: Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A, B, C y únanlos para formar un nuevo triángulo. A O 8 10 C a) En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original? b) Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras? c) Cuál es la distancia OA? d) Y cuál la de OA? 6 B

13 e) Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, cuál es el sentido que tiene la distancia OA? Y el sentido de OA? f) Cuál es la razón de homotecia? g) Cuál es el perímetro de ambas figuras? Cuál es su área? Consideraciones previas:en este caso, los alumnos van a observar que la figura homotética se encuentra al otro extremo del centro de homotecia, está invertida con respecto a la original y probablemente consideren que hay cambios en los ángulos y lados, por lo que conviene pedirles que los analicen y obtengan como conclusión que la medida de los ángulos se conserva y cuando la distancia al punto de homotecia es la misma, también la medida de los lados de la figura se conserva. Es probable que los alumnos no relacionen el sentido positivo y negativo de los segmentos y puntos resultantes, por lo que es necesario tomar como referencia la recta numérica, teniendo el centro de homotecia como origen, el punto A positivo y el punto A negativo; posteriormente se les puede pedir que realicen la división del valor negativo OA entre el valor positivo OA, haciendo hincapié en que la razón resultante es negativa (k = -1) Actividad complementaria: Si el tiempo lo permite y el profesor lo considera conveniente puede plantear a los alumnos una homotecia con razón igual a 1 2, o bien, dejarlo como tarea para que hagan el análisis correspondiente. Plan de clase (5/5) Eje temático: FEM Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Intenciones didácticas: Que los alumnos comprueben que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de sus razones. Consigna: Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas. La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP = 8 cm, P P = 8 cm y QR = 3cm. 1. Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1? 2. Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2? 3. Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1? 4. Si el segmento QR mide 2.6cm, Cuánto mide el segmento Q R?

14 Consideraciones previas:es necesario resaltar el hecho de que las dos imágenes proyectadas tienen un mismo centro de homotecia. Hay que decirles que a esto se le conoce como composición de homotecias con un mismo centro. Se espera que los alumnos concluyan que la distancia Q R puede calcularse considerando tanto la razón homotética de 3 a 1 por la distancia QR, como la razón homotética de 3 a 2 por la distancia Q R. De igual modo se espera que se den cuenta de que el producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es igual a la razón de homotecia de las figuras 3 a 1. Actividades complementarias: Con el apoyo del software CabriGeometre, se pueden efectuar ejercicios de homotecia positiva y negativa. En la siguiente página web se puede analizar con mayor detenimiento las relaciones de homotecia entre figuras: Plan de clase (1/3) Eje temático: MI Contenido: Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas de una función cuadrática. Consigna: Reunidos en equipos, analicen la información y luego hagan lo que se pide. 1. Se soltó una pelota en caída libre y se registraron algunos datos en la tabla. Tiempo en segundos Distancia del punto inicial hacia el suelo en metros a) Tracen la curva que pasa por los puntos marcados. b) Si se propone una función cuadrática de la forma como modelo continuo, cuáles son los valores de a, b y c de la función para t=0, t=1 y t=2? Para encontrar dichos valores, completen y resuelvan las ecuaciones. Para t = 0: 0 = a(0 2 ) + b(0) + c de esta ecuación se desprende que c = Para t = 1: 4.9 = a(1 2 ) + b(1) de esta ecuación resulta que 4.9 = Para t = = La segunda y tercera ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultaneas del que se obtienen los valores de a y b. Cuáles son esos valores? a = b = c) Escriban la función que modela el fenómeno, luego, completen la tabla y grafiquen los datos.

15 d ( t, d ) 0 0 ( 0, 0 ) ( 1, 4.9 ) ( 2, 19.6) 3 ( 3, ) 4 ( 4, ) Consideraciones previas: La intención de esta actividad es que los alumnos determinen la función cuadrática que modela el fenómeno. Con respecto al planteamiento del inciso b, se pretende que los alumnos completen el proceso para calcular los valores de a, b y c de la función d( t) 2 at bt c, aplicando conocimientos que ya han sido estudiados. Es probable que algunos requieran ayuda. En este caso, se espera que sustituyan los valores de t en la función y con ello determinen que: c 0 a b 4.9 4a 2b Una vez que los alumnos hayan llegado al sistema de ecuaciones anterior, se espera que lo resuelvan por el método que más se les facilite. Finalmente, se espera que puedan determinar que los valores son: c 0 a b Con respecto al inciso c, una vez que hayan llegado a los resultados anteriores, se espera que no tengan dificultades en determinar la representación algebraica ( d 4.9t 2 ) que modela el fenómeno, así como su representación gráfica. Plan de clase (2/3) Eje temático: MI Contenido: Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones cuadráticas. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. 1. Analicen la siguiente gráfica, ésta representa la variación del área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Perímetro: y Área: x

16 Area (cm 2 ) Escuela Secundaria Gral. no. 1 José María Rosas Zumaya Rectángulos con perímetro constante de 10 cm Base (cm) a) Por qué la curva no pasa por el origen de coordenadas? b) Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? Por qué? c) Cuánto mide la base cuando el área es igual a 4 cm 2? d) Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? e) Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? Consideraciones previas: Es importante que los alumnos identifiquen claramente que las magnitudes representadas en los ejes son el largo y el área de los diferentes rectángulos cuyo perímetro siempre es igual a 10 cm. La curva no pasa por las coordenadas (0,0), porque el rectángulo no puede tener de base 0 cm, ni su área puede ser igual a 0 cm 2. Sería conveniente que cuando los alumnos comenten sus respuestas, tengan a la vista una imagen grande de la gráfica, la cual apoye sus comentarios. Se espera que los alumnos no tengan dificultad en interpretar la gráfica y logren identificar las longitudes enteras de la base (2 cm y 3 cm), entre las cuales se ubica el área máxima. Si es necesario se puede sugerir que localicen en la gráfica puntos entre estas abscisas para observar la variación del área del rectángulo. A partir de esta observación se espera que los alumnos puedan llegar a la conclusión de que el área máxima del rectángulo se obtiene cuando se convierte en un cuadrado, es decir; su largo y ancho son iguales; en este caso el largo y el ancho miden 2.5 cm y el área máxima será de 6.25 cm 2. Plan de clase (3/3) Eje temático: MI Contenido: Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones cuadráticas y que expresen algebraicamente la relación. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. 1. La siguiente gráfica representa la relación entre el área de una imagen proyectada en la pared y la distancia a la que se coloca el proyector. Analicen la información y posteriormente contesten lo que se pide.

17 Área (m 2 ) Escuela Secundaria Gral. no. 1 José María Rosas Zumaya Relación del área de la pantalla que se proyecta y la distancia del proyector a) Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? b) A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m 2? c) Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? d) Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? Consideraciones previas: En este plan, a diferencia del anterior, además de interpretar la gráfica de la función cuadrática, se pide que los alumnos encuentren la expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes; para lograrlo son fundamentales las respuestas de las dos primeras preguntas, mismas que pueden escribirse en una tabla como la siguiente: Distancia (m) Área (m 2 ) Distancia (m) La expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes es: S 1 a d 25 2, donde a es el área y d es la distancia. Para contestar la última pregunta, los alumnos podrán hacer una estimación utilizando la gráfica, en tal caso se sugiere pedirles que verifiquen el resultado empleando la expresión algebraica encontrada o en su defecto utilizar ésta de manera directa. A una distancia de 5.5 m, el área de la imagen es 1.21 m 2.

18 Número de litros de Distancia desde la casa (metros) Escuela Secundaria Gral. no. 1 José María Rosas Zumaya Plan de Clase (1/4) Eje temático: Manejo de la información Contenido: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información contenida en una gráfica formada por segmentos de recta. Consigna: En parejas, analicen la siguiente gráfica que representa el recorrido que hizo Juan para realizar una compra. Posteriormente contesten las preguntas Tiempo (minutos) a) A qué distancia de la casa de Juan queda la tienda? b) Cuánto tiempo tardó en hacer la compra? c) A qué velocidad se desplazó de la tienda a su casa? d) Si llegó a las 11:30 horas a la tienda, a qué hora salió de su casa? Consideraciones previas: Se sugiere tener preparada la gráfica en rotafolio, pizarrón u otro material de manera que sea visible para todos durante la puesta en común. Si los alumnos tuvieran dificultad para contestar la pregunta c), hay que recordar la relación entre velocidad, distancia y tiempo. ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA: Analiza la siguiente gráfica que representa la variación de la cantidad de agua en un tinaco de una casa, a partir de que se abre la llave de llenado, misma que permanece abierta y descarga 18 litros cada 2 minutos. Posteriormente contesta lo que se pregunta Tiempo (minutos) 4

19 a) Cuántos litros de agua tiene el tinaco al minuto 10? b) Durante cuál intervalo de tiempo se utiliza agua? c) Qué sucede con la cantidad de agua entre los minutos 10 y 20? Por qué? d) Cuántos litros de agua cayeron al tinaco entre los minutos 25 y 30? Plan de clase (2/4) Eje temático: Manejo de la información Contenido: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Intención didáctica: Que los estudiantes analicen gráficas con secciones rectas y curvas y las asocien con la situación que representan. Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica: a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por el más alto. b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción. c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno. d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida. Consigna 2. Con el mismo equipo, ahora relacionen cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información. m(t) I) m(t) II Tiempo Tiempo

20 III m(t) Tiempo a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una inyección. b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo. c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía intravenosa. Consideraciones previas: Si bien la argumentación es una competencia que se promueve de manera permanente en el estudio de las matemáticas, las actividades de este plan representan una oportunidad inmejorable para dicho fin. En el caso de la primera consigna se espera que los alumnos puedan concluir que la situación que mejor describe la gráfica es la del inciso b. Es probable que en la consigna 2 los alumnos tengan dificultad para interpretar el texto del inciso c, el profesor puede intervenir para indicar que un medicamento administrado con suero por vía intravenosa es por goteo y con una frecuencia constante. Finalmente se espera que los alumnos relacionen la gráfica I con c); gráfica II con a) y la gráfica III con b). Plan de clase (3/4) Eje temático: Manejo de la información Contenido: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Intención didáctica: Que los estudiantes interpreten gráficas con secciones rectas y curvas y argumenten sus respuestas. Consigna 1. La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica (Grados) Describan y argumenten: (Minutos)

21 A. QUÉ OCURRIÓ DEL INICIO A LOS 5 MINUTOS B. De los 5 minutos a los 8 minutos. C. De los 8 a los 9 minutos. Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas. Consideraciones previas: La primera consigna es muy acotada y se espera que los alumnos no encuentren mucha dificultad para explicar lo que pasa en diferentes periodos de tiempo, con base en lo que se puede leer en la gráfica. Básicamente se trata de que puedan interpretar cuando la temperatura sube, baja o se mantiene estable y si el aumento o disminución sucede de manera rápida o lenta. La consigna dos es más compleja pero más interesante porque permitirá a los alumnos hacer deducciones considerando el conjunto de los recipientes y las gráficas. Dichas deducciones pueden ser como la siguiente: hay un recipiente en el que la altura del líquido avanza de manera constante en relación con el tiempo y este hecho debe estar representado con una sola recta. Sin embargo hay que estar muy pendiente de las interpretaciones incorrectas y es necesario analizarlas y discutirlas. El caso más común consiste en asociar la forma de la gráfica con la forma del recipiente. En todo caso lo más importante es que se discutan las opiniones que viertan los alumnos y que traten de convencerse entre ellos sin la intervención del maestro.

22 Altura Escuela Secundaria Gral. no. 1 José María Rosas Zumaya Plan de clase (4/4) Eje temático: Manejo de la información Contenido: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Intención didáctica. Que los estudiantes bosquejen gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan ciertas situaciones. Consigna: Organizados en equipos, bosquejen una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones: a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al tiempo. b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta. c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo. Consideraciones previas: Es importante tener en cuenta que los alumnos deben hacer un bosquejo de las gráficas; es decir, una idea integral o general del fenómeno donde se indiquen los principales cambios de las variables, sin ser preciso en las magnitudes y las escalas. En la confrontación se pueden discutir las diferentes gráficas construidas y seleccionar entre todos aquella que mejor represente el fenómeno. Para el caso de la pelota puede resultar una gráfica semejante a la siguiente: y 0 x Tiempo

23 Plan de clase (1/4) Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen puntos muestrales en un espacio muestra, al tener que calcular la probabilidad de eventos. Consigna: En equipos, determinen el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten: a) Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan en número par? b) Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? c) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10? d) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6? e) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que ambos números sean iguales? Consideraciones previas: La idea fundamental de este plan es que los alumnos puedan identificar los puntos muestra que corresponden a un evento, teniendo a la vista el espacio muestral. Para este caso, se puede sugerir un arreglo rectangular incompleto para que los estudiantes lo completen. Es importante resaltar que se trata de dos dados, y por lo tanto el par (3, 2) es un punto muestra diferente de (2, 3), puede pensarse en dos dados de distinto color, de manera que, por ejemplo, el primer par puede ser: dado blanco 3, dado rojo 2; mientras que el segundo sería: dado blanco 2, dado rojo 3. Así puede entenderse que el espacio muestra consta de 36 puntos muestra o sucesos (1,1) 2 (2,5) 3 (3,4) 4 (4,3) 5 (5,2) 6 (6,6) En este plan sólo se trata de que los alumnos identifiquen puntos muestra y los cuenten para determinar la probabilidad, considerada ésta como la frecuencia relativa que resulta de dividir los casos favorables entre los casos posibles. Por ejemplo, en el inciso a), hay que ubicar en el espacio muestra todos los pares en los que ambos números son pares, (9 de 36), por lo que la probabilidad es 9/36 = ¼. Los incisos d) y e) tienen una dificultad adicional porque se trata de la probabilidad de eventos compuestos. En el primer caso son dos eventos mutuamente excluyentes, suma 10 o suma 6, no tienen elementos en común. En el segundo caso, suma 10 y números iguales los alumnos notarán que sólo hay un punto muestra que cumple con esta condición. Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), hay que aprovecharlas para analizar sus equivalencias y conversiones. Plan de clase (2/4) Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen eventos dependientes e independientes y que calculen su probabilidad. Consigna: En equipos, calculen la probabilidad de los siguientes eventos. a) Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2? b) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que ambos números sean iguales? c) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 y que ambos números sean iguales? d) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que ambos números sean iguales?

24 Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior en el que sólo se trata de identificar y contar puntos muestrales para determinar la probabilidad, en éste se trata de combinar dichos recursos con el cálculo de probabilidades y analizar la dependencia y la independencia de dos eventos. Los alumnos podrán determinar con facilidad, teniendo a la vista el espacio muestra, que la probabilidad en el inciso a) es 1/36. Con base en este resultado conviene plantear la pregunta: Se puede obtener este mismo resultado considerando la probabilidad de que salga 2 en cada uno de los dados? La probabilidad de que salga 2 cuando se lanza el dado blanco es 1/6; cuando se lanza el dado rojo también es 1/6; el producto 1/6 x 1/6 = 1 /36. Así, otra manera de calcular la probabilidad en el inciso a) es mediante lo que se llama regla del producto. Además, en los casos en los que es posible aplicar esta regla, se trata de eventos independientes. Dicho de otra manera, la probabilidad de que salga 2 en un dado NO altera la probabilidad de que salga 2 en el otro dado. El inciso b) es un caso de eventos mutuamente excluyentes en el que se espera que los alumnos apliquen la regla de la suma que ya ha sido estudiada. En el inciso c) se espera que los alumnos se den cuenta de que no hay puntos muestrales que cumplan con ambas condiciones (suma 7 y números iguales), por lo tanto la probabilidad es cero. El inciso d) requiere un análisis más minucioso por lo siguiente: En el espacio muestra se podrá apreciar que suma 4 y números iguales sólo hay un punto muestral, por tanto la probabilidad es 1/36. Sin embargo, aplicando la regla del producto como en el inciso a), se podrá ver que: la probabilidad de suma 4 es 3/36 = 1/12; la probabilidad de números iguales es 6/36 = 1/6. Ahora bien, 1/12 x 1/6 = 1/72 y 1/72 1/36. Está claro que en este caso no es aplicable la regla del producto, por lo que se trata de dos eventos dependientes o no independientes. Otra manera de ver esto mismo es: si ya apareció una suma cuatro la probabilidad de que ambos números sean iguales es 1/3 y no 1/6 como se estableció originalmente. Por otra parte, si ya se sabe que los números son iguales la probabilidad de que la suma sea 4 es 1/6 y no 1/12 como se estableció al inicio. Hay dos ideas importantes que se espera dejar en claro en esta sesión y que están vinculadas a los eventos independientes. La primera es que dos eventos se consideran independientes cuando la aparición (o no aparición) de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad asignada a la aparición del otro. La segunda es que dos eventos se consideran independientes cuando su probabilidad puede calcularse mediante la regla del producto. Plan de clase (3/4) Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen diversos experimentos de azar e identifiquen los eventos que son independientes, que adviertan que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro. Consigna: Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Situación 1. a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda. b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al lanzar la moneda. Situación 2. a) Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado? b) Sabiendo que ya salió par, cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4? Consideraciones previas: Igual que en los planes anteriores, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de este plan se centra en identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cada situación. En la primera se trata de eventos independientes, la aparición de uno no tiene efecto en la probabilidad de aparición del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó águila. En cambio, en la segunda situación, se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que el número sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la probabilidad es 1/3. EJERCICIOS: 1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol? 2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. Quién tiene más oportunidades de ganar?

25 Plan de clase (4/4) Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen la regla del producto para calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón? Crees que los eventos varón y varón son independientes? Explica por qué 2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4? Explica por qué los eventos caer sol y número 4 son independientes. Consideraciones previas: Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento en cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo 1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos favorables de cada situación. La aplicación de la regla del producto puede ser útil para confirmar la respuesta. PROBLEMAS: 1. Variantes del problema 2. Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6? Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?, etc. 2. Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?