Teorema de reciprocidad

Transcripción

1 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias Teorema de reciprocidad Los parámetros de las antenas (directividad, ancho de ha, impedancia, resistencia de radiación, etc. ) son idénticos en transmisión y recepción. Para poder demostrarlo vamos a utiliar el teorema de reciprocidad. Consideremos dos conjuntos de fuentes eléctricas a y b que crean dos conjuntos de campos eléctricos y magnéticos J E H J E H a a, a b b, b E a, H a J b J a E b, H b La frecuencia es la misma y el medio es lineal e isotrópico. El teorema de reciprocidad, que se puede demostrar a partir de las ecuaciones de Maxwell, indica que la reacción de los campos de las fuentes b con las corrientes a es el mismo que la reacción de los campos de las corrientes a con las corrientes b, es decir E J dv ' E J dv ' b a a b v v Para demostrar esta relación se puede partir de la divergencia los productos de los campos de las fuentes a y b. ( Ea Hb Eb Ha) ( Ha Eb Eb Ha) ( Hb Ea Ea Hb) jωµ H H E J jωε E E + jωµ H H + E J + jωε E E a b b a b a b a a b a b Simplificando los términos idénticos, resulta E H E H E J + E J a b b a b a a b Se han tenido en cuenta las ecuaciones de Maxwell

2 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias H J + jωε E E jωµ H ntegrando en volumen y aplicando el teorema de la divergencia, resulta ( a b b a) ' ( a b b a) s' E H E H ds E J E J dv ' v' Si la superficie que encierra a las fuentes se toma muy lejos de las mismas, en campo lejano, los campos radiados no tendrán componente radial, y los productos vectoriales correspondientes a la integral de superficie son ( Ea Hb Eb Ha) ds' s' ( aθθ aφφ) ( bθθ bφφ) ( bθθ bφφ) ( aθθ aφφ) s' ( ηha φhbφ + ηha θhbθ ηha φhbφ ηha θhbθ ) ds' s' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E + E H + H E + E H + H ds' Por lo tanto el teorema de reciprocidad queda como E J dv ' E J dv ' b a a b v v Aplicaciones del teorema de reciprocidad gualdad de impedancias mutuas Supongamos que tenemos dos antenas separadas una cierta distancia, se define la matri de impedancias asociada a los puertos y como Z + Z Z + Z Las impedancias mutuas son

3 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 3 Z Z Para simplificar la demostración consideraremos dos antenas sencillas. La extensión a problemas más complejos sólo difiere en el cálculo de las integrales involucradas. Sea el problema planteado en la figura, donde dos monopolos están alimentados por su correspondiente cable coaxial. Antes de aplicar el teorema de reciprocidad a una pareja de antenas primero observamos que el campo eléctrico tangencial a lo largo de ambas antenas debe ser nulo. E E + E J + E J total E E + E J + E J total Donde i es la tensión aplicada al monopolo i, y Jiifi() es la densidad de corriente a lo largo del monopolo i, La función fi() está normaliada de modo que i representa la corriente en el puerto i. Estas igualdades se cumplen en todos los puntos del monopolo. Sin embargo, con el fin de obtener una relación que involucre únicamente las corrientes y tensiones en los puertos de los monopolos podemos aplicar el producto interno del campo eléctrico en cada monopolo, por la función densidad de corriente en el propio monopolo,

4 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 4 total total J, E J E d i i i i monopolo i Resultando las ecuaciones J E d+ J E J d+ J E J d J E d + J E J d + J E J d dealmente suponemos que la contribución del generador i al campo eléctrico en el cuerpo del monopolo i, Ei total,se concentra en el propio puerto i, siendo nulo en el resto del monopolo (suposición bastante realista). En estas condiciones, y suponiendo además el puerto situado en el campo que produce el generador i puede ponerse como Por lo que podemos escribir que δ E i i i ( ) J E d i i i i i Si lo sustituimos en las ecuaciones anteriores y ponemos de manifiesto la dependencia de J con f, f E f d+ f E f d f E f d+ f E f d Es inmediato observar que podemos despejar los cocientes Z J E ( J ) d de la primera ecuación, y Z J E ( J ) d

5 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 5 De la segunda. Ahora, dado que el teorema de reciprocidad establece que J E J d J E J d Podemos afirmar que las impedancias mutuas definidas con las corrientes y tensiones en los puertos,, son iguales, Z Z. Cálculo de la tensión recibida Los parámetros que se suelen emplear para describir a la antena en transmisión son la corriente a la entrada, (), la densidad de corriente por la antena J y el campo radiado por esas corrientes. Por el contrario, cuando la antena actúa en recepción resulta más conveniente hablar de la tensión inducida en circuito abierto en bornes de la antena ca cuando sobre ella incide un campo eléctrico E i. No obstante, los parámetros en transmisión y en recepción están relacionados y es posible hallar la expresión que los liga empleando el teorema de reciprocidad. Para ello es necesario interpretar la antena como un cuadripolo de dos accesos. Uno de los accesos obviamente está constituido por sus bornes de entrada, mientras que el otro no está físicamente localiado puesto que está distribuido a lo largo del cuerpo de la antena siendo cada elemento diferencial de corriente dj en la antena, el que da salida a un elemento diferencial de campo radiado, o a la inversa, recoge una porción diferencial de campo incidente de i. Podemos hacer el análisis tomando como segundo puerto uno de estos puertos diferenciales e integrando posteriormente a toda la antena. La figura muestra la antena con sus dos puertos y la interpretación de la misma en transmisión y recepción, respectivamente Puerto () + i E d Puerto + dcc antena transmisora receptora

6 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 6 Cuando la antena está transmitiendo, aplicamos un generador en el puerto, obteniendo en el puerto una corriente () en cortocircuito. Cuando la antena actúa en recepción, el campo incidente induce sobre la antena otro campo igual y opuesto para que se cumpla la condición de campo tangencial nulo sobre el conductor. Este campo funciona como un generador de tensión ideal i de valor Ed que a su ve es responsable de que por el puerto cortocircuitado circule un diferencial de corriente d cc. Dado que el teorema de reciprocidad establece que Y Y, podemos escribir i Ed d cc Despejando el diferencial de corriente en cortocircuito y sumando las contribuciones de los puertos d distribuidos, i dcc Ed Eid cc i antena E d Podemos obtener otra relación para la tensión en bornes de la antena empleando la definición de impedancia de entrada y su relación con el equivalente de Thevenin de la antena Z in ( ) ca cc resultando ca ( ) antena E d La expresión anterior puede generaliarse para una antena cualquiera, quedando de la forma i ca i J E dv' ( ) ' v

7 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 7 gualdad de diagramas en transmisión y recepción Si la antena es que actúa como transmisora y la antena como receptora, para medir el diagrama de radiación de la antena, se miden los campos radiados en todas las direcciones del espacio, lo cual es equivalente a determinar la impedancia mutua en función del ángulo. Si la antena es transmisora y la receptora, se estaría midiendo el diagrama de la antena en recepción. Teniendo en cuenta el teorema de reciprocidad,, y los dos diagramas serían idénticos. gualdad de impedancias en transmisión y recepción La impedancia de una antena transmisora se define como la relación entre la tensión y la corriente en sus terminales. Z t in Si se tiene una antena cercana se debe considerar la matri de impedancias. + +

8 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 8 Suponiendo que la segunda antena tenga una impedancia de carga, la impedancia de entrada en transmisión se calcularía como + + R L Despejando se obtiene la impedancia de entrada en transmisión t Zin R L + Si la antena se encuentra aislada en el espacio, la impedancia de entrada coincidiría con. Si la antena actúa como receptora, se define la impedancia de entrada en recepción como la relación entre la tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito. La antena actúa como transmisora, y se supone que la impedancia del generador es RL. La tensión en circuito abierto en la puerta, se calcula como g ca R + L La corriente en cortocircuito se puede calcular de la siguiente forma + + R g L Teniendo en cuenta que por definición la corriente en cortocircuito cc se define entrante en el cuadripolo, cc Despejando g en función de en la segunda ecuación, y sustituyendo en la promera,

9 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 9 R + g cc L g + RL Finalmente la impedancia en recepción, se demuestra que tiene el mismo valor que la impedancia en transmisión. Z r in + R ca cc L Longitud efectiva El campo radiado por una antena depende del potencial vector. E jω( A rˆ A) jω( rˆ ( r A)) El potencial vector se puede escribir en función del vector de radiación como jkr jkr ˆ ˆ µ e µ e E jω r r N jω r 4 4 ˆ r ˆ N πr πr ( ) Se define la longitud efectiva de una antena en transmisión como la relación entre las componentes tangenciales del vector de radiación y la corriente de entrada a la antena. l ef rˆ ( rˆ N) N N rˆ rˆ N N ˆ N ˆ rad θθ + φφ ( ) ( ) ( ) ( ) La longitud efectiva corresponde a los campos que radiaría una corriente uniforme de valor ()), que estuviera orientada perpendicularmente a la dirección de propagación. jkr jkr µ e ( ˆ ( ˆ µ e E j r r N) ) j ( ω ω ) l 4πr 4πr ef

10 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias Ejemplos de longitud efectiva Dipolo elemental La longitud efectiva de un dipolo elemental será N N ˆ ˆ rad θθ + Nφφ jkrˆ r ' l ( ˆ ') ' sin ˆ ef J r e dv l θ θ ( ) ( ) ( ) v' El máximo del vector de radiación se tiene perpendicular al dipolo y vale en la dirección max l l N d' l La longitud efectiva coincidirá con el valor de la longitud real del dipolo l ef l Dipolo corto Un dipolo corto tiene una distribución de corrientes triangular l ' l ( ') ( ) El vector de radiación se puede calcular como l l N e d ˆ ˆ l jk ' ( ') ' Calculando la componente tangencial del vector de radiación, la l longitud efectiva queda como l sin ˆ ef θθ Dipolo resonante El vector de radiación de un dipolo resonante es

11 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias π cos cosθ λ N ( ) ˆ θ π sinθ La longitud efectiva es π cos cosθ λ l ˆ ef θ π sinθ π El máximo se encuentra en la dirección θ Dipolo Elemental Corto Resonante Longitud efectiva en recepción l ef ˆ l sin θ θ l l sin ( θ ) ˆ θ π cos cosθ λ ˆ θ π sinθ Máximo l λ π Como vimos, la aplicación del teorema de reciprocidad permite calcular la tensión en circuito abierto en la antena receptora a partir de la distribución de corrientes que tendría como transmisora y el campo incidente. ca J( rˆ' ) Edv i ' ( ) v' En campo lejano el campo incidente se puede aproximar por una onda plana E Ee i jkrˆ r Particulariando el campo en los puntos tensión en circuito abierto será r ' de la antena receptora, la ˆ ' jkr r jkrˆ r ' ( ˆ' ) ' ( ˆ ca J r E e dv E J r' ) e dv' ( ) ' ( v ) v' Se puede definir una longitud efectiva vectorial en recepción, de forma similar a la definición escalar. La tensión en circuito abierto

12 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias será proporcional al producto escalar del vector campo incidente por la longitud efectiva. E N E ( N N ) E l + ( ) ( ) ca r t ef Para obtener la anterior fórmula se ha tenido en cuenta que la onda plana incidente tan sólo tiene componente tangencial. E N r La longitud efectiva en recepción coincide con la longitud efectiva en transmisión.

13 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 3 Coeficiente de desacoplo de polariación Se define el coeficiente de desacoplo de polariación como la relación entre la potencia recibida y la que se recibiría si hubiera adaptación de polariación. c p Wr a W r La condición de máxima transferencia de potencia para adaptación de impedancias es W r 4R ca a El coeficiente de desacoplo de polariación será ca Wr 4R Eo l a ef cp a a Wr ( ca ) E lef 4R a El coeficiente de desacoplo puede calcularse a partir de las longitudes efectivas de dos antenas. c p l l l * ef lef ef ef Hay que tener en cuenta el convenio de signos para la polariación de las ondas, las longitudes efectivas se refieren a campos transmitidos, mientras que las ondas incidentes se propagan en sentido contrario.

14 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 4 Ejemplos de coeficientes de desacoplo de polariación Polariación lineal l xˆ+ yˆ E x+ y e c p ( ˆ ˆ) jk ( xˆ+ yˆ) ( xˆ+ yˆ) ( + ).9 xˆ+ yˆ xˆ+ yˆ 5 El coeficiente de polariación en polariaciones lineales es siendo el ángulo el que forman los vectores. cos α cos cos α, Polariación circular l xˆ jyˆ E x+ jy e c p ( ˆ ˆ) Polariación elíptica jk ( xˆ jyˆ) ( xˆ+ jyˆ) xˆ jyˆ xˆ+ jyˆ Polariación transmisora: circular a derechas Polariación campo incidente: elíptica a derechas l xˆ jyˆ jk E xˆ+ jyˆ e c p ( xˆ jyˆ) ( xˆ+ jyˆ) ( 3).9 xˆ jyˆ xˆ+ jyˆ 5 Polariación transmisora: circular a iquierdas Polariación campo incidente: elíptica a derechas l xˆ+ jyˆ E x+ jy e c p jk ( ˆ ˆ) ( xˆ+ jyˆ) ( xˆ+ jyˆ) (). xˆ+ jyˆ xˆ+ jyˆ 5

15 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 5 Campos próximos de un dipolo En el capítulo anterior se obtuvieron los campos radiados y el vector de radiación (en campo lejano), de un hilo de corrientes alineado según el eje, con una distribución sinusoidal de corrientes ( ) ( ') sin k H ' m Para el cálculo de autoimpedancias e impedancias mutuas es necesario calcular los campos próximos del dipolo. Para ello el potencial vector se calculará de forma exacta como H jkr µ e A ˆ ( ' ) d' 4π R H El campo magnético se puede obtener a partir de la definición de los potenciales H A µ El rotacional en coordenadas cilíndricas es A A φ ˆ Aρ A Aρ A ˆ ρ + φ + ˆ raφ ρ φ ρ ρ ρ φ Teniendo en cuenta que el problema tiene simetría de revolución, y el potencial vector sólo tiene componente, en coordenadas cilíndricas el rotacional se reduce a A A ˆ φ ρ El campo magnético será por tanto H jkr µ e H ( ' ) d ˆ φ µ ρ 4πR H

16 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 6 Tras una serie de operaciones, se puede llegar a la expresión final para el campo magnético de un hilo de corriente, con distribución de corriente sinuosidal j Hφ e + e kh e 4πρ jkr jkr jkr ( cos ) Teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell, en una región libre de fuentes H jωε E En coordenadas cilíndricas, para el caso del hilo de corrientes. E E ρ H jωε jωε ρ ρ φ ( ρhφ ) Las expresiones finales para el campo eléctrico son η e e e Eρ j ( H) + ( + H) cos( kh) 4πρ R R r jkr jkr jkr η e e e E j + cos( kh) 4π R R r jkr jkr jkr R r R y x R

17 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 7 Los campos cercanos E, de un dipolo de semibrao Hλ/4, a distancias de.λ,.λ y.5λ. 3 3 E(,.) E(,.) E(,.5).5.5 λ La gráfica en curvas de nivel para dipolos de semibraos Hλ/4 y H5λ/8 son

18 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 8 mpedancia mutua entre dos dipolos La aplicación del teorema de reciprocidad permite calcular la tensión en circuito abierto en una antena cuando inciden sobre ella unos campos arbitrarios. R r x R y La expresión general es ca J( r' ) E( r' ) dv' ( ) v' Si queremos calcular la tensión en circuito abierto en la antena, cuando incide un campo creado por la antena, las corrientes corresponderán a la antena ( ) ( ') sin k H ' m El campo eléctrico corresponderá al creado por la antena, en la situación de la antena η e e e E j + cos( kh) 4π R R r jkr jkr jkr

19 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 9 La expresión para la tensión en circuito abierto será por tanto ( ) H ( ' ) Ed' H Aplicando la definición de impedancia mutua en un cuadripolo Se obtiene la expresión para la impedancia mutua de dipolos H jkr jkr jkr η m e e e m sin ( k( H ' )) j cos ( kh) d' ( ) ( ) + 4π R H R r La integral se puede evaluar de forma numérica, en diversas configuraciones. La gráfica siguiente corresponde a la impedancia mutua entre dos dipolos de longitudes H H λ/4, en función de la separación entre ellos d/λ Re( Z( d) ) m( Z( d) ) d 3 λ

20 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias La siguiente gráfica corresponde a la impedancia mutua de dos dipolos colineales, en función de la distancia de separación entre los centros de los mismos Re( Z(, d) ) m( Z(, d) ) d/λ d λ 3 mpedancia de entrada de un dipolo La autoimpedancia de entrada de un dipolo se define como La tensión es la creada por el propio dipolo, debido a los campos próximos. La expresión para la impedancia de entrada es H jkr jkr jkr η m e e e m sin ( k( H ' )) j + cos ( kh ) d' 4π R H R r ( ( ) ) La integral tiene singularidades cuando se anulan alguno de los denominadores de la expresión. Esto sucede cuando la longitud del

21 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias brao del dipolo es λ/ o múltiplo entero. También aparecen singularidades cuando las distancias R, R, r son cero. Las singularidad en la distribución de corrientes no se puede evitar, dado que la aproximación para la misma es incorrecta, y se debe recurrir a métodos numéricos, como el método de los momentos. Para evitar la singularidad (evaluar los campos sobre la misma antena, se puede suponer que las corrientes están situadas en un hilo delgado, mientras que los campos se evalúan en la superficie. La gráfica muestra la resistencia y la reactancia de entrada de un dipolo de radio.λ en función de las dimensiones de H/λ. La resonancia aparece para H.38λ 5 RH XH R 5 r La siguiente gráfica muestra la reactancia de un dipolo, para distintos radios (a), en función de las dimensiones H/λ. Se puede observar que las dimensiones en las que X, dependen del grosor de la antena H x R 5 a X( H,.) X( H,.) X( H,.) H

22 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias Análisis numérico de la impedancia y las corrientes La impedancia y las corrientes se pueden calcular de forma numérica, resolviendo las ecuaciones integrales que relacionan el potencial vector con las condiciones de contorno en el conductor para el campo eléctrico. La ecuación integral se puede resolver mediante el método de los momentos. El método de los momentos se basa en la descomposición de la antena en un gran número de dipolos elementales, calculando la impedancia mutua entre todos ellos y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Como ejemplo se muestra la corriente en un dipolo de longitud total Hλ, obtenida mediante dicho método. El caso indicado se ha resuelto a partir de la subdivisión en segmentos (funciones base). La distribución de corrientes de los dipolos de longitudes múltiplos de una longitud de onda no llega a tener un nulo en la entrada. La impedancia de entrada obtenida ha sido de 356+j94Ω, como se puede observar es un valor elevado, pero no infinito..5 Corriente real en un dipolo de longitud lambda S t

23 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 3 Las curvas correspondientes a las impedancia, se muestran en las siguientes gráficas. mpedancia de un dipolo de m de longitud y radio a. m. en función de la frecuencia.. Resistencia de entrada de un dipolo de m de longitud para distintos radios de dipolo a.,.,.,. m. Reactancia de entrada de un dipolo de m de longitud para distintos radios de dipolo a.,.,.,. m.

24 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 4 Efecto de los planos de masa en la impedancia mpedancia de dipolos paralelos al plano de masa Un dipolo, paralelo a un plano de masa se puede analiar, teniendo en cuenta que la imagen del dipolo tiene corrientes en sentido contrario. Por lo tanto d/λ + + ( ) + La impedancia de entrada del dipolo depende de la separación entre el dipolo y la imagen, que es d. ( ( )) Z d 8 Rd 6 Xd d λ

25 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 5 Se observa que la impedancia es cero para d, la tendencia asintótica es la impedancia del dipolo aislado. mpedancia de dipolos perpendiculares a un plano de masa Este caso es similar al anterior, pero con la corriente de la imagen positiva + Z + i La influencia del plano de masa es inferior, dado que el acoplo mutuo entre dipolos colineales es menor que para los paralelos. mpedancia de dipolos en reflectores diédricos Un dipolo, situado en el interior de un diedro de 9 o mejora sus características de radiación. Para analiar la impedancia de entrada deben tenerse en cuenta el efecto de las imágenes. En la figura se muestran el dipolo frente al diedro y las tres imágenes, con corriente positivas y negativas. La expresión para la impedancia de entrada se puede calcular a partir de la matri de impedancias de los cuatro dipolos

26 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 6 Antenas Yagi La Antena Yagi debe su nombre a H. Yagi, que publicó los resultados de S. Uda, (Japón, 96). Se trata de un diseño muy simple, basado en los efectos de acoplamiento mutuo. En su configuración más simple consta de dos elementos, uno de ellos alimentado y el otro cortocircuitado. Cuando el elemento parásito es más corto se denomina director, y cuando es más largo reflector. Los diagramas de radiación en el plano E, muestran comportamientos como en la figura. Se pueden realiar diseños más complejos incluyendo un mayor número de reflectores, o de directores. 5 El análisis de impedancias se puede realiar a partir de la matri de parámetros + + La relación entre las corrientes de los elementos activo y parásitos se puede controlar acortando o alargando el elemento parásito, que equivale a la modificación de. La distancia de separación afecta sobre todo al valor de Z

27 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 7 Antenas cargadas Las antenas tipo monopolo o dipolo se les pueden añadir elementos adicionales que tengan un comportamiento similar a un condensador o una bobina, ya sea en la base de la antena, para mejorar la adaptación o en los propios elementos radiantes, mejorando la forma de la distribución de corrientes o la resistencia de radiación. Las líneas de transmisión también se utilian como elementos reactivos. Dichas líneas pueden estar en circuito abierto o cortocircuito. En función de su longitud pueden tener comportamiento inductivo o capacitivo. En la figura se muestran dos ejemplos de antenas con con carga capacitiva El circuito equivalente para estas antenas es una línea de transmisión, que modela el coaxial, una segunda línea para la antena y una capacidad terminal o una tercera línea de transmisión para el efecto reactivo. Generador Z Z a Z c Coaxial Antena Carga Carga

28 ANTENAS nteracción entre antenas. mpedancias 8 Las antenas también pueden incorporar cargas inductivas, concentradas o distribuidas. En la figura se muestran varios ejemplos de este tipo de cargas. El circuito equivalente es Z c Generador Z Z a Z a Coaxial Antena Carga Antena