Uso de la fórmula de la distancia

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1 LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Uso de la fórmula de la distancia En esta lección Usarás el Teorema de Pitágoras para audarte a minimizar las distancias Usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugar geométrico de puntos En esta lección, descubrirás aplicarás una fórmula para la distancia. Investigación: Carrera de baldes Imagina que estás en una carrera en la cual debes llevar un balde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina, Salida llenar el balde con agua, después llevarlo hasta un punto B. A El punto A está a 5 metros de un etremo de la piscina, el punto B está a 7 metros del otro etremo, la piscina tiene 5 m 0 metros de largo. Sea la distancia desde el etremo de la piscina hasta un punto C situado en el borde de la piscina. Completa los C Pasos 1 4 en tu libro para hallar el valor de que da la traectoria más corta posible de A a C de C a B. Aquí se dan las respuestas a los Pasos 3. Paso A continuación se presentan los datos correspondientes a varios valores de. AC CB se calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedes hallarlas midiendo. Tus respuestas pueden ser ligeramente diferentes a éstas, dependiendo de cómo haas redondeado o de la precisión de tus mediciones. 0 0 m Meta B 7 m (m) AC (m) CB (m) AC CB (m) (m) AC (m) CB (m) AC CB (m) Paso 3 Método 1: La tabla anterior indica que un valor de aproimadamente 8 minimiza la longitud de la traectoria, lo cual significa que C debe estar a unos 8 m del etremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta más precisa intentando otros valores de cercanos a 8.) Método : Usando el Teorema de Pitágoras, AC es 5 BC es 70 ( ),de modo que la longitud,, de la traectoria puede representarse por 5 70 ( ) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 13 Lección 9.1 Uso de la fórmula de la distancia (continuación) Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes encontrar que el valor mínimo de en esta función, que es aproimadamente 3.3, corresponde a un valor de aproimadamente Así pues, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m del etremo de la piscina. La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factor importante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidad de 1. m/s que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidad de 0.4 m/s. Completa los Pasos 5 6 en tu libro para hallar la ubicación de C que minimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C de ahí al punto B. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso 5 Usa el hecho de que tiempo v d istancia elocidad 5 Paso 6 El tiempo requerido para ir de A a C es 1., el tiempo requerido 70 para ir de C a B es ( ) 0.4. Por tanto, el tiempo total,, puede representarse por la función 5 70 ( ) (m) Tiempo para AC (s) Tiempo para CB (s) Tiempo total (s) El valor que minimiza esta función es aproimadamente El valor correspondiente a este valor es aproimadamente Por tanto, para minimizar el tiempo, el punto C debe estar a m del etremo de la piscina. El tiempo mínimo será de unos s. La distancia recorrida es aproimadamente 5.96 m. Esta distancia es maor que la distancia que encontraste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB, es más corto. 13 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

3 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 133 Lección 9.1 Uso de la fórmula de la distancia (continuación) Recuerda que la distancia entre dos puntos, 1, 1,, se da por la fórmula d 1 1.Repasa esta fórmula leendo el teto hasta el Ejemplo A en tu libro. Un lugar geométrico (locus) de puntos es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada. En el Ejemplo A se encuentra el lugar geométrico de los puntos que es equidistante de dos puntos. Lee este ejemplo con atención después lee el Ejemplo B. El ejemplo siguiente es el Ejercicio 6 en tu libro. EJEMPLO Solución Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que están dos veces más lejos del punto (, 0) que del punto (5, 0). Sea (, ) cualquier punto del lugar geométrico. Sea d 1 la distancia de (, 0) a (, ), sea d la distancia de (5, 0) a (, ). Entonces, d 1 ( ) d ( ) 5 El lugar geométrico son todos los puntos que satisfacen la ecuación d 1 d,ó ( ) ( ) 5 Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener ( ) 4( 5).Ahora desarrolla los binomios combina los términos semejantes. Debes obtener 1 3, ó 1. 3 La gráfica siguiente muestra los puntos (, 0) (5, 0) el lugar geométrico, que es un círculo centrado en (6, 0). [0, 9.4,, 6., 6., ] Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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5 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 135 LECCIÓN CONDENSADA 9. Círculos elipses En esta lección Revisarás las ecuaciones estándares paramétricas de un círculo una elipse Aprenderás las definiciones de un círculo una elipse como lugares geométricos Localizarás los focos de una elipse Aprenderás cómo se relaciona la ecentricidad de una elipse con su forma Círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas se llaman secciones cónicas porque se pueden crear rebanando un cono doble. Círculo Elipse Cada sección cónica se puede definir también como un lugar geométrico de puntos. Por ejemplo, un círculo es el conjunto de todos los puntos situados a una distancia fija de un punto dado. Lee el teto en tu libro desde la definición de un círculo hasta el Ejemplo B. Este material repasa lo que has aprendido sobre las círculos en los capítulos anteriores. Para hallar la ecuación en el Ejemplo B, primero debes encontrar el punto dónde se intersecan el círculo la recta tangente. Asegúrate de que entiendes cada paso de la solución. Recuerda, del Capítulo 4, que puedes trasladar estirar el círculo unitario para crear una elipse. En general, si una elipse tiene el centro (h, k), el factor de escala horizontal a, el factor de escala vertical b, entonces su ecuación en forma estandar es h a k b 1 sus ecuaciones paramétricas son Parábola Hipérbola a cos t h b sin t k Al igual que un círculo, una elipse puede definirse como un lugar geométrico. Sin embargo, mientras que la definición como lugar geométrico de un círculo implica un solo punto fijo (a saber, el centro), la definición como lugar geométrico de una elipse implica dos puntos fijos, conocidos como focos: una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano, la suma de sus distancias, d 1 d,con respecto a dos puntos fijos, F 1 F, es una constante, d. Esto es, d 1 d d, ó F 1 P F P d. P d 1 d F 1 d F 1 d d d 1 P P Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

6 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 136 Lección 9. Círculos elipses (continuación) En la página 499 de tu libro se muestra cómo puedes construir una elipse usando una cuerda, un lápiz, dos alfileres. Si tienes estos materiales, te conviene intentarlo. El segmento que conforma la dimensión más grande de una elipse, que contiene los focos, se llama el eje maor. La dimensión más pequeña es el eje menor. La longitud de la mitad del eje horizontal de una elipse es el factor de escala horizontal, de modo que el eje horizontal tiene una longitud de a. Asimismo, la longitud de la mitad del eje vertical es el factor de escala vertical, de modo que el eje vertical tiene una longitud de b. Si el eje maor es horizontal, entonces su longitud, a, es igual a d 1 d.así que la suma de las distancias entre cualquier punto de una elipse los dos focos es a. Si el eje maor es vertical, entonces su longitud, b, es igual a d 1 d. Eje maor b F 1 F c a Eje menor a F 1 d 1 F F 1 d d 1 b d F La elipse siguiente a la izquierda tiene un eje maor horizontal. Uno de los puntos etremos del eje menor ha sido conectado con los focos, formando dos triángulos rectángulos. La suma de las longitudes de las hipotenusas es igual a la longitud del eje maor, así que cada hipotenusa tiene una longitud de a. La mitad de la longitud del eje menor tiene la longitud b. Para localizar los focos, rotula la distancia del centro a cada foco como c, escribe la equación b c a.la elipse a la derecha tiene un eje maor vertical. En este caso, a c b. a a b F c c 1 F F 1 c b a c b F 136 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

7 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 137 Lección 9. Círculos elipses (continuación) El Ejemplo C en tu libro muestra cómo usar las relaciones entre a, b, c para localizar los focos de una elipse. Aquí se presenta otro ejemplo. EJEMPLO Localiza los focos de la elipse Solución La elipse tiene un eje maor horizontal, de modo que b c a. En este caso, b 4 a 6, así que c por tanto c 0 5. Entonces, los focos son 5, 0 5, 0, o aproimadamente (4.47, 0) (4.47, 0). Investigación: Una rebanada de luz Lee la investigación en tu libro hasta el final del Paso. Si tienes una linterna alguien que te aude, completa los pasos. La ecentricidad es una medida de la elongación de una elipse. Para una elipse c con un eje maor horizontal, la ecentricidad es a.para una elipse con un eje c maor vertical, es b. La ecentricidad de una elipse se encuentra siempre entre 0 1.Cuanto más cerca esté la ecentricidad a 0, más circular será la elipse. Cuánto más cerca esté a 1, más alargada será la elipse Ecentricidad 0.18 Ecentricidad 0.50 Si puedes, completa los Pasos 3 4 en tu libro. Debes encontrar que cuando la ecentricidad se vuelve demasiado grande, la elipse se convierte en una parábola después en una rama de una hipérbola. Ecentricidad 0.99 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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9 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 139 LECCIÓN CONDENSADA 9.3 Parábolas En esta lección Aprenderás la definición de una parábola como lugar geométrico Encontrarás el foco la directriz de una parábola, basándote en su ecuación Usarás la definición de una parábola como lugar geométrico para construir una parábola usando patt paper En capítulos anteriores, aprendiste que la parábola es una transformación de la gráfica cua ecuación estandar es,ó cuas ecuaciones paramétricas son t, t.una parábola también se puede definir como un lugar geométrico de puntos. Una parábola es un lugar geométrico de puntos P de un plano, cua distancia a un punto fijo, F, es la misma que la distancia a una recta fija,. Esto es, d 1 d. El punto fijo, F, se llama el foco. La recta,, se llama la directriz. Si la directriz de una parábola es una recta horizontal, entonces la parábola se orienta verticalmente. Si la directriz es una recta vertical, entonces la parábola se orienta horizontalmente. F d 1 d 1 P d P d Si una parábola se orienta horizontalmente, con el vértice en (0, 0), entonces su foco se ubica dentro de la curva en el punto (f, 0), como se muestra en el diagrama a la derecha. Debido a que la directriz se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco, su ecuación es f. El teto en la página 508 de tu libro muestra cómo puedes usar esta información, junto con la definición como lugar geométrico, para derivar la ecuación 4f para la parábola. Lee el desarrollo con atención. Entonces, cuando la ecuación de una parábola está en la forma 4f, sabes que la distancia del vértice al foco es f, un cuarto del coeficiente de. Directriz d d 1 F(f, 0) La parábola siguiente se orienta verticalmente con el vértice (0, 0), el foco (0, f ), la directriz f. Según la definición como lugar geométrico, sabes que d 1 d. Es decir, ( ) 0 ( f ) ( ) (. f ) Puedes usar álgebra para reescribir esta ecuación como 4f, ó 4 1 f.así que cuando la ecuación de una parábola esté en cualquiera de estas dos formas, puedes encontrar la distancia, f, del vértice al foco. (0, f ) d 1 (, ) d (0, 0) (, f ) f Lee el ejemplo en tu libro atentamente, después lee el ejemplo siguiente. Intenta responder cada parte por tu propia cuenta, antes de leer la solución. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

10 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 140 Lección 9.3 Parábolas (continuación) EJEMPLO Considera la ecuación madre,,de una parábola con orientación vertical. a. Escribe la ecuación de la imagen de la gráfica después de un estiramiento horizontal por un factor de, un estiramiento vertical por un factor de 0.5, luego una traslación 3 unidades a la izquierda. b. Dónde está el foco de? Dónde está la directriz? c. Dónde están el foco la directriz de la parábola transformada? Solución Recuerda las transformaciones de funciones que estudiaste en el Capítulo 4. a. Empieza por la ecuación madre lleva a cabo las transformaciones Ecuación original. Estiramientos horizontal por un factor de vertical por un factor de 0.5. Traslación 3 unidades a la izquierda. b. Usa la forma general, 4f. El coeficiente de es 4f en la forma general 1 en la ecuación. Así que 4f 1, ó f 1 4.Por tanto, el foco es 0, 1 4 la directriz es 1 4. c. Primero, reescribe la ecuación como 8 ( 3). El coeficiente de es 8, por tanto 4f 8, ó f. Tanto el foco como la directriz estarán a unidades del vértice, que es el punto (3, 0), en la dirección vertical. Por consiguiente, el foco es (3, ) la directriz es. 5 ( 3, ) 8 ( 3) En el recuadro en la página 510 de tu libro, se resumen las formas estandar paramétrica de las ecuaciones para las parábolas con orientaciones verticales horizontales. Lee este material con atención. Investigación: Dobla una parábola Sigue las instrucciones en tu libro para construir una parábola usando patt paper, encuentra su ecuación. Lee esa información atentamente. Supón que esta parábola fuera puesta encima de una hoja de papel cuadriculada calcada, con el foco en (3, 0) su directriz 1. La forma general de la parábola es 4f. La distancia del foco al vértice es 1, de modo que f 1 la ecuación general de la parábola es 4. Sin embargo, la parábola se trasladó unidades a la derecha, así que la ecuación final es 4( ) CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

11 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 141 LECCIÓN CONDENSADA 9.4 Hipérbolas En esta lección Aprenderás la definición de una hipérbola como lugar geométrico Usarás las asíntotas de una hipérbola para audarte a dibujar la curva Localizarás los focos de una hipérbola usando los factores de escala horizontal vertical Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano, en que la diferencia de las distancias, d 1 d,a dos puntos fijos, F 1 F, es siempre una constante, d. Esto es, d 1 d d, ó F 1 P F P d. Los dos puntos fijos, F 1 F, se llaman focos. Los puntos en que las dos ramas de la hipérbola están más cerca entre sí se llaman los vértices. El centro de una hipérbola es el punto medio entre los vértices. d F 1 d d 1 1 P P Vértice Centro d d Vértice P d F Observa que la diferencia constante, d, es igual a la distancia entre los vértices. La distancia desde P a F 1 es d 1. F 1 d 1 P La distancia desde P a F es d. d d d 1 La distancia entre los vértices es igual a la diferencia constante d d 1. F Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

12 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 14 Lección 9.4 Hipérbolas (continuación) En el Ejemplo A en tu libro, se deriva la ecuación 1 de la hipérbola unitaria. Lee ese ejemplo con atención, siguiéndolo con papel lápiz. 4 (, ) (, 0) (, 0) Cada rama de una hipérbola se aproima a dos rectas llamadas asíntotas (asmptotes). Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica se aproima cuando aumentan los valores ó en dirección positiva o negativa. Las asíntotas de la hipérbola unitaria son. Observa que estas asíntotas pasan por los vértices de un cuadrado con esquinas en (1, 1), (1, ), (1, 1), (1, 1). La gráfica de 1 también es una hipérbola. Esta hipérbola tiene la misma forma que la gráfica de 1, pero se orienta verticalmente. La forma estandar de la ecuación de una hipérbola centrada en el origen es a b 1 ó b a 1 donde a es el factor de escala horizontal b es el factor de escala vertical. El Ejemplo B en tu libro muestra cómo graficar una hipérbola, trazando primero sus asíntotas. Lee este ejemplo atentamente. Los focos de una hipérbola están a la misma distancia del centro que los vértices del rectángulo de asíntotas. En el diagrama siguiente, esta distancia es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes a b. Puedes usar la fórmula pitagórica, a b c, para localizar los focos. A continuación ha un ejemplo. (0, 5) b 5 5 (0, 5) a c EJEMPLO Traza la gráfica de 1 da las coordenadas de los focos. Solución De la ecuación, puedes ver que se trata de una hipérbola con orientación horizontal un factor de escala horizontal de. Empieza por dibujar las asíntotas. Para hacerlo, traza un rectángulo centrado en el origen que mida, ó 4 unidades horizontalmente 1, ó unidades verticalmente, después traza unas rectas que pasen por los vértices opuestos. O usa las ecuaciones de las asíntotas, 1. Los vértices de la hipérbola se encuentran en (, 0) (, 0). Usa esta información para trazar la hipérbola. Para localizar los focos, usa la relación a b c. En este caso, a b 1, de modo que c 1 5. Así pues, los focos se encuentran a 5 unidades del centro en 5, 0 5, 0, o aproimadamente (.4, 0) (.4, 0) _ 1_ 14 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

13 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 143 Lección 9.4 Hipérbolas (continuación) Investigación: De paso Lee la investigación en tu libro, asegúrate de entender el procedimiento. Aquí se ofrece una muestra de datos. Completa la investigación usando estos datos después compara tus respuestas con las siguientes. Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) Paso 1 Aquí se presenta una gráfica de los datos: [0, 7.4, 1, 0, 5, 1] Paso Las asíntotas 1.3( 3.8) 1.3( 3.8) funcionan bien. [0, 7.4, 1, 0, 5, 1] b Las asíntotas tienen pendientes de a, de modo que b a 1.3. El centro de la hipérbola es (3.8, 0), según la muestra de datos, el vértice se ubica en aproimadamente (3.8, 0.9). Entonces el valor b, el estiramiento vertical, es 0.9, el valor a es , 3 ó aproimadamente 0.7. La ecuación de la hipérbola es, por tanto, Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

14 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 144 Lección 9.4 Hipérbolas (continuación) Paso 3 Las distancias desde el centro a los focos se determinan por c,de modo que c 1.14, los focos son (3.8, 1.14) (3.8, 1.14). El cálculo de d d 1 para dos puntos diferentes da aproimadamente 1.80 unidades. Las diferencias en las distancias son iguales. Ésta es la definición como lugar geométrico de una hipérbola. 4 d 1 d 1 d d En el teto en el recuadro Equation of a Hperbola (la ecuación de una hipérbola) en la página 518 de tu libro, se dan las ecuaciones estandar paramétrica de una hipérbola. Verás cómo derivar las ecuaciones paramétricas en los ejercicios. El Ejemplo C en tu libro te pide escribir una ecuación para una parábola dada. Intenta hacerlo por tu cuenta, antes de leer la solución. (Sugerencia: Necesitarás escribir una ecuación que contenga b después usar un punto de la curva para resolver para b.) 144 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

15 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 145 LECCIÓN CONDENSADA 9.5 La cuadrática general En esta lección Convertirás ecuaciones cuadráticas de la forma general a la forma estándar Resolverás unas ecuaciones cuadráticas para de modo que puedan graficarse en una calculadora Encontrarás todas las maneras posibles en que dos secciones cónicas pueden intersecarse Encontrarás los puntos de intersección de dos secciones cónicas Círculos, parábolas, elipses, e hipérbolas se llaman curvas cuadráticas, o curvas de segundo grado, porque la potencia más alta en cualquier variable de sus ecuaciones es. Las ecuaciones de cualquiera de estas curvas pueden escribirse en la forma cuadrática general A B C D E F 0 donde A, B, C no son todas cero. En todas las curvas que has visto hasta ahora en este capítulo, B es igual a0(es decir, no ha término ). Si B no es igual a 0, la curva está rotada (su orientación no es ni horizontal ni vertical). Para graficar a mano una ecuación cuadrática dada en forma general, resulta útil escribirla primero en su forma estándar. Y, para graficar la ecuación en tu calculadora, primero debes resolverla para. En esta lección practicarás la conversión de las ecuaciones cuadráticas generales a estas formas. Lee Ejemplo A en tu libro. La ecuación es relativamente fácil de trabajar porque no tiene términos en,, o. Si una ecuación tiene estos términos, entonces debes usar el proceso de completar el cuadrado para reescribirla en su forma estandar. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. Lee ese ejemplo, después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO A Describe la gráfica determinada por la ecuación Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

16 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 146 Lección 9.5 La cuadrática general (continuación) Solución Completa el cuadrado para convertir la ecuación a su forma estandar Ecuación original. Agrupa los términos los términos, pasa las constantes al otro lado Factoriza los coeficientes de de (9) 4(4) Completa el cuadrado para. Suma los mismos valores al lado derecho de la ecuación. 5( 3) 4( ) 100 Escribe la ecuación en forma de cuadrado perfecto. ( 3) 4 ( ) 5 1 Divide ambos lados entre Escribe la ecuación en forma estándar. La ecuación es la de una hipérbola con orientación horizontal el centro en (3, ), el factor de escala horizontal, el factor de escala vertical 5. En el ejemplo anterior, antes de que convirtieras la ecuación a su forma estándar, pudiste haber usado indicios de la forma general de la ecuación para predecir que la gráfica sería una hipérbola. Debido a que la ecuación tiene tanto un término como un término, la gráfica debe ser una elipse, una hipérbola, o un círculo. El coeficiente de es positivo el de es negativo, de modo que la gráfica es una hipérbola. La ecuación en el Ejemplo C en tu libro tiene un término,pero no tiene un término. Esto indica que su gráfica es una parábola. Lee Ejemplo C atentamente. El Ejemplo D te muestra cómo usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación del Ejemplo C para. Trabaja el Ejemplo D con papel lápiz. Investigación: Sistemas de ecuaciones cónicas Eisten cuatro secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas. Los diagramas en la página 59 de tu libro muestran que una elipse una hipérbola se pueden intersecar en 0, 1,, 3, ó 4 puntos. Eisten otras nueve pares posibles de dos secciones cónicas: Elipse elipse Elipse parábola Elipse círculo Parábola parábola Parábola e hipérbola Parábola círculo Hipérbola e hipérbola Hipérbola círculo Círculo círculo 146 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

17 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 147 Lección 9.5 La cuadrática general (continuación) Para cada par, considera todos los números posibles de puntos de intersección, haz un dibujo de cada posibilidad. Cuando haas terminado, compara tus respuestas con las siguientes. Círculo círculo: 0, 1,, número infinito Elipse elipse: 0, 1,, 3, 4, número infinito Parábola parábola: 0, 1,, 3, 4, número infinito Hipérbola e hipérbola: 0, 1,, 3, 4, número infinito Todas las demás combinaciones: 0, 1,, 3, ó 4 Para hallar los puntos donde se intersecan dos secciones cónicas, primero grafica las curvas para ver el número de puntos de intersección su ubicación aproimada. Después, usa el álgebra para hallar los puntos eactos de intersección. Esta técnica se ilustra en el Ejemplo E en tu libro. A continuación se presenta otro ejemplo. Necesitarás determinar algunos detalles de la solución por tu propia cuenta. EJEMPLO B Encuentra los puntos de intersección de 9 1 ( ) 1. Solución Al resolver ambas ecuaciones para, se obtiene (Asegúrate de verificar este resultado.) Al graficar las ecuaciones se muestra que ha tres puntos de intersección. Uno parece ser (0, 3). Al rastrear la gráfica, puedes encontrar que los otros dos puntos son aproimadamente (0.96, 0.6) (0.96, 0.6). [5, 5, 1, 5, 5, 1] Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica, resuelve la primera ecuación para obtén 1 9, después sustitue por 1 9 en la segunda ecuación. ( ) 1 Segunda ecuación original. ( ) Sustitue por ( ) Desarrolla el binomio al cuadrado. Combina términos semejantes. Usa la fórmula cuadrática. 0.6 ó 3 Evalúa. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

18 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 148 Lección 9.5 La cuadrática general (continuación) Para hallar los valores correspondientes de, sustitue ambos valores en 1 9,que se obtiene de la primera ecuación. 1 (0.6) ( 3) 9 0 Los puntos de intersección son aproimadamente (0.980, 0.6), (0.980, 0.6), (0, 3). 148 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

19 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 149 LECCIÓN CONDENSADA 9.6 Introducción a las funciones racionales En esta lección Modelarás unos datos reales con una función racional Eaminarás transformaciones de f() 1, la función madre de la curva de variación inversa Reescribirás unas ecuaciones de funciones racionales para ver cómo se relacionan con 1 Escribirás una ecuación para la gráfica de una función racional Usarás epresiones racionales para resolver un problema que implica soluciones ácidas En la investigación, verás cómo la longitud de un poste se relaciona con el peso que puede soportar. Antes de hacer la investigación, le la introducción en la página 536 de tu libro observa las curvas A, B, C. Qué curva crees que se asemeje más a la relación entre la longitud del poste la masa de ruptura ; es decir, la masa mínima que ocasionará que el poste se rompa? Investigación: El punto de ruptura Lee la lista de materiales, Procedure Note, el Paso 1 de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, registra de 10 a 15 valores por tu cuenta usa tus datos para completar la investigación. Si no tienes los materiales, usa esta muestra de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra de datos. Paso Parece que la gráfica no es lineal. Es una curva que disminue rápidamente al principio, después con más lentitud. [0, 17, 1, 0, 17, 1] Paso 3 Una posible ecuación es 9 0. Masa (número Longitud (cm) de monedas) Masa (número Longitud (cm) de monedas) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

20 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 150 Lección 9.6 Introducción a las funciones racionales (continuación) La relación entre longitud masa en la investigación es una variación inversa. La función madre para una curva de variación inversa es f() 1. Esta es la función racional más sencilla. Una función racional es cualquier función que se puede escribir de la forma f() p ( ) q(, ) donde p() q() son polinomios el grado de q() es 1omaor. Observa que la gráfica de 1,que se muestra aquí, es una hipérbola rotada 45 con los vértices (1, 1) (1, 1). Los ejes son las asíntotas. La función no tiene valor en 0 porque es indefinido. A medida que los valores se acercan a cero, desde la izquierda, los valores se vuelven cada vez más negativos. A medida que los valores se aproiman a cero, desde la derecha, los valores se vuelven cada vez más positivos. A medida que los 5 5 valores se acercan a los valores etremos, tanto en la izquierda como en la derecha, la gráfica se aproima al eje horizontal. Las características de la gráfica de 1 se describen con más detalle en la página 538 de tu libro. 5 Las funciones como 1 4, 1, 1 1 son funciones racionales transformadas. Usa tu calculadora para eperimentar con diferentes transformaciones de 1. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo una función racional puede reescribirse de modo que quede claro cómo se relaciona con la función madre, 1.Lee ese ejemplo, después intenta resolver el problema en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 11 Describe la función 3 3 como una transformación de la función madre, 1.Después dibuja la gráfica. Solución Debido a que el denominador es ( 3), intenta obtener la epresión ( 3) también en el numerador Ecuación original. 3( 3) Reescribe el numerador de modo que inclua ( 3). 3 3( 3) Separa la epresión en dos fracciones con el mismo denominador. Reescribe 3( 3) 3 como 3. 7 La función madre ha sido estirada verticalmente por un factor de, después trasladada hacia la izquierda 3 unidades hacia arriba otras 3 unidades. Las asíntotas han sido trasladadas también. La asíntota vertical ha sido trasladada hacia la izquierda 3 unidades a 3, la asíntota horizontal ha sido trasladada hacia arriba 3 unidades a CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

21 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 151 Lección 9.6 Introducción a las funciones racionales (continuación) Supón que tienes la gráfica de una función racional transformada que debes encontrar su ecuación. Puedes identificar las traslaciones si miras la ubicación de las asíntotas: Una asíntota horizontal de k indica una traslación vertical de k unidades, una asíntota vertical de h indica una traslación horizontal de h unidades. Para identificar los factores de estiramiento, escoge un punto, como un vértice, cuas coordenadas conocerías después de la traslación. Después encuentra un punto en la gráfica estirada que tenga la misma coordenada. La razón entre las distancias verticales desde las asíntotas a estos dos puntos es el factor de escala vertical. A continuación se ofrece un ejemplo. Encontrarás otro ejemplo en la página 539 de tu libro Una función racional no estirada con estas translaciones tendría vértices (4, ) (, 4), 1 unidad horizontal 1 undiad vertical del centro. Como la distancia ahora es unidades verticales del centro, inclue un estiramiento vertical de para obtener la ecuación 3 3 El problema en el Ejemplo B en tu libro usa epresiones racionales para modelar una situación que implica una solución ácida. Trabaja el ejemplo meticulosamente. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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23 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 153 LECCIÓN CONDENSADA 9.7 Gráficas de funciones racionales En esta lección Predecirás huecos asíntotas en la gráfica de una función racional, basada en su ecuación Escribirás unas ecuaciones para las gráficas de funciones racionales Convertirás unas funciones racionales de una forma a otra Las gráficas de funciones racionales tienen una variedad de formas. En la introducción a la lección en tu libro, se muestran algunos ejemplos. Observa que las gráficas tienen asíntotas o huecos en valores donde las funciones son indefinidas. En esta lección, verás cómo puedes predecir asíntotas, huecos, otras características de una gráfica basada en su ecuación. Investigación: Predicción de asíntotas huecos Completa el Paso 1 en tu libro, después compara tus resultados con los siguientes. a. B. La gráfica tiene una asíntota vertical en, que es el valor que hace que el denominador sea 0. A medida que se acerca a desde la izquierda, los valores se vuelven números negativos cada vez más grandes. A medida que se acerca a desde la derecha, los valores se vuelven números positivos cada vez más grandes. b. D. La gráfica tiene un hueco en, que es el valor que hace que tanto el numerador como el denominador sean 0. Para cualquier valor, ecepto, la función se reduce a 1, lo que hace que la gráfica se parece a la de 1 en todos los puntos menos ése. c. A. La gráfica tiene una asíntota vertical en, que es el valor que hace que el denominador sea 0. A medida que se acerca a desde cualquier lado, los valores se vuelven números positivos cada vez más grandes. d. C. La gráfica tiene un hueco en, que es el valor que hace que tanto el numerador como el denominador sea 0. Para cualquier valor, ecepto, la función se reduce a, lo que hace que la gráfica se parece a la de en todos los puntos menos es ése. Ahora, usa lo que aprendiste en el Paso 1 para completar los Pasos 3. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso 1 a.. 1 Ésta es la gráfica de 1 trasladada 1 unidad hacia la izquierda (de modo que la asíntota vertical de 1,a saber, el eje, ha sido trasladada 1 unidad hacia la izquierda, a 1). b. ( 1). 1 La función es indefinida en 1, pero se reduce a para todos los demás valores. Por tanto, la gráfica se parece a la gráfica de, con un hueco en 1. 1 c. (. La función es indefinida en 1. A medida que los valores 1) se acercan a 1 desde cualquier dirección, ( 1) se vuelve un número 1 positivo cada vez más pequeño, de modo que ( se vuelve un número 1) positivo cada vez más grande. Entonces, 1 es una asíntota. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

24 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 154 Lección 9.7 Gráficas de funciones racionales (continuación) 1 ) d. (. 1 La función es indefinida en 1, pero se reduce a 1 para los demás valores. Por tanto, la gráfica se parece a la gráfica de 1, con un hueco en 1. Paso 3 Las asíntotas verticales se presentan en ceros que aparecen solamente en el denominador, o en ceros que aparecen más en el denominador que en el numerador. Si se presenta una asíntota en a, entonces la ecuación tendrá ( a) como un factor de su denominador. Los huecos se presentan en los valores que convierten en 0 tanto el numerador como el denominador, a condición que no haa asíntota vertical en esos valores. Para escribir una ecuación de una gráfica con un hueco en a, imagina que la gráfica no tiene huecos escribe su ecuación. Después multiplica el resultado por a. a Paso 4 La gráfica tiene una asíntota vertical. Cuando se presenta un factor tanto en el numerador como el denominador, pero se presenta más veces en el denominador, esto indica que ha una asíntota vertical en lugar de un hueco. Piensa bien sobre cómo se vería la gráfica de 1.Después lee el Ejemplo A en tu libro. En el Ejemplo B se muestra cómo la factorización del numerador del denominador de una función racional puede audarte a determinar las características de su gráfica. Lee dicho ejemplo, después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Describe las características de la gráfica de ) ( 3) Solución Si se factorizan el numerador el denomimador, se obtiene ( ( ). ( 3) Eiste un hueco en 3 porque es un cero que ocurre con la misma frecuencia tanto en el numerador como en el denominador. Si, el denominador (pero no el numerador) es 0, entonces eiste una asíntota vertical en. Si, el numerador (pero no el denominador) es 0, entonces eiste una intersección en. Si 0, entonces 1. Ésta es la intersección. Para encontrar las asíntotas horizontales, considera lo que sucede a los valores cuando los valores se alejan de En la tabla se muestra que los valores se acercan cada vez más a 1 a medida que se aleja de 0. Así que 1 es una asíntota horizontal. La gráfica de la función confirma estas características El Ejemplo C en tu libro muestra cómo convertir una función de una forma que muestra las transformacones de 1 a una forma de función racional. Lee este ejemplo atentamente. 154 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

25 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 155 LECCIÓN CONDENSADA 9.8 Operaciones con epresiones racionales En esta lección Harás operaciones con epresiones racionales Hacer operaciones con epresiones racionales es mu parecido a hacer operaciones con fracciones de números enteros. Por ejemplo, para sumar o restar dos epresiones racionales, primero debes reescribir las epresiones de modo que tengan un denominador común. Para repasar la suma de fracciones, lee el teto en la página 551 de tu libro. Lee el Ejemplo A después suma las epresiones racionales en el ejemplo siguiente. Después de que haas encontrado la suma, compara tu trabajo con la solución. EJEMPLO A Suma las epresiones racionales para reescribir el lado derecho de la ecuación como una sola epresión racional en forma factorizada. 7 5 ( 4) ( 3) 3 Solución El mínimo denominador común es ( 4)( 3). 7 5 ( 4) ( 3) ( 4) ( 3) 3 ( ( 4) 4) Ecuación original. Multiplica la segunda fracción por un denominador común. 4 4 para obtener Multiplica el numerador de la segunda fracción. ( 4) ( 3) ( 3) ( 4) 3 13 ( 3) ( 4) Suma los numeradores. El numerador no se puede factorizar. Para restar las epresiones racionales, también debes encontrar un denominador común. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. En dicho ejemplo también se muestra que cuando epresas una función racional como una sola epresión racional en forma factorizada, puedes identificar las intersecciones, las asíntotas, los huecos. El teto entre los Ejemplos B C en tu libro repasa cómo multiplicar dividir las fracciones. Lee ese teto si es necesario. Se utiliza el mismo procedimiento para multiplicar dividir las epresiones racionales. Cuando multiplicas o divides las epresiones racionales, primero factoriza todas las epresiones. Esto facilitará la reducción de los factores comunes la identificación de las características de la gráfica. Lee el Ejemplo C el teto que le sigue. Después encuentra el producto en el ejemplo siguiente. Después de que haas encontrado el producto, compara los resultados con la solución. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

26 DAACLS_678_09.qd 4/16/04 10:36 AM Page 156 Lección 9.8 Operaciones con epresiones racionales (continuación) EJEMPLO B Multiplica Solución ( ( 6) ( 1) 6) ( 1) ( 1) Factoriza todas las epresiones que puedas. ( 1) ( 6)( 1)( 1) ( 6)( 1)( 1) ( 6)( 1)( 1) ( 6)( 1)( 1) Combina las dos epresiones. Reduce los factores comunes. Reescribe. Observa que las gráficas de ( ( iguales, ecepto en que la gráfica de ( ( 6) ( 1) 6) ( 1) ( 1) ( 1) 6) ( 1) 6) ( 1) ( 1) ( 1) de se verán en 6, 1, 1. Lee el Ejemplo D en tu libro, después encuentra el cociente del ejemplo siguiente. 8 9 EJEMPLO C Divide tendrá huecos Solución Invierte la fracción en el denominador multiplica. ( 9)( ( 1) ) ( 9) ( ) ( Factoriza todas las epresiones. 3) ( 1) ( 9)( 1)( 9)( ) ( )( 3)( 1) ( 9)( 9) ( 3) Multiplica. Reduce todos los factores comunes. Puedes verificar tu respuesta, comparando las gráficas de 8 9 ( 9)( 9) 3 ( 3) 7 18 Las gráficas deben ser idénticas, ecepto los huecos. 156 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press