Definición de funciones circulares

Transcripción

1 LECCIÓN CONDENSADA 3. Definición de funciones circulares En esta lección aprenderás cómo se definen las funciones circulares cos e sin hallarás el dominio, el rango el periodo de cos e sin hallarás valores de seno de coseno usando los ángulos de referencia Muchos fenómenos, incluendo las mareas el movimiento de un caballo en un carrusel, siguen patrones repetitivos, o cíclicos. Puedes usar las funciones seno coseno para modelar estos fenómenos. Investigación: Rueda de paletas Resuelve la investigación en tu libro después compara tus resultados con los siguientes. Paso Una rotación es de 360, por lo tanto la rana gira 360 en 6 minutos, ó 60 por minuto. Esto es por segundo. Paso Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados. Paso 3 Puedes hallar los valores e de cualquier punto al recorrer la gráfica o al sustituir los valores de t en las ecuaciones para e. Las coordenadas del punto donde llega el sapo en un tiempo t son (cos t, sin t). Coseno seno podrían ser nombres más adecuados para hpos vpos. Paso Los valores e se repiten después de 360. Los valores e son cíclicos. Los valores en grados de e en el Cuadrante I son positivos. En el Cuadrante II, los valores son negativos los valores son positivos. En el Cuadrante III, los valores e son negativos. En el Cuadrante IV, los valores son positivos los valores son negativos. El emparejamiento de los valores e es siempre igual: es decir, siempre se empareja con 0.5, así sucesivamente. Paso 5 a. El patrón se repite cada 360 (ó 360 s). Dado que 5 3(360 ) 35, la ubicación de la rana en 5 s es la misma que su ubicación en 35 s, la cual es (0.707, 0.707). La rana también está en esta ubicación en , ó 95 s, en (360) 35, ó 855 s. b. La tabla muestra que la rana está a una altura de 0.5 m a los 0 s a los 330 s. Debido al patrón cíclico, la rana también está a esta altura en estos tiempos, más los múltiplos de 360 s. Para las primeras tres rotaciones, estos tiempos son 0 s, 330 s, 570 s, 690 s, 930 s 050 s. c., Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 Lección 3. Definición de funciones circulares (continuación) Paso 6 Las siguientes son gráficas de dispersión de (tiempo, hpos) (tiempo, vpos). A los 0 segundos la rana está en (, 0), por lo tanto, la gráfica hpos empieza en (0, ), mientras que la gráfica vpos empieza en (0, 0). Ambas gráficas pasan por un ciclo completo regresan al mismo punto de partida luego de 360 segundos, o 360 alrededor del círculo. Las gráficas parecen ser traslaciones la una de la otra. Para hallar la posición de la rana en el tiempo t, resta a t los múltiplos de 360 hasta que el resultado esté entre 0 360, después halla el valor en cada gráfica. La posición de la rana es (hpos, vpos), o (cos t, sin t). En ocasiones, las funciones del coseno el seno son llamadas funciones circulares porque sus valores se repiten con cada rotación alrededor de un círculo. Así como lo aprendiste en lecciones anteriores, un círculo con un radio de unidad, centrado en el origen, se llama círculo unitario. Usando el círculo unitario en la investigación, descubriste que los valores de las funciones seno coseno se repiten en un patrón regular. Cuando los valores de salida de una función se repiten en un patrón regular, la función es periódica. El periodo de una función es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo empiece a repetirse. Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra que la función coseno tiene un periodo de 360. Después lee el teto entre los Ejemplos A B que demuestra que la función seno también tiene un periodo de 360. Observa el diagrama en la página 738 atentamente. Asegúrate de que entiendes el significado de posición estándar, lado terminal ángulo de referencia. Lee el Ejemplo B atentamente después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Halla el valor del coseno o seno para cada ángulo. a. cos 5 b. sin 90 Solución Para cada ángulo en las partes a b, rota el punto (, 0) en el sentido opuesto a las manecillas del reloj sobre el origen. Dibuja una semirrecta desde el origen hacia el punto de la imagen que será el lado terminal. Traza una línea perpendicular desde el punto de la imagen hasta el eje para crear un triángulo de referencia después identifica el ángulo de referencia. 9 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

3 Lección 3. Definición de funciones circulares (continuación) a. Para 5, el ángulo de referencia mide 5. Los valores en el Cuadrante III son negativos, por lo tanto cos 5 cos 5. Usando tus conocimientos de la razón entre las longitudes laterales en un triángulo de ángulos el dato de que la hipotenusa del triángulo es, puedes hallar que la longitud de ambos catetos es de, ó. Por lo tanto las coordenadas del punto son, el coseno del ángulo es b. Dado que la medida del ángulo 90 es negativa, rota el punto 90 en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo de referencia mide 70. Dado que las coordenadas de los puntos del Cuadrante I son positivas, entonces sin 90 sin Los ángulos en posición estándar son coterminales si comparten el mismo lado terminal. Por ejemplo, los ángulos que miden 70, son coterminales. A menudo las letras griegas como (theta) (alfa) se usan para representar medidas de ángulos. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

4 LECCIÓN CONDENSADA 3. Medición en radianes En esta lección calcularás longitudes de arcos convertirás las mediciones angulares de grados a radianes hallarás el área de un sector de un círculo calcularás la velocidad angular de un objeto que sigue una traectoria circular Hasta ahora, has trabajado con ángulos medidos en grados. En esta lección aprenderás una medición de ángulo diferente llamada radián. Antes de comenzar a resolver la investigación, puedes repasar las fórmulas para las medidas las longitudes de arcos analizando la lección Refreshing Your Skills (Repasar tus habilidades) para el Capítulo 3 en tu libro. Investigación: Transportador en radianes Usa el semicírculo de la derecha para completar los Pasos por tu cuenta. Después analiza el resto de la investigación compara tus resultados con los siguientes para los Pasos 5 7. Paso 5 Si el radio del círculo es r, entonces la circunferencia es r unidades. Por lo tanto la mitad del círculo tiene una longitud de r unidades. Es decir, radianes. Paso 6 Dado que un ángulo recto intercepta un cuarto del círculo, la longitud del arco interceptado sería la mitad de la longitud de un semicírculo, ó r. Es decir, radianes. Paso 7 Usando el mismo razonamiento de los Pasos 5 6, puedes hallar los valores radianes para los ángulos comunes. 30 radianes 5 radianes 60 radianes radianes 35 3 radianes radianes Asegúrate de marcar todo en tu transportador en radianes. Debes tener marcas rotuladas 0, 0.5, 6,,, 3,.5,,, 3 3, 5,.5, 6, 3,, en el sentido contrario a las manecillas del reloj Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

5 Lección 3. Medición en radianes (continuación) En la investigación descubriste que un círculo completo, o una revolución, mide radianes, por lo tanto medio círculo, o media revolución, mide radianes, un cuarto de revolución mide radianes, así sucesivamente. Puedes escribir proporciones para epresar estas relaciones equivalentes. ángulo en grados 360 ángulo en radianes ángulo en grados 80 ángulo en radianes Resolver cualquiera de estas proporciones para el ángulo en grados o el ángulo en radianes te dará una fórmula que puedes usar para convertir grados en radianes, o viceversa. Observa que no es necesario rotular las medidas en radianes con unidades. Para practicar la conversión entre grados radianes, completa las partes a d del Ejemplo A en tu libro. Después compara tus resultados con las soluciones. El teto en la página 76 de tu libro muestra cómo puedes usar el análisis dimensional para convertir grados a radianes. Lee este teto atentamente. La razón entre la longitud del arco la circunferencia es igual a la razón entre la medida del ángulo intersecado la medida de una revolución completa, independientemente de las unidades de medición del ángulo: grados o radianes. s r, ó s r Puedes hallar la longitud de un arco multiplicando el radio por la medida del s ángulo en radianes. Y, dado que s r es equivalente a r, puedes hallar la medida de un ángulo intersecado al dividir la longitud del arco por el radio. Ahora, lee el Ejemplo B, que muestra cómo hallar el área de un sector de un círculo. Éste es otro ejemplo. EJEMPLO El círculo P tiene un radio de cm la medida del ángulo central DPE es 3 radianes. Cuánto mide s, la longitud del arco intersecado DE? Cuánto mide el área del sector sombreado? P Solución Para hallar s, sustitue r cm 3 radianes en la fórmula de la longitud de arco. s r 3 8 cm Para hallar el área del sector, usa este dato: D s cm E A sector A círculo medida del arco intersecado El área del círculo es r, ó. Por lo tanto: A se ct or 3 3 A sector 3 8 El área del sector es 8 cm. Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de que entiendes la definición de velocidad angular. 98 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

6 LECCIÓN CONDENSADA 3.3 Representación de funciones trigonométricas En esta lección hallarás ecuaciones para sinusoides identificarás la amplitud, el periodo la desviación de fase de un sinusoide modelarás datos reales con una función sinusoidal hallarás ecuaciones para transformaciones de la función tangente Las gráficas de sin e cos, sus transformaciones se llaman ondas sinusoidales o sinusoides. El Ejemplo A en tu libro muestra que transformar sin es mu similar a transformar cualquier otra función. Lee ese ejemplo atentamente. La amplitud de un sinusoide es la mitad de la diferencia de los valores máimo mínimo de la función. Esto es igual al valor absoluto del factor de escala vertical, o b. La traslación horizontal de una gráfica de seno o coseno se llama desviación de fase (phase shift). En el Ejemplo A, la función 3 sin( ) tiene una amplitud de una desviación de fase de. Para practicar transformaciones de la gráfica coseno, resuelve el siguiente ejemplo. EJEMPLO La gráfica de un ciclo (0 ) de cos está a continuación. Dibuja la gráfica de un ciclo de 3 cos. Da la amplitud, el periodo la desviación de fase de la función transformada. _ 3 Solución El coeficiente 3 significa que la gráfica de cos está dilatada verticalmente por un factor de 3. La gráfica también está trasladada unidades hacia la izquierda unidad hacia abajo. Escoge algunos puntos de la gráfica original para ver cómo se transforman. Los interceptos,, 0 3, 0, no están afectados por la dilatación vertical, dado que 3 0 = 0. Ahora, haz la traslación. La imagen de, 0 después de una traslación hacia la izquierda unidades unidad hacia abajo es (0, ) la imagen de 3, 0 es (, ). Ahora, considera un punto bajo de la gráfica original, digamos (,). La dilatación vertical transforma este punto en (, 3). Aplica la traslación para obtener,. Este punto está en la función transformada siguiente. _ _ 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press El periodo de la función transformada es, la amplitud es 3 la desviación de fase es.

7 Lección 3.3 Representación de funciones trigonométricas (continuación) Investigación: El péndulo II Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne tus propios datos ajusta una función seno una función coseno. Si no, puedes usar estos datos. Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) Ésta es una gráfica de los datos: Primero ajusta una función coseno. El máimo valor de la distancia es el mínimo es 0.697, por lo tanto la amplitud de la función es ( ), ó Éste es el factor de escala vertical. Un ciclo completo, de un punto máimo al siguiente, va de 0.0 a.75, así que el periodo es.375. El factor de escala horizontal que dilata a.375 es.375. La función cos tiene un punto máimo en 0. Esta curva tiene un punto máimo en 0.0. Por lo tanto la desviación de fase es 0.0. Para cos, el valor que está en la mitad entre los valores mínimo máimo es 0. Para esta curva, este valor es ( ), ó 0.8. Por consiguiente, la traslación vertical es 0.8. Reuniendo toda esta información, se obtiene la función: 0.03 cos.375 ( 0.) CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

8 Lección 3.3 Representación de funciones trigonométricas (continuación) Una transformación de la función seno tiene los mismos factores de escala desviación vertical, pero la función debe desviarse otro cuarto de ciclo, ó.375. Usando la desviación de fase , la función seno es: 0.03 sin En estas ecuaciones, 0.8 representa la distancia promedio desde el sensor de movimiento hasta la arandela, 0.03 es la distancia desde esta distancia promedio a la distancia mínima o máima, 0. es el número de segundos antes de que la arandela llegue por primera vez a la distancia máima.375 es el número de segundos que le lleva completar un ciclo. Puedes verificar el ajuste con tu calculadora. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en radianes. El Ejemplo B en tu libro da otra situación que puede modelarse con una función sinusoidal. Intenta resolver el problema de ese ejemplo antes de leer la solución. Hasta ahora, en este capítulo, has trabajado principalmente con senos cosenos. La tangente del ángulo A es la razón entre la coordenada la coordenada de un punto rotado A (o A radianes) en sentido opuesto a las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje. coordenada tan A c oordenada (, ) coordenada A coordenada Ésta es la gráfica de la función tan. 6 _ 3 6 Observa que tan A es indefinida para los puntos del círculo cua coordenada es cero. La gráfica muestra esto mediante las asíntotas verticales en,, 3, así sucesivamente. El Ejemplo C en tu libro halla la ecuación de una transformación de tan. Lee ese ejemplo atentamente. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

9 LECCIÓN CONDENSADA 3. Inversos de funciones trigonométricas En esta lección trazarás eaminarás gráficas de los inversos de sin de cos definirás las funciones sin e cos mediante la restricción de los rangos de sin, de cos resolverás ecuaciones que implican funciones trigonométricas Las funciones seno, coseno tangente tienen valores que se repiten. Por lo tanto, si quieres hallar un ángulo cuo coseno es 0.75, habrá muchas respuestas. Por esta razón, usar una función inversa en tu calculadora no siempre te dará el ángulo que buscas. Esto se ilustra en el Ejemplo A de tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. En capítulos anteriores viste que el inverso de una relación se halla al intercambiar las coordenadas e para todos los puntos. Una gráfica su inverso son refleiones una de otra con respecto a la recta. La página 769 en tu libro muestra las gráficas de la función eponencial b su inverso, b ó log b, de la ecuación su inverso,. En el caso de b, el inverso es una función. En el caso de, no lo es. En la investigación, eplorarás los inversos de las funciones trigonométricas. Investigación: Eploración de los inversos Completa la investigación en tu libro después compara tus resultados con los siguientes. Pasos A continuación están las gráficas de sin de sin La gráfica de sin no es una función porque eiste más de un valor para cada valor. Se ha sombreado la parte de la gráfica entre e. Esta porción de la gráfica es una función porque ha eactamente un valor para cada valor. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

10 Lección 3. Inversos de funciones trigonométricas (continuación) Paso 5 A continuación están las gráficas de cos cos. Cualquier intervalo de la forma n (n ), donde n es un entero, contiene una parte de la gráfica de cos que es una función. Una posibilidad es La función sin es la parte de la gráfica de sin correspondiente al intervalo. (Ésta es la parte sombreada en la investigación). Del mismo modo, la función cos es la porción de la gráfica de cos correspondiente al intervalo 0. Al restringir el intervalo, se garantiza que haa un valor para cada valor. Por lo tanto, aunque, por ejemplo, la ecuación sin 0.5 tiene un número infinito de soluciones, la ecuación sin (0.5) tiene una sola solución: 6. El valor 6 se llama valor principal de sin (0.5). El Ejemplo B en tu libro muestra cómo resolver una ecuación que implica una función trigonométrica. Resuelve el ejemplo usando papel lápiz. Después verifica que entiendes las ideas resolviendo el problema del siguiente ejemplo. EJEMPLO Solución Halla los primeros cuatro valores positivos de para los cuales sin 3. En la gráfica, esto es equivalente a hallar las primeras cuatro intersecciones positivas de sin e 3. Puedes hallar las siguientes intersecciones aproimadas trazando la gráfica. (.89, 3) (8.378, 3) (6.755, 3) (0.9, 3) CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

11 Lección 3. Inversos de funciones trigonométricas (continuación) Hallarás una solución resolviendo la ecuación de manera simbólica. sin 3 sin sin sin sin El círculo unitario muestra que sin 6. Recuerda, la función sin tiene un rango de Por lo tanto, una solución es 6 3. Sin embargo, estás buscando soluciones positivas. Debido a que el periodo de sin es, 3, ó 8 3, es una solución. Esto es aproimadamente 8.378, que corresponde a la segunda solución positiva en la gráfica. Puedes usar la simetría de la gráfica para hallar la primera solución positiva. La primera solución positiva está a la misma distancia de que la segunda solución, 8 3. Esta distancia es 3. Por lo tanto, 3, ó 3, también es una solución. Esto es aproimadamente.89. Usando el dato de que el periodo es, las siguientes dos soluciones son: Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

12 LECCIÓN CONDENSADA 3.5 Modelación con ecuaciones trigonométricas En esta lección interpretarás ecuaciones trigonométricas que modelan situaciones reales escribirás ecuaciones trigonométricas para modelar situaciones reales hallarás frecuencias de funciones periódicas El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la altura del agua en la boca de un río se puede modelar con una ecuación trigonométrica. Analiza el ejemplo atentamente. Asegúrate de que entiendas cómo los números en la ecuación corresponden a la situación real. Cuando la variable independiente es el tiempo, el periodo de una función es el tiempo que le lleva a la función completar un ciclo. La frecuencia de una función es el recíproco del periodo. Es el número de ciclos completados en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si una onda tiene un periodo de 0. segundos, entonces tiene una frecuencia de 0 ciclos por segundo. Investigación: Un muelle en movimiento Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne los datos completa los pasos de la investigación. Si no lo tienes, completa los pasos usando estos datos de muestra. Los siguientes resultados se basan en los datos de muestra. Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

13 Lección 3.5 Modelación con ecuaciones trigonométricas (continuación) Paso Ésta es una gráfica de los datos: El máimo promedio es 0.78 el mínimo promedio es 0.575, por lo tanto la amplitud es El valor promedio, que es la traslación vertical, es Los mínimos están en 0, ,.680, , a intervalos de 0.806, entonces el periodo es s. La frecuencia es entonces 0.806, ó.0 ciclos por segundo. El primer máimo está en t 0.3, por lo tanto si escoges una función coseno, deberá tener una desviación de fase de 0.3. (t Paso 3 h cos 0.3) Una gráfica de la curva con los datos muestra un buen ajuste. Paso a. La altura promedio del muelle es 0.65 m. La distancia hacia arriba hacia abajo en la que el muelle se desplaza desde la altura promedio es m. El tiempo que le lleva completar un ciclo es s. El tiempo en el que se presenta el primer máimo es 0.3 s. b. Si alejaras el sensor m, la traslación vertical aumentaría en. Todos los demás valores permanecerían iguales. c. Si jalaras el muelle más abajo, la amplitud aumentaría. El periodo también podría cambiar. El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que se puede modelar mediante una función periódica. Resuelve el ejemplo usando papel lápiz. El siguiente ejemplo corresponde al Ejercicio 8a en tu libro. Intenta escribir la ecuación sin mirar la solución. EJEMPLO Solución El tiempo entre la marea alta la baja en el puerto de un río es aproimadamente 7 h. La marea alta con una profundidad de 6 pies se presenta al mediodía la profundidad promedio del puerto es de pies. Escribe una ecuación que modele esta relación. La marea completa medio ciclo en 7 h, por lo tanto el periodo es de h. El factor de escala horizontal que dilata a es 7. La profundidad promedio,, es la traslación vertical. La amplitud es 5, resultante de la diferencia entre la profundidad de la marea alta la profundidad promedio. Si supones que t 0 corresponde al mediodía, entonces la función empieza en un punto máimo. Por lo tanto si utilizas la función coseno, no ha desviación de fase. La ecuación es: d 5 cos t 7 08 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

14 LECCIÓN CONDENSADA 3.6 Identidades trigonométricas fundamentales En esta lección definirás funciones cotangente, secante cosecante aplicarás identidades recíprocas las usarás para comprobar otras identidades trigonométricas derivarás comprobarás tres identidades pitagóricas Una identidad es una ecuación cierta para todos los valores para los cuales se definan las epresiones. Por ejemplo, sin A cos A es una identidad porque es cierta sin importar el valor con el que sustitues a A. Lee la introducción de la sina lección en tu libro que muestra que tan A c os A es una identidad. Los recíprocos de las funciones tangente, coseno seno también son funciones trigonométricas. El recíproco de la tangente es la cotangente, abreviada como cot. El recíproco del coseno es la secante, abreviada como sec. El recíproco del seno es la cosecante, abreviada como csc. Estas definiciones conducen a las siguientes seis identidades recíprocas. cot A tan A sec A co s A csc A sin A tan A co t A cos A sec A sin A csc A Tu calculadora puede no tener teclas especiales para cotangente, secante cotangente. Por ejemplo, para representar cot, necesitarías usar la epresión ta n. Para que te familiarices con las nuevas funciones, representa gráficamente cada par de funciones recíprocas, un par por vez, en tu calculadora (es decir, representa gráficamente la cotangente la tangente, luego la secante el coseno, después la cosecante el seno). Un método para comprobar una identidad implica escribir epresiones equivalentes para un lado de la ecuación hasta que sea igual al otro lado. Puedes usar cualquier identidad que a haas comprobado. El ejemplo en tu libro demuestra esto. Resuelve ese ejemplo usando papel lápiz. Investigación: Identidades pitagóricas Intenta completar la investigación por tu cuenta. A continuación se dan las respuestas, por si las necesitas. Paso La gráfica de sin cos es la recta horizontal. Basándote en esta gráfica, puedes escribir la identidad sin cos. Paso Las longitudes de los catetos del triángulo dado son sin A cos A, la hipotenusa tiene una longitud de. Según el Teorema de Pitágoras, sin A cos A. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

15 Lección 3.6 Identidades trigonométricas fundamentales (continuación) Paso 3 La ecuación sin cos se llama identidad pitagórica, porque se deriva utilizando el Teorema de Pitágoras. (En un círculo unitario con un triángulo de referencia, sin cos son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo es la longitud de la hipotenusa. Por lo tanto, usando el Teorema de Pitágoras, sin cos.) Paso cos sin sin cos Paso 5 La identidad es tan sec. La siguiente derivación sirve como prueba, pero deberías practicar el método del ejemplo, manipulando el lado izquierdo de la identidad, tan, hasta que sea igual al lado derecho, sec. sin cos sin cos cos cos cos Identidad original. Divide ambos lados por cos. (sin ) (cos ) (cos ) (cos ) (cos ) sin significa (sin ) cos significa (cos ). sin cos cos cos cos a tan sec b a b os sin Usa las identidades c tan co sec. Paso 6 Tanto tan como sec tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando cos 0, o cuando n ó n, donde n es un entero. Paso 7 La identidad es cot csc. La siguiente derivación sirve como prueba: s sin cos sin sin cos sin sin Identidad original. Divide ambos lados por sin. (sin ) (cos ) (sin ) (sin ) (sin ) sin significa (sin ) cos significa (cos ). sin sin cos sin sin a b a b cot csc Usa las identidades c os sin cot sin csc. Paso 8 Tanto cot como csc tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando sin 0, o cuando n ó 80 n, donde n es un entero. Las identidades pitagóricas que comprobaste en la investigación se resumen en la página 785 de tu libro. 0 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press

16 LECCIÓN CONDENSADA 3.7 Combinación de funciones trigonométricas En esta lección modelarás un sonido con una suma de dos ecuaciones sinusoidales desarrollarás o comprobarás varias identidades trigonométricas usarás identidades trigonométricas para hallar los senos cosenos de ángulos El sonido de una nota tocada por un instrumento musical puede modelarse con la combinación de más de una función trigonométrica. Lee el teto que precede a la investigación en tu libro para aprender más sobre este tema. Investigación: Onda de sonido La investigación te pide tocar un diapasón después reunir los datos usando una sonda de micrófono. A continuación están las ecuaciones las gráficas de los datos reunidos con los diapasones A-0 Hz E-39.6 Hz. A: sin ( 0.000) E: sin ( 0.000) Para escribir un modelo para las gráficas combinadas, puedes sumar las dos ecuaciones de senos después ajustar sus coeficientes. La frecuencia de cada gráfica de senos debe ser aproimadamente la misma en la ecuación combinada. Sin embargo, deberás eperimentar para hallar los otros coeficientes. La siguiente ecuación se ajusta a los datos razonablemente bien sin ( 0.007) sin ( ) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 3 00 Ke Curriculum Press

17 Lección 3.7 Combinación de funciones trigonométricas (continuación) Un sinusoide trasladado de manera horizontal puede escribirse como la suma de dos curvas no trasladadas. Por ejemplo, puedes usar tu calculadora para verificar que cos( 0.635) es equivalente a 0.8 cos 0.6 sin. El teto en la página 79 de tu libro comprueba la identidad: cos(a B) cos A cos B sin A sin B Resuelve los pasos usando papel lápiz. El Ejemplo A de tu libro muestra cómo puedes usar la identidad anterior para hallar los valores eactos del coseno para más ángulos usando valores que a conoces. Éste es otro ejemplo. EJEMPLO A Halla el valor eacto de cos 7. Solución cos 7 cos 0 3 dos fracciones. cos 5 6 Reduce. Vuelve a escribir 7 como la diferencia de cos 5 6 cos sin 5 6 sin cos(a B) cos A cos B sin A sin B. 3 6 Sustitue los valores eactos del seno del coseno,, respectivamente. 5 6 Combina los términos. El Ejemplo B en tu libro utiliza la identidad cos(a B) cos A cos B sin A sin B para desarrollar la identidad: cos(a B) cos A cos B sin A sin B Lee ese ejemplo atentamente. El siguiente ejemplo desarrolla la identidad: sin(a B) sin A cos B cos A sin B EJEMPLO B Usa la identidad de cos(a B) las identidades sin A cos A cos A sin A para desarrollar una identidad para sin(a B). Solución sin(a B) cos (A B) sin A cos A. cos A B Escribe (A B) como A B. cos A cos B sin A sin B Usa la identidad de cos(a B). sin A cos B cos A sin B cos A sin A sin A cos A. El recuadro en la página 793 de tu libro da más identidades. Comprobarás estas identidades en los ejercicios. CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 00 Ke Curriculum Press