Los distintos tipos de cálculo. El cálculo escrito El cálculo pensado. Mª del Carmen CHAMORRO. UCM

Transcripción

1 Los distintos tipos de cálculo - - El cálculo escrito El cálculo pensado

2 La enseñanza de las técnicas de cálculo Se exige que los niños memoricen datos, definiciones, procedimientos de cálculo, técnicas de medición, etc. Cuando los recursos son limitados y las clases grandes, la enseñanza y la práctica repetitiva de datos y técnicas son más manejables que el fomento del conocimiento conceptual y la aptitud para el razonamiento. Por ejemplo, enseñar paso a paso el algoritmo para la sustracción de números de varias cifras con acarreos es más fácil que el construir la red de relaciones que constituye el conocimiento de los órdenes de unidades. Más aún, el conocimiento de datos y técnicas es más fácil de observar y comprobar que el conocimiento conceptual o la capacidad de razonamiento. Como el cultivo y la evaluación de la comprensión matemática, el razonamiento y la resolución de problemas son difíciles, la educación masiva se centra en la enseñanza y la evaluación de datos y técnicas matemáticas. BAROODY, Arthur J.(1988): El pensamiento matemático de los niños, Madrid, Visor

3 La enseñanza de las técnicas de cálculo Sobre la aritmética informal... Desarrollar una base sólida (comprensión informal) antes de introducir símbolos escritos. Estructurar experiencias informales de cálculo para fomentar el aprendizaje por descubrimiento. Ayudar a los niños a ver que el simbolismo formal es una expresión de su conocimiento informal. Estimular la comprobación de los cálculos escritos contrastando los resultados obtenidos con ellos con los obtenidos mediante procedimientos informales. La enseñanza de apoyo debe centrarse en estimular la comprensión del procedimiento correcto además de su aprendizaje Prever la necesidad de un periodo largo para el cálculo y el descubrimiento.

4 La enseñanza de las técnicas de cálculo Por qué queremos que los niños reinventen la aritmética? Los algoritmos de hoy son el resultado de siglos de construcción por parte de matemáticos adultos. Al tratar de transmitir de una forma prescrita los resultados de siglos de reflexión por parte de personas adultas, privamos a los niños de la posibilidad de pensar por su cuenta. Los niños de hoy inventan los mismos tipos de procedimientos que inventaron nuestros antepasados y necesitan pasar por un proceso similar de construcción para llegar a ser capaces de comprender los algoritmos de los adultos. Los primeros métodos de los niños son indiscutiblemente ineficaces. Sin embargo, cuando los niños tienen libertad de pensar por su cuenta, inventan procedimientos cada vez más eficaces, como hicieron nuestros antepasados. Cuando tratamos de que los niños pasen por alto el proceso constructivo, les impedimos comprender la aritmética. (Kamii, 1994, 47)

5 La enseñanza de las técnicas de cálculo Inconvenientes de los algoritmos... Los algoritmos fuerzan a los niños a renunciar a su propio pensamiento numérico. Los algoritmos malenseñan el valor de la posición e impiden que los niños desarrollen el sentido del número. Los algoritmos hacen que los niños dependan de la distribución espacial de las cifras (o del papel y el lápiz) y de otras personas.

6 La enseñanza de las técnicas de cálculo Porcentajes de éxito Operación Curso Con algoritmos Algunos algoritmos Sin algoritmos Segundo 12% 26% 45% Tercero 32% 20% 50% Tercero 38% 74% Cuarto 29% 80% Extraído de KAMII, C. (1994): Reinventando la aritmética III, Madrid, Visor, 1995

7 La enseñanza de las técnicas de cálculo Cuál es la calidad de los algoritmos aritméticos usuales que se presentan en la enseñanza elemental? Para efectuar 8135:36... Cuál es la frecuencia de uso de las técnicas usuales de cálculo escrito en las situaciones en las que un individuo medio debe realizar un cálculo? Qué aportan las técnicas de cálculo escrito al aprendizaje en general de los conocimientos numéricos?

8 Del cálculo escrito al cálculo mental El cálculo escrito se caracteriza por la utilización de una sola técnica, que es siempre la misma, con independencia de los números a operar. 26 X Mª del Carmen CHAMORRO. UCM

9 En el cálculo mental, cada individuo utiliza un procedimiento, en función de sus posibilidades de memorización, sus hábitos y sus conocimientos: 26 x 12 = (26x10) + (26x2) = = x 12 = (20x12) + (6x12) = = x12 = (26x2)x6 = 52x6 = (50+2)x6 = = x12 = (25+1)x12 = 25x4x3+12 = = x12 = (30x12) (4x12)=(3x12)x10 48 = = 312

10 cálculo escrito. Cálculo escrito (automático) Es general. Suele utilizarse una única técnica para cualquier par de números. Su funcionamiento es siempre homogéneo. Es igual para distintos individuos. Las propiedades numéricas las utiliza de manera implícita. Cálculo mental (no automático) Está contextualizado. El método empleado depende de los números concretos y de las competencias de cada individuo. Hace uso explícito y consciente de las propiedades numéricas que necesite en cada La ocasión. cantidad de repertorio El repertorio está prefijado y disponible juega un papel muy limitado. Su uso es importante. Una buena memorístico. estructura permite una mejor movilización. Los errores son difíciles de Siempre hay una vigilancia detectar y corregir. consciente del error. Es tranquilizador, fiable. Crea desasosiego y es rápido. Cuando no se ejercita, Cuando no se ejercita, no se Mª del Carmenproduce CHAMORRO. UCM produce muchos errores.

11 El cálculo mental frente al cálculo escrito. Interés didáctico del cálculo mental Uso explícito de las propiedades de las operaciones Provoca el uso de la relación entre las operaciones Genera problemas abiertos Provoca situaciones de aproximación y 35x16 (7x5)x(2X8) 7x(5x2)x8 56x x (100032x(100/4) 2) (32/4)x x x15= 12x2x3x5=36x10=360 24x15=12x2x15=12x30=360 24x15=6x4x15=6x60=360 24x15=24x10+24x10/2= Favorece la Ayuda a evolución estructurar y consciente de movilizar las técnicas de

12 Objetivos del cálculo mental Desarrollar la concentración, la atención y la memoria. Conseguir un conocimiento razonado de los números y las operaciones. Memorizar los repertorios de base necesarios para cualquier tipo de cálculo. Saber realizar una serie de cálculos sin tener que recurrir a procedimientos estereotipados.

13 Proporcionar herramientas de control para evaluar la corrección de un cálculo realizado con papel y lápiz o con calculadora: orden de magnitud. Adquirir el sentido y significado de las operaciones elementales. Encontrar el método de cálculo más adaptado a cada caso concreto. Realizar aproximaciones y redondeos.

14 Características del cálculo mental En cálculo mental no existe una única forma de proceder. El cálculo mental posee técnicas propias. Los algoritmos de cálculo escrito no son adecuados para el cálculo mental. El cálculo mental explota las propiedades de los números (descomposiciones aditivas, canónica, y multiplicativas) y las propiedades de las operaciones (asociativa,

15 El cálculo mental es una de las actividades matemáticas en las que siempre está asegurada la motivación. elimina pasos intermedios valora las estrategias personales elimina los problemas de simbolización mejora la autoestima

16 Principios para practicar el cálculo mental 1. El cálculo mental debe ser practicado con regularidad. La realización sistemática de ejercicios mejora la precisión y el número de operaciones que se puede realizar.

17 2. La fatiga es el mayor enemigo del cálculo mental, por lo que la duración de las sesiones debe estar adaptada a la edad y al esfuerzo requerido. La fatiga produce errores. Hay que estar siempre en guardia ante la posibilidad de obtener resultados absurdos.

18 3.Cada persona tiene unas limitaciones concretas. Estas limitaciones disminuyen con el entrenamiento, el conocimiento de repertorios y de técnicas adaptadas al cálculo mental 4. Estimar previamente el resultado, si es posible. 5. Hacer explicar a los alumnos el procedimiento utilizado.

19 6. Esquematizar con lenguaje algebraico, cuando no sea muy complejo, el proceso(s) seguido(s). 7. Comenzar con un sólo ejercicio, proponiéndolos de uno en uno. 8. Graduar la dificultad de los ejercicios.

20 9. Rechazar las respuestas rápidas de algunos alumnos. Usar métodos del tipo Lamartinière. 10. Alternar los juegos de solitario y de mesa con las sesiones colectivas. 11. Variar la presentación de los ejercicios.

21 Tipos de sesiones Sesiones de aprendizaje: Tienen por objeto hacer trabajar al alumno algún ejercicio nuevo: descubrimiento de un procedimiento de cálculo, comparación entre varios procedimientos, sentido de una operación, etc.

22 Fases de la sesión: 2. Planteamiento de la cuestión por la maestra 3. Fase de búsqueda de los alumnos 4. Trabajo colectivo sobre la cuestión planteada, los resultados obtenidos y los métodos usados

23 Sesiones de entrenamiento: Las más frecuentes. El alumno debe trabajar de manera individual (a veces en grupo, si se trata de juegos), usando el procedimiento que desee, salvo que la maestra imponga otro. El alumno debe adquirir seguridad y rapidez, ser capaz de pasar de un procedimiento a otro en función de los números que intervienen. El maestro debe evaluar la ausencia de errores, localizar el tipo de errores y hacer trabajar al alumno sobre ellos.

24 Sesiones de evaluación: Permiten el control por parte del maestro de la memorización de tablas, repertorios, y reglas de cálculo que deben ser automatizadas. Se trata de responder, de manera individual y sobre una hoja que se recogerá, a varias cuestiones, del orden de diez, de forma rápida.

25 Aprendizaje de los repertorios El alumno que no conoce los repertorios está condenado al fracaso en cálculo, ya sea escrito u oral. Hay que memorizar los repertorios? Si, sin ninguna duda La cuestión didáctica es: cómo?.

26 Complementos a 5 y a 10 Suma de decenas completas Tablas de adición y sustracción: ayudándose de constelaciones con evocación del material usando cálculo pensado memorizando el resultado

27 Ejercicios rutinarios Primer Ciclo Descomposición de números Conteo hacia delante y hacia detrás Dictado y escritura de números Buscar las centenas, decenas y unidades de un número Colocar números en orden

28 Buscar el orden de magnitud de un número, del resultado de una operación Lectura de números Búsqueda de dobles Tabla de multiplicación

29 Cálculo pensado aditivo Repertorios: Aprendizaje de dobles: 5 + 5, 6+ 6, 8+8,12 6, 10 5, Reconstrucción a partir de dobles: = , 12 8= (12 6) 2 Descomposiciones de 5 y 10: 3+2, 4+1,., 6+4, 3+7, Descomposiciones con ayuda del 5: 8= 5+3, 9 = 5+4, 6 = 5+1

30 Múltiplos de 10: Adiciones y sustracciones con múltiplos de 10: 10 4 = 6, 20 4 = 16, 50 4 = =17, 20+7 = 27, 40+7 = 47. Sumar o restar 10: 48+10, , 18 10, Paso a la decena,o centena, anterior o siguiente: 37+?= 40, 40?=37, de 37 a ?=200, 220?=200, de 540 a 600

31 Extensión a repertorios de múltiplos de 10 ó 100: 2+ 3 = 5, 20+30=?, =?,. 7 4= 3, 70 40=?, =?,. Cálculos simples: Transformación de cálculos simples: , Uso de la numeración oral: 57 7, 46 6, 30+8, 10+9,.

32 Cálculos complejos: Uso de diagramas en árbol: 25+13: 2d 5u y 1d 3u son 3d y 8u: d 8u 2d= 2d 8u=

33 Hacia el cálculo (Adición y sustracción Uso de la recta numérica Ej: Para Para , 2 dec. y 1 dec. 3 dec. Y 3 unid., entonces ) Para casos más complejos Ej:

34 Juegos de: loto, laberintos, coloreados, bingos, dominó, cartas: batalla, parejas, objetivo, escoba, etc...

35 COLOREADO

36 COLOREADO

37 COLOREADO (cont.)

38 COLOREADO (cont.)

39 LABERINTOS

40 LABERINTOS

41 LOTOS (adicionar o restar una centena)

42 PATCHWORK

43 PATCHWORK (general)

44 HACER 100

45 COMPLEMENTO A 100

46 JUEGOS DE DOMINÓ (repertorios aditivos básicos)

47 JUEGOS DE DOMINÓ (repertorios aditivos básicos)

48 JUEGOS DE DOMINÓ (adiciones y sustracciones pequeñas)

49 DOMINÓS (adición y sustracción de centenas completas)

50 Pasatiempos: Cada casilla es la suma de las dos inferiores

51 Pasatiempos: Cada círculo corresponde a la suma de los números de las seis casillas adyacentes.

52 JUEGOS DE BINGO (primeros repertorios )

53 JUEGOS DE BINGO (sumar o restar a decenas completas)

54 JUEGOS DE CARTAS: Batalla

55 Buscar los operadores Qué operador falta para ir de un número a otro? Escríbelo en el rectángulo situado entre dos cuadrados.

56 Cuadrados mágicos Con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17 hacer un cuadrado mágico. Idem con 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

57 Operar con números menores que 100 El juego se compone de 100 cartas. Cada una lleva dos números, uno a la derecha y otro a la izquierda. En medio hay cuatro signos: +, -, x, :. Las operaciones indicadas por estos símbolos determinan los posibles valores de la carta; cada carta puede tener 2, 3 ó 4 valores. Se juega como en un de UCM batalla. El que tire la Mª deljuego Carmen CHAMORRO. carta mayor gana.

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62 El tesoro del templo de Anaconda (evaluar el resultado de una adición)

63 Para llegar al tesoro hay que atravesar la selva amazónica, evitar a los jíbaros, los jaguares y los cocodrilos. Para encontrar el camino seguro, colorea las casillas cuyo resultado de la operación sea: más grande que 100 estar comprendido entre 30 y 40 terminar en 5

64 Evaluar el resultado de una sustracción

65 El resultado debe ser: más pequeño que 10 estar comprendido entre 50 y 60 terminar en 2

66 Evaluar el resultado de una multiplicación

67 Historia similar a la anterior. Pero ahora, el resultado de las casillas debe ser: más grande que 100 estar comprendido entre 40 y 50 terminar en 0

68 Evaluar el resultado de una división

69 Para llegar al tesoro hay que atravesar la selva amazónica, evitar a los jíbaros, los jaguares y los cocodrilos. Para encontrar el camino seguro, colorea las casillas cuyo resultado de la operación sea: más pequeño que 10 esté comprendido entre 10 y 20 no dé entero, es decir con resto distinto de 0.

70 Recapitulación de trucos Sumar cantidades: Restar cantidades:

71 Adición con papel y lápiz

72 Multiplicación por por la izquierda 27 toc toc 59 (59-50 = 9; 4+1 =5) 5485 toc por la derecha 2742 toc toc 8518 (84+1=85)

73 División por por la izquierda y resto 1 13 toc toc por la derecha 2742 toc 29 (27 es impar, presta 1) 26 toc toc y resto 1

74 Multiplicación o división por 5 Relación válida sólo para números de dos o tres cifras a x 5 = (a x 10) : 2 a : 5 = (a x 2) : 10 Multiplicación por una 37 x 8 67 x 6 cifra 3 x 8 = 24, 7 x 8 = 56; (4 + 5) 6 = 296 (3 + 1)

75 Multiplicar por x 11 = 5 (3+5)3= x 11 4 (4+8) (8+1)(1+7) x 11 5 (5+8)(8+3)(3+2)

76 Multiplicar por 9 Se toma la cifra de las centenas La cifra de las decenas menos las centenas La cifra de las unidades menos las decenas La cifra de las unidades en negativo (4-7)(5-4) -5 7 (1-7)(2-1)

77 Cuadrados de números de una cifra Un número de dos cifras se puede escribir como: s, 50 - s, 50 + s, 100 s, con 0<s<25 Aplicando la fórmula que da el cuadrado de una suma o una diferencia: (50-s)2= s2+100 (25-x) 37=50-13 (s =13)

78 (50 + s)2= s (25 + s) 622 = = = 3844 (100 s)2 = s (50 s) 792 = (50 21) = =6241 (100 + s) = s (50 + s) 1132 = ( ) = = 12769

79 Cuadrado de un número de dos cifras terminado en 5 (a5)2 = a (a + 1) = (3x4)25 = = (7x8)25= = (10x9)25 = 9025

80 PROPUESTA DE TRABAJO 1) Confeccionar un cuaderno de ejercicios de cálculo mental para un nivel escolar determinado, especificando temporalización, operaciones y conceptos que se trabajan. Si hay varias personas del mismo centro, pueden realizar uno conjunto para un periodo de tiempo más largo o varios niveles. 2) Realizar al menos 5 sesiones de cálculo mental con un mismo grupo y hacer un inventario de los procedimientos usados por los alumnos. Observar además: motivación, mejora de la atención y relación con el uso del cálculo escrito.