CURSO DE ROBÓTICA AVANZADA

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1 2013 CURSO DE ROBÓTICA AVANZADA ING. JAIRO PERTUZ OCAMPO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD REVISADO Y ACTUALIZADO: ING. MANUEL ENRIQUE WAGNER 2013

2 CURSO DE ROBÓTICA AVANZADA ING. JAIRO PERTUZ CAMPO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTÁ 2013

3 Tabla de contenido UNIDAD HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS Y RECURSOS... 6 COMPUTACIONALES... 6 CAPÍTULO 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS... 6 LECCIÓN 1: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN... 7 LECCIÓN 2: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN LECCIÓN 3: ÁNGULOS DE EULER LECCIÓN 4: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA LECCIÓN 5: CUATERNIOS CAPÍTULO II: OPERACIONES MATEMÁTICAS EN EL ENTORNO DE TRABAJO COMPUTACIONAL LECCIÓN 1: OPERACIONES GENERALES SOBRE VECTORES LECCIÓN 2: OPERACIONES GENERALES SOBRE MATRICES LECCIÓN 3: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA: POSICIÓN LECCION 4: MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA: ROTACION LECCIÓN 5: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA: TRASLACIÓN SEGUIDA DE ROTACIÓN CAPITULO III: IMPLEMENTACIONES COMPUTACIONALES LECCIÓN 1: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN: EJECUCIONES COMPUTACIONALES LECCIÓN 2: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN, EJECUCIONES COMPUTACIONALES LECCIÓN 3: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN Y ORIENTACIÓN: EJECUCIONES COMPUTACIONALES LECCIÓN 4: CONCATENACIÓN DE LAS OPERACIONES DE TRASLACIÓN Y ORIENTACIÓN, EJECUCIONESCOMPUTACIONALES LECCIÓN 5: ÁNGULOS DE EULER: EJECUCIONES COMPUTACIONALES SEGUNDA UNIDAD... 78

4 MODELADO CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE UN ROBOT CAPITULO 1: CINEMÁTICA DEL ROBOT INTRODUCCIÓN LECCIÓN 1: EL PROBLEMA CINEMÁTICO DIRECTO DEL MANIPULADOR LECCIÓN 2: CINEMÁTICA INVERSA DEL MANIPULADOR LECCIÓN 3: RESOLUCION DEL PROBLEMA CINEMÁTICO INVERSO MEDIANTE LA MATRÍZ DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA LECCIÓN 4: MATRIZ JACOBIANA DEL MANIPULADOR LECCIÓN 5: MODELOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES CAPITULO 2: DINÁMICA DEL ROBOT INTRODUCCIÓN LECCIÓN 1: ESTRUCTURA MECÁNICA DE UN ROBOT RÍGIDO LECCIÓN 2: FORMULACIÓN DE LAGRANGEEULER LECCIÓN 3: FORMULACIÓN DE NEWTONEULER: IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL LECCIÓN 4: TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS, CINEMÁTICA DEL ROBOT LECCIÓN 5: MODELO DIRECTO DEL MANIPULADOR CAPITULO 3: IMPLEMENTACIONES COMPUTACIONALES COMENTARIOS PRELIMINARES LECCIÓN 1: MODELO DIRECTO DEL MANIPULADOR LECCIÓN 2: MODELO INVERSO DEL MANIPULADOR LECCIÓN 3: JACOBIANO DEL MANIPULADOR LECCIÓN 4: OBTENCIÓN DE LAS TRAYECTORIAS ARTICULARES LECCIÓN 5: CREACIÓN DE UN ROBOT: SIMULACIÓN UNIDAD III: IMPLEMENTACIÓN Y SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE TAREAS ROBÓTICAS CAPITULO 1: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN Y POSICIÓN

5 POSICIÓN LECCIÓN 1: EJEMPLO LECCIÓN 2: EJEMPLO LECCIÓN 3: EJEMPLO (calcular una trayectoria cartesiana entre dos puntos) LECCIÓN 4: EJEMPLO (cálculo de cuaternios) LECCIÓN 5: CREACIÓN DE UN MODELO MECÁNICO (Modelado y simulación del péndulo simple) CAPITULO 2: MODELOS CINEMÁTICOS DE ROBOTS EJEMPLO LECCIÓN 1: CINEMÁTICA INVERSA DE UN MANIPULADOR (trayectoria de transformaciones) LECCIÓN 2: OBTENCIÓN DEL JACOBIANO DEL ROBOT MANIPULADOR PUMA LECCIÓN 3: ORIENTACIÓN Y POSICIÓN CARTESIANA DEL E.F CONOCIDA LA ESTRUCTURA CINEMÁTICA Y LAS COORDENADAS ARTICULARES LECCIÓN 4: CONSTRUCCIÓN DE UN OBJETO LINK (parámetros cinemáticos) LECCIÓN 4: ANÁLISIS CINEMÁTICO DEL MANIPULADOR RR CAPITULO 3: MODELOS DINÁMICOS DE ROBOTS LECCIÓN 1: EL MÉTODO DE NEWTONEULER LECCIÓN 2: DINÁMICA DE UN MANIPULADOR PLANO CON TRES ARTICULACIONES DE ROTACIÓN LECCIÓN 3: MANEJO DE UN ROBOT GRÁFICO LECCIÓN 4: MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS MECÁNICOS LECCIÓN 5: MODELOS DE MÁQUINAS SIMPLES EJERCICIOS ILUSTRATIVOS BIBLIOGRAFIA...174

6 UNIDAD 1 HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS Y RECURSOS COMPUTACIONALES CAPÍTULO 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA LOCALIZACIÓN ESPACIAL INTRODUCCIÓN Una de las tareas básicas de un robot y por lo demás habitual, consiste en la manipulación de piezas, lo cual se hace posible, mediante el movimiento espacial de sus dispositivos extremos. La manipulación robótica, nos indica que tanto partes como herramientas, se mueven alrededor del espacio por algún tipo de mecanismo. Cuando estudiamos la robótica, ineludiblemente nos interesamos con los detalles de la localización de objetos en dos y tres dimensiones. Estos objetos son los acoples del manipulador, las partes y herramientas con las cuales él trata, y otros objetos en el entorno del manipulador. En esta dirección, conviene mencionar, que la información de la posición, al igual que la posible orientación de ésta con respecto a la base del robot, es factor determinante para que éste adquiera la habilidad propia que le permita maniobrar de manera indistinta con las piezas. Todo lo anterior nos invita a buscar y apropiarnos de un conjunto de instrumentos y herramientas matemáticas, enfocadas a determinar de manera específica tanto la posición como la orientación en el entorno espacial de piezas, accesorios y, en general, de cualquier objeto. Los recursos matemáticos que trataremos, deben ofrecer la potencialidad mínima que nos garantice llegar de manera sencilla a las relaciones espaciales entre los diferentes objetos, y en especial, entre éstos y el manipulador.

7 Nos dedicaremos a abordar los diferentes métodos clásicos que representan la posición y orientación espacial de un cuerpo rígido. Iniciamos con la representación en dos dimensiones, pasando posteriormente al análisis correspondiente a tres, en sus diferentes modalidades, sin omitir el aporte de los ángulos de Euler cuando se trata de la orientación. Seguidamente, ingresamos en el ámbito del concepto de la matriz de transformación homogénea, con lo cual activamos la representación articulada de la posición y orientación, agrupando propiedades y aplicaciones. Finalizamos, tratando la representación de la orientación, mediante pares de rotación, conocidos también como cuaternios. LECCIÓN 1: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN Para definir y manipular cantidades matemáticas con las cuales podemos representar la posición, nosotros debemos definir sistemas de coordenadas y establecer las convenciones propias para la representación respectiva. Es por esto que nos apoyamos en la concepción, de que en cualquier parte existe un sistema de coordenadas, para lo cual todo lo emprendido puede ser referenciado. Trataremos el posicionamiento en un plano y en el espacio de tres dimensiones. El primero cuenta con dos grados de libertad, en donde la posición debida a un punto, se define por dos componentes independientes. Para el caso tridimensional, se requiere usar tres componentes. Comenzaremos con las coordenadas cartesianas, y seguidamente, presentaremos los otros métodos de uso cotidiano, como son, las coordenadas polares para dos dimensiones, y las cilíndricas y esféricas dirigidas a implementar el espacio de tres dimensiones.

8 REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS En un plano: Sistema coordenado OXY de referencia, para el cual el punto a se expresa por las componentes (x, y). A este punto le corresponde un vector p(x, y). En el espacio de tres dimensiones: El vector p está definido por las respectivas componentes cartesianas (x, y, z). REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN EN COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS En un plano: la localización de un punto, es decir, el vector p, se expresa como p (r, ) en coordenadas polares. En esta representación, r es la distancia desde el origen O hasta extremo del vector p; en tanto que es el ángulo formado por el vector p con el eje OX. En tres dimensiones: el vector p, queda expresado como p (r,, Z) mediante las coordenadas cilíndricas.

9 REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN EN COORDENADAS ESFÉRICAS En este caso, el vector p posee como coordenadas esféricas (r,, ), en donde la componente r es la distancia que va desde el origen O hasta el extremo del vector p; la componente es el ángulo formado por la proyección del vector p sobre el plano OXY con el eje OX; y la componente es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.

10 LECCIÓN 2: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN Cuando necesitamos definir un punto en el espacio, es suficiente a través de los datos correspondientes a su posición. Pero, para el caso de un sólido, se precisa adicionalmente contar con su orientación respecto a un sistema de referencia. Para el caso que nos ocupa, es decir, el de un robot, además de especificar la posición de extremo, también se requiere indicar su orientación. Una orientación referida al espacio tridimensional, la podemos definir mediante tres grados de libertad, lo que se traduce como tres componentes linealmente independientes. La orientación de un objeto respecto a un sistema de referencia, se intenta de manera habitual y relativamente cómoda, asignando al objeto un nuevo sistema, y luego se estudia la relación espacial que existe entre estos dos sistemas, cuya versión es la de coordenadas rectangulares. Casi siempre, esta relación se presenta mediante la posición y orientación del sistema, asociado al objeto respecto al de referencia. Para poder ejecutar el análisis de los diferentes métodos con los cuales se representan las orientaciones, se consideran que ambos coinciden en el origen, y que por consiguiente no se registra cambio de posición entre ellos. El sistema de coordenadas que esta fijo en el espacio tridimensional, se considera que es el sistema de referencia. El otro sistema de coordenadas está girando con respecto al sistema de referencia. Físicamente, podemos considerar que este sistema de coordenadas, es un sistema de coordenadas ligado al cuerpo. Es decir, se encuentra permanente y convenientemente unido al cuerpo rígido (por ejemplo, un elemento del brazo del robot) y se mueve junto con él. Un punto p en el espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Una forma que facilita el análisis, consiste en considerar al punto en reposo y fijo con respecto al sistema que representa el giro. De esta manera, el punto p

11 se puede representar por sus coordenadas, con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Para definir y manipular cantidades matemáticas con las cuales podemos representar la orientación, nosotros debemos definir sistemas de coordenadas y establecer las convenciones propias para la representación respectiva. MATRICES DE ROTACIÓN En el espacio del algebra matricial, encontramos el nicho adecuado que contiene todos los ingredientes esenciales, los cuales hacen posible que podamos adentrarnos en la tarea de la descripción de las orientaciones. Los dos sistemas de referencia arriba mencionados son: OXY y OUV. El sistema OXY es el de referencia fija, y el sistema OUV es el móvil solidario al objeto. Los vectores unitarios del sistema OXY son en tanto que los del sistema OUV son. La representación en ambos sistemas del vector p en el plano, se registra de la siguiente manera: [ ] [ ]

12 Podemos encontrar algunas equivalencias, después de realizar una serie de transformaciones: En donde [ ] [ ] R = [ ] es denominada matriz de rotación. Esta matriz es la encargada de definir la orientación del sistema OUV respecto al otro sistema OXY, la cual se emplea para transformar las coordenadas de un vector expresado en un sistema, en las del otro. Por ser una matriz ortonormal, cumple la condición, también se le conoce como matriz de cosenos directores. Para el caso de dos dimensiones, la posición relativa al sistema OUV girado un ángulo a sobre el sistema OXY, la matriz R será de la forma: [ ]

13 RESUMIENDO: MATRICES DE ROTACIÓN 2D En un espacio tridimensional: Los vectores unitarios del sistema OXY OUVW son., mientras que los del sistema La correspondiente representación del vector p queda así: [ ] [ ] En este caso, también se obtiene la equivalencia siguiente: En donde, [ ] [ ]

14 [ ] Que, como en el caso anterior, representa la matriz de rotación, mediante la cual definimos la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ Ahora, cuando el eje OU coincide con el eje OX, la orientación del sistema OUVW queda representada por la matriz: ( ) [ ] De igual manera, podemos representar la orientación del sistema OUVW, cuando el eje OV coincide con el OY,

15 En cuyo caso estará representada mediante la correspondiente matriz: ( )=[ ] Ahora, se considera la orientación del sistema OUVW, cuando el eje OW coincide con el eje OZ, en cuyo caso, la representación grafica y la correspondiente matriz, son: ( )=[ ]

16 RESUMIENDO: MATRICES DE ROTACIÓN 3D

17 REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN. COMPOSICIÓN DE ROTACIONES Algunos movimientos efectuados por un robot, o algunas de sus piezas, son el resultado de la aplicación continua y combinada de varias rotaciones. La respectiva definición y manipulación de las cantidades matemáticas asociadas, se resuelve mediante la operación llamada composición de matrices de rotación. Consideremos la situación siguiente: al sistema OUVW tratado anteriormente se le aplica una rotación con ángulo sobre OX, la cual es seguida de una rotación de ángulo sobre OY, más la rotación de ángulo sobre OZ. La rotación resultante global requerida por el movimiento especifico, la podemos resumir de la manera siguiente: 1. Rotación sobre OX. 2. Rotación sobre OY. 3. Rotación sobre OZ. Y representarla mediante la expresión: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] NOTA: El producto de matrices no es conmutativo, por lo que hay que tomar en cuenta el orden o secuencia en que se realizan las rotaciones.

18 LECCIÓN 3: ÁNGULOS DE EULER La representación matricial empleada para la orientación de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional, aporta múltiples ventajas, ya que permite la simplificación de muchas operaciones, pero de igual manera, para su implantación, es menester emplear nueve elementos que hacen posible la descripción completa de la rotación de un cuerpo rígido. En este tipo de representación, en lugar de efectuar tres rotaciones consecutivas alrededor de los ejes del sistema de referencia, las rotaciones se efectúan alrededor de los ejes del sistema solidario del cuerpo. Cuando tratamos de describir la orientación de un sistema OUVW solidario al cuerpo, lo hacemos respecto al sistema OXYZ, para lo cual hacemos uso de tres ángulos:,,, denominados ángulos de Euler. El problema nos plantea obtener el sistema OUVW partiendo del sistema OXYZ. El modo de operación lo podemos resumir de la manera siguiente: Se gira de manera sucesiva los valores de,,, en el sistema OXYZ sobre unos ejes determinados. Por tanto, debemos tener conocimiento de los valores de los ángulos. Se requiere tener la información de los ejes sobre los que se realizan los giros. Los ángulos de Euler mencionados anteriormente, nos definen la orientación mediante tres giros consecutivos en los tres ejes de coordenadas. Realizando de forma diferente los giros, se obtienen otras representaciones. Entre estas posibilidades, presentamos las siguientes. ÁNGULOS DE EULER ZXZ Esta representación la podemos describir así: Los sistemas de partida OXYZ y OUVW son inicialmente coincidentes. El sistema OUVW lo podemos colocar en cualquier orientación, lo cual es posible siguiendo estos pasos:

19 1. El sistema OUVW se hace girar un ángulo con respecto al eje OZ, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. 2. Ahora, se hace girar el sistema OU V W un ángulo con respecto al eje OU, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. 3. Finalmente, el sistema OU V W lo giramos un ángulo con respecto al eje OW, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. La correspondiente ilustración grafica es: ÁNGULOS DE EULER ZYZ Esta otra representación habitualmente utilizada, se diferencia solamente de la anterior, en lo referente a la elección del eje sobre el que se realiza el segundo giro.

20 Como en el anterior caso, esta representación la podemos describir así: Los sistemas de partida OXYZ y OUVW son inicialmente coincidentes. El sistema OUVW lo podemos colocar en cualquier orientación, lo cual es posible siguiendo estos pasos: 1. El sistema OUVW se hace girar un ángulo con respecto al eje OZ, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. 2. Ahora, se hace girar el sistema OU V W un ángulo con respecto al eje OV, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. 3. Finalmente, el sistema OU V W lo giramos un ángulo con respecto al eje OW, transformándose de esta manera en el sistema OU V W. La correspondiente ilustración grafica es:

21 LECCIÓN 4: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA Hasta ahora hemos estudiado diferentes métodos o técnicas encaminadas a representar de manera aislada, ya sea la posición, o la orientación, de un sólido en el espacio. Estos métodos resultan bastante incómodos, cuando tratamos de analizar un manipulador con muchas articulaciones. En estas circunstancias, la complejidad de movimientos se manifiesta por la estrecha combinación de operaciones simultáneas. Los métodos acometidos no están en condiciones de responder a las exigencias mencionadas. Específicamente, llegamos a enfrentar movimientos que requieren de una representación conjunta de la posición y de la orientación. Para solucionar este interesante problema, tenemos que acudir al empleo de las denominadas coordenadas homogéneas. COORDENADAS Y MATRICES HOMOGÉNEAS El concepto de una representación en coordenadas homogéneas en un espacio euclideo tridimensional, es útil para desarrollar transformaciones matriciales que incluyan: rotación, traslación, escalado y transformación en perspectiva. En general, la representación de un vector de posición de n componentes por un vector de (n+1) componentes se llama representación en coordenadas homogéneas. Es decir, un vector ( ) queda representado por ( ) donde w posee un valor arbitrario y representa un factor de escala. Comenzando a precisar, definimos como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4 x 4, encargada de transformar a un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. [ ] [ ]

22 Podemos comentar, que la matriz T está compuesta por cuatro sub-matrices de órdenes diferentes: Una matriz de rotación, la sub-matriz. Vector de traslación, la sub-matriz. Una transformación de perspectiva, la sub-matriz. Un escalado global, la sub-matriz. APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA [ ] [ ] TRASLACIÓN CON MATRICES HOMOGÉNEAS Corresponde considerar que en el sistema O UVW solo esta trasladado un vector respecto al sistema OXYZ. La matriz homogénea de traslación T, es: ( ) [ ] Las componentes del vector r con respecto al sistema OXYZ, representado en el sistema O UVW, son:

23 [ ] [ ] [ ] [ ] De igual manera, un vector r(x, y, z) al ser desplazado según la traslación T, tendrá como componentes r'(x, y, z'). [ ] [ ] [ ] [ ] ROTACIÓN Las rotaciones de un vector alrededor de cada uno de los tres ejes en un ángulo a, se pueden realizar por las transformaciones de rotación. En términos precisos, para entrar en operación, definimos tres matrices básicas de rotación, las cuales adoptamos de acuerdo a la rotación elegida por alguno de los tres ejes coordenados: OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ. Matrices de rotación básicas: Alrededor del eje x, la transformación de rotación es: ( ) [ ]

24 Alrededor del eje y: ( ) [ ] Alrededor del eje z: ( ) [ ] Cambio de sistema de coordenadas: Las componentes del vector ( ) en el sistema OXYZ, representado en el sistema girado O UVW, son: [ ] [ ] De igual manera, un vector después de ser rotado de acuerdo a la transformación T, queda expresado por así: [ ] [ ]

25 TRASLACIÓN ACOMPAÑADA CON ROTACIÓN Como se menciono anteriormente, las matrices homogéneas poseen la debida garantía para representar de manera conjunta, las operaciones de posición y orientación. Según esto, la ejecución contempla la debida representación que incluye, el vector de traslación y la matriz de rotación de manera simultánea, mediante el empleo de la misma transformación homogénea. Este tipo de transformaciones, se efectúan en relación a un sistema de referencia. Resulta oportuno comentar, que la traslación y la rotación son transformaciones espaciales no conmutativas, lo cual se demuestra en la figura. OBSERVACIONES FINALES: Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes. El producto no es conmutativo: Rotar y trasladar trasladar y rotar

26 ROTACIÓN SEGUIDA DE TRASLACIÓN Nos estamos refiriendo a la situación, en la que se ha de realizar una rotación alrededor de uno de los ejes coordenados del sistema OXYZ, a la cual le sigue una traslación. Comenzamos ilustrando la rotación de un ángulo le sigue una traslación del vector : alrededor del eje OX, al cual (( ) ) [ ] Ahora procedemos a ilustrar la rotación de un ángulo cual le sigue una traslación del vector. alrededor del eje OY, al (( ) ) [ ] Finalmente, presentamos la rotación de un ángulo cual le sigue una traslación del vector. alrededor del eje OZ, al (( ) ) [ ]

27 TRASLACIÓN SEGUIDA DE ROTACIÓN Nos toca ahora tratar el caso, en el que se efectúa primero una traslación, a la cual le sigue una rotación alrededor de uno de los ejes coordenados del sistema OXYZ, en donde las matrices homogéneas resultante son las siguientes: Una vez trasladado el vector alrededor del eje OX. se continúa con la rotación de un ángulo α ( ( )) [ ] Ahora se trata de considerar la traslación del vector rotación de un ángulo alrededor del eje OY. al cual le sigue la ( ( )) [ ] Finalmente, a la traslación del vector alrededor del eje OZ. le sigue la rotación de un ángulo θ ( ( )) [ ]

28 COMPOSICIÓN DE MATRICES HOMOGÉNEAS Es habitual contemplar movimientos de traslación y giros realizados sobre un sistema de referencia, lo cual como ya hemos tratado es posible representarlos por una matriz de transformación homogénea. Existen movimientos generalizados que requieren de diferentes giros y traslaciones que deben obrar de manera consecutiva sobre un sistema de referencia establecido. Sintetizando, podemos codificar los giros básicos y las traslaciones, como una transformación compleja, siempre y cuando esta pueda descomponerse en la aplicación consecutiva de los mencionados eventos (transformaciones simples). ILUSTRACIÓN MATRICES DE ROTACIÓN BÁSICAS ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

29 INTERPRETACIÓN: EJEMPLO 1. Giro de un ángulo θ sobre el eje OZ 2. Giro de un ángulo φ sobre el eje OY 3. Giro de un ángulo α sobre el eje OX La matriz que representa el giro resultante, la obtenemos mediante la composición de las matrices básicas de rotación, y resulta ser: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]= [ ] NOTA: es preciso comentar, que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que tampoco lo es la operación de composición de transformaciones. Para el caso en el que la situación obedezca a la inversión en el orden de aplicación de las transformaciones, el resultado obtenido es necesariamente distinto: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]= [ ]

30 Las anteriores ilustraciones, nos impulsa a informar que los ejes sobre los que recaían las operaciones correspondían al sistema de referencia fijo OXYZ. Esto no impide la posibilidad de organizar un conjunto de matrices de transformación, que activen operaciones dirigidas de manera permanente al sistema que este moviéndose. Esto se logra enlazando matrices de manera inversa. Cuando se presenta una tarea robótica que impone la aplicación del recurso de la composición de varias transformaciones, en las que hay que apelar al uso de matrices homogéneas, se cuenta con algunas normas, ó los siguientes criterios: Si el sistema fijo (OXYZ) y el transformado (0 UVW) concuerdan, la matriz homogénea de transformación resulta ser la matriz identidad. (Matriz de orden 4). Cuando el sistema transformado resulta de traslaciones y rotaciones definidas con respecto al sistema fijo, la matriz homogénea representativa de cada transformación, deberá pre-multiplicarse sobre las matrices de las respectivas transformaciones previas. Cuando el sistema transformado resulta de traslaciones y rotaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea representativa de cada transformación, deberá post-multiplicarse sobre las matrices de las respectivas transformaciones previas. Las orientaciones mencionadas nos permiten argumentar, que para cualquier operación que incluya composición de matrices homogéneas, podemos tratarla como si se efectuara cada transformación con respecto al sistema de referencia fijo, o con respecto al sistema de referencia móvil. Finalmente, presentamos una ilustración grafica de un ejemplo de transformaciones diversas para localizar un objeto.

31 LECCIÓN 5: CUATERNIOS La variedad de movimientos contemplados en cualquier faena habitual de los robots, engloba eventos compuestos por giros y cambios de orientación de naturaleza diversa y compleja. Esto hace que tengamos que disponer de recursos y herramientas matemáticas versátiles, que sean capaces de responder a las exigencias propias de las características mencionadas. Los cuaternios se constituyen en los dispositivos creados para tal fin, pudiendo ser empleados como herramienta analítica de gran efectividad y flexibilidad computacional, para tratar y ocuparse de los giros y orientaciones. Un cuaternio Q está constituido por cuatro componentes ( ) los cuales representan las coordenadas propias de cuaternio en la base {e, i, j, k}.

32 Se denomina a la componente en e:, la parte escalar del cuaternio, y parte vectorial, al resto de componentes. De tal manera, que un cuaternio lo podemos representar así: ( ) En donde representamos por s a la parte escalar, y con v a la parte vectorial. Para aplicar los cuaternios como metodología de representación de orientaciones, asociamos el giro de un ángulo θ sobre el vector K al cuaternio y lo definimos como: ( ) ( ) Resumiendo, un cuaternio es un método compacto que nos permite representar una rotación en 3D, presentando ventajas computacionales, entre las cuales destacamos la velocidad y la robustez numérica. IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL: DESCRIPCIÓN PRELIMINAR Para implementar un cuaternio, establecemos su respectivo objeto, el cual tiene en Matlab un constructor, llamado quaternión. El empleo esta matizado por tres formas, a saber: la primera nos retorna un nuevo objeto con el mismo valor de su argumento. La segunda forma inicializa el cuaternio para una rotación del ángulo (theta) alrededor del vector v. La tercera forma establece los cuatro elementos del cuaternio de manera directa, para una rotación equivalente de la matriz de rotación 3x3, o la sub-matriz de rotación de una transformación homogénea 4x4.

33 RESEÑA DE LOS OPERADORES COMUNES q1*q2: retorna el producto del cuaternio o su composición. q*v: retorna el producto vectorial del cuaternio, es decir, el vector v es rotado por el cuaternio. En este caso, ves un vector 3x3. inv (q): retorna la inversa del cuaternio. q1 / q2: retorna q1 * inv q2 norm (q): retorna la magnitud del cuaternio. plot (q): despliega una grafica de 3D q = quaternión ([s v1 v2 v3]): de 4 elementos. q = quaternión (v, theta): de un vector con su ángulo. q= quaternión (R): de una matriz 3x3 ó 4x4. q = quaternión (q): para otro cuaternio. CAPÍTULO II: OPERACIONES MATEMÁTICAS EN EL ENTORNO DE TRABAJO COMPUTACIONAL. LECCIÓN 1: OPERACIONES GENERALES SOBRE VECTORES. En MATLAB los vectores son variables que tienen nombres. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS: DEFINICION DE UN VECTOR FILA Y VECTOR COLUMNA X= [ ] % Vector fila X =

34 Y= [15; 28; 26] % Vector columna. Y = length(x) % Longitud del vector X. ans = 3 length (Y) % Longitud del vector Y ans = 3 X+Y % MATLAB TIENE EN CUENTA LA DIFERENCIA ENTRE VECTORES FILA Y COLUMNA??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. X+Y' % LA DIFICULTAD DESAPARECE SI SE SUMA X CON EL VECTOR TRASPUESTO DE Y ans = % OPERADOR DOS PUNTOS (:) a=1:10 % DEFINICION DEL VECTOR a a =

35 b=1:3:12 b = c=1:1.5:12 c = d=8:1:1 d = % FORMACION DE UNA TABLA DE FUNCIONES C= [0.0:pi/2:2*pi]'; F=sin(C); G=cos(C); [C F G] ans = % OPERACIONES ELEMENTALES Y DIVERSAS A=magic (4) A = A (2,3) % Acceso a los elementos de la matriz mediante los índices de fila y columna. ans =

36 10 A(3,1:4) % Extrae los 4 primeros elementos de la tercera fila ans = A(2,:) % Extrae los elementos de la segunda fila ans = A(end,:) % Se extrae la cuarta fila ans = A (2:4,:) % Extrae los elementos de las filas 2, 3 y 4 ans = % OPERADORES DE DIVISION: Para un sistema de ecuaciones lineales Ax=b, en donde x y b son vectores columna, y A es una matriz cuadrada invertible. % x= inv(a)*b % x= A\b % EJERCICIOS ILUSTRATIVOS % 1) A=[2 4],b=[4] A=[2 4],b=[4] A = 2 4 b = 4

37 x=a.\b x = 2 1 % 2) A=[2 4;2 0;0 2], b=[4 0 0]' A=[2 4;2 0;0 2], b=[4 0 0]' A = b = x=a\b, resto=a*x-b x = resto = % OPERADORES MATRICIALES (*, ^, \ y /) APLICAR ELEMENTO A ELEMENTO. [ ]^2??? Error using ==> mpower Matrix must be square.

38 [ ]^2 ans = [ ]*[ ]??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. [ ]*[ ] ans = % DIRECCIONAMIENTO DE VECTORES A PARTIR DE VECTORES % LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR SE PUEDEN DIRECCIONAR A PARTIR DE LOS DE OTRO VECTOR. v=[1 4 5] v = Z=rand(1,) Z = Z(v) ans = % INVERSION DEL ORDEN DE LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR. Y=rand (1,7) Y =

39 J=Y(6:1:1) J = % ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES % Sean los vectores a=[ ];b=[ ]; c=6; a=[ ];b=[ ]; c=6; a+c ans = a*c ans = a.*b ans = a.^b ans = a.\b ans = c.^a ans =

40 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL a=[4;6;4; 2]; b=[6;16; 14;8]; c=dot(a,b) % PRODUCTO ESCALAR c = -112 a'*b ans = -112 A1=[18;12;26]; B1=[54; 22;24]; cross(a1,b1) % PRODUCTO VECTORIAL ans = diary off LECCIÓN 2: OPERACIONES GENERALES SOBRE MATRICES. % En MATLAB las matrices son variables que tienen nombres. % DEFINICION DE MATRICES A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A =

41 % A partir de este momento la matriz A esta disponible para hacer cualquier tipo de operación con ella. % OPERACIONES INTRODUCTORIAS: EJERCICIOS ILUSTRATIVOS. % A A ans = B=A' B = B*A % Producto de matrices ans = % DIRECCIONAMIENTO DE UNA MATRIZ g=[2 4];d=[1 3]; B=magic(5) B = B(g,d)

42 ans = g=[ ] g = B(g),B(3),B(5) ans = ans = 4 ans = 11 % INVERSION DEL ORDEN DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZ L=magic(5) L = L(:,4:-1: 2) ans =

43 % L(:) Representa un vector columna con las columnas de L una detrás de otra. % fliplr(l);invierte EL ORDEN DE LAS COLUMNAS fliplr(l) % OPERACIONES BASICAS CON MATRICES: EJERCICIOS ILUSTRATIVOS A=[4 6 3;5 10 0];B=[3 13 8;9 7 3];C=[3 6; 5 7; 8 7]; H=[2 5;4 9];p=2; A+B ans = A-B ans = B-A ans = A*C ans =

44 C*A ans = C*B ans = B*C ans = A/B ans = A\B ans = B\A ans =

45 H^p ans = p.^h ans = H^p ans = p^h ans = 1.0e+003 * % OTRAS OPERACIONES CON MATRICES: EJERCICIOS ILUSTRATIVOS K=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] K = diag(k), inv(k), K', det(k),rank(k), trace(k), norm(k); size (K) ans = 1 5 9

46 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-018. ans = 1.0e+016 * ans = ans = 0 ans = 2 ans = 15 ans = 3 3 % ALGUNAS MATRICES ESPECIALES ones(2,3) ans =

47 ones(4) ans = zeros(2,3) ans = zeros(3) ans = eye(5) ans = eye(2,3) ans = diary off

48 LECCIÓN 3: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA: POSICIÓN Mediante las coordenadas homogéneas podemos representar de manera conjunta la posición y la orientación (localización). Partiendo de las coordenadas homogéneas, ingresamos al concepto de matriz de transformación homogénea. TRASLACION: Se trata de representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ. Un vector trasladado es de la forma de traslación es:. La matriz homogénea T(p)= [1 0 0 px;0 1 0 py;0 0 1 pz; ],la cual se denomina matriz básica de traslación. Un vector cualquiera r, representado en el sistema O'UVW, tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ: [rx ry rz 1]'=[1 0 0 px;0 1 0 py;0 0 1 pz; ]*[ru rv rw 1]'= [ru+px;rv+py;rw+pz+1] (1) Y a su vez, un vector rx, y, z desplazado según T tendrá como componentes r'x, y, z: [r'x r'y r'z 1]'=[1 0 0 px;0 1 0 py;0 0 1 pz; ]* [rx ry rz 1]=[rx+px;ry+py;rz+pz;1] (2)

49 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 1. Según la figura, en el sistema O'UVW esta trasladado un vector p (6, 3,8) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw (2, 7,3). Solución: Procedemos a ingresar los valores y aplicamos la ecuación (I) Tp=[ ; ; ; ]; ruvw=[ ]'; rxyz=tp*ruvw rxyz = Calcular el vector r'xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11)según la transformación T(p) con % p(6,3,8) (ver figura adjunta).

50 Solución: Procedemos a ingresar los valores y aplicamos la ecuación (II) Tp=[ ; ; ; ]; rxyz=[ ]'; r1xyz=tp*rxyz r1xyz = diary off

51 LECCION 4: MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA: ROTACION En esta situación corresponde definir tres matrices homogéneas básicas según se realice ésta de acuerdo a cada uno de los tres ejes coordenados OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ: % T(x,a)=[ ;0 cosa -sena 0;0 sena cosa 0; ], (I) % T(y,b)=[cosb 0 senb 0; ;-senb 0 cosb 0; ], (II) % T(z,c)=[cosc -senc 0 0;senc cosc 0 0; ; ], (III) Un vector cualquiera r, representado en el sistema girado O'UVW por ruvw, tendrá como componentes (rx, ry, rz) en el sistema OXYZ las siguientes: [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]' (IV) Y a su vez un vector rxyz rotado según T vendrá expresado por r'x,y,z según: [r'x r'y r'z 1]'=T[rx ry rz 1]' (V) TRASLACIÓN JUNTO CON ROTACIÓN La traslación y la rotación son transformaciones que se realizan en relación a un sistema de referencia. ROTACIÓN SEGUIDA DE TRASLACIÓN Se trata de realizar primero una rotación sobre uno de los ejes del sistema OXYZ seguida de una traslación, las matrices homogéneas serán las que a continuación se expresan: Rotación de un ángulo a sobre el eje OX seguido de una traslación de vector pxyz:

52 % T((x,a),p)= [1 0 0 px;0 cosa sena py;0 sena cosa pz; ] (VI) % T((y,b),p)= [cosb 0 senb px;0 1 0 py;senb 0 cosb pz; ] (VII) % T((z,c),p)= [cosc senc 0 px;senc cosc 0 py;0 0 1 pz; ] (VII) EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 1. Según la figura adjunta, el sistema 0UVW se encuentra girado -90 grados alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw=[4,8,12]' Solución: Procedemos a ingresar los valores inicialmente para construir la matriz T(z,c), ecuación (III). Tzc=[ ; ; ; ], y luego construimos la matriz ruvw utilizando la información entregada [ru rv rw 1]'= ruvw=[4,8,12,1]'. Luego aplicamos [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]', ecuacion (IV) Tzc=[ ; ; ; ] Tzc =

53 % [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]' % [ru rv rw 1]'=[4,8,12,1]' ruvw=[4,8,12,1]' ruvw = rxyz=tzc*ruvw rxyz = EMPLEANDO COMANDOS ESPECIALES t1=rotz(-pi/2) t1 = ruvw=[ ]' ruvw =

54 rxyz=t1*ruvw rxyz = Un sistema OUVW ha sido girado 90 grados alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ (figura adjunta). Calcular las coordenadas (rx,ry,rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3,4,-11). Solución: Procedemos a ingresar los valores inicialmente para construir la matriz T(z,c),ecuación (III). Procedemos a utilizar la ecuación [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]' ecuación (IV). En donde, la matriz de transformación, T((x,a),p)= [1 0 0 px;0 cosa sena py;0 sena cosa pz; ] (VI)

55 Queda así: Txa=[ ; ; ; ] Txa = [ru rv rw 1]'= ruvw=[-3,4, -11,1]' % Ahora ya podemos aplicar [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]', ecuación (IV). Txa=[ ; ; ; ] Txa = ruvw=[3,4,11,1]' ruvw = rxyz=txa*ruvw rxyz = diary off

56 LECCIÓN 5: MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA: TRASLACIÓN SEGUIDA DE ROTACIÓN Se trata de realizar primero una traslación seguida de una rotación sobre los ejes coordenados del sistema OXYZ. Las matrices homogéneas resultantes son las siguientes: Traslación del vector px, y, z seguida de rotación de un ángulo a sobre el eje OX. T(p,(x,a))= [1 0 0 px;0 cosa sena pycosapzsena;0 sena cosa pysena+pzcosa; ] (I) Traslación del vector px, y, z seguida de rotación de un ángulo b sobre el eje OY. T(p,(y,b))= [cosb 0 senb pxcosb+pzsenb;0 1 0 py;senb 0 cosb pzcosbpxsenb; ] (II). Traslación del vector px, y, z seguida de rotación de un ángulo c sobre el eje OZ. T(p,(z,c))=[cosc senc 0 pxcoscpysenc;senc cosc 0 pxsenc+pycosc;0 0 1 pz; ] (III). PERSPECTIVA Y ESCALADO Cuando en las componentes de un vector es posible la realización de un escalado, podemos aplicar las matrices homogéneas. Para lograr esto, es suficiente emplear una matriz del tipo: T=[a 0 0 0;0 b 0 0;0 0 c 0; ]. El caso típico es transformar el vector r(x, y, z) en el vector r (ax, by, cz). Si se trata de hacer un escalado global de las tres componentes, tenemos el recurso apropiado con la matriz T=[ ; ; ;0 0 0 s].

57 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 1. Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-12,-4) con respecto al sistema OXYZ y girado 90 grados alrededor del eje OX (figura adjunta). Calcular las coordenadas (rx,ry,rz)del vector r de coordenadas ruvw (- 3,4,11). Solución: Procedemos a ingresar los valores inicialmente para construir la matriz T(p,(x,a)),ecuación (I). Tpxa=[ ; ; ; ] Y luego construimos la matriz [ru rv rw 1]'= ruvw=[3,4, 11,1]' Ahora ya podemos aplicar [rx ry rz 1]'=T[ru rv rw 1]' Tpxa=[ ; ; ; ]

58 Tpxa = ruvw=[3,4,11,1]' ruvw = rxyz=tpxa*ruvw rxyz = Composición de matrices homogéneas: Se quiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo de -90 grados alrededor del eje OX, de una traslación de vector p(x, y, z), (5,5,10) y un giro de 90 grados sobre el eje OZ. Solución: Procedemos a ingresar los valores de la matriz T(p): Tp=[ ; ; ; ] Y empleando comandos especiales de ejecución directa: Tp=[ ; ; ; ]

59 Tp = rotz(pi/2),rotx(-pi/2) ans = ans = % Ahora se procede a aplicar T=T(z,90 grados)t(p)t(x,-90 grados) T=rotz(pi/2)*Tp*rotx(pi/2) T = diary off

60 CAPITULO III: IMPLEMENTACIONES COMPUTACIONALES. LECCIÓN 1: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN: EJECUCIONES COMPUTACIONALES. A. Representación de un cuadro de referencia {A}, a partir del cual referiremos los cuadros de los ejemplos siguientes: TA = [ ; ; ; ] TA = [ ; ; ; ] TA = frame ( TA, ' r ', 1) ; grid on

61 B. Representación de dos cuadros de referencia {B} y {C}, generados a partir de {A}, mediante traslación. {B} será trasladado a las coordenadas (3, 5, 0) {C} será trasladado a las coordenadas (2, 4, 1) TA = [ ; ; ; ] ; TB = transl ( 3, 5, 0 ) TB = TC = transl ( -2, -4, 1 ) TC =

62 frame ( TA, ' r ', 1 ) ; frame ( TB, ' b', 1 ), grid ; frame ( TC, ' k', 1), grid ;

63 TRANSFORMACIÓN TRANSLACIONAL: EJERCICIO Según la figura, el sistema 0'UVW esta trasladado un vector p(6, 3, 8) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas ( rx, ry, rz ) del vector r, cuyas coordenadas con respecto al sistema O ' UVW son ruvw ( -2, 7, 3 ). SOLUCIÓN: TA = [ ; ; ; ] ; TB = transl ( 6, -3, 8 ) TB = frame (TA, ' b ', 1 )

64 frame ( TB, ' r ', 1) r uvw = [ ] ' rx ry rz = TB * [ rx ry rz = ] ' diary off

65 LECCIÓN 2: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN, EJECUCIONES COMPUTACIONALES A. Representación de un cuadro de referencia {A}, a partir del cual referiremos los cuadros de los ejemplos siguientes: TA = [ ; ; ; ] B. Representación de dos cuadros de referencia {B} y {C}, generados a partir de {A} mediante rotación: frame ( TA, ' r ', 1) ; grid on {B} será rotado 30 grados en torno al eje X {C} será rotado 60 grados en torno al eje Z Por lo tanto, las tareas a ejecutar serian: TA = [ ; ; ; ] ; TB = rotx ( pi /6 ) * TA; TC = rotz ( pi / 3 ) * TA ; frame ( TA, ' b ', 1)

66 frame ( TB, ' g ', 1 ) frame ( TC, ' y ', 1 )

67 TRANSFORMACIÓN ROTACIONAL: EJERCICIO El sistema OUVW se encuentra girado 90 grados alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [ ] '. SOLUCION TA = [ ; ; ; ] ; 1 = rotz ( pi/2 ) T1 = frame ( TA, ' b ', 1 )

68 frame ( T1, ' g ',1 )Y rxryrz = T1 * [ ] ' rxryrz = diary off

69 LECCIÓN 3: REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN Y ORIENTACIÓN: EJECUCIONES COMPUTACIONALES A. Representación de un cuadro de referencia {A}, a partir del cual referiremos los cuadros de los siguientes ejemplos: TA = [ ; ; ; ] TA = frame ( TA, ' y ', 1) ; grid on

70 B. Representación de dos cuadros de referencia {B} y {C}, generados a partir de {A} mediante rotación y traslación. {B} será rotado 30 grados en torno al eje X y trasladado a las coordenadas (3, 5, 0). {C} será rotado 60 grados en torno al eje Z y trasladado a las coordenadas (2, 4, 1). Por lo tanto, las tareas a ejecutar serian: TB=transl ( 3, 5, 0 ) * rotx ( p i / 6 ) * TA ; TA =transl ( 2, 4, 1 ) * rotz ( pi / 3 ) * TA ; frame ( TA, ' y', 1) ; frame ( TB, ' b ', 1) ;

71 frame ( TC, ' r ', 1) ; diary off

72 LECCIÓN 4: CONCATENACIÓN DE LAS OPERACIONES DE TRASLACIÓN Y ORIENTACIÓN, EJECUCIONESCOMPUTACIONALES A. Traslación pura de 0.4 m en la dirección del eje X. T=transl( 0.4, 0, 0 ) T = frame ( T, ' g ', 1 ) ;

73 B. Rotación de 90 grados en torno al eje Y. T =roty(pi/2) T = frame ( T, ' y ', 1 ) ; C. Rotación de 90 grados en torno al eje Z T=rotz(pi/2) frame ( T, ' b ', 1 ) ;

74 C. Concatenar las tres operaciones anteriores. T=transl(0.4, 0, 0)*roty(pi/2)*rotz(pi/2) T = frame ( T, ' r ', 1 ) ;

75 LECCIÓN 5: ÁNGULOS DE EULER: EJECUCIONES COMPUTACIONALES Calcular los ángulos de Euler ZYZ de la transformación resultantes. Traslación pura de 0.4 m en la dirección del eje X. T=transl(0.4, 0,0) T = A. Rotación de 90 grados en torno al eje Y T=roty(pi/2) T = B. Rotación de -90 grados en torno al eje Z. T=rotz(-pi/2) T=

76 C. Concatenar las tres operaciones anteriores. T=transl( 0.4, 0, 0)*roty(pi/2)*rotz(-pi/2) T = D. Calcular los ángulos de Euler ZYZ de la transformación resultante. tr2eul ( T ) ans = RESULTADO = [ ] E. Ángulos RPY : Roll, pitch and yaw ( alabeo, cabeceo y guinada) Esta representación es la más empleada cuando se trata de la aplicación de giros sobre los ejes del sistema fijo. Si partimos de los sistemas OXYZ y OUVW, nos corresponde colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los pasos siguientes (ver figura).

77 1. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OX. A este ángulo se le llama Yaw o guiñada. 2. Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OY. A este ángulo se le llama Pitch o cabeceo. 3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ. A este ángulo se le llama Roll o alabeo. Como ya hemos considerado, y de manera general podemos afirmar, que cuando concatenamos varios giros seguidos, tenemos que tener muy presente, que no podemos tratarlos como transformaciones conmutativas, por lo que hemos de seguir la secuencia establecida para los mismos. F. Calcular los ángulos RPY de la misma transformación. tr2rpy ( T ) ans = RESULTADO = [ ] diary off

78 SEGUNDA UNIDAD MODELADO CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE UN ROBOT CAPITULO 1: CINEMÁTICA DEL ROBOT INTRODUCCIÓN La física nos permite entender, a la cinemática como el estudio del movimiento sin tener en cuenta, las fuerzas que lo producen. Tomando esto en consideración, surge el compromiso de emprender el estudio tanto de las propiedades geométricas, como de las temporales del movimiento. En este espacio, hemos de estimar, además del problema estrictamente geométrico comprometido en el posicionamiento estático, los efectos correspondientes a las variaciones de carácter temporal, en lo referente a las posiciones y también a las orientaciones; con esto nos estamos refiriendo a las velocidades. Cuando estudiamos el fenómeno del movimiento, hemos de referirnos a un sistema de referencia. Resulta habitual, dada la naturaleza del tema, contar con un plan para controlar el movimiento de un manipulador; en cuyo caso, se hace necesario establecer técnicas para representar la posición del brazo, en puntos, en relación con el tiempo. El manipulador del robot se determina empleando dos elementos básicos: articulaciones y enlaces. Cada articulación representa un grado de libertad. Las articulaciones pueden ocasionar un movimiento lineal (articulación tipo L) o un movimiento rotacional (articulaciones tipos R, T y V) entre los enlaces adyacentes. En los modelos geométricos y cinemáticos se involucra de manera substancial el tratado de las relaciones existentes entre el espacio de las variables articulares y el espacio de trabajo, llamado también, espacio operacional, el cual suele ser un espacio cartesiano. De manera general, el espacio de las variables articulares tendrá n dimensiones, por lo que se utilizara un vector de dimensión n para especificar la posición y orientación del robot. El espacio de trabajo de un manipulador tendrá dimensión seis, por lo que se requieren seis valores para especificar la posición y la orientación. Cuando se trata de manipuladores

79 planares, o en robots móviles que navegan en el plano, será suficiente con un espacio de dimensión tres, para precisar la posición y el ángulo de orientación. En nuestro caso, cuando tenemos que abordar el estudio de la cinemática del robot, hemos de procurar describir de manera analítica, el movimiento del robot como una función del tiempo, teniendo que emplear los valores que toman sus coordenadas articulares, en virtud de las relaciones existentes entre la posición y la orientación del extremo final del robot. En la cinemática del robot, los problemas a resolver se reducen al conocido como problema cinemático directo, y al cinemático inverso. El primero consiste en determinar cuál es la posición y orientación del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, teniendo conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot. El segundo, nos permite solucionar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas. Finalmente tenemos que agregar, que la cinemática del robot está comprometida con obtener las relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo. Esta relación se encuentra contemplada por el modelo diferencial, el cual es declarado mediante la matriz Jacobiana. LECCIÓN 1: EL PROBLEMA CINEMÁTICO DIRECTO DEL MANIPULADOR En menciones anteriores, hemos apreciado la utilización permanente del algebra vectorial y matricial, cuando requerimos describir la localización de un objeto en el espacio de tres dimensiones con respecto a un sistema de referencia fijo. Por la naturaleza del modo de operación de un robot, lo podemos considerar como una cadena cinemática constituida por objetos rígidos o eslabones ligados entre sí mediante articulaciones. De esta manera, podemos establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y adelantar la descripción de la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia. En estas circunstancias, el problema cinemático directo se resume a encontrar una matriz homogénea de

80 transformación T, la cual relaciona la posición y orientación del extremo del robot, respecto al sistema de referencia fijo situado en la base del mismo. Esta matriz T se expresa como función de las coordenadas articulares. SOLUCION DEL PROBLEMA CINEMATICO DIRECTO: MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA El tipo de problema que nos hemos propuesto tratar y resolver, se refiere a encontrar las relaciones que hacen posible obtener la localización espacial del extremo del robot, a partir de los valores de sus coordenadas articulares. De esta manera, procedemos a elegir coordenadas cartesianas y ángulos de Euler, con los que logramos representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad. Las relaciones que nos permiten resolver el problema cinemático directo son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Estas relaciones se obtienen mediante simples consideraciones geométricas. Por ejemplo, para el caso de de un robot de con dos grados de libertad (GDL), nos resulta: ( )

81 ( ) Robot planar de dos grados de libertad. De manera general, un robot con n grados de libertad está constituido por n eslabones unidos también por n articulaciones, de tal manera que cada par de articulación eslabón, conforma un grado de libertad. De esta manera, a cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario a él y, empleando las transformaciones homogéneas, podemos representar las rotaciones y traslaciones relativas, entre los distintos eslabones que componen el robot. La matriz de transformación homogénea que representa tanto la posición como la orientación, la denominamos matriz. Considerando todos los grados de libertad, a la matriz se le denomina matriz T. Si queremos ilustrar un robot de seis grados de libertad, la posición y orientación están dados por la matriz T: Cuando tratamos de describir la relación entre dos elementos contiguos, hacemos uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento.

82 Generalmente en robótica utilizamos la representación de Denavit-Hartenberg (DH), que se refiere a un método matricial con el cual establecemos de manera sistemática un sistema de coordenadas ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, permitiendo seguidamente establecer las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa. Mediante esta representación, podemos escoger adecuadamente los sistemas de coordenadas relacionados con cada eslabón, haciendo posible pasar de uno al siguiente a través de 4 transformaciones básicas, las cuales dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón. Estas transformaciones básicas estriban en una sucesión de rotaciones y traslaciones, que permiten vincular al sistema de referencia i con el sistema del elemento i - 1. Las transformaciones citadas son las siguientes: 1. Rotación alrededor del eje un ángulo. 2. Traslación a través de una distancia di; esto es un vector el cual se expresa como di(0, 0, di). 3. Traslación a través de una distancia ; cuyo vector es (0, 0, ). 3. Rotación alrededor del eje un ángulo. Conviene tener presente que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que las transformaciones se deben ejecutar en el orden indicado. Es por esto, que la ejecución de las operaciones debe cumplir el siguiente formato: ( ) ( ) ( ) ( )

83 El producto entre las matrices comprometidas se expresa así: [ ] [ ] [ ] [ ] NOTA: son los parámetros DH del eslabón i. Todo indica que la tarea a seguir consiste en identificar los parámetros para obtener las matrices A y de esta manera vincular todos y cada uno de los eslabones del robot. Los cuatro parámetros de ( ) están sujetos únicamente a las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con las adyacentes, es decir, el anterior y el siguiente. Esto lo visualizamos en la figura siguiente. Figura 2. Parámetros DH para un eslabón giratorio.

84 Con la matriz T ya obtenida, tendremos expresada la orientación requerida, mediante una sub-matriz (3 X 3) de rotación, y conjuntamente la posición, en una sub-matriz (3 X 1) de traslación, del extremo del robot, en función de las coordenadas articulares, quedando de esta manera, resuelto el problema cinemático directo. EJEMPLO ILUSTRATIVO: ROBOT CILINDRICO Los correspondientes parámetros DH para este robot, quedan expresados en la tabla siguiente: Articulación d a

85 LECCIÓN 2: CINEMÁTICA INVERSA DEL MANIPULADOR COMENTARIOS INICIALES En nuestro afán por estructurar y conocer los aspectos de la configuración de los robots, dentro de lo cual hace parte los aspectos de la localización espacial, se hace indispensable que su extremo se posicione y oriente. En la mayor parte de las aplicaciones, interesa definir los movimientos del robot en el espacio cartesiano de manera relacionada con la tarea que se intenta adelantar. Por lo tanto, para el control del robot se requiere obtener los valores de las variables articulares, de tal manera que la posición y orientación del robot, o en particular de su efector final, sea la deseada. En este punto, surge el compromiso de encontrar los valores que deben asumir las coordenadas articulares del robot [ ], labor esta que se constituye en el objetivo central de problema cinemático inverso. De manera directa y concisa, podemos conjeturar que la obtención de las respectivas ecuaciones, esta intensamente subordinado a los elementos propios de la configuración del robot. Tratando de encontrar procedimientos para aliviar las dificultades inherentes al problema, se han presentado propuestas de solución de índole diversa, pero estas conllevan inconvenientes que generan limitaciones apreciables. La mayor parte de los robots suponen cinemáticas relativamente simples, lo que facilita en cierta medida la solución de su problema cinemático inverso. Es a este tipo de problemas a los que nosotros daremos atención y dedicación. ASPECTOS GENERALES DEL PROBLEMA Si consideramos solo los tres primeros grados de libertad de la mayoría de los robots, estos presentan una estructura planar, es decir, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Este detalle hace muy asequible encontrar la solución del problema. Adicionalmente, cabe mencionar que en muchos robots se observa que los tres grados de libertad últimos, en lo

86 referente a la orientación del extremo del robot, corresponden a giros sobre ejes que se cortan en un punto. Nuevamente, este pormenor hace viable el cálculo de la nupla correspondiente tanto a la posición como a la orientación requerida. Es por esto que podemos establecer algunos derroteros generales que nos concedan elementos adecuados para plantear y resolver el problema cinemático inverso de una manera ordenada y jerarquizada. Los métodos geométricos encauzan la obtención de los valores de las primeras variables articulares, las cuales se encargan de posicionar el robot (descartando la orientación de su extremo). Para esto acudimos al empleo de relaciones geométricas y trigonométricas sobre los elementos del robot. También en algunas ocasiones apelamos a la resolución de triángulos que se forman a través de los elementos y articulaciones del robot. Buscando alternativas que permitan resolver el mismo problema, se encuentra que se hace posible cuando manipulamos de manera directa las ecuaciones correspondientes al problema inverso. Por esta ruta logramos la siguiente relación: n o a p = tij Los elementos tij están en función de las coordenadas articulares, por lo que es factible mediante ciertas combinaciones de las 12 ecuaciones establecidas, despejar las n variables articulares en función de las componentes de los vectores. RESOLUCION DEL PROBLEMA CINEMATICO INVERSO POR METODOS GEOMETRICOS Como mencionamos anteriormente, usamos este procedimiento cuando tratamos robots de pocos grados de libertad, o cuando todo indica considerar únicamente los primeros grados de libertad, encargados de posicionar el extremo. La base de este procedimiento establece que hay que encontrar un suficiente número de relaciones geométricas, en las que participan las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus consabidos elementos.

87 Para aplicar el método de resolución del problema cinemático inverso de un robot con 3 GDL de rotación, emplearemos una estructura típica articular. Esta figura nos permite visualizar la configuración del robot. Figura 3. Robot articular El dato de partida son las coordenadas ( ) referidas a { en las que se intenta posicionar su extremo. La estructura de este robot es planar, en donde el plano está determinado por el ángulo de la primera variable articular. El valor adquirido por lo obtenemos de manera automática empleando: ( )

88 Cuando tenemos presente solamente los elementos 2 y 3 que se encuentran situados en un plano (figura 4a), y utilizando el conocido teorema del coseno, nos encontramos con las expresiones siguientes: Figura 4. Ilustrativa de los elementos 2 y 3 del robot de la figura 3. Ejecutando la ecuación anterior, logramos obtener en virtud del vector de posición p. Sin embargo, y por razón de ventajas computacionales, resulta más conveniente usar la expresión de la arco-tangente en lugar del coseno. Por lo que significa

89 Se llega a obtener (9) ( ) Con Es fácil apreciar que existen dos soluciones posibles para de acuerdo al tipo de signos que escojamos en la raíz (positivo o negativo). Estos casos corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo. LECCIÓN 3: RESOLUCION DEL PROBLEMA CINEMATICO INVERSO MEDIANTE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA (10) En este apartado abordamos el proceso dirigido a un robot de 3 GDL de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento), situación que ilustramos en la presente figura. El robot queda siempre incluido en un plano el cual está determinado por el ángulo Figura 5. Robot polar de 3 GDL

90 Para resolver el problema cinemático inverso, iniciamos obteniendo la expresión (6) correspondiente a este robot. Esto equivale a obtener la matriz T, con la que relacionamos el sistema de referencia S0 correspondiente a la base, con el sistema respectivo de referencia S3. En la siguiente figura, podemos apreciar la asignación de los sistemas de referencia de acuerdo a los criterios de Denavit-Hartenberg con el robot que está situado en su posición de partida ( ) y adicionalmente la tabla nos muestra los valores de los parámetros apropiados de Denavit-Hartenberg. Figura 6. Asignación de sistemas de referencia del robot polar de la figura 5. Articulación d a

91 Tomando en consideración estos parámetros, de manera ágil obtenemos las matrices A y la matriz T. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Los pasos siguientes, nos orientan a poder manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T, con el propósito de de poder despejar en términos de n, o, a p. Este camino resulta inapropiado, por lo que optamos por el procedimiento siguiente: Debido a que, tendremos que: ( ) (16) Dado que: [ ] Ya conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones (16) son función de las variables articulares ( ). Mediante algunas consideraciones, tendremos ; luego a partir de, llegamos al valor de, en ambas situaciones haciendo manipulaciones en la ecuación (16). Finalmente, conocidos y podremos obtener haciendo uso de la expresión (6). Este procedimiento lo indicamos de manera abreviada así:

92 [ ] [ ] (17) Luego encontramos: [ ] [ ] [ ] Por consiguiente, empleando la primera de las ecuaciones de (16) llegamos a tener: (18) ( ) [ ] De las relaciones anteriores establecidas en la ecuación anterior nos interesan aquellas que expresan en función de constantes (y no de ). Empleando [ ] llegamos a tener:

93 ( ) (20) Empleando ahora la segunda de las ecuaciones de (16) llegamos a obtener: ( ) ( ) [ ] De manera sucesiva llegamos a las expresiones siguientes: ( ) ( ) ( ) (23) Llegando por último a: ( ) ( ) ( ) (24) Resumiendo, las expresiones 20, 23 y 24 se refieren a la solución del problema cinemático inverso de nuestro robot considerado. Las colocamos de manera despejada y grupal:

94 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (25) LECCIÓN 4: MATRIZ JACOBIANA DEL MANIPULADOR Como pudimos darnos cuenta, el estudio del modelado cinemático de un robot, pretende hallar las relaciones que puedan existir entre las variables articulares y la posición (lo cual se expresa normalmente en forma de coordenadas polares) y orientación del extremo del robot. En este evento no se consideran las fuerzas o pares que actúan sobre el robot (actuadores, cargas, fricciones, etc.) y que pueden causar el movimiento del mismo. Conviene poder tener acceso a la relación entre las derivadas respectivas. Es decir, el sistema de control debe estar en condiciones de poder registrar las velocidades adquiridas en cada articulación (a través de sus respectivos actuadores), de tal manera que el extremo desarrolle una trayectoria temporal concreta. Para cumplir con este y otros propósitos, hemos de contar con la respectiva relación que involucre las velocidades de las coordenadas articulares, las de posición y orientación del extremo del robot. La relación que cobija ambos vectores de velocidad se deriva a través de la denominada matriz Jacobiana.

95 RELACIONES DIFERENCIALES La forma más directa para deducir la relación entre las velocidades articulares y las del extremo del robot, se hace diferenciando las ecuaciones correspondientes al modelo cinemático directo. Se trata de partir conociendo las ecuaciones que solucionan el problema cinemático directo de un robot de n GDL (grados de libertad): Mediante el empleo de la matriz Jacobiana podemos conocer las velocidades del extremo del robot mediante las velocidades de cada articulación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si estas expresiones las derivamos respecto al tiempo, llegamos a tener:

96 Estas expresiones podemos presentarlas en forma matricial: [ ] [ ] [ ] La matriz J puesta en escena, es conocida como matriz Jacobiana. Debido a que el valor numérico de cada uno de los elementos [ ] de la Jacobiana, está en función de las coordenadas articulares por lo que el valor de la Jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular. JACOBIANA INVERSA De igual manera que obtenemos la relación directa, mediante la cual se facilita el cálculo de las velocidades del extremo a partir de las velocidades articulares, es pertinente obtener la relación inversa, por medio de la cual podemos calcular las velocidades articulares partiendo de las del extremo. Esto es factible mediante el concurso de procedimientos diferentes. MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA JACOBIANA INVERSA. Inversión simbólica de la matriz Jacobiana. - Gran complejidad (matriz 6x6).

97 Evaluación numérica de J e inversión numérica - Necesidad de un re-computo continuo. - En ocasiones J no es cuadrada matriz pseudoinversa. - En ocasiones J = 0 A partir del modelo cinemático inverso. ( ) [ ( )] [ ] [ ] [ ] Es posible que este método resulte algebraicamente complicado, por lo que conviene apelar a otras opciones, haciendo uso de procedimientos numéricos para el cálculo ágil de la Jacobiana. CONFIGURACIONES SINGULARES Denominamos configuraciones singulares de un robot, a todas aquellas en las que el determinante de su matriz Jacobiana se anula. En virtud de esto, en las configuraciones singulares no puede existir Jacobiana inversa. Aquellas en las que J = 0 (Jacobiano nulo). Incremento infinitesimal de coordenadas cartesianas implica incremento infinito coordenadas articulares. Implica perdida de algún grado de libertad. Tipos: - Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot. - Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot.

98 Requieren su estudio y eliminación. LECCIÓN 5: MODELOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES Las coordenadas (x, y), suministran la posición del robot con respecto a las coordenadas globales y el ángulo φ su orientación con respecto a un eje paralelo al Y. La configuración de la figura a. es la denominada síncrona en la cual existen transmisiones que permiten orientar las tres ruedas simultáneamente con una velocidad angular ω y hacer que el vehículo se desplace con una velocidad lineal v. TOMADO DE : Robótica: Manipuladores y robots móviles. ( )

99 ( ) Siendo b la vía del vehículo (distancia que separa las dos ruedas centrales). Si se especifican, la velocidad lineal v y angular ω del vehículo, las velocidades de giro que hay que aplicar a las ruedas izquierda y derecha son: ( ) ( ) Este modelo puede expresarse en función de variables de control como, [ ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] En la figura c anterior se representa el triciclo convencional en el cual la rueda delantera se utiliza tanto para la orientación como para la tracción. En este caso las variables de control suelen tomarse como el ángulo α de dirección de la rueda delantera y la velocidad de giro de la misma ωt. Se supondrá que el punto de guía (x, y) está en el centro del eje trasero.

100 Las velocidades, lineal v y angular ω del vehículo, son respectivamente: El ángulo de orientación del vehículo varía según: Por consiguiente se puede obtener el siguiente modelo en función de las velocidades de control y. [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] Conocidas las velocidades lineal v y angular ω las variables de control α y pueden obtenerse mediante. ( ) ( )

101 CAPITULO 2: DINÁMICA DEL ROBOT INTRODUCCIÓN Cuando abordamos el estudio de la dinámica, nos ocupamos de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento originado sobre él, como consecuencia de la fuerza aplicada. Por consiguiente, el llamado modelo dinámico de un robot, tiene por objetivo, encontrar la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. Esta relación la conseguimos haciendo uso del denominado modelo dinámico, a través del cual relacionamos matemáticamente: La localización del robot. Esta localización es determinada por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración. Las fuerzas y pares que se aplican en las articulaciones, o en el extremo del robot. Los parámetros dimensionales del robot, en cuyo caso podemos citar, la longitud, las masas e inercias de sus elementos. Cuando tratamos problemas que involucran mecanismos de uno o dos grados de libertad, la obtención de este modelo no es compleja, pero con el aumento de grados de libertad, el planteamiento y la obtención del modelo dinámico, suele complicarse de manera apreciable. Es por esta razón, que no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado mediante una serie de ecuaciones, en donde la integración de las mismas, nos ayude a conocer el tipo de movimiento que surge al aplicar las fuerzas, o las que deberíamos aplicar para obtener un movimiento determinado. Es por esto que optamos resolver el modelo dinámico de una manera iterativa, apelando a la utilización de un proceso numérico. La obtención del modelo dinámico de un robot, se ha constituido en uno de los problemas más complejos de la robótica, llegando a alcanzar además, la

102 categoría de reto interesante. Podemos afirmar, que en su ejecución es imprescindible conseguir los fines siguientes: Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot. Dimensionamiento de los actuadores. Diseño evaluación del control dinámico del robot. Simulación del movimiento del robot. La obtención del modelo dinámico de un robot ha sido y es aún objeto de estudio e investigación. Un buen número de investigadores han desarrollado una serie de métodos y formulaciones alternativas, las cuales las han basado partiendo de la mecánica Newtoniana y Lagrangiana, con la acertada y atractiva intención de derivar modelos, que a su vez resulten ampliamente manejables por los sistemas de cálculo convencional, de una manera lo más eficiente posible. En este capítulo dedicaremos especial atención al tratamiento del modelo dinámico, considerando al robot como un cuerpo rígido. De igual manera, sólo llegaremos a exponer únicamente los resultados de los planteamientos mencionados, expresados en forma algorítmica, y con la metodología aplicada sobre los robots de dos grados de libertad. LECCIÓN 1: ESTRUCTURA MECÁNICA DE UN ROBOT RÍGIDO. DESCRIPCIÓN GENERAL Cuando tratamos un mecanismo o particularmente un robot, la obtención del modelo dinámico la soportamos fundamentalmente planteando el equilibrio de fuerzas, situación ésta la cual se encuentra determinada de manera completa y precisa en la segunda ley de Newton. También se registra un planteamiento para movimientos de rotación, de envergadura teórica y con reconocimientos

103 oficiales por sus logros en el terreno de la aplicación, denominada ley de Euler, cuya presentación es la siguiente: ( ) Para el caso de un simple robot mono-articular, como el representado por la figura adjunta, el equilibrio de fuerzas-pares lo expresamos empleando la siguiente ecuación: De esta manera, a partir del establecimiento del equilibrio de fuerzas y pares que participan sobre el robot, podemos obtener los denominados modelos dinámicos directo e inverso: Modelo dinámico directo: declara la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen. Modelo dinámico inverso: manifiesta los tipos de fuerzas y pares que intervienen en función de la forma, cómo evolucionan las coordenadas articulares y sus derivadas. Como planteamiento alternativo para la obtención del modelo, apelamos a la formulación Lagrangiana, la cual se sustenta en apropiadas consideraciones

104 energéticas. Es oportuno destacar que este planteamiento es más sistemático que el anterior, y por ende, hace fácil de manera muy apreciable, la formulación de un modelo tan complejo como resulta ser el de un robot. El empleo de esta formulación lo hacemos estableciendo la ecuación: En donde: Coordenadas generalizadas (Las articulares). t= Vector de fuerzas y pares aplicados en las. Función Lagrangiana. K= Energía cinética. U= Energía potencial. Teniendo en cuenta el robot mono-articular de la figura de arriba, tendríamos: En donde se encuentra establecido que: Además se conoce que: Entonces, reemplazando en L tendremos inicialmente:

105 Haciendo la debida sustitución se obtiene: Ecuación que llega a coincidir con la correspondiente a la de un robot monoarticular. OBSERVACION: la formulación Lagrangiana aunque resulta más tediosa que la Newtoniana, presenta ventajas cuando aumenta el número de grados de libertad. LECCIÓN 2: FORMULACIÓN DE LAGRANGEEULER DESCRIPCIÓN GENERAL Cuando emprendemos este planteamiento, estamos direccionados a utilizar ciertas matrices que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i -1. Se efectúan operaciones de suma y producto de manera innecesaria, por lo que resulta ser un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional. Sin embargo, es legítimo dejar claro que su aplicación nos puede conducir a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara y

106 concisa, los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento de inercia. Hacemos referencia a la fuerza de inercia, Coriolis y gravedad. Este procedimiento se basa en una interpretación de la energía involucrada. Teniendo en consideración el ejemplo del manipulador con una única articulación, la energía cinética viene dada por: Y la energía potencial por: La función Lagrangiana de la manera siguiente: La formulación dinámica se basa en la ecuación: En donde es el par aplicado. LECCIÓN 3: FORMULACIÓN DE NEWTONEULER: IMPLEMENTACION COMPUTACIONAL Para la obtención de un modelo dinámico de este tipo, se requiere generalizar a las aceleraciones, los conceptos y notaciones empleadas para ilustrar las velocidades. Se comienza presentando las expresiones correspondientes a las aceleraciones. Seguidamente, se establece el método de Newton-Euler en su forma iterativa, haciendo la ilustración de la aplicación en el manipulador plano con dos articulaciones.

107 EJEMPLO: Consideremos el manipulador con dos articulaciones de rotación como el mostrado en la figura. Para facilitar la resolución del problema tendremos en cuenta que las masas M1 y M2 están concentradas en los extremos de los enlaces. OBTENCION DEL MODELO DINAMICO SIMBOLICO SOLUCION: Variables articulares θ1 y θ2 >> syms t1 t2 real; Velocidades articulares θ'1 y θ'2 >> syms td1 td2 real; Aceleraciones articulares θ''1 y θ''2 >> syms tdd1 tdd2 real;

108 Longitudes e los enlaces (l1 y l2 ) >> syms l1 l2 real; Masas de los enlaces (m1 y m2 ) >> syms m1 m2 real; Aceleracion de la gravedad >> syms g real; Digitamos la matriz con los parámetros dinámicos del manipulador. >> dyn = [0 0 t1 0 0 m1 l ;0 l1 t2 0 0 m2 l ] ; Vector de variables articulares >> q = [ t1 t2 ] ; Vector de velocidades articulares >> qd = [ td1 td2 ] ; Vector de aceleraciones articulares >> qdd=[tdd1 tdd2] ; Vector aceleracicon de la gravedad >> grav = [ 0 g 0 ] ; tau =rne (dyn, q, qd, qdd, grav) ; simple (tau) simplify: [ l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+m2*tdd1*l1^2+l1*m2*cos(t1)*g+l1* cos(t2)*m2*l2*td2,l2*m2*(l2*tdd1l2*tdd2sin(t2)*td1^2*l1+sin(t2)*sin(t1)*gco s(t2)*tdd1*l1cos(t2)*cos(t1)*g)]

109 radsimp: [ l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^2*m2 *cos(t1)*g+l1*cos (t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)^2*m2 *cos(t1)*g,(l2*tdd1+l2*tdd2+sin(t2)*td1^2*l1sin(t2)*sin(t1)*g+cos(t2)*tdd1*l1 +cos(t2)*cos(t1)*g)*l2*m2] combine (trig): [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1*l+l 1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*t d2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*tdd1+ l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2)*td d1*l1] factor: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^2*m2 *cos(t1)*g+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)^2*m2 *cos(t1)*g,l2*m2*(l2*tdd1l2*tdd2sin(t2)*td1^2*l1+sin(t2)*sin(t1)*gcos(t2)*td d1*l1cos(t2)*cos(t1)*g)] expand: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^2*m2 *cos(t1)*g+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)^2*m2 *cos(t1)*g,l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1l2*m2*sin(t2 )*sin(t1)*g+l2*m2*cos(t2)*tdd1*l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g] combine: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1*l1 +l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2 *td2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*tdd

110 1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2) *tdd1*l1] convert(exp): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2+1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1 )1/exp(i*t1))*g)+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/ex p(i*t1))*g))+l1*m1*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g)+l1*(1/2*i*(exp(i *t2)1/exp(i*t2))*m2*((td1+td2)^2*l2+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(td1^2*l1 1/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g)1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp( i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g))+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*m2*((tdd1+tdd2)*l2+1/ 2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g)+(1/2*exp(i *t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g))),l2*m2*((tdd1+ tdd2)*l2+1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g) +(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g))] convert(sincos): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)*g)+l1*(s in(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] convert(tan): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2 *t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan( 1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))+l1*m1*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/ 2*t1)^2)*g)+l1*(2*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*m2*((td1+td2)^2*l2+(1tan( 1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+ 2*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2) *g))+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*m2*((tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1 +tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^ 2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))),l2*m*( (tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1+t an(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan( 1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))]

111 collect(t1): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)*g)+l1*(s in(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] mwcos2sin: [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)*g)+l1*(s in(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] ans = [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1*l+l 1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*t d2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*tdd1+ l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2)*td d1*l1] Matriz de masas >> M = inertia ( dyn, q) M = [l2*m2*(l2+cos(t2)*l1)+l1^2*m1+l1*(m2*sin(t2)^2*l1+cos(t2)*m2*(l2+cos(t2)*l 1)), l2*m2*(l2+cos(t2)*l1)][ l2^2*m2+l1*cos(t2)*m2*l2, l2^2*m2] Términos centrífugos y de Coriolis >> V = coriolis (dyn, q, qd ) V = [l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2cos(t2)*td1^2*l1)+cos (t2)*m2*sin(t2)*td1^2*l1), l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1]

112 OBSERVACIONES La función rne nos permite obtener el modelo dinámico. Para que esto funcione, simplemente debemos pasarle una matriz de parámetros dyn con el formato apropiado. Adicionalmente, se requiere pasarle un vector con la aceleración de la gravedad que sufre el manipulador, así como los valores de las variables articulares, los de las velocidades y las aceleraciones articulares. La función rne nos devuelve como resultado los pares ejercidos en cada articulación. LECCIÓN 4: TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS Y CINEMÁTICA DEL ROBOT (Ejemplo) DESCRIPCIÓN GENERAL Un método de categoría general con el que podemos determinar las ecuaciones cinemáticas de un brazo de robot, consiste en hacer uso de las transformaciones homogéneas. Un vector de punto, se puede representar en un espacio de tres dimensiones por una matriz de columna: [ ]

113 Donde a = x / w, b = y / w, c = z / w y w es un factor de escala. Por ejemplo, cualquiera de las siguientes matrices se utiliza para la representación del vector v = 25i+10j+20k. [ ] Vectores de la forma anterior los podemos emplear para definir la posición del extremo del brazo para un manipulador de robot. Cuando w = 0, entonces el vector representa una dirección única. Podemos trasladar o girar un vector en el espacio, mediante una transformación. Una transformación de este tipo, la hacemos posible mediante el empleo de una matriz H 4 x 4. Por ejemplo, el vector v lo podemos transformar en un vector u, haciendo uso de la siguiente operación matricial. u=hv Para realizar una traslación de un vector en el espacio en una distancia x, b en la dirección, y c en la dirección z, hemos de ejecutar una transformación, la cual viene dada por: EJEMPLO: H=Trans a,b,c= Para el vector V = 25i + 10j + 20k realizar una traslación para una distancia 8 en la dirección x, 5 en la dirección y 0 en la dirección z. SOLUCION: >> a = 8, b= 5, c = 0

114 a = 8 b = 5 c = 0 El vector en consideración es: >> V = [ ] ' V = La transformación de traslación seria: >> H = transl (a, b, c) H = El vector de traslación seria: >> HV = H * V HV = diary off

115 LECCIÓN 5: MODELO DIRECTO DEL MANIPULADOR: IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL (Ejemplo) Considérese el manipulador plano con tres articulaciones de rotación (ver figura). Las longitudes de los dos primeros segmentos son l1 y l2. Se trata de implementar el modelado del manipulador mediante la obtención de la transformación apropiada para tal fin.

116 SOLUCION: Establecemos las variables articulares θ1, θ2 y θ3. syms t1 t2 t3 real Determinamos los parámetros l1 y l2. syms l1 l2 real Ahora ingresamos la matriz mediante los parámetros de Denavit- Hartenberg. dh = [ 0 0 t1 0 0 ; 0 l1 t2 0 0 ; 0 l2 t3 0 0 ] dh = [ 0, 0, t1, 0, 0] [ 0, l1, t2, 0, 0] [ 0, l2, t3, 0, 0] Seguidamente, llamamos a la función con la que podemos obtener la matriz T. La función empleada para tal efecto es fkine (dh, q ) y sus parámetros son la matriz de parámetros Denavit-Hartenberg y el vector de variables articulares. Ingresamos el vector de variables articulares q =[t1 t2 t3] ; T=simple (fkine (dh,q) ) T = [cos (t1+ t2+ t3 ), sin( t1+ t2+ t3 ), 0, cos ( t1+t2)* l2 + cos (t1)*l1][sin(t1+ t2+ t3), cos ( t1+ t2+ t3), 0, sin( t1+ t2)* l2+ sin( t1) * l1][ 0, 0, 1,0][0,0,0,1] La función simple se encarga de simplificar la expresión resultante.

117 OBSERVACIONES: La función fkine se encarga de tomar los valores para las variables articulares del segundo parámetro que se le pasa, y no de los que aparecen en la matriz dh. Esto significa, que si la articulación es de rotación, no se tendrá en cuenta el valor del tercer elemento de la fila correspondiente de la matriz dh. diary off CAPITULO 3: IMPLEMENTACIONES COMPUTACIONALES COMENTARIOS PRELIMINARES El tratamiento de la cinemática de los robots manipuladores, nos indica la conveniencia de emplear de manera exclusiva la plataforma de MATLAB, ante la otra opción de hacerlo con la del SIMULINK. La explicación consiste en la circunstancia de que los datos involucrados en la cinemática son matrices, los cuales como es sabido, son más fácilmente tratados desde MATLAB que desde SIMULINK. En la unidad I abordamos los temas relacionados con vectores y matrices, con el propósito de facilitar la comprensión de los aspectos aplicativos, los cuales tocaremos en estas secciones. De igual manera tratamos la representación gráfica, con la cual hacemos posible la ilustración de ciertos modelos de robots móviles. Para resolver la cinemática de un robot, resulta suficiente conocer los parámetros de Denavit-Hartenberg. Estos parámetros son ingresados en una matriz de acuerdo a un formato determinado (matriz dh ). Esta matriz será la que permitirá el paso de las funciones de MATLAB, por lo que recomendamos asimilar bien su significado y contenido.

118 En la tabla siguiente presentamos de manera resumida, las instrucciones que habitualmente se emplean para efectuar ciertos cálculos relacionados con la cinemática de los robots manipuladores. Conviene aclarar, que algunas de ellas no se utilizan directamente, pero aparecen en el cuerpo de funciones que si se usan, por lo que también aparecen descritas. Instrucciones relacionadas con la cinemática

119 En cuanto a la dinámica de los robots manipuladores es posible elegir emplear el MATLAB directamente, o el SIMULINK. Cuando el propósito es tratar resultados simbólicos y trabajar con matrices, resulta más conveniente el uso del MATLAB. En los otros casos, ambas plataformas reportan un manejo en igualdad de condiciones. En la tabla siguiente presentamos de manera resumida, las instrucciones que habitualmente se emplean para efectuar ciertos cálculos relacionados con la dinámica de los brazos manipuladores.

120 LECCIÓN 1: MODELO DIRECTO DEL MANIPULADOR EJEMPLO: Consideremos el robot que se muestra en la figura. El sistema de referencia {0} se supone rígidamente unido al enlace 0 (anclaje del robot) y el {n} al último enlace. El sistema {1} coincide con el {0} para θ1= 0, pero gira con respecto a este valor al variar θ 1. SOLUCION: Variables articulares θ1 >> syms t1 d2 t3 real ; Parametro l2 >> syms l2 real ; Cálculo de las respectivas matrices >> T1 = linktrans ( [ ], t1 ) T1 = [ cos(t1), -sin(t1), 0, 0] [ sin(t1), cos(t1), 0, 0] [ 0, 0, 1, 0] [ 0, 0, 0, 1]

121 >> T2 = linktrans ( [ pi/ ], d2 ) T2 = [ 1, 0, 0, 0] [ 0, 0, 1, d2] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 0, 1] >> T3 = linktrans ( [ l2 0 ], t3 ) LECCIÓN 2: MODELO INVERSO DEL MANIPULADOR Generalmente, en la mayor parte de las aplicaciones, nos interesa determinar los movimientos del robot ubicado en el espacio cartesiano, haciendo una estrecha relación con la tarea que se intenta desarrollar. En virtud de esto, para establecer el control del robot, se hace necesario encontrar los valores de las variables articulares, de tal manera que la posición y orientación del robot, o en particular de su efector final, sea la deseada. EJEMPLO: Consideremos el manipulador del ejemplo anterior. El sistema de referencia {0} coincide con el {1} para el valor de θ 1= 0 (figura anterior). Se trata de estudiar la posición (x, y) del extremo del segundo enlace. Por consiguiente el giro de la tercera articulación (sistema de referencia {3}) no se considera. Supuesta la segunda articulación en su máxima extensión, el origen de {2} coincidirá con el de {3}, como se observa en la figura. Las coordenadas x e y de este origen expresadas en el sistema {0} pueden tomar cualquier valor solo limitado por los rangos de variación de las variables articulares. SOLUCION: Calcular el modelo directo del manipulador a. Variables articulares θ1 y d2. >> syms t1 d2 real ; Matriz con los parámetros de Denavit-Hartenberg

122 >> dh =[ 0 0 t1 0 0 ; pi/2 0 0 d2 1 ] ; Vector de las variables articulares >> q = [t1 d2]; Calculo del resultado >> T= simple (fkine (dh, q ) ) T = [ cos ( t1 ), 0, sin ( t1), sin ( t1) * d2 ] [ sin ( t1 ), 0, -cos( t1 ), -cos( t1 ) * d2 ] [ 0, 1, 0, 0 ] [ 0, 0, 0, 1 ] b. Representación de los valores que toma θ1 en función de las coordenadas(x, y). >> [ x, y] = meshgrid (1: 0.03 :1, 1: 0.03 : 1 ) ; t1 = atan2 (x,y); >> surf (x, y, t1 ) ; Representación de d2 en función del punto (x, y ) del extremo del manipulador >> [x1, y1] = meshgrid ( 1: 0.03: 1, 1: 0.03:1 ) ; >> d2 = sqrt (x1. ^2 + y. ^2 ) ; >> surf ( x1, y1, d2 ) ; LECCIÓN 3: JACOBIANO DEL MANIPULADOR El Jacobiano del manipulador se encarga de relacionar las velocidades, con las velocidades cartesianas del extremo del manipulador. En el modelo matemático apropiado, hay que tomar como referencia el sistema {0}. Es conveniente tener presente que el Jacobiano se expresa en un determinado sistema de referencia. De igual manera, notamos que para unos determinados valores de las variables articulares, las relaciones entre las velocidades articulares y las velocidades en el espacio cartesiano son lineales. EJEMPLO: Consideremos el manipulador con tres articulaciones de rotación, con los ejes del marco de referencia {3} en la misma dirección que los del {2}. Se

123 trata de obtener la velocidad en el origen del sistema {3} y el Jacobiano del manipulador. SOLUCION: Variables articulares θ1, θ2 y θ3 >> syms t1 t2 t3 real ; Parámetros l1 y l2 >> syms l1 l2 real ; Matriz con los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot. >> dh = [ 0 0 t1 0 0 ; 0 l1 t2 0 0 ; 0 l2 t3 0 0 ] ; >> q = [ t1 t2 t3 ] ; Expresión en {3} para el Jacobiano >> J = simple ( jacobn (dh, q )) Expresión en {0} para el Jacobiano >> J = simple ( jacob0 (dh, q) ) J = [ l2*sin(t1+t2)sin(t1)*l1, l2*sin(t1+t2), 0] [ l2*cos(t1+t2)+cos(t1)*l1, l2*cos(t1+t2), 0] [ 0, 0, 0] [ 0, 0, 0] [ 0, 0, 0] [ 1, 1, 1] Comprobación de los resultados: propagación de velocidades Derivadas de las variables articulares (θ'1, θ'2 y θ'3). >> syms td1 td2 td3 real ; Parámetros l1 y l2

124 >> syms l1 l2 real ; Vector con las derivadas de las variables articulares. >> qd = [ td1 td2 td3 ] ; Vector velocidad lineal del {0} >> v0 = [ ]' ; Vector velocidad angular del {0} >> w0 = [ ]' ; Ejecución de los resultados esperados. >> z = simple (velprop (dh, q, qd, v0, w0 ) ) z = td1*l1*sin(t2+t3)+sin(t3)*l2*td1+sin(t3)*l2*td2 td1*l1*cos(t2+t3)+cos(t3)*l2*td1+cos(t3)*l2*td td1+td2+td3 OBSERVACION: la función velprop se encarga de calcular el vector de velocidades en el espacio cartesiano, expresado en el sistema de coordenadas del cuadro {n}, donde n representa el número de enlaces del manipulador. Esta función contiene las velocidades lineales y angulares del extremo del manipulador. Para poderla activar de manera conveniente, se requiere entregarle una serie de parámetros, los cuales son: q: vector de variables articulares. qd: vector de velocidades de las variables articulares. v0: velocidad lineal de la base. w0: velocidad angular de la base.

125 LECCIÓN 4: OBTENCIÓN DE LAS TRAYECTORIAS ARTICULARES Existe un modelo que relaciona los pares de control en las articulaciones, con la evolución de las variables articulares. Si nos proponemos simular el comportamiento dinámico del manipulador ante determinados pares, se requiere para lograr esto, resolver el modelo que nos conduce a las trayectorias circulares. EJEMPLO: Se trata de obtener la trayectoria que seguirá el manipulador de la figura: Los datos que tendremos en consideración son estos: m1 = 2 Kg, m2 = 1 Kg, l1 = 3 m, l2 = 1 m.

126 SOLUCION: Ingresamos los datos del problema. >> m1 = 2 ; m2 = 1 ; l1 = 3 ; l2 =1 ; Cargamos los parámetros del manipulador. >> dyn = [ m1 l ; 0 l m2 l ] ; Integramos la dinámica >> [ tsim, q, qd] fdyn (dyn, 0, 10, 'taucap5', [0 0]',[ 0 0]', [ ] ) ; Para obtener una animación del manipulador, ingresamos: >> dh = [ ; ] ; plotbot (dh, q, 'd') LECCIÓN 5: CREACIÓN DE UN ROBOT: SIMULACIÓN EJEMPLO: Consideremos un manipulador plano de dos enlaces, el cual posee los parámetros de articulaciones estándar de Denavit-Hartenberg, mostrados en la tabla:

127 Nosotros procederemos a crear un par de articulaciones tipo objeto. >> L1 = link ([ ], ' standard ' ) L1 = R (std) >> L2 = link ([ ], ' standard ' ) L2 = R (std) Ahora creamos el objeto robot. >> r = robot ({ L1 L2 } ) r = noname (2 axis, RR) grav = [ ] standard D&H parameters alpha A theta D R/P R (std) R (std) Visualización grafica del robot creado. >> plot ( r, [0 0] )

128 UNIDAD III: IMPLEMENTACIÓN Y SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE TAREAS ROBÓTICAS CAPITULO 1: REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN Y POSICIÓN LECCIÓN 1: EJEMPLO Un robot móvil provisto de sensores de proximetría detecta un obstáculo, cuya posición con respecto a un sistema de coordenadas solidario al robot es: [ ] Calcular la rotación que realiza de 20 grados alrededor del eje Ź. >> P1enA = [ ] ' P1enA = Procedemos a calcular empleando un recurso computacional directo. >> P2enA = rotz(pi/9)*p1ena P2enA =

129 Obtener las coordenadas del obstáculo en el sistema de referencia { A }, cuando el robot se encuentra en las coordenadas (8,4). >> P3enA = transl (8,4,0) * rotz (pi/9) * P1enA Ilustración de las relaciones de los sistemas de referencia. >> TA = [ ; ; ; ] >> TB = transl (8,4,0) * rotz ( pi / 9) * TA TB = >> frame (TA, 'c',1 ) ;

130 >> frame (TB,'b',1); Determinación de rangos de representación >> axis ( [ ] ) Activación para facilitar el giro de la representación >> rotate3d Adicionarle rejilla a la representación >> grid on (El resultado aparecerá mostrado en la siguiente figura)

131 COMENTARIO: visualización de las transformaciones entre los sistemas de referencia. LECCIÓN 2: EJEMPLO Consideremos un manipulador plano con una articulación de traslación y otra de rotación como el que se muestra en la figura:

132 Sean d y las variables de la primera y segunda articulación. θ Calcular las coordenadas en el sistema {A} en función de las coordenadas respecto al sistema {B}. SOLUCIÓN: Contamos la información siguiente: Una rotación según un ángulo π /2 - θ Una traslación según el vector lsinθ lcosθ 0T La traslación según 0 d 0T Procedemos a ingresar comandos en nuestra plataforma computacional. >> syms t l d px py real >> PenB = [ px py 0 1] ' PenB = px py 0 1 >> v1 = [l *sin( t ) l *cos ( t ) 0 ] v1 = [ l* sin(t), l*cos(t), 0] >> v2 = [ 0 d 0 ] v2 = [ 0, d, 0] >> solucion1 = transl (v1) *t ransl (v2) * rotz (pi / 2) * PenB solucion1 =

133 / *pxpy+l*sin(t)px / *py+d+l*cos(t) 0 1 LECCIÓN 3: EJEMPLO (calcular una trayectoria cartesiana entre dos puntos). DESCRIPCIÓN: La trayectoria consta de una serie de puntos, la cual coincide con la longitud del vector (r). El vector distancia r a lo largo de la trayectoria se considera dentro de un intervalo (0, 1). Se trata de obtener una trayectoria cartesiana (TC) desde un punto, la cual representaremos por una transformación homogénea de TO a T1. Con la función jtraj podemos crear la trayectoria del vector r. Con la función cjtraj obtenemos la trayectoria cartesiana. SOLUCIÓN: >> TO = transl ( [ ] ) TO = >> T1= transl ( [ ]) T1 =

134 >> t = [ 0 : : 10 ] ; >> r = jtraj( 0, 1, t) ; >> TC = ctraj (TO, T1, r) ; >> plot ( t, transl ( TC ) ) ; >> grid on LECCIÓN 4: EJEMPLO (cálculo de cuaternios) Un ejemplo simple. DESCRIPCIÓN: Se trata de hacer interpolación de unidades de cuaternios mediante el uso de la función qinterp. La interpolación planteada es entre Q1 y Q2.

135 >> q1 = quaternion (rotx ( 0.3 ) ) q1 = < , 0, 0> >> q2 = quaternion ( roty (-0.5) ) q2 = <0, ,0> >> qinterp (q1, q2, 0 ) ans = < , 0, 0> >> qinterp (q1, q2, 1 ) ans = <0, ,0> >> qinterp (q1, q2, 0.3) ans = < , ,0> Construcción de un objeto cuaternio >> t = rotx ( 0.2 ) t = >> q1 = quaternion ( t ) q1 = < , 0, 0> >> q2 = quaternion ( roty ( 0.3 ) ) q2 = <0, , 0> >> q1 * q2 ans = < , , > >> q1 * q1 ans =

136 < , 0, 0> >> q1^ 2 ans = < , 0, 0> >> q1 * inv ( q1 ) ans = 1 <0, 0, 0> >> q1 / q1 ans = 1 <0, 0, 0> >> q1 / q2 ans = < , , > >> q2 / q2 ans = 1 <0, 0, 0> >> q1 * q2 ^ (-1) ans = < , , > Gráfica de la rotación de cuaternios >> q = quaternion (rotx (0.3 ) ) >> plot ( q )

137 LECCIÓN 5: Creación de un modelo mecánico (Modelado y simulación del péndulo simple). UN PÉNDULO SIMPLE: una barra de acero oscilante El Sistema de Coordenada Mundial y la Gravedad. Sistema de coordenada (SC) llamado mundial. El (SC) tiene un origen en (0,0,0) y una tríada dextrógira, ejes de sistemas ortogonales.

138 Un punto cualquiera conectado a tierra respecto al mundo. Representación de puntos conectados a tierra mediante los Ground blocks (Configuración). Propiedades del péndulo simple Teniendo en cuenta los datos siguientes: ρ = 7.93 gm / cc, L = 1 m, r = 1 cm, m = ρπ inercia I. L = 2490 gm y los tensores de

139 ( ) ( ) ( ) Los datos del cuerpo para el péndulo simple ( la masa y las propiedades geométricas del cuerpo). El Elipsoide equivalente de Péndulo Simple con los Sistemas de Coordenada del Cuerpo.

140 Representación final del modelo y su configuración respectiva. Simulación del movimiento pendular (visualización).

141 Gráfica del espacio fase del movimiento del péndulo simple: velocidad angular versus ángulo. CAPITULO 2: MODELOS CINEMÁTICOS DE ROBOTS EJEMPLO LECCIÓN 1: Cinemática inversa de un manipulador (trayectoria de transformaciones). Ingreso de las variables articulares. >> t1= 0 ; t2 = 0 ; t3 = 0 ; >> l1 = 4 ; l2 = 3 ; Creación de la matriz dh del manipulador (parámetros de Denavit-Hartenberg).

142 >> dh = [ 0 0 t1 0 0 ; 0 l1 t2 0 0 ; 0 l2 t3 0 0 ] dh = Determinación de la tolerancia y el número máximo de iteraciones. >> stol = 1e-6; ilimit = 1000 ; Ingreso de la trayectoria ( arco de radio 5) y la orientación deseadas (radianes). >> x = 0 : 0.05 :5 ; >> y = sqrt ( 25 x.^2 ) ; Ingreso del vector fila nulo de la misma dimensión que x. Cálculo del modelo inverso para cada uno de los puntos de la trayectoria, usando un vector inicial q0 = [0 0 0] y una máscara M = [ ]. >> q = ikine (dh, stol, limit,tg, [0 0 0], [ ] ) q =

143 Gráfica del manipulador mientras recorre la trayectoria (representación matricial en el plano XY, con representación de los cuadros de referencia de cada una de las articulaciones y el cuadro de referencia asociado al efector final). Activación de los efectos rotacionales (animación). >> rotate3d

144 LECCIÓN 2: Obtención del Jacobiano del robot manipulador Puma 560 SOLUCIÓN: Ingreso de las variables articulares ( θ1, θ2, θ3, θ4, θ5 y θ6 ). >> syms t1 t2 t3 t4 t5 t6 real; Ingreso de las derivadas de las variables articulares (θ'1, θ'2, θ'3, θ'4, θ'5, y θ'6). >> syms td1 td2 td3 td4 td5 td6 real; Ingreso de los parámetros a2, a3, d3, y d4. >> syms a2 a3 d3 d4 real ; Ingreso de la matriz con los parámetros de Denavit-Hartenberg del Puma 560.

145 >> dh = [ 0 0 t1 0 0; pi/ 2 0 t2 0 0 ; 0 a2 t3 d3 0 ; pi/ 2 a3 t4 d4 0;pi/2 0 t5 0 0 ; pi/ 2 0 t6 0 0 ] dh = [ 0, 0, t1, 0, 0 ] [ pi/2, 0, t2, 0, 0 ] [ 0, a2, t3, d3, 0 ] [ pi/2, a3, t4, d4, 0] [ pi/2, 0, t5, 0, 0 ] [ pi/2, 0, t6, 0, 0 ] Ingreso del vector de variables articulares. >> q = [ t1 t2 t3 t4 t5 t6 ] q = [ t1, t2, t3, t4, t5, t6 ] Ingreso del vector con las derivadas de las variables articulares. >> qd = [ td1 td2 td3 td4 td5 td6 ] qd = [ td1, td2, td3, td4, td5, td6] Ingreso del vector velocidad lineal del marco {0} >> v0 = [ ] ' v0 = Ingreso del vector velocidad angular del marco { 0 } >> w0 = [0 0 0] ' w0 = >> z = simple (velprop( dh,q,qd,v0,w0 ) )

146 z = cos(t6)*(cos(t5)*(cos(t4)*(cos(t3)*cos(t2)*td1*d3+sin(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1* d3)(td2+td3)*d4)sin(t4)*(cos(t2)*td1*a2+(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td 1)*d4(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1)*a3))+sin(t5)*(sin(t3)*cos(t2)*td1 *d3+cos(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)+(td2+td3)*a3))sin(t6)*(sin(t4)*(cos(t3)*c os(t2)*td1*d3+sin(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)(td2+td3)*d4)+cos(t4)*(cos(t2)* td1*a2+(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)*d4(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*c os(t2)*td1)*a3))sin(t6)*(cos(t5)*(cos(t4)*(cos(t3)*cos(t2)*td1*d3+sin(t3)*(td2* a2+sin(t2)*td1*d3)(td2+td3)*d4)sin(t4)*(cos(t2)*td1*a2+(cos(t3)*sin(t2)*td1si n(t3)*cos(t2)*td1)*d4(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1)*a3))+sin(t5)*(sin( t3)*cos(t2)*td1*d3+cos(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)+(td2+td3)*a3))cos(t6)*(si n(t4)*(cos(t3)*cos(t2)*td1*d3+sin(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)(td2+td3)*d4)+c os(t4)*(cos(t2)*td1*a2+(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)*d4(sin(t3)*sin( t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1)*a3))sin(t5)*(cos(t4)*(cos(t3)*cos(t2)*td1*d3+sin(t 3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)(td2+td3)*d4)sin(t4)*(cos(t2)*td1*a2+(cos(t3)*sin(t 2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)*d4(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1)*a3))+cos (t5)*(sin(t3)*cos(t2)*td1*d3+cos(t3)*(td2*a2+sin(t2)*td1*d3)+(td2+td3)*a3) cos(t6)*(cos(t5)*(cos(t4)*(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)sin(t4)*(td2+t d3))+sin(t5)*(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1+td4))sin(t6)*(sin(t4)*(cos( t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)+cos(t4)*(td2+td3)+td5)sin(t6)*(cos(t5)*(cos (t4)*(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*cos(t2)*td1)sin(t4)*(td2+td3))+sin(t5)*(sin(t3)si n(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1+td4))cos(t6)*(sin(t4)*(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)*c os(t2)*td1)+cos(t4)*(td2+td3)+td5)sin(t5)*(cos(t4)*(cos(t3)*sin(t2)*td1sin(t3)* cos(t2)*td1)sin(t4)*(td2+td3))+cos(t5)*(sin(t3)*sin(t2)*td1cos(t3)*cos(t2)*td1+ td4)+td6 Ahora procedemos a emplear el Jacobiano J = [(cos(t2)*(cos(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos(t6)sin(t4)*sin(t6))sin(t3)*sin(t5)*cos(t6)) +sin(t2)*(sin(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos(t6)sin(t4)*sin(t6))+cos(t3)*sin(t5)*cos(t6) ))*d3+(sin(t4)*cos(t5)*cos(t6)cos(t4)*sin(t6))*(cos(t2)*(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2 )sin(t2)*(sin(t3)*a3+cos(t3)*d4)),(cos(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos(t6)sin(t4)*sin(t6) )+sin(t3)*sin(t5)*cos(t6))*(sin(t3)*a3+cos(t3)*d4)+(sin(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos( t6)sin(t4)*sin(t6))+cos(t3)*sin(t5)*cos(t6))*(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2),*cos(t4)*c os(t5)*cos(t6)+sin(t4)*sin(t6))*d4+sin(t5)*cos(t6)*a3,0,0,0][(cos(t2)*(cos(t3)*(c os(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))+sin(t3)*sin(t6)*sin(t5))+sin(t2)*(sin(t3)*(c os(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))cos(t3)*sin(t6)*sin(t5)))*d3+(sin(t4)*cos(t5

147 )*sin(t6)cos(t4)*cos(t6))*(cos(t2)*(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2)sin(t2)*(sin(t3)*a3+ cos(t3)*d4)),(cos(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))sin(t3)*sin(t6)*sin(t 5))*(sin(t3)*a3+cos(t3)*d4)+(sin(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))cos( t3)*sin(t6)*sin(t5))*(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2),(cos(t4)*cos(t5)*sin(t6)+sin(t4)*c os(t6))*d4sin(t6)*sin(t5)*a3,0,0,0][(cos(t2)*(cos(t3)*cos(t4)*sin(t5)sin(t3)*cos(t 5))+sin(t2)*(sin(t3)*cos(t4)*sin(t5)+cos(t3)*cos(t5)))*d3+sin(t4)*sin(t5)*(cos(t2) *(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2)sin(t2)*(sin(t3)*a3+cos(t3)*d4)),(cos(t3)*cos(t4)*sin( t5)+sin(t3)*cos(t5))*(sin(t3)*a3+cos(t3)*d4)+(sin(t3)*cos(t4)*sin(t5)+cos(t3)*co s(t5))*(cos(t3)*a3sin(t3)*d4+a2),cos(t4)*sin(t5)*d4+cos(t5)*a3,0,0,0][sin(t2)*(c os(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos(t6)sin(t4)*sin(t6))sin(t3)*sin(t5)*cos(t6))cos(t2)*(sin (t3)*(cos(t4)*cos(t5)*cos(t6)sin(t4)*sin(t6))+cos(t3)*sin(t5)*cos(t6)),sin(t4)*cos( t5)*cos(t6)cos(t4)*sin(t6),sin(t4)*cos(t5)*cos(t6)cos(t4)*sin(t6),sin(t5)*cos(t6), sin(t6),0][sin(t2)*(cos(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))+sin(t3)*sin(t6) *sin(t5))cos(t2)*(sin(t3)*(cos(t4)*cos(t5)*sin(t6)sin(t4)*cos(t6))cos(t3)*sin(t6)*s in(t5)),sin(t4)*cos(t5)*sin(t6)cos(t4)*cos(t6),sin(t4)*cos(t5)*sin(t6)cos(t4)*cos(t 6),sin(t6)*sin(t5),cos(t6),0][sin(t2)*(cos(t3)*cos(t4)*sin(t5)sin(t3)*cos(t5))cos( t2)*(sin(t3)*cos(t4)*sin(t5)+cos(t3)*cos(t5)),sin(t4)*sin(t5),sin(t4)*sin(t5),cos(t5 ),0,1] Visualización gráfica del robot Puma560. >> puma560 >> plot (p560, q ) Activación de los efectos rotacionales (animación) >> rotate3d

148 LECCIÓN 3: Orientación y posición cartesiana del efector final conocida la estructura cinemática y las coordenadas articulares. Definición de la matriz cinemática del robot Puma 560. >> puma560 Cinemática directa de un robot para articulaciones seriales del robot. >> fkine ( p560, qz) ans = Visualización respectiva >> plot ( p560, qz)

149 Ejecución de la cinemática inversa: encontrar las coordenadas articulares del robot. Generación de la transformación correspondiente para una coordenada articular particular. >> q = [0 pi / 4 pi / 4 0 pi / 8 0 ] q = >> T = fkine ( p560, q ) T = Obtención de los correspondientes ángulos articulares. >> qi = ikine (p560, T) qi = Obtención del Jacobiano del manipulador correspondiente. >> q = [ ] q = >> J1 = jacob0 ( p560, q ) J1 =

150 El Jacobiano en el sistema de referencia del efector final. >> J =jacobn ( p560, q ) J = Observar la condición de invertibilidad. >> det (J) ans = Velocidad articular (traslación de 0.1 m / s en la dirección X del efector final) >> vel = [ ] ' vel = >> qvel = inv( J ) * vel qvel =

151 Expresada en arreglo de fila. >> qvel ' ans = LECCIÓN 4: Construcción de un objeto link (parámetros cinemáticos). Construcción del objeto link. >> L= link ([ pi/2, 0.02, 0,0.15 ] ) L = R (std) Parámetros de Denavit-Hartenberg que implementan modelos cinemáticos. >> L.RP ans = R >> L.mdh ans = 0 >> L.G = 100 L = R (std) >> L.Tc = 5 L = R (std) >> L L =

152 R (std) Visualización de los parámetros. >> showlink ( L ) alpha = A = 0.02 theta = 0 D = 0.15 sigma = 0 mdh = 0 offset = 0 m = r = I = Jm = G = 100 B = 0 Tc = 5-5 qlim = Visualización detallada para el robot Puma (link 2). >> showlink ( p560.link{2} ) alpha = 0 A = theta = 0 D = 0 sigma = 0 mdh = 0 offset = 0 m = 17.4 r =

153 I = Jm = G = B = Tc = qlim = LECCIÓN 4: Análisis cinemático del manipulador RR EJEMPLO: Visualización grafica de los puntos de una trayectoria que recorre el efector final de un manipulador RR (con enlaces de longitud L1 = L2 = 1), cuando las dos variables rotacionales θ1 y θ2 varían uniformemente de 0 a pi = 2. A. Ingreso de los valores respectivos. >> L1=1 >> L2=1

154 >> th1 = 0: (pi / 2 ) / 20 : pi /2 th1 = Columns 1 through Columns 9 through Columns 17 through >> th2 = 0: ( pi / 2 ) / 20 : pi /2 ; >> px = L1*cos ( th1 ) + L2 *cos ( th1+ th2 ) px = Columns 1 through Columns 9 through Columns 17 through >> py = L1 * sin ( th1) + L2 *sin (th1+ th2) py = Columns 1 through Columns 9 through Columns 17 through Obtención de la gráfica respectiva plot (px, py)

155 >> p = [ px ; py ] ; p = Columns 1 through Columns 9 through Columns 17 through B. Mediante el uso de funciones ( function p = pcd (L1, L2, th1, th2 ) >> p = pcd ( L1, L2, th1, th2 ) ; p = Columns 1 through Columns 9 through Columns 17 through

156 >> plot ( p (1, : ), p( 2, : ), '+' ) C. Gráfica de la configuración espacial del robot. >> th1= 30 *pi /180 ; >> th2 = 60 * pi /180 ; >> p = pcd ( L1, L2, th1, th2 ) ; >> robot ( L1, th1, p); >> L1= linspace (1, 1, 21) >> L2 = linspace ( 1, 1, 21) >> x = [ 0 L1.* cos( th1 ) p(1) ] ; >> y = [0 L1.*sin( th1 ) p(2) ] ; >> plot ( x, y )

157 CAPITULO 3: MODELOS DINÁMICOS DE ROBOTS LECCIÓN 1: EL MÉTODO DE NEWTONEULER EJEMPLO: Consideremos el manipulador ilustrado en la figura, el cual consta de dos articulaciones de rotación, y sus masas están concentradas en sus extremos respectivos. Se trata de obtener el modelo dinámico, mediante el par correspondiente a los términos centrífugos y de Coriolis, cuya función se deriva de las ecuaciones de Newton-Euler.

158 SOLUCION: Variables articulares θ1 y θ2 >> syms t1 t2 real ; Velocidades articulares θ'1 y θ'2 >> syms td1 td2 real ; Aceleraciones articulares θ''1 y θ''2 >> syms tdd1 tdd2 real ; Longitudes de los enlaces ( l1 y l2 ) >> syms l1 l2 real ; Masas de los enlaces ( m1 y m2 ) >> syms m1 m2 real ; Aceleración de la gravedad >> syms g real ; Ingresamos la matriz con los parámetros dinámicos del manipulador. >> dyn = [ 0 0 t1 0 0 m1 l ; 0 l1 t2 0 0 m2 l ] dyn = [ 0, 0, t1, 0, 0, m1, l1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0] [ 0, l1, t2, 0, 0, m2, l2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0] Ingresamos el vector de variables articulares >> q = [t1 t2] q = [ t1, t2] Ingresamos el vector de velocidades articulares >> qd = [td1 td2] qd = [ td1, td2] Ingresamos el vector de aceleraciones articulares qdd = [ tdd1, tdd2] Ingresamos el vector de aceleración de la gravedad

159 >> grav = [0 g 0 ] grav = [ 0, g, 0 ] >> tau = rne (dyn, q, qd, qdd, grav ) tau = [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)* g)+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)* l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] Obtención de la expresión simbólica de los términos pares (centrífugos y de Coriolis). >> simple ( tau) simplify: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+m2*tdd1*l1^2+l1*m2*cos(t1)*g+l1*cos(t 2)*m2*l2*t dd2,l2*m2*(l2*tdd1l2*tdd2sin(t2)*td1^2*l1+sin(t2)*sin(t1)*gcos( t2)*tdd1*l1cos(t2)*cos(t1)*g)] radsimp: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^2*m2 *cos(t1)*g+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)^2*m2 *cos(t1)*g,l2*m2*(l2*tdd1+l2*tdd2+sin(t2)*td1^2*l1sin(t2)*sin(t1)*g+cos(t2)*t dd1*l1+cos(t2)*cos(t1)*g)] combine(trig: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1*l 1+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l 2*td2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*td d1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2 )*tdd1*l1] factor: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd

160 1*l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m 2*l2*td1*td21*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^ 2*m2*cos(t1)*g+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t 2)^2*m2*cos(t1)*g,l2*m2*(l2*tdd1l2*tdd2sin(t2)*td1^2*l1+sin(t2)*sin(t1)*gco s(t2)*tdd1*l1cos(t2)*cos(t1)*g)] expand: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2l2*m2*sin(t2)*sin(t1)*g+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1 *l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2 *l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2*td2^2+sin(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*sin(t2)^2*m2 *cos(t1)*g+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2+cos(t2)^2*m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)^2*m2 *cos(t1)*g,l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1l2*m2*sin(t2 )*sin(t1)*g+l2*m2*cos(t2)*tdd1*l1+l2*m2*cos(t2)*cos(t1)*g] combine: [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1*l1 +l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l2 *td2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*tdd 1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2) *tdd1*l1] convert(exp): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2+1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1 )1/exp(i*t1))*g)+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/e xp(i*t1))*g))+l1*m1*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g)+l1*(1/2*i*(exp( i*t2)1/exp(i*t2))*m2*((td1+td2)^2*l2+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(td1^2*l1 1/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g)1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp( i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g))+(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*m2*((tdd1+tdd2)*l2+1/ 2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g)+(1/2*exp(i *t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/exp(i*t1))*g))),l2*m2*((tdd1+ tdd2)*l2+1/2*i*(exp(i*t2)1/exp(i*t2))*(td1^2*l11/2*i*(exp(i*t1)1/exp(i*t1))*g) +(1/2*exp(i*t2)+1/2/exp(i*t2))*(tdd1*l1+(1/2*exp(i*t1)+1/2/e xp(i*t1))*g))] convert(sincos): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)* g)+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)* l2sin(

161 t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] convert(tan): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2 *t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan( 1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))+l1*m1*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/ 2*t1)^2)*g)+l1*(2*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*m2*((td1+td2)^2*l2+(1tan( 1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+ 2*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2) *g))+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*m2*((tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1 +tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^ 2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1)^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))),l2*m2 *((tdd1+tdd2)*l22*tan(1/2*t2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(td1^2*l1+2*tan(1/2*t1)/(1 +tan(1/2*t1)^2)*g)+(1tan(1/2*t2)^2)/(1+tan(1/2*t2)^2)*(tdd1*l1+(1tan(1/2*t1 )^2)/(1+tan(1/2*t1)^2)*g))] collect(t1): [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)* g)+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)* l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] mwcos2sin: [l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2sin(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)* g))+l1*m1*(tdd1*l1+cos(t1)* g)+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2+cos(t2)*(td1^ 2*l1+sin(t1)*g)+sin(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))+cos(t2)*m2*((tdd1+tdd2)* l2sin( t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))),l2*m2*((tdd1+tdd2)*l2s in(t2)*(td1^2*l1+sin(t1)*g)+cos(t2)*(tdd1*l1+cos(t1)*g))] ans= [l2^2*m2*tdd1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*g*cos(t2+t1)+2*l2*m2*cos(t2)*tdd1* l1+l1^2*m1*tdd1+l1*m1*cos(t1)*g2*l1*sin(t2)*m2*l2*td1*td2l1*sin(t2)*m2*l 2*td2^2+l1*m2*cos(t1)*g+m2*tdd1*l1^2+l1*cos(t2)*m2*l2*tdd2,l2^2*m2*td d1+l2^2*m2*tdd2+l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l2*m2*g*cos(t2+t1)+l2*m2*cos(t2 )*tdd1*l1] Evaluación de los términos que aparecen en la expresión del par por separado

162 Matriz de masas ( M ( θ )) >> M = inertia (dyn, q) M = [l2*m2*(l2+cos(t2)*l1)+l1^2*m1+l1*(m2*sin(t2)^2*l1+cos(t2)*m2*(l2+cos(t 2)*l1)),l2*m2*(l2+cos(t2)*l1)] [l2^2*m2+l1*cos(t2)*m2*l2, l2^2*m2] Termino gravitatorio G ( θ ) >> G = gravity ( dyn, q, grav ) G = [l2*m2*(sin(t2)*sin(t1)*g+cos(t2)*cos(t1)*g)+l1*m1*cos(t1)*g+l1*(sin(t2)*m2* (cos(t2)*sin(t1)*g+sin(t2)*cos(t1)*g)+cos(t2)*m2*(sin(t2)*sin(t1)*g+cos(t2)*cos (t1)*g)) Términos centrífugos y de Coriolis V ( θ, θ' ) >> V = coriolis ( dyn, q, qd ) V = [l2*m2*sin(t2)*td1^2*l1+l1*(sin(t2)*m2*((td1+td2)^2*l2cos(t2)*td1^2*l1)+cos (t2)*m2*sin(t2)*td1^2*l1) LECCIÓN 2: DINÁMICA DE UN MANIPULADOR PLANO CON TRES ARTICULACIONES DE ROTACIÓN EJEMPLO Consiste en abordar la dinámica de un manipulador plano con tres articulaciones de rotación (ver figura). Los valores de los parámetros del manipulador son los siguientes:

163 l1 = l2 = 0.8 m m1 = 4.7 Kg m2 = 2.6 Kg m3 = 1.1 Kg g= 9.8 m / seg^2 SOLUCION: con los datos dados podemos construir la matriz de parámetros dinámicos. Obtención de los pares que se ejercen en las tres articulaciones. >> syms t1 t2 t3 real ; >> syms td1 td2 td3 real ; >> syms tdd1 tdd2 tdd3 real ; >> dyn = [ ; ; ] >> q = [ t1 t2 t3 ] q = [ t1, t2, t3]

164 >> qdd = [ tdd1 tdd2 tdd3 ] qdd = [ tdd1, tdd2, tdd3] >> grav = [ ] grav = >> tau = rne (dyn, q, qd, qdd, grav) tau = [1193/250*tdd1+441/250*tdd2+1/10*tdd352/25*sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin (t1))+52/25*cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))+4/5*sin(t3)*(11/10*cos(t3)*(( td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*td d1+49/5*cos(t1)))+11/10*sin(t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5 *sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))))+4/5*cos(t3)*(11/10*sin(t3)*((td1+ td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+ 49/5*cos(t1)))+11/10*cos(t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*si n(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))))+4606/125*cos(t1)+4/5*sin(t2)*(cos(t 3)*(11/10*cos(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin (t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11/10*sin(t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin( t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))))sin(t3)*(11/ 10*sin(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1)) +sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11/10*cos(t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin(t2)*( 4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))))13/5*(td1+td2)*(4/ 5*td1+4/5*td2)+13/5*cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+13/5*sin(t2)*(4/5*td d1+49/5*cos(t1)))+4/5*cos(t2)*(sin(t3)*(11/10*cos(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/ 5*td2)+cos(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11 /10*sin(t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5 *tdd1+49/5*cos(t1))))+cos(t3)*(11/10*sin(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+c os(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11/10*cos( t3)*(4/5*tdd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+4 9/5*cos(t1))))+52/25*tdd1+52/25*tdd213/5*sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1)) +13/5*cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1))),441/250*tdd1+441/250*tdd2+1/10*t dd352/25*sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+52/25*cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*c os(t1))+4/5*sin(t3)*(11/10*cos(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/ 5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11/10*sin(t3)*(4/5*t dd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t 1))))+4/5*cos(t3)*(11/10*sin(t3)*((td1+td2)*(4/5*td1+4/5*td2)+cos(t2)*(4/

165 5*td1^2+49/5*sin(t1))+sin(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t1)))+11/10*cos(t3)*(4/5*t dd1+4/5*tdd2sin(t2)*(4/5*td1^2+49/5*sin(t1))+cos(t2)*(4/5*tdd1+49/5*cos(t 1)))),1/10*tdd1+1/10*tdd2+1/10*tdd3] LECCIÓN 3: MANEJO DE UN ROBOT GRÁFICO DESCRIPCIÓN: Se presentara una ventana con pops up y un deslizador para cada articulación. Mediante la operación de los deslizadores se maneja el robot grafico sobre la pantalla. Resulta muy útil para avanzar en el entendimiento de los límites de las articulaciones y el espacio de trabajo del robot. El estado de las coordenadas de las articulaciones se mantiene con el robot grafico y se obtiene usando la función plot. Los valores iniciales de las coordenadas de las articulaciones se toman desde el robot grafico. ROBOT PUMA 560 Comenzamos definiendo el robot >> puma560

166 Ahora procedemos a manejarlo. >> drivebot ( p560 ) Accionamos los deslizadores y presentamos algunas visualizaciones.

167 LECCIÓN 4: MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS MECÁNICOS EJERCICIOS ILUSTRATIVO A. MANEJO DEL AUTOMÓVIL DESCRIPCIÓN: Este modelo simula el manejo de un automóvil para un juego de chasis, rueda y características del eje. Usted puede simular al modelo para una rigidez del rollo, o para un rango de durezas del mismo haciendo clic en el subsistema azul. El modelo muestra que cuando un carro es acelerado a un ángulo constante de "timoneada", el circula hacia afuera o hacia adentro.

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169 B. Movimiento de un proyectil con arrastre de aire.

170 LECCIÓN 5: MODELOS DE MÁQUINAS SIMPLES EJERCICIOS ILUSTRATIVOS. A. FLYBALL GOVERNOR DESCRIPCIÓN: El regulador mecánico con el árbol, collar, brazos y las bolas de equilibrio.

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172 B. MECANISMO DE CUATRO BARRAS CON VISUALIZACIÓN DE DATOS. DESCRIPCIÓN: Este modelo simula un mecanismo de cuatro barras. La visualización de datos para cada cuerpo es suministrada por un archivo.

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174 BIBLIOGRAFIA ROBÓTICA: Manipuladores y Robots móviles. Anibal Ollero Baturone. Alfaomega Grupo Editor S.A Marcombo S.A ROBÓTICA. Tercera Edición. John J. Craig. Editorial PEARSON. Prentice Hall. SISTEMAS DE CONTROL APLICADOS A LA ROBÓTICA. Universidad de Costa Rica. Escuela de Ingeniería Eléctrica A ROBOTICS TOOLBOX FOR MATLAB, IEEE Robotics and Automation Magazine, Vol. 3 ROBOT MANIPULATORS: MATHEMATICS, PROGRAMMING AND CONTROL. Paul R.P. MIT Massachusetts. ADAPTIVE MANIPULATOR CONTROL: A CASE STUDY. Slotine J., Li W. IEEE Trans. On Automatic Control Vol. 33. THEORY OF ROBOT CONTROL. Canudas de Wit., B. Siciliano,y G. Bastin (1997).Springer. INTEGRATE MECHANICAL DESIGN AND MODELLING OF A NEW MOBILE ROBOT. Ollero A.,1995. EL PROBLEMA CINEMÁTICO EN MANIPULADORES ROBÓTICOS INDUSTRIALES. A Hoosian., E. Sierra., E. Fernandez,. P. Britos. PÁGINAS WEB