Tema 5. Cinemática Inversa

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.U.I.T. Industrial TEMA: Cinemática Inversa FECHA: Enero de 01 Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática Área: Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Electrónica Automática e Informática Industrial Escuela Universitaria deingeniería Técnica Industrial Robótica Tema 5. Cinemática Inversa 1

2 Objetivos FECHA: Enero de Dada una localización en el espacio para el extremo operativo, encontrar una formulación matemática cerrada para cada una de las coordenadas generalizadas del robot a partir de la misma. Establecer la base que permite el control de trayectorias de la herramienta del robot, al formular el problema de localización referido a un sistema de referencia externo.

3 Contenido FECHA: Enero de Introducción al problema 5. Métodos Geométricos 5. Resolución por medio de las Matrices de Transformación Homogénea. 5.4Desacoplo o cinemático. átco 5.5 Consideraciones finales. 5.6 Ejemplos y problemas Bibliografía recomendada: Fundamentos de Robótica. (ª Edición) BarrientosA, Peñin L. F., BalaguerC., Aracil R.Ed. McGraw Hill ISBN:

4 5.1 Introducción al problema Justificación FECHA: Enero de 01

5 5.1 Introducción al problema Cinemática i Inversa FECHA: Enero de 01 Objetivo: encontrar losvaloresque deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada d localización li ió espacial il La resolución no es sistemática Depende de laconfig configuración racióndel robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada. o Condiciones suficientes para que exista: Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí (robot Elbow)

6 5.1 Introducción al problema Alternativas FECHA: Enero de 01 Procedimiento genérico a partir de los parámetros D H Método iterativo Problemas de velocidad y convergencia Búsqueda de solución cerrada: q k = f k (x,y,z,,,); k = 1,,n Posibilidad de resolución en tiempo real Posibilidad de selección de la solución más adecuada Posibilidad de simplificaciones No siempre es posible

7 5.1 Introducción al problema Métodos FECHA: Enero de 01 Métodos geométricos Se suele utilizar para las primeras variables articulares Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea Despejar las n variables ibl q i en función de las componentes de los vectores n, o, a y p. Desacoplamiento cinemático En robots de 6 GDL Separación de orientación y posicionamiento Otros: álgebrade tornillo, cuaterniones duales,métodos iterativos... 7 Robotica Industrial- Ci áti d l b t

8 5. Métodos geométricos r p z Método Geométrico Ejemplo(I) r FECHA: Enero de 01 q 1 p arctg p y x r pz l l llcosq Coseno del complementario px p y cosq px py pz l l l l sen q 1 cos q q arctg con cos q 1cos cos q q p p p l l ll x y z d l Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

9 FECHA: Enero de 01 Mé d G é i 5. Métodos geométricos Método Geométrico Ejemplo(II) q z z arct p g p arctg y x cos l l sen l arct r q q arctg p p g arctg cos l l q y x z c l l sen q l os q arctg p p p arctg q y

10 5. Basado en Matrices Homogéneas Concepto FECHA: Enero de 01 Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea Se resuelve la cinemática directa y se obtienen las matrices A. Para evitar la aparición de ecuaciones trascendentes, se va premultiplicando por las matrices inversas. Se intenta obtener de esta forma una ecuación que aísle en uno de los lados una de las variables articulares La elección de los elementos ha de realizarse con sumo cuidado Por su complejidad a menudo este método se deshecha.

11 5. Basado en Matrices Homogéneas Ejemplo FECHA: Enero de 01 Artic. d a 1 q 1 l º q º 0 q C1 0 S1 0 C 0 S S1 0 C1 0 S 1 0 C A1 A A l q CC 1 S1 CS 1 0 CC 1 S1 CS 1 qcs 1 SC 1 C1 SS 1 0 SC A T 0 A 1 C1 SS 1 qss 1 S 0 C l1 S 0 C qc l

12 5. Basado en Matrices Homogéneas Ejemplo FECHA: Enero de 01 l é d d d á l d l d h d d El término izquierdo dependerá solo de q1 mientras que el derecho depende de q y q. Busco un elemento fácil, que relacione q1 con constantes:

13 5. Basado en Matrices Homogéneas Ejemplo FECHA: Enero de 01 Dado que q1 está obtenido, para q, buscare relaciones entre q1 y q con un elemento constante en el ladoderecho: derecho:

14 5.4 Desacoplo Cinemático Concepto FECHA: Enero de 01 Resolución mediante el desacoplo cinemático Habitualmente los tres último ejes del robot se cortan en un punto. La finalidad de estos es lograr la orientación de la herramienta, aunque como consecuencia de su movimiento tengan un efecto ligero sobre la posición Con la primera condición se puede simplificar enormemente el problema cinemático para 6 gdl, dado que la obtención de este punto de intersección es una operación sencilla. Este punto dependerá sólo de los primeros gdl, por lo que su obtención es asequible.

15 5.4 Desacoplo Cinemático Ejemplo FECHA: Enero de 01 Punto de desacoplo p m p r l a 4 6 Prof. Cecilia García

16 5.4 Desacoplo Cinemático Ejemplo FECHA: Enero de 01 Mediante alguno de los métodos anteriores se obtienen los valores de q1,q q y q. Qué hacemos con el resto? Nos centramos exclusivamente en la orientación por simplicidad, y aplicamos un método análogo al basado en las matrices homogéneas:

17 5.5 Consideraciones Finales Aspectos computacionales FECHA: Enero de 01 Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema cinemático a gran velocidad (0 veces/seg o más). Son S preferibles las soluciones cerradas explícitas (si (iexisten) a las iterativas. Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamente calculadas (look up tables) El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el de calcular una única solución. Computacionalmente es más robusta la arcotangente por lo que es preferible buscar siempre este tipo de relación. 17

18 5.5 Consideraciones Finales Consideraciones i adicionales i FECHA: Enero de 01 Deben atenderse las múltiples soluciones: Elección que minimice los movimientos desde la posición actual Concepto de solución más cercana Mover los eslabones de menor peso Considerarobstáculos obstáculos (evitar colisiones). Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de libertad. Métodos numéricos iterativos: lentitud. Se prefieren expresiones analíticas (soluciones cerradas): Métodos algebraicos Métodos geométricos. 18

19 5.5 Consideraciones Finales Robots Rd Redundantesd FECHA: Enero de 01 Se desea: Posicionar el elemento terminal en un punto del plano o Si Nº DoF del manipulador Nº DoF que requiere la tarea Dos soluciones o Si Nº DoF del manipulador > Nº de DoF que requiere la tarea Infinitas soluciones 19