GRUPOS DE ISOMETRÍAS DE POLÍGONOS Y POLIEDROS REGULARES. Angy Carelly Coronel Suárez

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1 GRUPOS DE ISOMETRÍAS DE POLÍGONOS Y POLIEDROS REGULARES Angy Carelly Coronel Suárez UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS BUCARAMANGA 004

2 GRUPOS DE ISOMETRÍAS DE POLÍGONOS Y POLIEDROS REGULARES Angy Carelly Coronel Suárez Monografía presentada como requisito para optar al título de Licenciado en Matemáticas Director Rafael Fernando Isaacs Giraldo MsC. en Matemáticas UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS BUCARAMANGA 004

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4 A Reynaldo, Yamile, Teresa, Edwin y Juanes, por estos cuatro largos años de comprensión y espera.

5 Agradezco a Dios, mi ser celestial, por regalarme un poco de sabiduría y guiarme en este duro camino. Mis padres, nana y hermanas, por su gran apoyo emocional y económico. Mi hijo y su padre, quienes con su cariño me animaron y colaboraron para culminar esta fase. Rafael Isaacs, mi director, por regalarme un poco de su sabiduría para la realización de este trabajo. Profesores, Sonia Sabogal, Bernardo Mayorga, Marlio Paredes, Jorge Villamizar, que durante estos años me ofrecieron su amistad. El Grupo de Educación Matemática y en especial mis compañeros del Semillero, de los cuales siempre recibí palabras de aliento en el momento preciso. Son demasiadas personas las que han estado a mi lado durante esta etapa de mi vida y sería casi imposible nombrarlos a todos. Lo único que realmente puedo hacer es agradecerles con todas mis fuerzas y corazón por sus valiosos aportes y sabios consejos. Mil y mil gracias...

6 Índice general. Preliminares. Grupos asociados a polígonos regulares.. Generadores del grupo diédrico Representación matricial del grupo diédrico Subgrupos de D n Centro de D n Subgrupos Normales del Grupo D n Grupos asociados a poliedros regulares 5.. El grupo del tetraedro (Ω T ) Subgrupos de Ω T El grupo del hexaedro (Ω H ) Algunos subgrupos de Ω H El grupo del octaedro (Ω O ) El grupo del dodecaedro (Ω D ) Algunos subgrupos de Ω D El grupo del icosaedro (Ω I ) El Omnipoliedro

7 A. Scripts en scilab 57 A.. Script para hallar el grupo A.. Script para la tabla del grupo A.. Matrices de Ω D Bibliografía 65

8 Título: Grupos de Isometrías de Polígonos y Poliedros Regulares * Autor: Angy Carelly Coronel Suárez ** Palabras Clave: Grupos de isometrías, Grupos Diédricos, Polígonos regulares, Poliedros regulares, Omnipoliedro. Descripción: Durante la planeación del trabajo, se vio la importancia de estudiar ciertos grupos de simetrías muy populares, estos son los grupos de isometrías de polígonos y poliedros regulares. El estudio, desde el punto de vista de la teoría de grupos, de estos objetos geométricos relativamente familiares, revela una dimensión lúdica y dinámica de gran interés, pues se enlazan conceptos combinatorios, geométricos y estructurales. En cuanto la matemática, se basó especialmente en el manejo de herramientas conceptuales de tres áreas: álgebra lineal, geometría euclidiana y álgebra moderna. La presentación de cada isometría se hizo como permutación finita de vértices y en forma matricial. Para esto último, fue necesario encontrar los vértices de cada polígono y poliedro en coordenados espaciales y determinando propiedades matriciales calcular los coeficientes correspondientes. Para los cálculos y la realización de los gráficos, se utilizó el programa Scilab que es de libre uso y el maple incorporado en Scientific WorkPlace. El primer capítulo contiene conceptos necesarios, los cuales se exponen buscando fundamentalmente fijar conceptos y notación. El segundo capítulo presenta el grupo Diédrico (D n ) de isometrías de los polígonos, la descripción de sus subgrupos, los grupos normales y cocientes. El tercer y último capítulo expone un resultado clásico de los griegos: sólo existen cinco poliedros regulares. Después de esto, se presentan los tres grupos de simetrías con la descripción de sus elementos y algunos subgrupos. Por último, se pretendía mostrar el grupo de isometrías del Omnipoliedro, pero se deja como tarea para lectores interesados. Los Scripts realizados en Scilab para la obtención de los grupos con su respectiva tabla, se presentan en los anexos, junto con las matrices que conforman el grupo del dodecaedro. * Monografía. ** Facultad de ciencias. Escuela de Matemáticas. Licenciatura en matemáticas. Isaacs Rafael.

9 Title: Groups de Isometrías of Regular Polygons and Polyhedrons * Author: Angy Carelly Coronel Suárez ** Key words: Isometries groups, Diedral groups, To regulate polygons, To regulate polyhedrons, Omnihedron. Descripción: Planning this work, the importance was seen of studying certain groups of very popular symmetries; these are the groups of isometries of polygons and regular polyhedrons. The study, from the point of view of the theory of groups, of these relatively familiar geometric objects, reveals a playing dimension of great interest, because they are linked concepts combinatorial, geometric and structural. As soon as the mathematical one, it was based especially on the handling of conceptual tools of three areas: lineal algebra, euclidean geometry and modern algebra. The presentation of each isometry was made as finite exchange of vertexes and in matricial form. For this last, it was necessary to find the vertexes of each polygon and polyhedron in coordinated space and determining matrix properties to calculate the corresponding coefficients. For the calculations and the realization of the graphics, the program Scilab was used; that is of free use and the maple incorporated in Scientific WorkPlace. The first chapter contains necessary concepts, which are exposed looking for fundamentally to fix concepts and notation. The second chapter presents the dihedral group (D n ) of isometries of the polygons, the description of its subgroups, the normal groups and quotients. The third and last chapter exposes a classic result of the Greeks: five regular polyhedrons only exist. After this, the three groups of symmetries are presented with the description of their elements and some subgroups. Lastly, it was sought to show the group of isometries of the Omnihedron, but it is left as task for interested readers. The scripts carried out in Scilab for the obtaining of the groups with their respective chart, is presented in the annexes, together with the wombs that conform the group of the dodecahedron. * Monograph. ** Ability of sciences. School of Mathematics. Licentiate in mathematics. Isaacs Rafael.

10 Introducción En un curso normal de Álgebra Moderna se estudia y analiza las propiedades de los grupos con sus demostraciones y al estudiar otras materias nos damos cuenta de la importancia de ésta para el desarrollo de las matemáticas, pero la mayoría de las veces no nos detenemos a pensar qué otras aplicaciones tiene en la vida diaria. Inicialmente, nuestro propósito era dar a conocer a los estudiantes de la Licenciatura y a otras personas interesadas en este campo, cómo en juegos tan sencillos y entretenidos como el Triqui, en otros juegos de tablero y en el estudio de polígonos y poliedros regulares, se ve reflejado el Álgebra Moderna. Este trabajo inició por el interés hacia el artículo The group of automorphisms of the game -dimensional Ticktacktoe escrito por Roland Silver de la MITRE Corporation, en donde se estudia el grupo de isometrías del tradicional juego Triqui en D y D. Además, se vio la importancia de estudiar ciertos grupos de simetrías muy populares, de los que tal vez se habla bastante, pero que a niveles elementales pocas veces son presentados. Estos son los grupos de isometrías de polígonos y poliedros regulares. Al iniciar el estudio de los polígonos y poliedros resultó tan fascinante e interesante que consideramos que era suficiente, así que el estudio de aplicaciones en juegos de tablero se dejará para otra oportunidad o para algún lector que se interese en el tema. El estudio, desde el punto de vista de la teoría de grupos, de estos objetos geométricos relativamente familiares, revela una dimensión lúdica y dinámica de gran interés, pues se enlazan conceptos combinatorios, geométricos y estructurales.

11 El trabajo, en cuanto la matemática, se basó especialmente en el manejo de herramientas conceptuales de tres áreas del programa Licenciatura en Matemáticas de la UIS: el álgebra lineal, la geometría euclidiana y el álgebra moderna. La presentación de cada isometría se hizo como permutación finita de vértices y en forma matricial. Para esto último, fue necesario encontrar los vértices de cada polígono y poliedro en coordenados espaciales y determinando propiedades matriciales calcular los coeficientes correspondientes. Para los cálculos y la realización de los gráficos, se utilizó el programa Scilab que es de libre uso y el maple incorporado en Scientific WorkPlace. El primer capítulo contiene conceptos necesarios, los cuales se exponen buscando fundamentalmente fijar conceptos y notación. El segundo capítulo presenta el grupo diédrico D n de isometrías de los polígonos, la descripción de sus subgrupos, los grupos normales y cocientes. El tercer y último capítulo se expone un resultado clásico de los griegos: sólo existen cinco poliedros regulares. Después de esto, se presentan los tres grupos de simetrías con la descripción de sus elementos y algunos subgrupos. Por último, se pretendía mostrar el grupo de isometrías del Omnipoliedro, pero se deja como tarea para lectores interesados. Los scripts realizados en Scilab para la obtención de los grupos con su respectiva tabla, se presentan en los apéndices.

12 Capítulo Preliminares A continuación expongo algunos conceptos básicos de geometría y álgebra moderna, los cuales son necesarios para leer y comprender este trabajo. Definición.0.. Una operación binaria en un conjunto, es una regla que asigna a cada par ordenado (a, b) de elementos de un conjunto, algún elemento del conjunto, que notaremos a b. Definición.0.. Un grupo G, es un conjunto G, junto con una operación binaria en G, tal que se satisface los siguientes axiomas: ζ. La operación binaria es asociativa, es decir, a (b c) = (a b) c, para todo a, b, c en G. ζ. Existe un elemento e en G tal que e x = x e = x para todas las x G. (Este elemento e es un elemento identidad para en G.) ζ. Para cada a en G existe un elemento a en G con la propiedad de que a a = a a = e. (El elemento a es un inverso de a respecto a.) Definición.0.. Si G es un conjunto finito, entonces el orden G de G es el número de elementos en G. Definición.0.4. El centro de un grupo G, es el conjunto de todas las a G tales que ax = xa para todas las x G, esto es, el conjunto de elementos de G que conmutan con todo elemento de G.

13 Definición.0.5. Si H es un subconjunto de G cerrado bajo la operación de grupo de G, y si H es él mismo un grupo bajo esta operación inducida, entonces H es un subgrupo de G. Denotaremos por H G. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si un subconjunto H de un grupo G es subgrupo del mismo. Teorema.0.6. Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y sólo si i. H es cerrado bajo la operación binaria de G; ii. la identidad e de G está en H; iii. para todos los a H es cierto que a H también. Demostración. Si H G entonces por definición de subgrupo se cumplen las condiciones i, ii y iii. De manera recíproca, supóngase que H es un subconjunto de un grupo G que cumple las condiciones i, ii y iii. Por ii tenemos de inmediato que ζ se satisface. También ζ se satisface por iii. Falta corroborar el axioma asociativo ζ. Pero, con seguridad, para toda a, b, c H es cierto que (ab)c = a(bc) en H ya que si están en H, están en G y allí se cumple la ley asociativa. De aquí que H G. Definición.0.7. Un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G es una función φ biyectiva de G en G, tal que para todas las x y y en G, φ(xy) = (φ(x))(φ(y)). Los grupos G y G son isomorfos. La notación usual es G G. Definición.0.8. Una transformación φ de un grupo G en un grupo G es un homomorfismo si φ(ab) = (φ(a))(φ(b)) para todos los elementos a y b en G. Definición.0.9. El kernel de un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G es el conjunto de elementos de G cuya imagen, bajo φ, es el elemento identidad de G. 4

14 Teorema.0.0. Sea G un grupo y sea a G. Entonces es un subgrupo de G. H = {a n n Z} Demostración. Sean a r, a s H con r, s Z, entonces a r a s = a r+s H, luego H es cerrado bajo la operación de grupo de G. Además, a 0 = e de modo que e H. Para a r H, existe a r H y a r a r = a r a r = a 0 = e. Todas las condiciones se satisfacen, por tanto, H G. Definición.0.. El grupo H del teorema.0.0 es el subgrupo cíclico de G generado por a y se denotará a. Definición.0.. Un elemento a de un grupo G genera G y es un generador de G si a = G. Un grupo G es cíclico si existe algún elemento a G que lo genere. Definición.0.. Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a G. La clase lateral izquierda ah de H es el conjunto {ah h H}. La clase lateral derecha Ha de H se define de manera similar. Teorema.0.4. Sea G un grupo de orden finito n y H un subgrupo de G. El orden de H divide al orden de G. Demostración. Ver [] página Definición.0.5. Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo normal de G si g Hg = H para todas las g G. Se denotará H G. Definición.0.6. Si N es un subgrupo normal de un grupo G, el grupo de las clases laterales de N bajo la operación inducida es el grupo cociente de G módulo N y de denota G/N. Las clases laterales son las clases residuales de G módulo N. Teorema.0.7. (Teorema fundamental del homomorfismo) Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G, con kernel K. Entonces, φ(g) es grupo y existe un isomorfismo canónico (natural) de φ(g) con G/K. Demostración. Mostremos primero que φ(g) es grupo. 5

15 ζ. Sean φ(a), φ(b) y φ(c) elementos en φ(g). Entonces, φ(a)[(φ(b))(φ(c))] = (φ(a))[φ(bc)] = φ(a[bc]) = φ([ab]c) = [φ(ab)](φ(c)) = [(φ(a))(φ(b))](φ(c)). ζ. (φ(e))(φ(a)) = φ(ea) = φ(a) = φ(ae) = (φ(a))(φ(e)), luego, existe e = φ(e) φ(g). ζ. (φ(a ))(φ(a)) = φ(a a) = φ(e) = φ(aa ) = (φ(a))(φ(a )), luego, existe (φ(a)) = φ(a ) φ(g). Mostremos ahora que existe un isomorfismo canónico de φ(g) con G/K. Sea ak G/K, definiremos la transformación ψ : G/K φ(g) como ψ(ak) = φ(a). Debemos probar que ψ está bien definida, es decir, si b ak, debemos ver que φ(a) = φ(b): como b ak, entonces b = ak para k K, luego a b = k. Entonces, e = φ(k ) = φ(a b) = (φ(a ))(φ(b)) = (φ(a)) (φ(b)). De aquí φ(b) = (φ(a))e = φ(a). Luego, ψ está bien definida. Para mostrar que ψ es uno a uno, supongamos que ψ(ak) = ψ(bk). Entonces, φ(a) = φ(b), de modo que e = (φ(a)) (φ(b)) = (φ(a ))(φ(b)) = φ(a b). Por la definición de K, a b K, lo cual implica que b ak, de modo que bk = ak. Por lo tanto, ψ es uno a uno. Es claro que ψ es sobre por su definición. Con ψ[(ak)(bk)] = ψ(abk) = φ(ab) = (φ(a))(φ(b)) = [ψ(ak)][ψ(bk)] terminamos la demostración de que ψ es isomorfismo. 6

16 Definición.0.8. Una transformación de un conjunto A es una función uno a uno de A sobre sí mismo. Definición.0.9. Una permutación de un conjunto A es una función de A en A que es biyectiva. En las permutaciones de un conjunto se define una operación binaria natural, la multiplicación de permutaciones. Sea A un conjunto y sea σ y τ permutaciones de A. La función compuesta στ, nos da una transformación de A en A y es fácil ver que es una permutación. Teorema.0.0. Sean A un conjunto no vacío y S A la familia de todas las permutaciones de A. Entonces S A es un grupo bajo la multiplicación de permutaciones. Demostración. Debemos verificar los tres axiomas. ζ. Como las permutaciones son funciones, mostraremos que [(στ)µ](a) = [σ(τµ)](a) para toda a A. Así, [(στ)µ](a) = µ[(στ)(a)] = µ[τ(σ(a))] = (τµ)[σ(a)] = [σ(τµ)](a). Por consiguiente, (στ)µ y σ(τµ) llevan toda a A al mismo elemento, luego (στ)µ = σ(τµ). ( )... n ζ. Existe la permutación I = tal que I(a) = a para todas... n las a A, así I actúa como identidad. ζ. Para una permutación σ definimos σ tal que σ (a) será el elemento a de A tal que a = σ(a ). La existencia de exactamente un elemento a con esta característica se debe a que, como función, σ es uno a uno y sobre. Además se puede ver que: y también que I(a) = a = σ(a ) = σ(σ (a)) = (σ σ)(a) I(a ) = a = σ (a) = σ (σ(a )) = (σσ )(a ), de manera que σ σ = σσ = I. 7

17 Definición.0.. Si A es el conjunto finito {,,..., n}, entonces el grupo de todas las permutaciones de A es el grupo simétrico de n letras y se denotará S n. Nótese que S n tiene n! elementos, donde n! = n(n )(n )... ()()(). Teorema.0.. (de Cayley) permutaciones. Todo grupo es isomorfo a un grupo de Demostración. Sea G un grupo dado. Sea S G el grupo de todas las permutaciones de G. Como S G es demasiado grande para ser isomorfo a G, definamos cierto subconjunto de S G. Para a G sea ρ a la transformación de G en G dada por ρ a (x) = xa para x G. Si ρ a (x) = ρ a (y) entonces xa = ya luego x = y. Así, ρ a es una función uno a uno. Además, si y G, entonces ρ a (ya ) = (ya )a = y, así, ρ a es sobre. Entonces como ρ a : G G es uno a uno y sobre, ρ a es una permutación de G, esto es, ρ a S G. Sea G = {ρ a a G}. Vamos a mostrar que G S G. Debemos ver que G es cerrado bajo la multiplicación de permutaciones, esto es ρ a ρ b = ρ ab. Veamos que actúan igual sobre toda x G. (ρ a ρ b )(x) = ρ b (ρ a (x)) = ρ b (xa) = (xa)b = x(ab) = ρ ab (x). Así, ρ a ρ b = ρ ab y por lo tanto, G es cerrado bajo la multiplicación. Ahora, es claro que para toda x G, ρ e (x) = xe = x, 8

18 donde e es el elemento identidad de G, de modo que ρ e es la permutación identidad I de S G y está en G. Como ρ a ρ b = ρ ab tenemos De aquí que ρ a ρ a = ρ aa = ρ e = ρ a a = ρ a ρ a. (ρ a ) = ρ a, de modo que (ρ a ) G. Entonces, G es un subgrupo de S G. Falta probar que G es isomorfo al grupo G. Defínase φ: G G por φ(a) = ρ a para a G. Si φ(a) = φ(b) entonces ρ a y ρ b deben ser la misma permutación de G. En particular, ρ a (e) = ρ b (e), así que ea = eb y a = b. Por tanto, φ es uno a uno. Es inmediato que φ es sobre por la definición de G. Finalmente, φ(ab) = ρ ab mientras que φ(a)φ(b) = ρ a ρ b. Pero ya se dijo que ρ ab y ρ a ρ b son la misma permutación de G. Así Por lo anterior, G G. φ(ab) = φ(a)φ(b). Definición.0.. Sea G un grupo y a i G para i I. El menor subgrupo de G que contiene {a i i I} es el subgrupo generado por {a i i I}. Si este subgrupo es todo G, entonces {a i i I} genera G y las a i son generadores de G. Si existe un conjunto finito {a i i I} que genere G, entonces G es finitamente generado. Se notará a,..., a n = G 9

19 Teorema.0.4. Si G es un grupo y a i G para i I, entonces el subgrupo H de G generado por {a i i I} consta de precisamente aquellos elemento de G que son productos finitos de potencias de exponente entero de a i, donde, en ese producto, pueden presentarse varias veces potencias de alguna a i dada. Demostración. Ver [] página 89. Definición.0.5. Si A es un conjunto en donde se ha definido el concepto de distancia, una transformación φ de A es una isometría si d(x, y) = d(φ(x), φ(y)), es decir, si φ preserva la distancia. Definición.0.6. Una rotación ρ (P,θ) es una rotación que rota el plano alrededor del punto P en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, en un ángulo θ, donde 0 θ < π. Definición.0.7. Una reflexión en el plano es una función µ que transforma cada punto de una determinada recta l en sí mismo y a todo punto fuera de la recta a la imagen reflejada en el espejo l que queda a la misma distancia entre el punto y l. 0

20 Capítulo Grupos asociados a polígonos regulares La definición de grupo de simetrías a la cual hacemos referencia en este trabajo es la expuesta en []: La noción de grupo permite caracterizar en términos exactos la simetría de una figura geométrica, para la cual, a cada figura se le puede poner en correspondencia el conjunto de todas las transformaciones de un espacio, que hagan coincidir la figura dada con ella misma. Este conjunto será un grupo con relación a la realización consecutiva de transformaciones, que precisamente caracteriza la simetría de la figura. Utilizaremos el maple incorporado en el programa Scientific WorkPlace y scripts realizados en Scilab para hallar las matrices que nos definen el grupo de simetrías (ver apéndice A.) y su respectiva tabla (ver apéndice A.). Para iniciar, consideremos como ilustración un triángulo y un hexágono regular: Por simetrías de un polígono regular de n lados se entienden el siguiente conjunto de movimientos de dicho polígono.. n rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a través de los ángulos πk, k = 0,,,..., n. n. n reflexiones correspondientes a los n ejes de simetría.

21 Figura.: Simetrías del triángulo y el hexágono Para el caso en que n sea par los ejes de simetría son: n a. líneas obtenidas uniendo el centro O del polígono con cada uno de sus vértices,,..., n. n b. líneas obtenidas uniendo el centro O con los puntos medios de los n lados del polígono. Para el caso en que n es impar las n reflexiones corresponden a los n ejes de simetría obtenidos uniendo el centro O del polígono con sus vértices,,..., n. Sean B A, I B el grupo de isometrías de B y sean las f : A A biyecciones tal, que f(b) = B y para todo x, y A se tiene d(x, y) = d(f(x), f(y)). Entonces I B S A. De esto, el conjunto de n movimientos constituye un subgrupo de S R, bajo la operación de composición de movimientos. Se denomina el grupo diédrico de grado n, y se denota por D n. Denotaremos f k la rotación a través del ángulo πk, con k = 0,,,..., n. n Cuando k = 0 tenemos f 0 = I. La rotación f a través del ángulo θ = π, corresponde a la permutación de n los vértices dada por: ( )... n f = 4... La reflexión g respecto al eje de simetría que pasa por el vértice, corresponde

22 a la permutación de los vértices dada por: ( )... k... n n g = n n... n k +... Ejemplo.0.. Veamos el grupo diédrico de grado impar, es decir, D (ver figura.): ( ) a b c I = rotación de 0 a b c alrededor del origen f = f = g = fg = f g = ( a b ) c c a b ( a b ) c b c a ( a b ) c a c b ( a b ) c b a c ( a b ) c c b a rotación de 0 alrededor del origen rotación de 40 alrededor del origen reflexión respecto al eje definido por ao reflexión respecto al eje definido por co reflexión respecto al eje definido por bo Aquí vemos que D está formado por rotaciones de 0, 0 y 40 alrededor del origen y reflexiones respecto a los tres ejes de simetría correspondientes a unir cada vértice del triángulo con el centro o. Es decir, D = 6. El cuadro. muestra la tabla de D Ejemplo.0.. Un grupo diédrico de grado par 6, es decir, D 6 (ver figura.): ( ) a b c d e f I = rotación de 0 a b c d e f alrededor del origen f = ( a b c d e ) f b c d e f a rotación de 60 alrededor del origen

23 f = f = f 4 = f 5 = g = fg = f g = f g = f 4 g = f 5 g = ( a b c d e ) f c d e f a b ( a b c d e ) f d e f a b c ( a b c d e ) f e f a b c d ( a b c d e ) f f a b c d e ( a b c d e ) f a f e d c b ( a b c d e ) f f e d c b a ( a b c d e ) f e d c b a f ( a b c d e ) f d c b a f e ( a b c d e ) f c b a f e d ( a b c d e ) f b a f e d c rotación de 0 alrededor del origen rotación de 80 alrededor del origen rotación de 40 alrededor del origen rotación de 00 alrededor del origen reflexión respecto al eje definido por ao reflexión respecto al eje definido por el punto medio de cd y el origen reflexión respecto al eje definido por co reflexión respecto al eje definido por el punto medio de bc y el origen reflexión respecto al eje definido por bo reflexión respecto al eje definido por el punto medio de ab y el origen D 6 está formado por 6 rotaciones de 0, 60, 0, 80, 40 y 00 alrededor del origen, reflexiones respecto a los tres ejes de simetría correspondientes a unir cada vértice del triángulo con el centro o y reflexiones respecto a los tres ejes de simetría correspondientes a unir los puntos medios de los lados del triángulo con el centro o. Es decir, D 6 =. 4

24 I f f g fg f g I I f f g fg f g f f f I f g g fg f f I f fg f g g g g f g fg I f f fg fg f g g f I f f g f g g fg f f I Cuadro.: Tabla de D El cuadro.4 muestra la tabla de D 6 I f f f f 4 f 5 g fg f g f g f 4 g f 5 g I I f f f f 4 f 5 g fg f g f g f 4 g f 5 g f f f f f 4 f 5 I f 5 g g fg f g f g f 4 g f f f f 4 f 5 I f f 4 g f 5 g g fg f g f g f f f 4 f 5 I f f f g f 4 g f 5 g g fg f g f 4 f 4 f 5 I f f f f g f g f 4 g f 5 g g fg f 5 f 5 I f f f f 4 fg f g f g f 4 g f 5 g g g g fg f g f g f 4 g f 5 g I f f f f 4 f 5 fg fg f g f g f 4 g f 5 g g f 5 I f f f f 4 f g f g f g f 4 g f 5 g g fg f 4 f 5 I f f f f g f g f 4 g f 5 g g fg f g f f 4 f 5 I f f f 4 g f 4 g f 5 g g fg f g f g f f f 4 f 5 I f f 5 g f 5 g g fg f g f g f 4 g f f f f 4 f 5 I Cuadro.4: Tabla de D 6 En las tablas. y.4 podemos verificar que:. El producto de dos rotaciones es una rotación.. El producto de dos reflexiones es una rotación.. El producto de una rotación y una reflexión es una reflexión. 4. f k tiene orden n: (f k ) n = I. 5. g tiene orden : g = I. 5

25 6. f k g es de orden : (f k g) = I. 7. gfg = f... Generadores del grupo diédrico Teorema... Sean f y g la rotación y reflexión anteriores, entonces, f, g = D n. Demostración. En la definición.0. dijimos que g, f D n. Debemos probar que g, f = n Sea x f, g, entonces x tiene la forma x = f k g l f k g l... f k m g l m, k i, l i Z, i m. Como f es un elemento de orden n y g un elemento de orden podemos decir que x = f k g l f k g l... f k m g l m, 0 k i n, 0 l i, i m. Consideremos el producto g l f k. Si l = 0, entonces g 0 f k = f k g 0. Si l =, variando k tenemos: k = 0 : gi = Ig. k = : gf = f g = f g = f n g. k = : gf = gff = f n (gf) = f n (f g) = f n g. k = : gf = gf f = f n (gf) = f n g.. k = n :. gf n = f n (n ) g = fg. De lo anterior se concluye que cada elemento x f, g tiene la forma x = f k g l, con 0 k n, 0 l. Resultan entonces n elementos. 6

26 Comprobemos ahora que son diferentes. Sea 0 k, r n y 0 l, s tales que f k g l = f r g s, luego f k r = g s l { f g }. Como f = g y f tenemos que f g =, entonces, n (k r). Siendo r y k con las condiciones dadas sólo puede tenerse que r = k. Análogamente l = s. Por lo tanto, todos los x son diferentes. Obtenemos entonces que: D n = {, f, f,..., f n, g, fg,..., f n g} = f, g. D n tiene la siguiente regla de multiplicación: { (f k g m f k+k g m+m, m = 0 )(f k g m ) = f k k g m+m, m =. Teorema... Sea G un grupo generado por los elementos a y b tales que entonces, G D n. a n =, a es de orden n b =, b es de orden bab = a, Demostración. Es posible repetir la prueba realizada anteriormente para comprobar que G tiene n elementos diferentes: G = {, a, a,..., a n, b, ab,..., a n b}. La función ϕ : G D n, dada por ϕ(a k b l ) = f k g l, 0 k n, 0 l, define un isomorfismo entre G y D n : Probemos que ϕ está bien definida: sean x, y G, en donde x = y. Existen k, k, l, l tal que x = a k b l y y = a k b l. Como x = y tenemos que k = k y l = l, luego ϕ(x) = f k g l = ϕ(y). ϕ es uno a uno: sean x, y G tal que ϕ(x) = ϕ(y). De ahí, f k g l = f k g l, luego k = k y l = l, entonces, a k b l = a k b l, por lo tanto x = y. ϕ es sobre por definición. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y): 7

27 ϕ(xy) = ϕ(a k b l a k b l ) = ϕ(a k a k b l b l ) = ϕ(a k k b l +l ) = f k k g l +l. Además ϕ(x)ϕ(y) = f k g l f k g l = f k f k g l g l = f k k g l +l... Representación matricial del grupo diédrico Consideremos en GL(, R) las matrices ( ) cos θ sen θ R = sen θ cos θ S = ( ) 0. 0 con θ = π. R es de orden n y S es de orden. Además n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cos θ sen θ 0 cos θ sen θ =, 0 sen θ cos θ 0 sen θ cos θ es decir SRS = R. Esto indica que R, S D n. La matriz R representa la rotación del sistema de coordenadas xy a través de un ángulo θ = π y la n matriz S representa una reflexión de dicho sistema. Ejemplo... Para hallar las matrices de D utilizando el script del apéndice A. necesitamos primero construir un triángulo equilátero centrado en el origen. Sus vértices {a, b, c} estarán dados por { ( ) ( )} (0, ),,,,. Para hallar las matrices que definen las reflexiones que nos generarán el grupo, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones: ( ) ( ) ( ) m n 0 0 = p q La primera columna corresponde al vértice a del triángulo, el cual se mantiene fijo y la segunda columna de ambas matrices son los vértices b y c, los cuales se 8

28 intercambian entre sí, generando así la matriz de la transformación: reflexión respecto al eje que pasa por a y el origen. El grupo de simetrías del triángulo es: ( ) 0 ( ) 0 I = I = 0 g = A = 0 ( ) f = BA = ( ) f = AB = fg = ABA = f g = B = ( ( ) Ejemplo... El hexágono regular centrado en el origen que necesitamos, tendría sus vértices {a, b, c, d, e, f} en { ( ) ( (0, ),,, ) (,, (, 0), ) ( )},,,. Realizando el mismo procedimiento que con D, las matrices que nos definen el grupo de simetrías del hexágono son: ( ) ( ) 0 0 I = I = g = A = 0 0 ( ) f = CB = ( ) f = BA = ( ) 0 f = AC = 0 fg = ACB = f g = ABA = f g = C = ( ( ( ) 0 0 ) ) ) 9

29 f 4 = AB = f 5 = BC = ( ( ) ) f 4 g = B = f 5 g = ABC = ( ( ) ).. Subgrupos de D n Por los generadores de D n podemos presentar los siguientes subgrupos: De orden : De orden : g, fg, f g,..., f n g f n, si n es par De orden n De orden k : f : como f es cíclico entonces por cada divisor k de n existe al menos un subgrupo y además, por el teorema.0.4 puede existir subgrupos cuyo orden es los divisores de n De orden n : D n Ejemplo... Subgrupos de D : Orden : {I} Orden : g, fg, f g Orden : f Orden 6 : D Ejemplo... Subgrupos de D 6 0

30 Orden : {I} Orden : g, fg, f g, f g, f 4 g, f 5 g, f Orden : f = {I, f, f 4 } Orden 4 : f, g = {I, f, g, f g}, f, f g = {I, f, f g, f 5 g}, f, f 4 g = {I, f, fg, f 4 g} Orden 6 : f, f, g = {I, f, f 4, g, f g, f 4 g}, f, f 5 g = {I, f, f 4, fg, f g, f 5 g} Orden : D 6.4. Centro de D n Teorema.4.. Z(D n ) contiene solamente rotaciones y además {, si n es impar Z(D n ) = {, f n } = f n, si n es par. Demostración. Mostremos que para todo 0 k n, f k g / Z(D n ): en efecto, (f k g)f = (f k f )g = f k g y también f(f k g) = (ff k )g = f k+ g. Si f k g = f k+ g entonces f = ; pero f n = para n. Luego en Z(D n ) no hay reflexiones. Sea f k Z(D n ) con 0 k n. Entonces f k g = gf k f k g = f k g f k = n k Cuando n es impar entonces k = 0, por lo tanto Z(D n ) = I =.

31 Sea n = m par. Como m k entonces existe λ tal que k = mλ k = mλ. Si fuese λ k = mλ m = n k n contradicción; por lo tanto λ = k = n/. De lo anterior obtenemos que si x Z(D n ) entonces x es de la forma x = f n. Veamos que realmente en este caso par f n Z(D n ): ff n = f n f, gf n = f n g = f n g. Luego, f n conmuta con cada elemento de f, g = D n, es decir, f n Z(D n )..5. Subgrupos Normales del Grupo D n Teorema.5.. Sea N D n, entonces N tiene la siguiente forma: f k, k n si n es impar f k, k n ó N =, ó D n ó {f k g l, 0 k n, 0 l } ó {f k+ g, 0 k n } {f k 0 k n } si n es par Demostración. Sea N D n. Consideremos los siguientes casos posibles:. n es impar y N no contiene reflexiones: en este caso N f y existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = f k. Veamos que cada subgrupo de este tipo es efectivamente normal en D n : { (f α g β ) (f k ) j (f α g β f kj si β = ) = f kj si β = 0.. n es impar y en N hay al menos una reflexión: sea f k g en N, donde k es fijo y cumple 0 k n. Sea 0 r n, entonces (f r ) (f k g)(f r ) N, luego f k r g N. Tomando r = k se tiene que f k g N y entonces f k N. Tomemos ahora r = k +, entonces f k (k+) g = f k g N y entonces f k gf k g = f k+ N. De

32 aquí resulta entonces que f N. Como n es impar, f = f N, es decir, f N. Finalmente, f k N y entonces g N. Esto garantiza que N = D n.. n es par y N no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar se obtiene que existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = f k. 4. n es par y en N hay al menos una reflexión: sea n = t y sea f k g en N, donde k es fijo y cumple 0 k n. Al igual que en el caso impar podemos concluir que f N. Consideremos dos casos posibles: a) g N: entonces el siguiente conjunto de n elementos distintos está incluido en N: {f r g l 0 r n, 0 l }. Si N posee al menos un elemento adicional, entonces N n+ y esto implica que N = n. En efecto, N divide a n y entonces n = N a; si a entonces N a N, luego n n +, lo cual es falso. Así pues, si N no posee al menos un elemento adicional, entonces N es exactamente el subgrupo {f r g l 0 r n, 0 l }. En caso contrario, N coincide con D n. b) g / N: veamos que entonces necesariamente fg N. En efecto, k debe ser impar, ya que de lo contrario k = u y entonces (f ) u = f k N, con lo cual f k f k g = g N, lo cual es falso. Así pues, k = w + y esto implica que f w f k g = fg N. Nótese que entonces N contiene al conjunto {f k 0 k n } y también al conjunto {f k+ g 0 k n }, la reunión de los cuales tiene n elementos. Como se vio anteriormente, si N posee al menos un elemento adicional, entonces N = D n, en caso contrario N es exactamente la reunión de estos dos conjuntos. Ejemplo.5.. Los subgrupos normales de D son: I, f D Y los grupos cociente: D /I = D D / f = {{I, f, f }, {g, fg, f g}}

33 Ejemplo.5.. Los subgrupos normales de D 6 son: I, f, f, f, D 6, {f 0 g 0, f g 0, f 4 g 0, f 0 g, f g, f 4 g } = {I, f, f 4, g, f g, f 4 g} = f, g, {f g, f g, f 5 g, f 0, f, f 4 } = {fg, f g, f 5 g, I, f, f 4 } = f, f 5 g Los grupos cociente: D 6 /I = D 6 D 6 / f = {{I, f, f, f, f 4, f 5 }, {g, fg, f g, f g, f 4 g, f 5 g}} D 6 / f = {{f, f, f 5 }, {I, f, f 4 }, {g, f g, f 4 g}, {fg, f g, f 5 g}} D 6 / f = {{f, f 4 }, {f, f 5 }, {I, f }, {g, f g}, {fg, f 4 g}, {f g, f 5 g}} D 6 / f, g = {{f, f, f 5, fg, f g, f 5 g}, {I, f, f 4, g, f g, f 4 g}} D 6 / f, f 5 g = {{f, f, f 5, g, f g, f 4 g}, {I, f, f 4, fg, f g, f 5 g}} 4

34 Capítulo Grupos asociados a poliedros regulares El estudio de los poliedros tuvo un lugar central en la geometría griega, sin embargo, fueron Descartes y Euler quienes descubrieron que: en un poliedro simple, supongamos V representa el número de vértices, A el de aristas y C el de caras; entonces, siempre V A + C =. (.) A partir de esta fórmula es fácil demostrar que no existen más que cinco poliedros regulares. Supongamos que un poliedro regular tiene C caras cada una de las cuales es un polígono regular de n lados, y que llegan r aristas a cada vértice. Contando las aristas por las caras y los vértices, vemos que nc = A, (.) ya que cada arista pertenece a dos caras y por esto interviene dos veces en el producto nc. Por otra parte, rv = A, (.) ya que cada arista tiene dos vértices. De aquí y de (.) obtenemos la ecuación A n + A r A = 5

35 que es igual a n + r = + A (.4) Sabemos que n y r, ya que un polígono debe tener como mínimo, tres lados y, por lo menos deben llegar tres lados a cada ángulo del poliedro. Además, + debe ser mayor que, pues A debe ser positiva. Veamos n r entonces, qué valores pueden tomar r y n: Para n =, la ecuación (.4) toma la forma, r 6 = A entonces r puede ser igual a, 4 ó 5. De aquí obtenemos A = 6, ó 0. Para n = 4 tenemos, r 4 = A de la que se deduce que r = y por lo tanto, A =. Para n = 5 tenemos, r 0 = A luego r = y por lo tanto, A = 0. Para n 6, la ecuación asigna valores negativos a A, lo cual no tendría sentido. Podemos decir entonces, que el conjunto de poliedros dados por estos casos da el número de poliedros regulares posibles. Sustituyendo estos valores de n, r y A en las ecuaciones (.) y (.), obtenemos el número de vértices y de caras de los poliedros correspondientes: Nombre V A C Tetraedro Hexaedro 8 6 Octaedro 6 8 Dodecaedro 0 0 Icosaedro 0 0 Para iniciar nuestro estudio sobre la simetría de los poliedros, es necesario poner claro y unificar la definición que manejaremos de poliedro y de poliedro regular, que tomaremos también de []: 6

36 Definición.0.. Un poliedro es el conjunto de un número finito de polígonos planos, tal que:. cada lado de cualquier polígono es simultáneamente un lado de otro polígono (pero sólo de uno) que se denomina adyacente del primero (respecto a dicho lado),. a partir de cada uno de los polígonos que integran el poliedro, es posible alcanzar cualquier otro de ellos, pasando al polígono adyacente a aquél y, a su vez, a partir de este último es posible pasar a su adyacente,etc. Estos polígonos se denominan caras, sus lados aristas y sus vértices, vértices del poliedro. Definición.0.. Un poliedro regular es un polígono tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales y todos sus ángulos poliedros de los vértices son regulares e iguales. Definición.0.4. El grupo de simetrías del poliedro, Ω, llamado el grupo del poliedro, es el conjunto de todas las isometrías que envían vértices en vértices, lo cual implica que envían aristas en aristas y caras en caras. Consideraremos el centro del poliedro como el origen. Ω + denota el conjunto de Ω de las simetrías con determinante y Ω denota el conjunto de Ω de las simetrías con determinante. Para cumplir nuestro objetivo es necesario que los lectores conozcan la posición de los poliedros en el espacio tridimensional, por esto, lo primero que se hará es dar las coordenadas de sus vértices. 7

37 .. El grupo del tetraedro (Ω T ) Consideremos el tetraedro construido de la siguiente manera: primero haremos un triángulo equilátero que nos sirva como base para el tetraedro. Sus vértices en el plano estarán dados por: {(0, ), (cos( 0), sen( 0)), ( cos( 0), sen( 0))} { ( ) ( )} = (0, ),,,,. La distancia entre estos puntos es, por lo tanto el vértice que nos definirá el tetraedro debe estar a la misma distancia, luego los vértices del tetraedro son: { (0,, 0), ( ) ( ) (,, 0,,, 0, 0, 0, ) }. Para construir el tetraedro centrado en el origen, debemos hallar el baricentro y correr el tetraedro anterior esta distancia sobre el eje z. Así, los vértices a, b, c, d del tetraedro regular centrado en el origen son: { ( 0,, ), 4 ( ),,, 4 ( ) (,,, 0, 0, ) } 4 4 8

38 .06 z d 0.5 c b 0.5 y a 0.00 x Figura.: Tetraedro regular Para hallar las matrices que nos definen las simetrías, debemos resolver sistemas de ecuaciones como el siguiente: m n o p q r s t u = En este ejemplo, las dos primeras columnas corresponden a los vértices a y b del tetraedro, los cuales se mantienen fijos y la tercera columna de ambas matrices son los vértices c y d, los cuales se intercambian entre sí, generando así la matriz que nos define la transformación A: reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd. De esta forma hallaremos las seis reflexiones que nos generarán todo el grupo. De lo anterior, las matrices que nos definen las simetrías del tetraedro son: 9

39 0 0 I = 0 0 A = B = C = D = E = F = rotación de 0 reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd reflexión respecto al plano que pasa por ac y el punto medio de bd reflexión respecto al plano que pasa por ad y el punto medio de bc reflexión respecto al plano que pasa por bc y el punto medio de ad reflexión respecto al plano que pasa por bd y el punto medio de ac reflexión respecto al plano que pasa por cd y el punto medio de ab 0

40 AF = CD = BE = AB = AC = AD = AE = rotación de 80 alrededor de la recta que pasa por los puntos medios de cd y ab rotación de 80 alrededor de la recta que pasa por los puntos medios de bc y ad rotación de 80 alrededor de la recta que pasa por los puntos medios de bd y ac rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por a y el origen rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por a y el origen rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por b y el origen rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por b y el origen

41 BF = BD = CE = CF = ACF = rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por c y el origen rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por c y el origen rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por d y el origen rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por d y el origen rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por c y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd ABF = 0 rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd ACD = rotación de 0 alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ac y el punto medio de bd

42 ACE = 0 rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por c y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd ABD = ABE = rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd rotación de 40 alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por bc y el punto medio de ad La tabla de Ω T aparece en el cuadro.. Otra manera de contar las simetrías de Ω + T es la siguiente: la identidad {I}, (); las rotaciones de 80 alrededor de los tres ejes definidos por los centros de las aristas opuestas {AF, BE, CD}, (); las rotaciones de 0 y 40 alrededor de los cuatro ejes definidos por cada vértice y el origen {AB, AC, AD, AE, BF, BD, CE, CF }, (8). Las simetrías de Ω T, son las composiciones de las simetrías de Ω+ T con una simetría con determinante, podemos tomar A. El orden de Ω T es la suma de los órdenes de Ω + T y Ω T, es decir, Subgrupos de Ω T Los subgrupos de Ω T son: De orden : A, B, C, D, E, F ; AF, BE, CD.

43 De orden : AB, AD, BD, CE. De orden 4: ABD, ABE, ABF ; A, F = {I, A, F, AF }, B, E = {I, B, E, BE}, C, D = {I, C, D, CD}. De orden 6: A, B = {I, A, B, C, AB, AC}, A, D = {I, A, D, E, AD, AE}, B, D = {I, B, D, F, BD, BF }, C, E = {I, C, E, F, CE, CF }. De orden 8: A, ABE = {I, A, F, AF, BE, CD, ABE, ACD}, B, ABD = {I, B, E, AF, BE, CD, ABD, ACF }, C, ABF = {I, C, D, AF, BE, CD, ABF, ACE}. De orden : AB, AF = Ω + T. De orden 4: Ω T 4

44 I A B C D E F AB AC AD AE AF BD BE BF CD CE CF ABD ABE ABF ACD ACE ACF I I A B C D E F AB AC AD AE AF BD BE BF CD CE CF ABD ABE ABF ACD ACE ACF A A I AB AC AD AE AF B C D E F ABD ABE ABF ACD ACE ACF BD BE BF CD CE CF B B AC I AB BD BE BF C A ACD ACE ACF D E F ABD ABE ABF CD CE CF AD AE AF C C AB AC I CD CE CF A B ABD ABE ABF ACD ACE ACF D E F AD AE AF BD BE BF D D AE BF CD I AD BD ABE ACF E A ACE F ABF B C ABD ACD CE AB BE CF AF AC E E AD BE CF AE I CE ABF ACD A D ABD ACE B ABE ACF F C AF BF AB AC BD CD F F AF BD CE BF CF I ABD ACE ABF ACF A B ACD D ABE C E AB CD AD BE AC AE AB AB C A B ABD ABE ABF AC I CD CE CF AD AE AF BD BE BF ACD ACE ACF D E F AC AC B C A ACD ACE ACF I AB BD BE BF CD CE CF AD AE AF D E F ABD ABE ABF AD AD E ABF ACD A D ABD BE CF AE I CE AF BF AB AC BD CD ACE B ABE ACF F C AE AE D ABE ACF E A ACE BF CD I AD BD CE AB BE CF AF AC F ABF B C ABD ACD AF AF F ABD ACE ABF ACF A BD CE BF CF I AB CD AD BE AC AE B ACD D ABE C E BD BD ACE F ABD B ACD D CE AF BE AC AE BF CF I AB CD AD ABE C E ABF ACF A BE BE ACD E ABF ACE B ABE CF AD AC BD CD AE I CE AF BF AB ACF F C A D ABD BF BF ACF D ABE F ABF B CD AE CF AF AC I AD BD CE AB BE C ABD ACD E A ACE CD CD ABE ACF D C ABD ACD AE BF CE AB BE CF AF AC I AD BD E A ACE F ABF B CE CE ABD ACE F ABE C E AF BD AB CD AD BE AC AE BF CF I ABF ACF A B ACD D CF CF ABF ACD E ACF F C AD BE AF BF AB AC BD CD AE I CE A D ABD ACE B ABE ABD ABD CE AF BD AB CD AD ACE F ABE C E ABF ACF A B ACD D BE AC AE BF CF I ABE ABE CD AE BF CE AB BE ACF D C ABD ACD E A ACE F ABF B CF AF AC I AD BD ABF ABF CF AD BE AF BF AB ACD E ACF F C A D ABD ACE B ABE AC BD CD AE I CE ACD ACD BE CF AD AC BD CD E ABF ACE B ABE ACF F C A D ABD AE I CE AF BF AB ACE ACE BD CE AF BE AC AE F ABD B ACD D ABE C E ABF ACF A BF CF I AB CD AD ACF ACF BF CD AE CF AF AC D ABE F ABF B C ABD ACD E A ACE I AD BD CE AB BE Cuadro.: Tabla de ΩT 5

45 .. El grupo del hexaedro (Ω H ) Para construir el hexaedro, construiremos primero los cuadrados inferior y superior. Sus vértices {a, b, c, d} y {e, f, g, h} en el plano están dados por {(, ), (, ), (, ), (. )}. Como el hexaedro debe estar centrado en el origen y la medida de su arista es, el cuadrado inferior debemos bajarlo y el superior, subirlo la misma cantidad. Por lo tanto, los vértices {a, b, c, d, e, f, g, h} del hexaedro son: {(,, ), (,, ), (,, ), (., ), (,, ), (,, ), (,, ), (., )}. g z h e f d 0 y a 0 x b - Figura.: Hexaedro regular Las matrices que nos definen las simetrías del hexaedro son: 6

46 0 0 I = 0 0 A = B = C = D = E = F = AB = rotación de 0 reflexión respecto al plano yz reflexión respecto al plano xz reflexión respecto al plano xy rotación de 90 alrededor del eje z rotación de 90 alrededor del eje x rotación de 90 alrededor del eje y rotación de 80 alrededor del eje z 7

47 0 0 AC = 0 0 BC = ABD = ACF = BCE = ABE = ABF = rotación de 80 alrededor del eje y rotación de 80 alrededor del eje x rotación de 70 alrededor del eje z rotación de 70 alrededor del eje y rotación de 70 alrededor del eje x rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de cd y ef rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ad y fg 8

48 0 0 ACD = 0 0 ACE = BCD = BCF = DE = DF = ED = F E = rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ae y cg rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ab y gh rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de bf y dh rotación de 80 alrededor del eje que pasa por los puntos medios de bc y eh rotación de 0 alrededor del eje que pasa por ce rotación de 40 alrededor del eje que pasa por df rotación de 0 alrededor del eje que pasa por bh rotación de 0 alrededor del eje que pasa por ag 9

49 0 0 ABDE = 0 0 ABED = ACDE = BCDE = AD = AF = BD = rotación de 0 alrededor del eje que pasa por df rotación de 40 alrededor del eje que pasa por ce rotación de 40 alrededor del eje que pasa por ag rotación de 40 alrededor del eje que pasa por bh reflexión respecto al plano que pasa por ae y cg reflexión respecto al plano que pasa por af y dg reflexión respecto al plano que pasa por bf y dh 40

50 0 0 BE = 0 0 CE = CF = AE = BF = CD = ABC = ABCD = reflexión respecto al plano que pasa por cf y de reflexión respecto al plano que pasa por ah y bg reflexión respecto al plano que pasa por be y ch rotación de 90 alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano yz rotación de 90 alrededor del eje y, seguida de una reflexión respecto al plano xz rotación de 90 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano xy rotación de 80 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano xy rotación de 70 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano xy 4

51 0 0 ABCE = 0 0 ABCF = ADE = ADF = AED = AF E = BDE = rotación de 70 alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano yz rotación de 70 alrededor del eje y, seguida de una reflexión respecto al plano xz rotación de 90 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por cd y ef rotación de 90 alrededor del eje y, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por cd y ef rotación de 90 alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ae y cg rotación de 90 alrededor del eje y, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y gh rotación de 90 alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por bc y eh 4

52 0 0 BED = 0 0 CDE = ABCDE = rotación de 90 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por bc y eh rotación de 90 alrededor del eje z, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ab y gh rotación de 70 alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano que pasa por ad y fg La tabla de Ω H aparece en el cuadro.5 Otra manera de contar las simetrías de Ω + H es la siguiente: la identidad I, (); las rotaciones de 90, 80 y 70 alrededor de los tres ejes definidos por los centros de las caras opuestas E, BC, BCE, F, AC, ACF, D, AB, ABD, (9); las rotaciones de 80 alrededor de los seis ejes definidos por los centros de las aristas opuestas ABE, ABF, ACD, ACE, BCD, BCF, (6); las rotaciones de 0 y 40 alrededor de los cuatro ejes definidos por los vértices opuestos DE, ABED, ABDE, DF, F E, ACDE, ED, BCDE, (8). Las simetrías de Ω H, son las composiciones de las simetrías de Ω+ H con la simetría central ABC (envía (x, y, z) a (x, y, z)). El orden de Ω H es, por lo tanto, Algunos subgrupos de Ω H Algunos subgrupos de Ω H son: De orden : A, B, C ; AB, AC, BC ; AD, AF, BD BE, CE, CF ; 4

53 ABC ; ABE, ABF, ACD, ACE, BCD, BCF ; DE, DF, F E, ED. De orden 4: D, E, F ; AE, BF, CD. De orden 6: De orden 8: ADF, AF E, AED, BDE. A, D = {I, A, B, D, AB, AD, BD, ABD}, A, F = {I, A, C, F, AC, AF, CF, ACF }, B, E = {I, B, C, E, BC, BE, CE, B}. De orden 4: Ω + H. De orden 48: Ω H. 44

54 I A B C D E F AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF ED F E ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AED AF E BCD BCE BCF BDE BED CDE ABCD ABCE ABCF ABDE ABED ACDE BCDE ABCDE I I A B C D E F AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF ED F E ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AED AF E BCD BCE BCF BDE BED CDE ABCD ABCE ABCF ABDE ABED ACDE BCDE ABCDE A A I AB AC AD AE AF B C D E F ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AED AF E BC BD BE BF CD CE CF DE DF ED F E ABCD ABCE ABCF ABDE ABED ACDE BCD BCE BCF BDE BED CDE ABCDE BCDE B B AB I BC BD BE BF A ABC ABD ABE ABF C D E F BCD BCE BCF BDE AF E BED ADF AC AD AE AF ABCD ABCE ABCF ABDE F E ABED DF CD CE CF DE ED BCDE ACD ACE ACF ADE AED ABCDE CDE ACDE C C AC BC I CD CE CF ABC A ACD ACE ACF B BCD BCE BCF D E F CDE BED AF E AED AB ABCD ABCE ABCF AD AE AF ACDE ABED F E ED BD BE BF BCDE DF DE ABD ABE ABF ABCDE ADF ADE BDE ABDE D D BD AD CD AB DE DF ABD BCD A BDE AF E ACD B ADE ADF ABC CDE BED ABE ABF BCF F ABCD I ABDE F E AC BCDE ED AE AF CF BF BC ACDE ABED BE ABCF ABCE C ABCDE AED E ACF ACE BCE CE E E AE CE BE ED BC DE ACE ABE AED ABC ADE BCE AF E B CDE BED C BDE BCF D BCD ACD ABCE F E AB ACDE ABED AC ABDE ABCF AD ABCD CD DF I BCDE BF BD CF ADF A ABCDE ABF ABD ACF F AF F F CF BF AF DE F E AC BCF ACF CDE AED A ABF BDE ADF ABC ADE AF E C ACD ABE E ACE ABCF BCDE ABED AB ACDE ED I AD ABCE CE AE ABDE DF BC ABCD BE CD ABCDE BED B ABD BCE D BCD BD AB AB B A ABC ABD ABE ABF I BC BD BE BF AC AD AE AF ABCD ABCE ABCF ABDE F E ABED DF C D E F BCD BCE BCF BDE AF E BED ADF ACD ACE ACF ADE AED ABCDE CD CE CF DE ED BCDE ACDE CDE AC AC C ABC A ACD ACE ACF BC I CD CE CF AB ABCD ABCE ABCF AD AE AF ACDE ABED F E ED B BCD BCE BCF D E F CDE BED AF E AED ABD ABE ABF ABCDE ADF ADE BD BE BF BCDE DF DE ABDE BDE AD AD ABD D ACD B ADE ADF BD ABCD I ABDE F E CD AB DE DF BC ACDE ABED BE BF ABCF AF BCD A BDE AF E C ABCDE AED E F ACF ABF ABC CDE BED ABE BCF BCE AC BCDE ED AE CF CE ABCE ACE AE AE E ACE ABE AED ABC ADE CE BE ED BC DE ABCE F E AB ACDE ABED AC ABDE ABCF AD ABCD CD BCE AF E B CDE BED C BDE BCF D BCD ACD ADF A ABCDE ABF ABD ACF DF I BCDE BF BD CF AF F AF AF ACF ABF F ADE AF E C ABCF CF ACDE ED I BF ABDE DF BC DE F E AC CD BE AE CE BCF ABCDE BED B CDE AED A D BCE ACE E BDE ADF ABC BCD ABE ACD BCDE ABED AB BD ABCE AD ABCD ABD BC BC ABC C B BCD BCE BCF AC AB ABCD ABCE ABCF I CD CE CF BD BE BF BCDE ED DF ABED A ACD ACE ACF ABD ABE ABF ABCDE AED ADF BED D E F CDE AF E BDE AD AE AF ACDE F E ABDE DE ADE BD BD D ABD BCD A BDE AF E AD CD AB DE DF ABCD I ABDE F E AC BCDE ED AE AF CF BF ACD B ADE ADF ABC CDE BED ABE ABF BCF F C ABCDE AED E ACF ACE BC ACDE ABED BE ABCF ABCE CE BCE BE BE ABE BCE E BED C BDE ABCE AE ABED AC ABDE CE DF I BCDE ED BC DE CF BD CD ABCD ACE ADF A ABCDE AED ABC ADE ACF ABD ACD BCD AF E B CDE F D BCF F E AB ACDE AF AD ABCF BF ABF BF BF BCF F ABF BDE ADF ABC CF ABCF BCDE ABED AB AF DE F E AC ABDE DF BC ABCD AE BE ABCE ACF CDE AED A ABCDE BED B ABD ACE BCE ABE ADE AF E C ACD E BCD ACDE ED I AD CE BD CD D CD CD BCD ACD D ABC CDE BED ABCD BD AC BCDE ED AD BC ACDE ABED AB DE DF ABCE ABCF BF CF ABD C ABCDE AED A BDE AF E ACE ACF F BCF B ADE ADF BCE ABF ABE I ABDE F E CE AF AE BE E CE CE ACE E BCE AF E B CDE AE ABCE F E AB ACDE BE ED BC DE DF I BCDE BF CD BD AD ABE AED ABC ADE ADF A ABCDE ABF ACD ABD D BED C BDE BCF BCD F ABED AC ABDE ABCF ABCD AF CF ACF CF CF F BCF ACF CDE AED A BF AF DE F E AC ABCF BCDE ABED AB ACDE ED I AD ABCE CE AE ABF BDE ADF ABC ADE AF E C ACD ABE E ACE ABCDE BED B ABD BCE D ABDE DF BC ABCD BE CD BD BCD DE DE BDE CDE ADE BCF ACD ABE BCDE ABDE CF ABCD AE ACDE BF AD ABCE ABCF CD BE ABED AB BC AC ABCDE F ABD ACE ACF BCD E AED A C ABC ABF D BCE ADF B BED AF BD CE F E I ED DF AF E DF DF BED ADF AF E ABE F BCD ABED ED ABCE CF BD F E BE AF ABCD AE BF CD AC ABDE DE BCDE AED BCE ACF ABD ACE BCF D A ABCDE CDE BDE E ABF ACD C ADE ABC CE ABCF AD I ACDE AB BC B ED ED AF E AED BED ACE BCF D F E DF AE BF CD ABED CE ABCF AD ABCE CF BD AB ACDE BCDE DE ADF E ABF ACD ABE F BCD ABC ADE BDE CDE BCE ACF ABD B ABCDE A BE AF ABCD BC ABDE AC I C F E F E AED AF E ADF E ABF ACD ED ABED CE ABCF AD DF AE BF CD BE AF ABCD BC DE ABDE ACDE BED ACE BCF D BCE ACF ABD B CDE ABCDE ADE ABE F BCD ABC BDE C ABCE CF BD AB BCDE I AC A ABC ABC BC AC AB ABCD ABCE ABCF C B BCD BCE BCF A ACD ACE ACF ABD ABE ABF ABCDE AED ADF BED I CD CE CF BD BE BF BCDE ED DF ABED AD AE AF ACDE F E ABDE D E F CDE AF E BDE ADE DE ABD ABD AD BD ABCD I ABDE F E D ACD B ADE ADF BCD A BDE AF E C ABCDE AED E F ACF ABF CD AB DE DF BC ACDE ABED BE BF ABCF AF AC BCDE ED AE CF CE ABC CDE BED ABE BCF BCE ACE ABCE ABE ABE BE ABCE AE ABED AC ABDE BCE E BED C BDE ACE ADF A ABCDE AED ABC ADE ACF ABD ACD BCD CE DF I BCDE ED BC DE CF BD CD ABCD F E AB ACDE AF AD ABCF AF E B CDE F D BCF ABF BF ABF ABF ABCF AF BF ABDE DF BC ACF BCF ABCDE BED B F ADE AF E C BDE ADF ABC BCD E ABE BCE CF ACDE ED I BCDE ABED AB BD CE ABCE BE DE F E AC CD AE ABCD CDE AED A D ACE ABD ACD AD ACD ACD ABCD CD AD BC ACDE ABED BCD ABD C ABCDE AED D ABC CDE BED B ADE ADF BCE BCF ABF ACF BD AC BCDE ED I ABDE F E CE CF AF ABCF AB DE DF ABCE BF BE A BDE AF E ACE F E ABE AE ACE ACE CE AE ABCE F E AB ACDE E BCE AF E B CDE ABE AED ABC ADE ADF A ABCDE ABF ACD ABD D BE ED BC DE DF I BCDE BF CD BD AD ABED AC ABDE ABCF ABCD AF BED C BDE BCF BCD F ACF CF ACF ACF AF ABCF CF ACDE ED I ABF F ADE AF E C BCF ABCDE BED B CDE AED A D BCE ACE E BF ABDE DF BC DE F E AC CD BE AE CE BCDE ABED AB BD ABCE AD BDE ADF ABC BCD ABE ACD ABD ABCD ADE ADE ABDE ACDE DE ABCF CD BE ABCDE BDE ACF BCD E CDE ABF D BCE BCF ACD ABE BED B ABC C BCDE AF BD CE CF ABCD AE ED I AC BC BF AD ABCE DF AB ABED F ABD ACE AF E A AED ADF F E ADF ADF ABED DF F E BE AF ABCD BED AED BCE ACF ABD AF E ABE F BCD E ABF ACD C BDE ADE ABCDE ED ABCE CF BD CE ABCF AD I BCDE ACDE ABDE AE BF CD AC DE BC ACE BCF D A CDE B ABC AB AED AED F E ED ABED CE ABCF AD AF E ADF E ABF ACD BED ACE BCF D BCE ACF ABD B CDE ABCDE ADE DF AE BF CD BE AF ABCD BC DE ABDE ACDE ABCE CF BD AB BCDE I ABE F BCD ABC BDE C A AC AF E AF E ED F E DF AE BF CD AED BED ACE BCF D ADF E ABF ACD ABE F BCD ABC ADE BDE CDE ABED CE ABCF AD ABCE CF BD AB ACDE BCDE DE BE AF ABCD BC ABDE AC BCE ACF ABD B ABCDE A C I BCD BCD CD ABCD BD AC BCDE ED ACD D ABC CDE BED ABD C ABCDE AED A BDE AF E ACE ACF F BCF AD BC ACDE ABED AB DE DF ABCE ABCF BF CF I ABDE F E CE AF AE B ADE ADF BCE ABF ABE E BE BCE BCE ABCE BE CE DF I BCDE ABE ACE ADF A ABCDE E BED C BDE AF E B CDE F BCD D ABD AE ABED AC ABDE F E AB ACDE AF ABCD AD BD ED BC DE CF CD BF AED ABC ADE ACF ACD ABF BCF ABCF BCF BCF BF CF ABCF BCDE ABED AB F ABF BDE ADF ABC ACF CDE AED A ABCDE BED B ABD ACE BCE ABE AF DE F E AC ABDE DF BC ABCD AE BE ABCE ACDE ED I AD CE BD ADE AF E C ACD E BCD D CD BDE BDE DE BCDE ABDE CF ABCD AE CDE ADE BCF ACD ABE ABCDE F ABD ACE ACF BCD E AED A C ABC ACDE BF AD ABCE ABCF CD BE ABED AB BC AC AF BD CE F E I ED ABF D BCE ADF B BED AF E DF BED BED DF ABED ED ABCE CF BD ADF AF E ABE F BCD AED BCE ACF ABD ACE BCF D A ABCDE CDE BDE F E BE AF ABCD AE BF CD AC ABDE DE BCDE CE ABCF AD I ACDE AB E ABF ACD C ADE ABC B BC CDE CDE BCDE DE ACDE BF AD ABCE BDE ABCDE F ABD ACE ADE BCF ACD ABE ABF D BCE ADF ABC B A ABDE CF ABCD AE AF BD CE F E AC I AB ABCF CD BE ABED BC DF ACF BCD E AED C AF E BED ED ABCD ABCD ACD BCD ABD C ABCDE AED CD AD BC ACDE ABED BD AC BCDE ED I ABDE F E CE CF AF ABCF D ABC CDE BED B ADE ADF BCE BCF ABF ACF A BDE AF E ACE F E AB DE DF ABCE BF BE AE ABE ABCE ABCE BCE ABE ACE ADF A ABCDE BE CE DF I BCDE AE ABED AC ABDE F E AB ACDE AF ABCD AD BD E BED C BDE AF E B CDE F BCD D ABD AED ABC ADE ACF ACD ABF ED BC DE CF CD BF ABCF BCF ABCF ABCF ABF ACF BCF ABCDE BED B AF BF ABDE DF BC CF ACDE ED I BCDE ABED AB BD CE ABCE BE F ADE AF E C BDE ADF ABC BCD E ABE BCE CDE AED A D ACE ABD DE F E AC CD AE ABCD AD ACD ABDE ABDE ADE ABCDE BDE ACF BCD E ACDE DE ABCF CD BE BCDE AF BD CE CF ABCD AE ED I AC BC CDE ABF D BCE BCF ACD ABE BED B ABC C F ABD ACE AF E A AED BF AD ABCE DF AB ABED F E ADF ABED ABED ADF BED AED BCE ACF ABD DF F E BE AF ABCD ED ABCE CF BD CE ABCF AD I BCDE ACDE ABDE AF E ABE F BCD E ABF ACD C BDE ADE ABCDE ACE BCF D A CDE B AE BF CD AC DE BC AB ABC ACDE ACDE ABCDE ADE CDE ABF D BCE ABDE BCDE AF BD CE DE ABCF CD BE BF AD ABCE DF BC AB I BDE ACF BCD E F ABD ACE AF E C A B BCF ACD ABE BED ABC ADF CF ABCD AE ED AC F E ABED AED BCDE BCDE CDE BDE ABCDE F ABD ACE DE ACDE BF AD ABCE ABDE CF ABCD AE AF BD CE F E AC I AB ADE BCF ACD ABE ABF D BCE ADF ABC B A ACF BCD E AED C AF E ABCF CD BE ABED BC DF ED BED ABCDE ABCDE ACDE ABDE BCDE AF BD CE ADE CDE ABF D BCE BDE ACF BCD E F ABD ACE AF E C A B DE ABCF CD BE BF AD ABCE DF BC AB I CF ABCD AE ED AC F E BCF ACD ABE BED ABC ADF AED ABED Cuadro.5: Tabla de ΩH 45