MATERIAL DE PROMOCIÓN

Transcripción

1 Luis fernando Ojeda Ánimas érick Javier Vargas Ordaz Ricardo Medel Esquivel Milosh santiago trnka rodríguez Matemáticas3 A p r a c t i c a r C u a d e r n o d e t r a b a j o

2 Presentación Las matemáticas no me gustan, Las matemáticas son difíciles, Las matemáticas son aburridas, Siempre repruebo matemáticas Alto!... Calma deja de ver a las matemáticas como tu enemigo más acérrimo (aunque a muchas personas sí les agradan). Esta materia debe convertirse en tu aliado para resolver problemas. Lo único que tendrás que hacer es familiarizarte con su metodología, las fórmulas y ecuaciones que te permitirán descubrir las claves para resolver, no sólo los casos que se presenten en este libro, sino problemas de tu vida cotidiana. Cada vez que nos enfrentamos a un reto es posible que experimentemos rechazo o temor (y más si has fallado constantemente), pero el temor es una palabra que no debe existir en tu diccionario. No dejes de intentarlo, dicen por ahí que La práctica hace al maestro y cuando realices los ejercicios que aquí se presentan, te sorprenderá lo fácil que es resolver problemas cotidianos aplicando matemáticas. Todos tenemos diferentes estilos al aprender, por eso procuramos que en este libro exista variedad de problemas, de situaciones y de métodos de solución. En cada lección te ofrecemos los elementos necesarios para ir, paso a paso, de lo más fácil a lo más complicado. Así también te brindamos consejos que te pondrán alerta para evitar errores. No dudes, sólo es cuestión de práctica, sin embargo no te confíes y no dejes el estudio para un día antes del examen. No desconfíes de las matemáticas, confía en tus habilidades, despierta tu curiosidad y atrévete a mirar esta materia desde un punto de vista distinto, es como las obras de arte moderno, para encontrar su belleza, hay que mirarlas desde otro ángulo. Las matemáticas forman parte de tu vida, no las dejes encerradas en la escuela. Te aseguramos que con la práctica, llegarás a dominarlas. Adelante! 3

3 6 Conoce tu libro 7 Dosificación 9 BLOQUE 1 10 Ecuaciones cuadráticas 14 Análisis de figuras semejantes y congruentes 18 Criterios de congruencia y semejanza 23 análisis de representaciones de relaciones lineales 27 representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática 31 escala de probabilidad. Eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 35 Encuestas 39 Lo que aprendí 41 Bloque 2 42 Factorización de ecuaciones cuadráticas 46 Rotación y traslación de figuras 50 Diseños que combinan transformaciones 54 cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo 58 El teorema de Pitágoras 61 La regla de la suma en probabilidad 65 Lo que aprendí Índice 4

4 67 Bloque 3 68 fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c 72 resolución de problemas de congruencia y semejanza de triángulos 76 El teorema de Tales 80 Figuras homotéticas 84 gráficas de relaciones de variación cuadrática 88 Gráficas con secciones rectas y curvas 93 La regla del producto en probabilidad 97 Lo que aprendí 99 Bloque Sucesiones definidas por expresiones cuadráticas 104 Conos, cilindros y esferas 109 La pendiente y la tangente en una recta 113 Seno, coseno y tangente 117 Razones trigonométricas y círculo unitario 121 La razón de cambio 125 Desviación media 129 Lo que aprendí 131 BLOQUE resolución de problemas con ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones 136 Cortes en cilindros y conos 140 Volumen de cilindros y conos 144 estimación y cálculo de volúmenes de cilindros y conos 149 Situaciones de variación lineal y cuadrática 153 Juegos de azar justos e injustos 157 Lo que aprendí 159 Bibliografía 5

5 Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Sentido Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones numérico y Patrones y cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u pensamiento ecuaciones operaciones inversas. algebraico Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, Forma, espacio cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Figuras y cuerpos y medida Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que Proporcionalidad corresponden a una relación de proporcionalidad. y funciones Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Manejo de la Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las información Nociones de características de eventos complementarios y eventos mutuamente probabilidad excluyentes e independientes. Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la Análisis y población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. representación Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas de datos convenientes para su presentación. A 6.4 cm Bloque: 1 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. En la gráfica se observa que un artículo que el comerciante compró a $50.00 lo ofrece en $ Sabemos que si dos figuras son congruentes, entonces son semejantes, pero es un error pensar que si dos figuras son semejantes, forzosamente son congruentes. Si dos figuras son congruentes, no dejan de serlo por cambiar de posición. B 8 cm y y y Por lo tanto, la ecuación que representa la relación es y = 1.4x, por lo que el artículo se ofrece a $ x También vemos que la gráfica es una recta que pasa por el origen, por lo que se trata de una relación de proporcionalidad directa. Entonces se puede calcular la constante de proporcionalidad, que en este caso es 1.4. C Dos figuras son semejantes ( ) si tienen la misma forma, pero diferente tamaño. c A x B a C D e f y E d F ABC DEF Los lados y ángulos correspondientes se llaman homólogos. Por ejemplo, a es homólogo a d, y x es homólogo a y. En los lados homólogos se cumple que: a donde la constante k se llama razón de semejanza. Cuando dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño se llaman congruentes ( ). Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. x b Otra forma de identificar si una situación corresponde a una relación de proporcionalidad es encontrar una expresión algebraica que represente la situación y determinar si es de la forma y = kx o de la forma yx = k. a 36 d e h g Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. x i b f c a a A 1 B 1 A 3 B 3 a 1 a 3 b a a A 2 B 2 a 2 C 3 Para nombrar un ángulo se toman sus vértices en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Por ejemplo, el ángulo α también pude llamarse ángulo ABC. B a α b C C 1 b a C 2 A BLOQUE 1 Ficha Eje Tema Contenido entrada de bloque este libro está organizado en fichas de trabajo, en las que practicarás y ejercitarás los contenidos y aprendizajes que desarrollaste en tus clases. al inicio de cada bloque se muestran los ejes, temas y aprendizajes que trabajarás en cada ficha. Desafío matemático el trabajo por competencias implica la solución de situaciones problemáticas. al inicio de cada ficha encontrarás un problema que deberás resolver a partir de las habilidades y conocimientos que has desarrollado en tu curso de matemáticas. es un desafío, y los desafíos, hay que enfrentarlos. ahora practica esta sección contiene diversos problemas y ejercicios con los que pondrás en práctica las habilidades y conocimientos que adquiriste en tus clases. son problemas diversos que aumentan de complejidad de manera gradual, esto te ayudará a mejorar tus competencias matemáticas. error frecuente en los procedimientos matemáticos es común cometer errores o equivocaciones. en esta sección te mostramos los más comunes. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO MANEJO DE LA INFORMACIÓN FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Análisis de figuras semejantes y congruentes En grados anteriores has estudiado los conceptos de proporcionalidad; al elaborar, por ejemplo, figuras a escala se usa una constante de proporcionalidad para cambiar las dimensiones de una figura sin alterar su forma. Las figuras que resultan de una reproducción a escala son, entonces, semejantes. Con los siguientes ejercicios reforzarás tus conocimientos de figuras semejantes y figuras congruentes. Desafío matemático Un diseñador de artículos decorativos para el hogar elaboró velas con forma de prismas cuadrangulares, cuyas caras homólogas son figuras semejantes. Para hacer la vela C a partir de la vela B se usó la misma razón de semejanza que para la B a partir de la A. Simón quiere comprar las velas y colocarlas en un espacio cuyas medidas frontales son 26 cm de largo por 27 cm de alto. Todas las velas cabrán en ese espacio? Sí Las claves del problema 1. Como las caras homólogas son semejantes, entonces: Las áreas de las caras homólogas son iguales. Los lados de las caras homólogas tienen la misma medida. Los lados de las caras homólogas son proporcionales. Los perímetros de las caras homólogas son iguales. 2. Cuando dos figuras son semejantes, los ángulos homólogos tienen la misma medida. siempre suman 90. siempre suman 180. son proporcionales. 3. Cómo se calcula la razón de semejanza entre las velas B y A necesaria para hacer la vela C a partir de la B? La medida de cualquier lado de la vela A se divide entre la medida del lado homólogo de la vela B. La medida de cualquier lado de la vela B se divide entre la medida del lado homólogo de la vela A. La medida de cualquier lado de la vela A se multiplica por la medida del lado homólogo de la vela B. La medida de cualquier lado de la vela B se multiplica por la medida del lado homólogo en la vela A Cómo se obtienen las medidas de la vela C con base en las medidas de la vela B? Las medidas de la vela B se dividen por la razón de semejanza. A las medidas de la vela B se les suma la razón de semejanza. Las medidas de la vela B se multiplican por la razón de semejanza. A las medidas de la vela B se les resta la razón de semejanza. Ahora practica regreso al Desafío matemático al final de cada ficha se presenta un espacio para replantear el problema inicial que ya resolviste. es una oportunidad para revisar, evaluar y mejorar tus conocimientos y estrategias de solución. 1. Observa las siguientes parejas de figuras y, sin medir, anota si son semejantes, congruentes o si no se relacionan entre sí. Después, mide las figuras y confirma tus respuestas. Congruentes. Semejantes. Sin relación. a) Mide los lados y ángulos de cada par de figuras, realiza las operaciones necesarias y contesta. Cómo son entre sí los ángulos de las figuras semejantes? Iguales. Cómo son entre sí los ángulos de las figuras congruentes? Iguales. Cómo son entre sí los lados correspondientes de las figuras congruentes? Iguales. Cómo son entre sí los lados correspondientes de las figuras semejantes? Proporcionales. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO MANEJO DE LA INFORMACIÓN FORMA, ESPACIO Y MEDIDA cm Error frecuente Error frecuente cm SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO FORMA, ESPACIO Y MEDIDA MANEJO DE LA INFORMACIÓN SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO MANEJO DE LA INFORMACIÓN FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Conceptos clave 3. Los triángulos A1B1C1, A2B2C2 y A3B3C3 son congruentes, y en cada uno se marcó una de las alturas. Cada altura divide al triángulo original en otros dos. Cuáles de esos triángulos son congruentes? Usa los criterios de congruencia para argumentar tu respuesta. Los triángulos formados en el triángulo A 1 B 1 C 1 son congruentes por el criterio ALA, ya que los ángulos en A 1 y en C 1 son iguales y la altura forma ángulos rectos, entonces los dos ángulos formados en B 1 tienen la misma medida, así que considerando a 1 se cumple el criterio, Los triángulos formados en el triángulo A 2 B 2 C 2 son congruentes con los que se forman en el triángulo A 3 B 3 C 3, aquí se ocupa el criterio LAL. 4. En la figura se observa una espiral construida a partir del triángulo isósceles abc. Este tipo de espirales se observan en la Naturaleza (en los caracoles, por ejemplo). Las líneas punteadas son las bisectrices de los ángulos abc y bca, y con ellas se obtuvieron los vértices e y d, formando el triángulo ecd. Si se trazan las bisectrices de los ángulos dec y cde, se obtienen los vértices f y g, formando el triángulo efg. Al continuar este procedimiento se obtiene el triángulo hig. Estos triángulos se conocen como triángulos áureos y todos ellos son semejantes. Completa lo siguiente para demostrar que los triángulos abc y ecd son semejantes Anota en el cículo, al lado de cada gráfica, expresión algebraica y tabla, una P si se trata de una relación de proporcionalidad directa o una O si no lo es. a) O b) P c) O d) P a = 3n g) O m n Regreso al Desafío matemático e) O s = 3t + 1 h) P u v f) P 4x = 3y i) O p q Retoma el Desafío matemático y, aplicando lo que practicaste en esta ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compáralas con las de tus compañeros y valídenlas en grupo. a) Considera que la gráfica que relaciona el costo de compra y venta de cada artículo es una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (15, 24). En esas condiciones, en cuánto se ofrecería un artículo por el que se pagó $175.00? En $ Validación 1. Completa los siguientes enunciados. d = k b e = k c f = k a) Como el triángulo abc es isósceles, entonces los ángulos abc y bca tienen la misma medida. Cada uno mide 72. b) Como las líneas punteadas son bisectrices de esos ángulos, entonces los ángulos ebc y bce miden triángulo suman mide = Como los ángulos interiores de un 180, considerando el triángulo ebc, el ángulo ceb c) Los ángulos dec y ceb son suplementarios, es decir, suman 180, ya que Procedimiento forman una línea recta. Así que el ángulo dec mide = 72. las claves del problema en todo problema hay elementos clave que debes reconocer y que son fundamentales para resolver la situación. en esta sección te ayudamos a descubrirlos. Conceptos clave Para resolver los problemas que se plantean necesitas tener bien claros los conceptos a los que se refieren. esta sección incluye la definición de esos conceptos apoyada con ejemplos. Notación notación Las matemáticas tienen un lenguaje propio, en esta sección explicamos el significado de sus simbolos y la forma en que se expresa el lenguaje matemático. Procedimiento en esta sección se explican algoritmos y métodos para resolver diversos problemas. incluye ejemplos para apoyar su comprensión. se señala el eje al que corresponde la ficha que estás trabajando. Validación tu solución al desafío matemático fue acertada? valida tu resultado completando el procedimiento que te presentamos. conoce TU LiBRo 6

6 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Semanas Ficha Contenido Páginas 1 1. Ecuaciones cuadráticas Análisis de figuras semejantes y congruentes 3. Criterios de congruencia y semejanza 4. Análisis de representaciones de relaciones lineales 5. Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática 6. Escala de probabilidad. Eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes Encuestas Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación Lo que aprendí Factorización de ecuaciones cuadráticas 2. Rotación y traslación de figuras 3. Diseños que combinan transformaciones 4. Cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo El teorema de Pitágoras Explicitación y uso del teorema de Pitágoras La regla de la suma en probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). 15 Lo que aprendí Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c 2. Resolución de problemas de congruencia y semejanza de triángulos Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas El teorema de Tales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales Figuras homotéticas Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas Gráficas de relaciones de variación cuadrática 6. Gráficas con secciones rectas y curvas Lectura y construcción de graficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 7. La regla del producto en probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto) Lo que aprendí Dosificación 7

7 24 1. Sucesiones definidas por expresiones cuadráticas Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Conos, cilindros y esferas Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos Bloque 4 Bloque La pendiente y la tangente en una recta Seno, coseno y tangente Razones trigonométricas y círculo unitario La razón de cambio Desviación media Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa. Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la desviación media con el rango como medidas de la dispersión Lo que aprendí Resolución de problemas con ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones Cortes en cilindros y conos Volumen de cilindros y conos 4. Estimación y cálculo de volúmenes de cilindros y conos 5. Situaciones de variación lineal y cuadrática 6. Juegos de azar justos e injustos Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada. Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables Lo que aprendí

8 BLOQUE 1 Ficha Eje Tema Contenido Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

9 Ecuaciones cuadráticas manejo de la información forma, espacio y medida El estudio de las ecuaciones cuadráticas, es decir, las ecuaciones en las que la mayor potencia de la variable es 2, se remonta a la Antigüedad. Se sabe, a partir de registros en tablillas de arcilla, que los babilonios estaban familiarizados con este tipo de ecuaciones desde hacía más de años. En la Grecia antigua, el matemático Euclides (siglo IV a. n. e.) desarrolló un método geométrico para encontrar las soluciones de algunas ecuaciones cuadráticas y Diofanto de Alejandría (siglo II) también aportó un procedimiento para resolverlas. El matemático árabe Al-Khwarizmi ( ) estudió algunos tipos de ecuaciones cuadráticas. En Europa se estudiaron las ecuaciones de segundo grado, por primera vez, usando métodos algebraicos, hasta el año 1145 en un libro publicado por el matemático hebreo de origen hispano Abraham bar Hiyya. Desafío matemático El área, A, del rectángulo es de 243 u 2. Cuál es la medida del largo del rectángulo? x 2 u A = 243 u 2 18 u Las claves del problema 1. Selecciona la respuesta correcta de las siguientes preguntas. a) Cuál ecuación representa el área del rectángulo? 9x = 243 x = 243 x = 243 9x = 243 b) Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas es equivalente a la anterior?; es decir, una ecuación que también representa el área del rectángulo? x 2 = 27 x 2 = 45 x 2 = 81 x 2 = 9 c) Si en uno de los miembros de una ecuación equivalente sólo aparece la incógnita elevada al cuadrado, qué operación se debe aplicar, a ambos miembros de la ecuación, para calcular los números que sean soluciones de la ecuación cuadrática? La suma La resta La raíz cuadrada Elevar al cuadrado d) Cuál de los siguientes valores de x es solución a la ecuación que representa el área del rectángulo? x = 3 x = 9 x = 5.2 x = 6.71 Conceptos clave Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella en la que la mayor potencia de la variable es 2. Por ejemplo, x 2 = 9, x = 19, y x 2 1 = 24 son ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos soluciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación x 2 = 9, una solución es x = 3 porque 3 2 = 9, y x = 3 también es una solución porque ( 3) 2 = 9. Procedimiento Para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: x 2 = a, donde a es un número positivo, se procede de la manera siguiente: Como la raíz cuadrada de un número es la operación inversa a elevar ese número al cuadrado, basta aplicar la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación. Así, si se aplica la raíz cuadrada a una ecuación de la forma x 2 = a, se obtiene x 2 = ± a; esto es, x 1 = a y x 2 = a. 9 u Por ejemplo, para encontrar las soluciones de la ecuación x 2 = 16 se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación, x 2 = ± 16 ; x = ±4; es decir, x 1 = 16 = 4 y x 2 = 16 = Contenido Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

10 Ahora practica 1. El procesador es el circuito integrado central y el más complejo de una computadora. Por limitaciones de espacio, los procesadores que se utilizan en dispositivos móviles son de un menor tamaño que los que se usan en computadoras de escritorio. Por ejemplo, el procesador de algunos teléfonos inteligentes ocupa 81 mm 2, mientras que el de uno de los primeros modelos de computadoras de escritorio medía 324 mm 2. Ambos procesadores tienen forma cuadrada. a) Cuánto mide cada lado del procesador del teléfono inteligente? 9 mm. b) Cuánto mide el lado del procesador de la computadora de escritorio? 18 cm. 2. Si el área de un círculo es de cm 2, cuál es la longitud de su radio? Se considera sólo la solución positiva porque se trata de una longitud, es decir, la longitud del radio, r, mide 4 cm. 3. El cuadrado de un número más 13 es igual a 157. Cuál es ese número? Los números 12 y 12 cumplen las condiciones del enunciado. 4. El área de un cuadrado mide 169 m 2. Cuánto mide su perímetro? 52 m. 5. Encuentra el número o los números cuyo triple de su cuadrado es igual a Los números son 19 y Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área mide 324 cm 2, cuál es la longitud del cuadrado original? 9 cm. Procedimiento Para resolver una ecuación cuadrática de la forma: ax 2 b = 0, donde x es la incógnita y a y b son números conocidos, se procede de la siguiente forma: Primero se suma el número b a ambos miembros de la ecuación: ax 2 b + b = 0 + b ax = b ax 2 = b. Después ambos miembros de la ecuación se dividen entre el número a: ax 2 a = b a Al final se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación: x 2 = ± b a x = ± b a Para que la ecuación tenga soluciones en los números que hasta ahora conocemos, se debe cumplir que la razón b a 0. Por ejemplo, para resolver la ecuación: 2x 2 18 = 0 Se suma 18 a ambos miembros: 2x = x = 18. 2x 2 = 18. Ambos miembros de la ecuación se dividen entre 2: 2x 2 2 = 18 2 x 2 = 9 Al final se aplica la raíz cuadrada. Así, las soluciones son: x 1 = 3 y x 2 = 3. forma, espacio y medida manejo de la información Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 11

11 manejo de la información forma, espacio y medida 7. Encuentra el número o los números que cumplan lo siguiente: la mitad del cuadrado de un número más la tercera parte del cuadrado de ese mismo número es igual a 120. El problema tiene dos soluciones y el número puede ser 12 o El área de un rectángulo es de 147 cm 2 y la longitud de su base es tres veces mayor que la longitud de su altura. Cuáles son sus dimensiones? La longitud de la altura del rectángulo es de 7 cm y la longitud de su base es de 21 cm. 9. El área de un triángulo mide 121 cm 2 y la longitud de su base es la mitad de lo que mide la longitud de su altura. Cuáles son las dimensiones del triángulo? La longitud de la altura del triángulo es de 22 cm y, por tanto, la longitud de su base es de 11 cm. 10. El área de color verde en la figura de la derecha mide 81 cm 2. Si todas las semicircunferencias de la figura son iguales, cuánto mide cada lado del cuadrado ABCD? El cuadrado ABCD mide 9 cm por lado. B 11. En la figura de la derecha se muestra un círculo al que se ha hecho un agujero circular. El área del agujero es nueve veces menor que el área del círculo original y se sabe que el área del círculo original era de cm 2. a) Cuánto mide el radio R del círculo original? R = 12 cm. b) Cuánto mide el radio r del círculo que corresponde al área del agujero? r = 4 cm A D C Error frecuente Aplicar la operación raíz cuadrada sólo a uno o algunos de los términos de un miembro de la ecuación, cuando lo correcto es aplicar la raíz cuadrada a todos los términos de ambos miembros de la ecuación. Por ejemplo, es un error aplicar la raíz cuadrada a la ecuación x 2 = de la siguiente manera: x 2 = x = x = 13. Lo correcto es aplicar la raíz cuadra a todos los términos de cada miembro de la ecuación. x 2 = x 2 = 25 x = 5 r c) Cuántas veces es menor el radio r respecto al radio R? El radio r es tres veces menor que el radio R. R 12 Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

12 12. El área del rectángulo ABCD en la figura de la derecha mide 392 cm 2. Cuánto mide el área del círculo de la misma fi g u r a? A = cm 2. Regreso al Desafío matemático 1. Para qué valores de x el área del siguiente rectángulo varía entre 95 u 2 y 230 u 2? Los valores de x varían entre x = 6 y x = 3, y x = 3 y x = 6. x 2 u 10 u 2. Si el valor de x aumenta o decrece en el rectángulo de la figura anterior, qué pasa con el área? Hay dos casos: Validación 1. Completa con palabras o expresiones los siguientes enunciados. La ecuación cuadrática que representa el área del rectángulo se obtiene al igualar el producto de la base del rectángulo (x u) por su altura (9 u) con el valor del área del rectángulo (243 u 2.) Así, la ecuación cuadrática 9(x ) = 9x = 243 representa el área del rectángulo. Así, las soluciones de la ecuación cuadrática son x 1 = 3 y x 2 = 3.. Entonces, x puede tener dos valores válidos: x = 3 y x = 3. 5 u Caso 1. Si x 0 al aumentar el valor de x, el área del rectángulo aumenta. Caso 2. Si x < 0 al disminuir el valor de x, el área del rectángulo aumenta. Por último, obtener la la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: A D Una manera de encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática 9x = 243 que representa el área del rectángulo es restar 162 a ambos miembros de la ecuación: 9x = x = 81. x 2 = 9 x = ±3. O Después dividir ambos miembros de la ecuación entre 9 : 9x 2 9 = 81 9 x 2 = 9. B C forma, espacio y medida manejo de la información Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 13

13 forma, espacio y medida manejo de la información Análisis de figuras semejantes y congruentes En grados anteriores has estudiado los conceptos de proporcionalidad; al elaborar, por ejemplo, figuras a escala se usa una constante de proporcionalidad para cambiar las dimensiones de una figura sin alterar su forma. Las figuras que resultan de una reproducción a escala son, entonces, semejantes. Con los siguientes ejercicios reforzarás tus conocimientos de figuras semejantes y figuras congruentes. Desafío matemático Un diseñador de artículos decorativos para el hogar elaboró velas con forma de prismas cuadrangulares, cuyas caras homólogas son figuras semejantes. Para hacer la vela C a partir de la vela B se usó la misma razón de semejanza que para la B a partir de la A. Simón quiere comprar las velas y colocarlas en un espacio cuyas medidas frontales son C 26 cm de largo por 27 cm de alto. Todas las velas cabrán en A B ese espacio? Sí Las claves del problema 1. Como las caras homólogas son semejantes, entonces: Las áreas de las caras homólogas son iguales. Los lados de las caras homólogas tienen la misma medida. Los lados de las caras homólogas son proporcionales. Los perímetros de las caras homólogas son iguales. 2. Cuando dos figuras son semejantes, los ángulos homólogos tienen la misma medida. siempre suman 90. siempre suman 180. son proporcionales. 16 cm 6.4 cm 3. Cómo se calcula la razón de semejanza entre las velas B y A necesaria para hacer la vela C a partir de la B? La medida de cualquier lado de la vela A se divide entre la medida del lado homólogo de la vela B. La medida de cualquier lado de la vela B se divide entre la medida del lado homólogo de la vela A. La medida de cualquier lado de la vela A se multiplica por la medida del lado homólogo de la vela B. La medida de cualquier lado de la vela B se multiplica por la medida del lado homólogo en la vela A. 20 cm 8 cm Conceptos clave Dos figuras son semejantes ( ) si tienen la misma forma, pero diferente tamaño. A B E c x f y D d b ABC DEF Los lados y ángulos correspondientes se llaman homólogos. Por ejemplo, a es homólogo a d, y x es homólogo a y. En los lados homólogos se cumple que: a d = k b c e = k f = k donde la constante k se llama razón de semejanza. a Cuando dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño se llaman congruentes ( ). e F C 14 Bloque: 1 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

14 4. Cómo se obtienen las medidas de la vela C con base en las medidas de la vela B? Las medidas de la vela B se dividen por la razón de semejanza. A las medidas de la vela B se les suma la razón de semejanza. Las medidas de la vela B se multiplican por la razón de semejanza. A las medidas de la vela B se les resta la razón de semejanza. Ahora practica 1. Observa las siguientes parejas de figuras y, sin medir, anota si son semejantes, congruentes o si no se relacionan entre sí. Después, mide las figuras y confirma tus respuestas. Congruentes. Semejantes. a) Mide los lados y ángulos de cada par de figuras, realiza las operaciones necesarias y contesta. Cómo son entre sí los ángulos de las figuras semejantes? Iguales. Cómo son entre sí los ángulos de las figuras congruentes? Iguales. Sin relación. Error frecuente Sabemos que si dos figuras son congruentes, entonces son semejantes, pero es un error pensar que si dos figuras son semejantes, forzosamente son congruentes. Error frecuente Si dos figuras son congruentes, no dejan de serlo por cambiar de posición. forma, espacio y medida manejo de la información manejo de la información Cómo son entre sí los lados correspondientes de las figuras congruentes? Iguales. Cómo son entre sí los lados correspondientes de las figuras semejantes? Proporcionales. Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 15

15 2. Determina el valor de los ángulos de los triángulos BAC y BAD. Con esa información completa el trazo de la figura 2, que debe ser semejante a la figura 1. forma, espacio y medida manejo de la información x x A C Figura 1 CBA = 55 ABD = 45 DAB = 110 ACB = Analiza la siguiente sucesión de cuadrados. B 2x 25 D Figura 2 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 a) Mide los lados de los cuadrados y calcula la razón de semejanza que se usó para obtener cada cuadrado a partir del anterior. Figura 2 a partir de la 1: 1 Figura 3 a partir de la 2: 0.8 Figura 4 a partir de la 3: 0.6 b) Explica la relación entre las razones de semejanza, calcula las medidas que tendría una figura 5 y trázala. La razón de semejanza entre las figuras sigue la sucesión numérica: 1, 0.8, 0.6, 0.4, etcétera. Por tanto, cada lado del cuadrado de la figura 5 debe medir 2.4 cm 0.4 = 0.96 cm. A 1 B 1 D 1 c) Explica por qué no hubo un cambio de tamaño de la figura 1 a la 2 y por qué para el resto disminuyó el tamaño. Porque la razón de semejanza entre las dos primeras figuras es 1, lo que significa que son congruentes y, por tanto, conservan todas sus medidas; para el resto de las figuras la razón de semejanza disminuye en 0.2 cada vez, por lo que las figuras son menores, aunque semejantes. 16 Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

16 4. La siguiente figura se formó con triángulos semejantes. Responde las preguntas y luego traza los dos triángulos que siguen en la figura. 10 a) Nombra los vértices de los dos triángulos verdes más grandes e indica qué lados son homólogos. Calcula la razón de semejanza entre ellos. Regreso al Desafío matemático 1. Cabrían las velas en el espacio del que dispone Simón? Valida tu respuesta con un compañero. 2. Para calcular las medidas de una cuarta vela, más pequeña que la vela A y semejante a ésta, qué razón de semejanza se debe usar para obtener sus medidas a partir de las medidas de la vela A? El inverso a la razón de semejanza anterior =0.8, por lo que la cuarta vela medirá de Validación 1. Completa los enunciados y valida tu respuesta al Desafío matemático. Si se divide la medida de uno de los lados de la vela B entre la medida del lado homólogo en la vela A, se obtiene la razón de semejanza, que es R. M. AB es homólogo a AD, BC es homólogo a DB y AC es homólogo a AB. La razón de semejanza es AB AD = = 1.6. ancho 6.4 cm 0.8 = 5.12 cm y de alto 16 cm 0.8 = 12.8 cm El número anterior se multiplica por las medidas de la vela B para obtener las medidas de los lados homólogos de la vela C. Así se tiene que el lado de la base de la vela C mide 10 cm y su altura es de 25 cm. C A B 2.44 D 1.53 forma, espacio y medida manejo de la información manejo de la información Como la altura de la vela C es menor que la altura del espacio que Simón tiene disponible, y la suma del ancho de las tres velas es menor que el ancho del espacio, entonces éstas sí caben en el espacio. 17

17 Criterios de congruencia y semejanza forma, espacio y medida manejo de la información Seguramente has escuchado hablar del matemático griego Euclides, quien vivió del año 325 a. n. e. al 265 a. n. e. En su libro los Elementos, la proposición 20 indica una relación entre las medidas de los lados de un triángulo. Si tres números no cumplen esa relación, entonces tres segmentos con esas medidas no forman un triángulo. Esta relación se conoce como la desigualdad del triángulo y te será útil para resolver varios problemas matemáticos. También has estudiado qué significa que dos triángulos sean semejantes o congruentes. Pero, qué es lo mínimo que debes saber para asegurar que dos triángulos son semejantes o congruentes? Es necesario conocer las medidas de todos los ángulos y de todos los lados de ambas figuras? Desafío matemático Las ciudades de Colima (C), Toluca de Lerdo (T) y Chalco de Díaz Covarrubias (D) se pueden considerar como colineales, es decir, se localizan sobre una misma línea recta imaginaria. Las tres ciudades, además, se encuentran en la misma latitud, es decir, en línea paralela al ecuador. La Ciudad de México (M) está a casi 5 de la distancia de Celaya (Y) a Chalco, que también son colineales. Toluca está aproximadamente a 5 de la distancia de Colima a Chalco. 6 6 Si Celaya se encuentra a 25 hacia el noreste de Colima, en qué dirección se ubica la Ciudad de México con respecto de Toluca? Justifica tu respuesta aplicando los criterios de semejanza de triángulos. Puerto Vallarta Las claves del problema 1. Qué fracción de la distancia de Celaya a Chalco representa la distancia de la Ciudad de México a Chalco? 5 6 Tepic Colima Manzanillo C Escala 1 : Cuál es la proporción entre la distancia de Colima a Chalco y la de Toluca a Chalco? 1 6 Guadalajara Aguascalientes Lázaro Cárdenas km La Piedad 5 6 Morelia San Luis de la Paz Santiago de Querétaro 3. Qué ángulo es común a los triángulos TMD y CYD? MDT YMT DCY DTY Celaya Y Pachuca Ciudad de México Xalapa Toluca MChalco Puebla T P Veracruz Cuernavaca Tehuacan Conceptos clave Desigualdad del triángulo: Si a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo, siempre se cumple que: a + b > c a + c > b b + c > a Conceptos clave Criterios de semejanza: Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales (LLL); si tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos mide lo mismo en ambos triángulos (LAL); si tienen dos ángulos correspondientes con la misma medida en ambos triángulos (AA). 18 Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

18 Ahora practica 1. A una tienda de cajas de cartón para regalo llegaron varios pliegos de cartón como el que se muestra. Las líneas punteadas indican dónde se harán los dobleces para unir los lados marcados con negro, de modo que se forme una caja con forma de prisma triangular (las tapas se añadirán después). Las líneas están en 1 4 y en 3 4 partes del largo. a) Es posible construir la caja con ese procedimiento? Por qué? No es posible, ya que cada parte de las orillas tiene 1 4 de la longitud total del largo y suman = 1 2, que es igual a la longitud del tercer lado. La desigualdad del triángulo dice que la suma de cualesquiera dos lados de un triángulo debe ser mayor que el tercero, lo cual no se cumple en este caso. b) Si las marcas estuvieran en 2 7 y 5 partes del largo, se podría construir la 7 caja? Verifica tu respuesta considerando que el largo mide 140 cm. Si las marcas estuvieran en 2 7 y 5 7 los lados correspondientes a esos segmentos medirían 2 7 cada uno. Así que su suma es 4 7, lo cual es mayor que la medida del otro lado que es 3 7, por lo que sí es posible construir la caja. Si el largo mide 140 cm, los lados del triángulo serían 40 cm, 60 cm y 40 cm. 2. Considera que para construir un triángulo con lados a, b y c, el lado a puede medir 2 cm, 9 cm o 12 cm; el lado b, 1 cm, 4 cm o 12 cm, y el lado c, 1 cm, 3 cm o 12 cm. Dado que hay tres opciones para cada lado, eso implica que se pueden construir = 27 triángulos? Explica tu respuesta. Conceptos clave Criterios de congruencia: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes miden lo mismo (LLL); si dos lados correspondientes tienen la misma medida y el ángulo comprendido entre ellos mide lo mismo (LAL); si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado comprendido entre ellos también mide lo mismo en ambos triángulos (ALA). forma, espacio y medida manejo de la información manejo de la información R. M. No, por ejemplo, para a = 2 cm, b = 1 cm y c =3 cm no se cumple la desigualdad del triángulo: 2 cm + 1 cm no es mayor que 3 cm; por tanto, no se puede construir un triángulo. Otro ejemplo es a = 2 cm, b = 4 cm y c = 12 cm. Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 19

19 forma, espacio y medida manejo de la información 3. Los triángulos A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 y A 3 B 3 C 3 son congruentes, y en cada uno se marcó una de las alturas. Cada altura divide al triángulo original en otros dos. Cuáles de esos triángulos son congruentes? Usa los criterios de congruencia para argumentar tu respuesta. Los triángulos formados en el triángulo A 1 B 1 C 1 son congruentes por el criterio ALA, ya que los ángulos en A 1 y en C 1 son iguales y la altura forma ángulos rectos, entonces los dos ángulos formados en B 1 tienen la misma medida, así que considerando a 1 se cumple el criterio, Los triángulos formados en el triángulo A 2 B 2 C 2 son congruentes con los que se forman en el triángulo A 3 B 3 C 3, aquí se ocupa el criterio LAL. 4. En la figura se observa una espiral construida a partir del triángulo isósceles abc. Este tipo de espirales se observan en la Naturaleza (en los caracoles, por ejemplo). Las líneas punteadas son las bisectrices de los ángulos abc y bca, y con ellas se obtuvieron los vértices e y d, formando el triángulo ecd. Si se trazan las bisectrices de los ángulos dec y cde, se obtienen los vértices f y g, formando el triángulo efg. Al continuar este procedimiento se obtiene el triángulo hig. Estos triángulos se conocen como triángulos áureos y todos ellos son semejantes. Completa lo siguiente para demostrar que los triángulos abc y ecd son semejantes. a 36 a) Como el triángulo abc es isósceles, entonces los ángulos abc y bca tienen la misma medida. Cada uno mide 72. b) Como las líneas punteadas son bisectrices de esos ángulos, entonces los ángulos ebc y bce miden d e h g i b f 36. Como los ángulos interiores de un c a a A 1 B 1 A 3 B 3 a 1 a 3 b a b a a A 2 B 2 Notación a 2 C 3 Para nombrar un ángulo se toman sus vértices en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Por ejemplo, el ángulo α también pude llamarse ángulo ABC. C C 1 b a C 2 triángulo suman 180, considerando el triángulo ebc, el ángulo ceb mide = 108. c) Los ángulos dec y ceb son suplementarios, es decir, suman 180, ya que forman una línea recta. Así que el ángulo dec mide = 72. B α A 20 Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

20 d) Sabemos que el ángulo ecd mide 36, pues se formó con una bisectriz. e) Por tanto, el triángulo ecd tiene un ángulo de 72 y otro de 36. Por consiguiente, se puede ocupar el criterio de semejanza semejante al triángulo abc. para concluir que el triángulo ecd es 5. Observa los triángulos y con base en los criterios de semejanza y congruencia responde lo siguiente. A B a) Explica si es posible mostrar que los triángulos son semejantes o si son congruentes. Aplicando los criterios de congruencia y semejanza no es posible. b) Compara el triángulo con los anteriores y explica si es congruente o semejante a cada uno. c) A partir de los incisos anteriores, qué puedes decir de la semejanza o la congruencia entre los triángulos ACB y FED? Son congruentes. C 6. Elisa compró una repisa triangular para colocarla en una esquina de su casa, pero tuvo que cortarla porque en las dos paredes que forman la esquina hay ventanas, y los lados de la repisa llegaban al borde de ellas. Hizo un corte en cada lado de la repisa de manera que ésta seguía siendo triangular. Si cada lado de la repisa que hacía contacto con la pared medía 95 cm y ahora miden 64 cm, la forma actual de la repisa es semejante a la original? Por qué? 3.11 En el triángulo GIH, el ángulo en el vértice I mide 75, ya que = 75. Se aplica el criterio ALA a los triángulos CBA y GIH para mostrar que son congruentes. Para el triángulo FDE se aplica el criterio LAL y se muestra que es congruente a GIH. AA D F 58 G I E H forma, espacio y medida manejo de la información manejo de la información Las nuevas medidas de los lados son proporcionales a las originales, y como el ángulo que queda en la esquina de la pared no se modificó y está entre estos dos lados, entonces, por el criterio de semejanza LAL, los lados de la repisa son semejantes. Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 21

21 Regreso al Desafío matemático manejo de la información forma, espacio y medida 1. Explica cómo obtener la distancia entre Toluca y la Ciudad de México a partir de la distancia entre Colima y Celaya. Como los triángulos TMD y CYD son semejantes y el lado TM es homólogo al lado CY, entonces la distancia de Toluca a la Ciudad de México es proporcional a la distancia de Colima a Celaya. La proporción es 1 6, pues esta es lo proporción entre los otros lados homólogos. La distancia de Toluca a la Ciudad de México es 1 6 de la distancia de Colima a Celaya. Validación 1. Completa los enunciados y valida tu respuesta al Desafío matemático. Como la distancia de Celaya a la Ciudad de México es 5 6 de la distancia total, es decir, de la distancia de Celaya a Chalco, la distancia de la Ciudad de México a Chalco es, entonces, 1 6 de la distancia total. Como la distancia de Colima a Toluca es 5 6 de la distancia total, o sea, de la distancia de Colima a Chalco, la distancia de Toluca a Chalco es, entonces, 1 6 de la distancia total. Como los triángulos TMD y CYD son semejantes, el ángulo DTM es el homólogo del ángulo DCY y, por tanto, tienen la misma medida; es decir, la Ciudad de México se encuentra en la misma direccion con respecto a Toluca que Celaya de Colima. Así, para obtener la medida de TD hay que multiplicar la 1 medida de CD por 6, y para obtener la medida de MD se debe multiplicar la medida de YD 1 por 6. Así, la proporción entre TD y CD es la misma que entre MD y YD. El ángulo que se forma entre los lados YD y CD en el triángulo CYD es MDT o YDC, que es el mismo que se forma entre los lados TD y MD. De acuerdo con lo anterior, podemos aplicar el criterio de semejanza AA a los triángulos TMD y CYD. 22 Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

22 Análisis de representaciones de relaciones lineales En cursos anteriores de Matemáticas estudiaste relaciones que se expresan con ecuaciones de la forma y = ax + b, las cuales reciben el nombre de relaciones de variación lineal o simplemente relaciones lineales. También aprendiste a representar ese tipo de relaciones en tablas y gráficas con el propósito de obtener información a partir de ellas. Por ejemplo, con la gráfica de una relación lineal a simple vista puedes tener idea del comportamiento de las magnitudes que se relacionan, aunque no es tan sencillo obtener valores precisos a partir de ella. Las tablas permiten obtener valores exactos para ciertas parejas de magnitudes, pero no siempre se puede conocer, a partir de ella y de manera directa, el comportamiento general de la relación. Al utilizar los diversos tipos de representaciones podrás analizar a fondo las relaciones lineales. Desafío matemático Un comerciante dedicado a la compra y venta de artículos usados ofrece sus productos en proporción con el precio que pagó por ellos, como muestra la gráfica. A cuánto ofrecerá un artículo por el que pagó $120.00? Lo ofrecerá a $ Las claves del problema 1. Selecciona la opción correcta. a) Cuál de las siguientes tablas corresponde con la gráfica? x y x y x y x y b) A partir de la gráfica o de la tabla que elegiste determina que expresión algebraica representa la relación entre el precio de compra y el de venta de los artículos del comerciante. y = 1.4x x = 1.4y y = 1.4x x = 1.4y c) Cómo puedes utilizar la ecuación anterior para resolver el problema? El precio de compra se sustituye en cualquiera de las variables, x o y, y después se resuelve la ecuación. El valor obtenido es el precio de venta. La variable x se sustituye por $ y se resuelve la ecuación. El valor así obtenido de y es el precio de venta. La variable y se sustituye por $ y se resuelve la ecuación. El valor así obtenido de x es el precio de venta. No es posible resolver con la ecuación porque se necesita conocer al menos un valor más. Precio de venta (pesos) Y Precio de compra (pesos) Conceptos clave Una relación de proporcionalidad entre dos cantidades o dos conjuntos de cantidades se expresan de distintas maneras, por ejemplo mediante una tabla, una gráfica o una expresión algebraica. De igual manera, una misma expresión algebraica, tabla o gráfica puede representar distintas situaciones que corresponden a una relación de proporcionalidad. X forma, espacio y medida manejo de la información Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 23

23 Ahora practica manejo de la información forma, espacio y medida 1. Considera un cuadrado de lado igual a m y responde. a) Cuál es la expresión algebraica que representa al perímetro P del cuadrado? P = 4m b) La relación entre la longitud del lado del cuadrado y su perímetro es directamente proporcional? Justifica tu respuesta. R. M. Sí porque a medida que una de las magnitudes aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción. c) Completa la tabla y traza en el plano cartesiano la relación entre la medida de lado del cuadrado y su perímetro. Longitud de m (cm) d) Cómo se comprueba a partir de la gráfica si se trata o no de una relación de proporcionalidad directa? Porque la gráfica es una recta que pasa por el origen. 2. Lee lo siguiente y analiza la gráfica. Realiza y contesta lo que se pide. Las memorias flash SDHC (llamadas así por sus siglas en inglés, Secure Digital High Capacity) se utilizan para almacenar datos en dispositivos como teléfonos celulares, computadoras, cámaras fotográficas, etcétera. Hay cuatro clases de memorias SDHC (clase 2, clase 4, clase 6 y clase 10) y cada una transmite con distinta rapidez en megabytes por segundo (MB/s). En la gráfica se muestra la mínima rapidez de transferencia de cada clase de memoria. Perímetro del cuadrado (cm) Información trasmitida (MB) Clase 10 Perímetro del cuadrado (cm) Tiempo (s) Clase 6 Clase Medida del lado (cm) Clase 2 Fuente: a) Cuál memoria flash SDHC tiene la mayor rapidez de transmisión? Explica tu respuesta. R.M. La clase 10 porque en el mismo intervalo transmite más información que las demás memorias. 24 Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

24 b) Obtén, para cada clase de memoria, la expresión que relaciona su rapidez de transmisión con la cantidad de información transmitida y el tiempo. Subraya cada constante de proporcionalidad. Clase 2: I = (2 MB/s)t Clase 4: I = (4 MB/s)t Clase 6: I = (6 MB/s)t Clase 10: I = (10 MB/s)t c) Completa las tablas y escribe en el encabezado de qué clase de memoria se trata. Clase 6 Clase 10 Clase 2 Clase 4 Cantidad de Cantidad de Cantidad de Cantidad de Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo información información información información (s) (s) (s) (s) (MB) (MB) (MB) (MB) d) Cómo puedes obtener cada constante de proporcionalidad a partir de las tablas? R. M. Dividiendo la cantidad de información entre el tiempo correspondiente; por ejemplo, 20 MB/2 s = 10 MB/s. 3. Analiza la gráfica y determina cuáles de las siguientes situaciones es posible representar con ella. Explica tu respuesta. a) Una recta pasa por los puntos ( 7.5, 10) y (10, 25). R. M. Sí se puede representar porque la ecuación de la recta es y = 2x + 5 y ambos pares ordenados satisfacen la ecuación. b) La relación entre las ganancias de una compañía y el tiempo transcurrido es lineal. Además, la inversión se recuperó dos meses y medio antes de lo esperado. R. M. Sí se puede: la gráfica es una recta, es decir, una relación lineal y pasa por el punto ( 2.5,0), lo cual puede representar que se recuperó la inversión dos meses y medio antes de tiempo Procedimiento Otra manera de saber si una situación corresponde a una relación de proporcionalidad es construir una gráfica con algunos valores que correspondan a la situación e identificar si los puntos se encuentran sobre una línea recta que pasa por el origen; si es así la situación corresponde a una relación de proporcionalidad directa Y X forma, espacio y medida manejo de la información c) La renta de un departamento es de $ y se debe dejar un depósito de $ No se puede representar porque la gráfica debería empezar en el punto (0, 5). Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 25

25 4. Anota en el cículo, al lado de cada gráfica, expresión algebraica y tabla, una P si se trata de una relación de proporcionalidad directa o una O si no lo es. manejo de la información forma, espacio y medida a) d) a = 3n g) O P O m n y y y x b) e) s = 3t + 1 Regreso al Desafío matemático h) u v x c) f) 4x = 3y 1. Retoma el Desafío matemático y, aplicando lo que practicaste en esta ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compáralas con las de tus compañeros y valídenlas en grupo. a) Considera que la gráfica que relaciona el costo de compra y venta de cada artículo es una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (15, 24). En esas condiciones, en cuánto se ofrecería un artículo por el que se pagó $175.00? En $ Validación 1. Completa los siguientes enunciados. En la gráfica se observa que un artículo que el comerciante compró a $50.00 lo ofrece en $ P O P También vemos que la gráfica es una recta que pasa por el origen, por lo que se trata de una relación de proporcionalidad directa. i) O P O p q Otra forma de identificar si una situación corresponde a una relación de proporcionalidad es encontrar una expresión algebraica que represente la situación y determinar si es de la forma y = kx o de la forma yx = k. x Procedimiento Por lo tanto, la ecuación que representa la relación es y = 1.4x, por lo que el artículo se ofrece a $ Entonces se puede calcular la constante de proporcionalidad, que en este caso es Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

26 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática Como ya te has dado cuenta, las matemáticas están presentes en muchas áreas del saber, como en la física, la economía, la biología, etcétera. En estas disciplinas se presentan magnitudes que guardan entre sí relaciones que pueden expresarse mediante ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, algunas de esas relaciones son el cambio en una población de seres vivos en cierto tiempo, las ganancias o pérdidas de una compañía en términos de la inversión inicial y del tiempo, la relación entre la medida de lado de un cuadrado y su área, etcétera. Y al igual que para las relaciones de variación lineal, las tablas son un recurso útil para el análisis de las magnitudes involucradas en una relación cuadrática. Desafío matemático Amanda y Manuel lanzaron por separado una pelota en dirección vertical y hacia arriba. Amanda lanzó la pelota con una velocidad de 10 m/s y Manuel, con 20 m/s. Qué altura alcanzó cada pelota? Considera que para expresar la altura que alcanza un objeto en términos de la velocidad con que se lanzó y el tiempo transcurrido se utiliza la fórmula h = v 0 t 5t 2, donde h es la altura (en metros), v 0 es la velocidad (en m/s) y t el tiempo transcurrido (en segundos). La pelota que lanzó Amanda alcanzó 5 metros de altura y la de Manuel, 20 metros. Las claves del problema 1. Selecciona la opción correcta.. a) Qué expresión representa el lanzamiento de Amanda? h = 20t 5t 2 h = 10t 5t 2 h = 10v 5(10) 2 h = 20t 5(20) 2 b) Y cuál el lanzamiento de Manuel? h = 20t 5t 2 h = 10t 5t 2 h = 10v 5(10) 2 h = 20t 5(20) 2 c) Qué valores corresponden al primer renglón de la siguiente tabla? Tiempo transcurrido (s) Altura (m) alcanzada con un lanzamiento de 10 m/s forma, espacio y medida manejo de la información Altura (m) alcanzada con un lanzamiento de 20 m/s , 1.8, 3.2, 4.2, 4.8 0, 3.75, 5, 3.75, 0 0, 0.95, 1.8, 2.55, 3.2 0, 2.55, 4.2, 4.95, 4.8 Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 27

27 Ahora practica manejo de la información forma, espacio y medida 1. Lee el siguiente texto y realiza lo que se pide. En un laboratorio se estudió el comportamiento de una población de bacterias ante la presencia de un antibiótico en términos del tiempo transcurrido. Se concluyó que la relación entre la población y el tiempo se puede determinar mediante la expresión B = t 2 + 2t + 360, donde B es el número de bacterias y t, el tiempo transcurrido. a) Completa la tabla. Tiempo transcurrido (min) Población de bacterias b) Cuál era la población inicial de bacterias? Era de 360 bacterias. c) En qué tiempo, después de iniciar el experimento, la población de bacterias fue cero? En 20 minutos. d) Tiene sentido utilizar la misma expresión cuando han transcurrido 25 minutos? Por qué? No, porque se obtendrían valores negativos y una población de bacterias no puede ser negativa. 2. Lee y responde lo que se pide. a) Si el área de un rectángulo varía en relación con sus dimensiones y su largo es el doble que su ancho: Qué expresión algebraica representa su área en términos de su ancho? A = b 2b = 2b 2 Completa la tabla. Ancho (cm) Largo (cm) Área (cm 2 ) La relación entre el ancho y el largo del rectángulo es lineal o cuadrática? Por qué? Es lineal. Una manera de expresar la relación entre el ancho y el largo es 2a = b, donde a es el largo y b, el ancho. Esto es, 2a b = 0, lo que corresponde a una Conceptos clave Si al expresar la relación entre dos magnitudes, el máximo exponente de la variable que representa a una de ellas es el número dos (es decir, es en una variable cuadrática), entonces se trata de una relación de variación cuadrática. Por ejemplo, n 2 = m 5, y = x 2, a = b 2 + b son relaciones de variación cuadrática. relación lineal. Y cómo es la variación entre el ancho del rectángulo y su área? Justifica tu respuesta. La relación se puede expresar como A = 2b 2, por lo que es cuadrática. b) Si en un rectángulo su ancho es cuatro veces más pequeño que su largo: Qué expresión algebraica representa su área en términos de su ancho? A = n 4n = 4n 2 28 Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

28 La variación entre el largo del rectángulo y su área es cuadrática? Por qué? Sí, por que se puede representar con una ecuación de segundo grado: A = 4n 2 3. Resuelve el siguiente problema, pero antes realiza lo que se pide. La fabricación excesiva de un producto, en particular de los productos perecederos, genera pérdidas, pues provoca que la oferta sea mayor que la demanda, con el riesgo, además, de que no todos los productos se consuman y caduquen. En la tabla se muestra la relación entre la cantidad de productos elaborados y las ganancias mensuales de una empresa. a) Determina cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la relación anterior. q = 0.1p 2 4p q = 0.1p 2 + 4p q = 0.1p 2 + 4p q = 0.1p 2 4p b) Completa la tabla. c) Qué cantidad de productos le conviene fabricar a la empresa para que sus ganancias sean máximas? De cuánto serían sus ganancias? Le conviene fabricar piezas. Sus ganancias serían de $ d) A partir de tu respuesta anterior calcula cuánto ganaría la empresa si fabrica mil productos más y cuánto si son mil menos. Corrobora tu respuesta anterior con base en tus cálculos. Si vende mil productos más: q = 0.1(21) 2 + 4(21) = 39.9; si 4. Analiza la siguiente situación. Realiza y contesta lo que se indica. En un estudio sobre los efectos nutricionales en ratas de laboratorio alimentadas con una mezcla de levadura y harina de maíz se varió el porcentaje P de levadura y cada mes se observó un aumento en la masa de los animales de acuerdo con la ecuación m = 1 50 P2 + 2P + 20, donde m es la masa aumentada. a) Completa la tabla. Cantidad de productos fabricados (miles) Ganancias de la empresa (miles de pesos) vende mil productos menos: q = 0.1(19) 2 + 4(19) = En ambos casos, entonces, su ganancia sería la misma. Porcentaje de levadura en el alimento (%) Masa aumentada (g) forma, espacio y medida manejo de la información Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 29

29 manejo de la información forma, espacio y medida b) Cuál es el menor y el mayor porcentaje de levadura que puede contener el alimento? El menor porcentaje es 0%, lo cual significa que en el alimento no hay leva- dura, y el mayor es 100%, que corresponde a un alimento compuesto sólo de levadura. c) De acuerdo con el estudio y los resultados de la tabla, es posible que una rata aumente su masa menos de 18 g? Por qué? No es posible porque con un alimento sin levadura (0%) o con uno compuesto sólo de levadura (100%), la masa de la rata aumenta 20 g. Los demás valores, entre 0% y 100%, implican un aumenta de masa mayor que 20 g. d) Cuál es el porcentaje de levadura en el alimento con el que la masa de la rata aumenta al máximo? Cuál es esa masa? La mayor ganancia de masa se obtiene al 50%, cuando su masa aumenta 70 g. 5. Trabaja con un compañero la siguiente actividad. a) Elige individualmente una de las siguientes expresiones y a partir de ella inventa un problema. Compártelo con tu compañero y resuelve el que él te comparta. Verifiquen sus resultados. a) 2a 2 = b b) d = 5t 2 c) y = 0.5x 2 d) A = 4d 2 Regreso al Desafío matemático 1. Lee nuevamente el Desafío matemático y, con base en los conocimientos que practicaste en esta ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Al finalizar compáralas con las de tus compañeros y concluyan con el profesor cuáles son correctas. Validación 1. Completa los siguientes enunciados. Una manera de resolver el problema es identificar qué expresiones relacionan la altura que alcanzó la pelota con la velocidad del lanzamiento y el tiempo transcurrido para, después, representar y analizar los valores en una tabla. Entonces, la expresión h = 10t 5t 2 corresponde al lanzamiento de Amanda, y la expresión h = 20t 5t 2 a la de Manuel. Después de representar los valores en una tabla y analizar su comportamiento, se obtiene que la pelota que lanzó Amanda alcanzó su altura máxima un segundo después de lanzarla y fue de 5 m, mientras que la pelota de Manuel alcanzó su máxima altura a los 2 segundos y fue de 20 m. 30 Bloque: 1 Proyecto: 3 Ámbito: Participación social Tipo de texto: Descriptivo

30 Escala de la probabilidad. Eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes Los experimentos aleatorios son aquellos en los que interviene el azar, es decir, en los que no es posible determinar con exactitud qué resultados se obtendrán. Sin embargo, se pueden hacer predicciones, con base en la probabilidad de los eventos posibles, que permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento del experimento. Desafío matemático En cuatro fábricas distintas, A, B, C y D, se ensamblan computadoras, y la probabilidad de producir un aparato defectuoso es distinta en cada una de 1 ellas: en la fábrica A es 200 ; en la fábrica B, 0.25%; en la C, 0.01, y en la D, una de cada 200 computadoras resulta defectuosa. Si cada aparato defectuoso representa una pérdida, en qué fábrica le conviene a una empresa ensamblar sus computadoras? En la fábrica B porque la probabilidad de que una computadora salga defectuosa es menor que en las demás. Las claves del problema 1. Selecciona la opción correcta. a) Cuál es la probabilidad, expresada como porcentaje, de producir una computadora defectuosa en la fábrica A? 5% 0.5% 50% 0.05% b) Cuál es la probabilidad para la fábrica C? 1% 0.1% 10% 0.01% c) Y cuál es la probabilidad para la fábrica D? 5% 0.5% 50% 0.05% d) A partir del enunciado y de tus respuestas anteriores, cómo puedes resolver el problema? No es posible resolverlo porque se necesitan hacer experimentos. Debido a que se trata de eventos de azar, a la empresa le conviene cualquier fábrica. Se comparan las probabilidades obtenidas. La fábrica con menor probabilidad de producir un producto defectuoso es la que le conviene a la empresa. Se comparan las probabilidades obtenidas. La fábrica con mayor probabilidad de hacer un producto defectuoso es la que le conviene a la empresa. Conceptos clave Para obtener la probabilidad de ocurrencia de un evento se calcula la razón casos favorables casos posibles. forma, espacio y medida manejo de la información Bloque: 1 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 31

31 Ahora practica manejo de la información forma, espacio y medida 1. En un experimento aleatorio se observaron las siguientes probabilidades de ocurrencia de eventos posibles. Completa la tabla. Evento Expresada como decimal Probabilidad de ocurrencia Expresada como fracción irreducible Expresada como porcentaje (%) Calcula la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos. Indica, cuando sea el caso, si se trata de un evento seguro o de uno imposible y explica tu respuesta. a) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es el número 5. 1 Probabilidad: 6 = porque hay un caso favorable entre seis casos posibles. b) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es una letra. Probabilidad: 0. Es un evento imposible porque no hay casos favorables (sólo hay números, no letras). c) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es un número menor que 7. Probabilidad: 1. Es un evento seguro porque todos los casos posibles son favorables. d) Se tiran dos dados numerados del 1 al 6, y al caer, la suma de las caras superiores es un número par. Probabilidad: 0.5, porque hay 18 casos favorables entre 36 casos posibles. Conceptos clave La probabilidad P de ocurrencia de un evento X se puede expresar como un número decimal, una fracción o un porcentaje y generalmente se denota como P(X). La probabilidad expresada como número decimal siempre es mayor o igual a 0, y menor o igual a 1. Cuando la probabilidad es 0, se trata de un evento imposible y si es 1, el evento es seguro, es decir, se tiene la certeza de que ocurrirá. e) Se tiran dos dados numerados del 1 al 6, y al caer, la suma de las caras superiores es 1. Probabilidad: 0. Es un evento imposible porque no hay casos favorables, pues al menos la suma debe ser Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

32 3. Considera que en una urna hay cinco papeles de colores: 2 amarillos, 1 morado, 1 café y 1 negro, y se extrae uno al azar, se anota su color y se regresa a la urna. Realiza lo siguiente. a) Da un ejemplo de un evento imposible. R. M. Que salga un papel anaranjado. b) Menciona un ejemplo de un evento seguro. R. M. Que salga un papel de color. c) Escribe un ejemplo de un evento con probabilidad 0.4. R. M. Que salga un papel amarillo. d) Anota un ejemplo de un evento con probabilidad de 60%. R. M. Que salga un papel morado, uno café o uno negro. e) Indica un ejemplo de un evento con probabilidad de 1 5. R. M. Que salga un papel café. 4. Considera el espacio muestral {1, 2, 4, 6,10} y determina si los siguientes eventos son o no mutuamente excluyentes. En caso de que lo sean, indica si son o no complementarios. Luego realiza lo que se indica y justifica tus respuestas. a) A = {1, 2, 4} B = {4, 6, 10} No son mutuamente excluyentes porque comparten el número 4. b) A = {1, 2} B = {4, 10} Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común, y no son complementarios porque al unirlos falta el número 6 para completar el espacio muestral. c) A = {1, 2, 6, 10} B = {4} Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común y son complementarios porque al unirlos se obtiene el espacio muestral. d) A = {1} B = {2} C = {4} D = {6} E = {10} Conceptos clave A los resultados posibles de un experimento aleatorio se les llama espacio muestral. Los eventos mutuamente excluyentes son los que no tienen posibles resultados en común. Por ejemplo, al lanzar un dado numerado del 1 al 6 y considerar su cara superior, los eventos que sea un número par y que sea un número impar son eventos mutuamente excluyentes. Si además al unirlos se obtiene el espacio muestral, entonces se trata de eventos complementarios. Los eventos del ejemplo anterior son complementarios, pues al unirlos se obtiene el espacio muestral. Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común forma, espacio y medida manejo de la información y son complementarios porque al unirlos se obtiene el espacio muestral. e) Escribe un evento que no sea mutuamente excluyente al evento A = {1, 2} R. M. Por ejemplo, el evento B = {2, 4, 10}. f) Anota un evento que sea mutuamente excluyente al evento A = {1, 4, 6}, pero que no sea complementario. R. M. Por ejemplo, el evento B = {10}. Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 33

33 manejo de la información forma, espacio y medida g) Escribe el evento complementario al evento A = {2, 10}. El evento B = {1, 4, 6}. 5. Considera una urna con cuatro pelotas numeradas del 1 al 4, e indica si los eventos son o no independientes. Explica tu respuesta. a) En la primera extracción sale la pelota con el 2 o el 4; en la segunda extracción, la pelota con el 1 o el 3. Después de la primera extracción la pelota se regresó a la urna. Son independientes porque después de la primera extracción la pelota se regresó a la urna, entonces, la probabilidad de la primera extracción no afecta la probabilidad de la segunda. b) En la primera extracción sale la pelota con el 1 o el 2; en la segunda extracción, la pelota con el 3 o el 4. Después de la primera extracción la pelota no se regresó a la urna. No son independientes porque después de la primera extracción la pelota no se regresó a la urna, entonces, la probabilidad de la primera extracción afecta la probabilidad de la segunda extracción, pues en la segunda extracción hay una pelota menos. Regreso al Desafío matemático 1. Regresa al Desafío matemático y a partir de los conocimientos que practicaste en esta ficha, revisa si tus respuestas con correctas. Compáralas con las de tus compañeros y en grupo concluyan cuáles son correctas. Validación 1. Completa los siguientes enunciados. La probabilidad de que en la fábrica A se produzca una computadora defectuosa está expresada como una fracción. Entonces, para expresarla como porcentaje se calcula 1 el cociente 200 y se multiplica por 100. En la fábrica C la probabilidad de producir un aparato defectuoso se expresa como número decimal. Entonces se multiplica por 100 para expresarla como porcentaje. Conceptos clave Los eventos independientes son aquellos en los que la probabilidad de ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro. Por ejemplo, al realizar dos volados, el resultado del primero no afecta el resultado del segundo, entonces son eventos independientes. Al comprar las probabilidades obtenidas, se considera la menor de ellas, es decir, 0.25, que corresponde a la fábrica B. Por tanto, en esa fábrica se producen menos computadoras defectuosas y es la que le conviene a la empresa. En la fábrica D, una computadora de cada 200 producidas está efectuosa, por lo que, como decimal, la probabilidad para esa fábrica es 0.005, lo que equivale a 0.5 %. 34 Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

34 Encuestas En una encuesta, las preguntas deben estar bien estructuradas para obtener información precisa, así como definir correctamente el grupo de personas a las que se hará la entrevista; por ejemplo, no se obtendría información confiable sobre la opinión de los costos de la energía eléctrica en una comunidad si la encuesta sólo se aplica a menores de edad. Desafío matemático El dueño del restaurante Su mesa quiere saber con qué frecuencia asisten al restaurante las personas de la localidad, y si los nuevos platillos del menú han sido del gusto de los clientes. Para ello, le pide al gerente que le presente un informe al respecto. Cuál es la estrategia adecuada para recabar esa información? Cuál es la mejor forma de presentar la información? La estrategia más adecuada es mediante una encuesta. La mejor forma de presentar la información es por medio de gráficas. Las claves del problema 1. Selecciona la respuesta correcta. a) Cuál es la estrategia adecuada para recabar esta información? Realizar un experimento. Preguntar a todas las personas que viven en la localidad. Aplicar una encuesta. Preguntar sólo a los clientes del restaurante. b) Cuál es la población de estudio? Las personas que habitan en la localidad donde está el restaurante. Los clientes del restaurante. Las personas que habitan la calle donde se ubica el restaurante. Las personas que viven en la localidad donde está el restaurante y tienen menos de 16 años. c) Entre qué grupo de personas es conveniente recabar la información? Sólo entre los clientes del restaurante. Entre un grupo de personas elegidas al azar que vivan en la localidad. Entre cada una de las personas de la localidad. Sólo entre las personas que pasen frente al restaurante. Conceptos clave En una encuesta, la población es el grupo total de personas o elementos que es objeto de estudio o del que se quiere obtener información. Cuando no es posible obtener información de toda la población de estudio, se selecciona un subgrupo que recibe el nombre de muestra de la población. forma, espacio y medida manejo de la información d) Cuál es el formato adecuado para presentar la información? Presentar la información mediante gráficas. Exponer la información con una expresión algebraica. Presentar todas las respuestas de los entrevistados. Presentar sólo las respuestas de los clientes que asisten regularmente al restaurante. Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 35

35 Ahora practica manejo de la información forma, espacio y medida 1. Cada 10 años en México se realiza el censo de población, en el que no sólo se cuentan los habitantes del país, sino que también se obtienen datos acerca de ellos. Por ejemplo, una parte de la encuesta se dedica a preguntar si alguno tiene una discapacidad. En el censo de 2010 se obtuvo el siguiente dato: de las personas que ese año habitaban la república, aproximadamente 5.109% tenía alguna discapacidad. a) Cuál fue la población de estudio para obtener ese dato? Todos los habitantes de la república mexicana en b) Cuál fue la muestra de la población de estudio? No se toman muestras, se considera a toda la población para conocer los datos con el mínimo margen de error. c) Cuántos habitantes de México tenían una discapacidad en 2010? Aproximadamente personas. 2. Considera la información anterior. En la tabla se muestran los porcentajes de los tipos de discapacidades observados en el censo de Tipo de discapacidad Al caminar De cuidado De atención Visual Auditiva Comunicativa o moverse personal o aprendizaje Mental 58.3% 27.2% 12.1% 8.3% 5.5% 4.4% 8.5% a) Cuál fue la población de estudio para obtener los datos de la tabla? Los habitantes de la república mexicana con una discapacidad. b) Por qué piensas que los porcentajes de la tabla no suman 100%? R. M. Porque una persona puede tener más de una discapacidad y por eso pertenecer a más de un grupo. c) Cuántas personas tenían una discapacidad auditiva en el 2010? Considerando que representaron 12.1% de las personas con discapacidad, Conceptos clave Una muestra representativa debe conservar las mismas características de la población de estudio. es decir, 12.1% de , entonces en 2010 aproximadamente personas tenían alguna discapacidad al escuchar. d) En ese año, qué porcentaje de la población total en México tenían una discapacidad auditiva? de personas corresponde al 0.618% de la población total en México en Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

36 3. En la encuesta también se preguntó la edad de las personas con discapacidad. La siguiente tabla muestra los resultados. 0 a 14 años 15 a 64 años 65 y más años No especificado 9% 50.9% 40% 0.1% a) Cuál fue la población de estudio para obtener estos datos? Los habitantes de la república mexicana con alguna discapacidad. b) Para determinar los porcentajes de la tabla, los datos de la encuesta se agruparon por intervalos de edades. En el ejercicio 2, la agrupación se hizo por tipo de discapacidades. En qué afecta la forma de agrupar para que en este caso la suma de los porcentajes sea 100%? En este caso no es posible que dos personas pertenezcan a dos grupos distintos, así que la suma de todos los grupos corresponde al total, ya que no hay repeticiones. c) Explica si es posible que los datos de los ejercicios 2 y 3 se presenten en una gráfica circular. La información del ejercicio 2 no se puede pre- sentar en una gráfica circular, ya que una gráfica circular completa representa 100% y los datos del ejercicio 2 suman más de 100%. Sin embargo, los datos de este ejercicio sí se pueden representar en una gráfica circular. d) Por qué para hacer un censo no es recomendable tomar una muestra de la población de estudio? R. M. En un censo, principalmente se busca conocer el número total de habitantes, sus condiciones de vivienda, de salud y económicas, así que es necesario entrevistar a toda la población. 5. En la actualidad, los videojuegos son un entretenimiento común entre los jóvenes, pero qué opinión tienen sobre ellos los adultos de tu comunidad? Considera que requieres obtener la siguiente información. Tipo de dispositivos de videojuegos que conocen los adultos. Cuántos adultos han jugado videojuegos. Cuántos de los que nunca han jugado videojuegos estarían dispuestos a hacerlo. Por qué los adultos que no tienen videojuegos no han adquirido uno. Cuántos adultos con una consola de videojuegos comprarían otra nueva. Procedimento En la realización de un estudio estadístico se procede de la siguiente forma. Paso 1. Definición del estudio o experimento. En este paso se determina qué se quiere investigar o analizar y qué se espera encontrar. Paso 2. Obtención de datos. Esto es, definir como se obtendrán los datos, a quiénes se les preguntará y el tipo de preguntas que conviene hacer. Por ejemplo, una forma de obtener datos para un estudio estadístico es aplicar una encuesta. Paso 3. Organización y análisis de los datos. En esta etapa se define cómo ordenar y clasificar los datos obtenidos. Paso 4. Presentación de resultados y conclusiones. En este paso se muestran los resultados que se obtuvieron al analizar los datos obtenidos y si éstos afirman o contradicen lo que se preveía encontrar. forma, espacio y medida manejo de la información a) Escribe las preguntas que harías para obtener la información anterior. Ordénalas por secciones; en el primer recuadro de la página siguiente escribe preguntas de modo que, de acuerdo con la respuesta, se pase a las preguntas de la segunda sección en el otro recuadro. Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 37

37 manejo de la información forma, espacio y medida R. M. R. M. Sección 1 Qué consolas de videojuegos conoce? Sección 2 Estaría dispuesto a jugar videojuegos? Plaistashion Sí No EquisBox Nientiendo Wai Alguna vez ha jugado un videojuego? Por qué no ha comprado una consola de videojuegos? Por sus costo. Sí No No me parecen entretenidas. (sección 2) No tengo tiempo para usarla. Tiene alguna consola? Sí No Compraría una consola nueva? Sí No b) Cuál es la población de estudio en esta encuesta? Los adultos de mi comunidad. c) Qué representación sería la más adecuada para dar a conocer los resultados? R. M. Es conveniente presentar los resultados mediante una gráfica circular porque este tipo de gráficas permite comparar de un vistazo los resultados de cada subgrupo con la muestra total Regreso al Desafío matemático 1. Escribe las preguntas adecuadas para obtener la información que se quiere conocer en la situación del Desafío matemático. R. M. Cuántas veces a la semana visita el restau- rante Su mesa? Ha probado los nuevos platillos y si es así han sido de su agrado? 2. Cómo conviene elegir una muestra de la población para que ésta sea representativa? R. M. Aplicar la encuesta a cien personas elegidas al azar que vivan en la localidad. Validación 1. Completa los enunciados del diagrama que señalan los pasos a seguir para resolver la situación del Desafío matemático. Paso 1. Se quiere conocer la frecuencia con la que personas de la localidad asisten al restaurante y si los nuevos platillos que ofrece le han gustado a la clientela. Paso 2. La estrategia adecuada para recabar esta información es aplicar una encuesta. Error frecuente Es un error presentar la información obtenida mediante una gráfica circular cuando los porcentajes que corresponden a las distintas clasificaciones suman más de 100%, situación que se presenta cuando algunos elementos pertenecen a clasificaciones distintas. En este caso conviene presentar la información con una gráfica de barras. Paso 4. La presentación adecuada es mostrar los datos mediante una gráfica de barras o circular porque así es posible apreciar a simple vista los resultados. Paso 3. Si la población de estudio es muy grande conviene tomar una muestra representativa. 38 Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

38 Lo que aprendí 1. El doble del producto de un número multiplicado por sí mismo más 7 da como resultado 105. De qué número se trata? No existe un número que cumpla esa condición. 2. Si el área de un rectángulo es de 192 cm 2 y su largo es 4 cm mayor que su ancho, cuál es la medida de su ancho? 16 cm 14 cm 12 cm 10 cm 3. Cuál es la relación entre las siguientes figuras? Son congruentes, pero no semejantes. Son semejantes, pero no congruentes. Son congruentes y semejantes. No existe relación entre ellas. 4. Cuál de los siguientes enunciados es falso? Si dos figuras son semejantes, las medidas de los lados de una son proporcionales a las medidas de los lados de la otra. Si dos figuras son semejantes, entonces también son congruentes. Si dos figuras son semejantes, los ángulos interiores de ambas son iguales y las medidas de los lados son proporcionales. Si dos figuras son congruentes, también son semejantes. 5. Por qué en los triángulos no existe un criterio de semejanza ALA, donde L indique que entre los ángulos correspondientes de dos triángulos hay un lado proporcional? Porque un triángulo no es semejante a otro si dos de sus ángulos tienen la misma medida que dos de los ángulos del otro triángulo. Porque para que se cumpla ALA es necesario tener un lado proporcional entre dos triángulos, pero eso indica que los otros dos lados también son proporcionales, así que se puede usar el criterio de semejanza LLL y no es necesario el criterio ALA. Porque dos triángulos semejantes nunca tienen ángulos iguales. Porque para que se cumpla ALA es necesario que dos de los ángulos de un triángulo tengan la misma medida que dos de los ángulos del otro triángulo, así que se puede usar el criterio de semejanza AA y no es necesario verificar que tienen un lado proporcional, es decir, no es necesario el criterio ALA. 6. Analiza la gráfica e indica qué ecuación algebraica le corresponde. 4 Y 5 y = 3x y = 3x 2 y = 1 3 x y = 1 3 x X 6 39

39 Lo que aprendí 7. Determina qué ecuación y tabla corresponden a una relación de proporcionalidad directa. m = 0n m = 15n m = 10n m = 18n Qué ecuación corresponde con los valores de la tabla? a b a = 1.5b 2 + 2b a = 9 5 b2 5 a = 1.5b 2 2b a = 9 5 b Qué pareja de eventos son complementarios si el espacio muestral es {a, b, c, 1, 2, 3}? A = {a, b, c}, B = {1, 2} C = {1, 2, 3}, D = {a, b, c, 1} E = {a, 1, 2, 3}, F = {b, c} G = {a, b, c}, H = {a, b, c} 10. Cuál grupo de personas es una muestra representativa del desempeño laboral de los supervisores de una industria? Los supervisores de la industria. El personal de vigilancia. El 20% de los supervisores de todos los turnos laborales. Los dueños de la empresa. 11. Adrián hizo una encuesta en su colonia acerca del consumo de refresco, y organizó los datos por edad y sexo. Cuál es la mejor opción para presentar sus resultados? En dos gráficas de pastel. En la primera los sectores corresponden a intervalos de edad para ubicar los que sí toman refresco, y en la segunda, los sectores se refieren al sexo de esas personas. En una gráfica de pastel en la que los sectores corresponden a intervalos de edad para ubicar en ellos a todos los encuestados. Una gráfica de barras cuyo eje horizontal esté dividido en dos secciones: hombres y mujeres. Para cada sección se traza una barra con el número de personas de ese sexo que sí toman refresco. Una gráfica de barras cuyo eje horizontal esté dividido en los intervalos de edad. Para cada intervalo se trazaran dos barras: una para indicar cuántos hombres de esa edad toman refresco y otra para señalar cuántas mujeres de esa edad toman refresco.