Funciones de Lyapunov y Algunas Aplicaciones

Transcripción

1 Universidad Veracruzana Facultad de Matemáticas Funciones de Lyapunov y Algunas Aplicaciones T E S I S que para aprobar la experiencia educativa Experiencia Recepcional correspondiente al plan de estudios de la Licenciatura en Matemáticas P R E S E N T A: Mario Alberto Yepez Rivera DIRECTOR DE TESIS: Dr. Evodio Muñoz Aguirre. Mayo del año 2013, Xalapa-Enríquez, Veracruz. México

2 Después de varios años el final de una etapa más de mi vida ha llegado, una etapa que no fue fácil de transitar, pero gracias a muchas personas hoy estoy aquí, en primer lugar a mi madre Herminia Rivera Reyna, quien me ha brindado la fortaleza para siempre salir adelante y me ha enseñado a nunca darme por vencido; a mis hermanos: Margarita, Olivia, Flor, Rolando, Wilfrido y Carolina, quienes siempre creyeron en mí y me han brindado su apoyo incondicional; a mis profesores, quienes me transmitieron los conocimientos; también a mis amigos, esos que hacían todo divertido en la facultad, esos que en mi casa me alentaban a superarme; también esos amigos que se han ido o pronto los dejaré de ver, porque han dejado una huella muy grande en mí; y a Dios por haberme dado esta vida y ponerme a tan maravillosas personas en el camino.

3 Índice general 1. Introducción 1 2. Teoría de Estabilidad Introducción Conceptos Básicos de Sistemas Dinámicos Descripción y Tipos de Sistemas Puntos de Equilibrio Definición y Tipos de Estabilidad Primer Método de Lyapunov Sistemas Lineales Sistemas no Lineales Funciones de Lyapunov Introducción Definición Segundo Método de Lyapunov Métodos de busqueda de Funciones de Lyapunov Método de Krasovskii Método del Gradiente Variable Función de Lyapunov de Forma Cuadrática Aplicaciones Introducción Péndulo simple no amortiguado Modelo Método de Krasovskii Método del Gradiente Variable Función de Lyapunov

4 4.3. Controlador de Posición Robótico Modelo Función de Lyapunov Conclusiones 39

5 1 Introducción Antecedentes Desde los orígenes de lo que conocemos como ciencia, el hombre ha tratado de entender y explicar su entorno, pero se ha encontrado con un mundo cambiante, donde todo está en movimiento, y se ha propuesto comprender el cómo y el por qué de esos movimientos. Una forma de explicar este comportamiento es a través de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO s), pero algunos fenómenos requieren de un sistema de éstas. La teoría de los sistemas dinámicos intenta entender procesos en movimiento, es decir cambios o variaciones de un objeto con respecto al tiempo. Se entiende por un sistema dinámico al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias expresados como ẋ = f (x), según se puede ver en [5], [7], [8], [14], [15], etc. La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que se le considera la más importante de todas. Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana (bolsa de valores, estado de salud, estructuras en construcción, etc.), por eso es necesario definir un concepto usado con mucha frecuencia. No fue sino hasta 1892 cuando Aleksandr Mijáilovich Lyapunov ( ) formuló de manera precisa el concepto de estabilidad, dando origen a lo que hoy se conoce como teoría de estabilidad, enmarcada en el estudio de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales y no lineales. 1

6 1. INTRODUCCIÓN 2 Justificación Para sistemas lineales, existen resultados que nos indican de una manera fácil y sencilla si el sistema es estable y a qué tipo de estabilidad nos referimos, ésto forma parte de la teoría de Lyapunov. Estos resultados no se pueden aplicar directamente a los sistemas no lineales, sin embargo en algunos casos se puede llegar a conocer su comportamiento mediante sistemas linealizados asociados a éstos. Pero en general no se puede obtener ninguna información del sistema no lineal. En el análisis de Lyapunov se permite estudiar la estabilidad alrededor de un punto de equilibrio de sistemas no lineales, por medio de una función a la que se le llama función de Lyapunov. Una función de Lyapunov es una función V : R n R, tal que V(x) es definida positiva y V(x) es definida negativa, ver [6], [10], [11], [12], [13], etc. La dificultad que guarda este tema es realmente la identificación de estas funciones, ya que no es posible reconocerlas a simple vista, dado que no existe un método sistemático que permita dar a conocer una función en sentido de Lyapunov, salvo en algunos casos muy específicos. Estas funciones son de gran utilidad en muchas ramas de la ciencia, en particular en las que se aplica la teoría de control, como por ejemplo aeronáutica, robótica o procesos industriales, por mencionar algunas. Este trabajo se puede resumir de la siguiente manera: En el segundo capítulo se dan a conocer definiciones básicas de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, así como sus propiedades, siendo la estabilidad una de las más importantes, la cual se estudia alrededor de los puntos de equilibrio del sistema. El estudio de la estabilidad en los sistemas lineales es sencillo, esto, al analizar las características de los eigenvalores y eigenvectores de la matriz asociada al sistema, pero en sistemas no lineales no se puede aplicar esta técnica directamente, para ello se procede a realizar una linealización y a partir del sistema linealizado se puede hacer el estudio de la estabilidad. En el tercer capítulo se da a conocer que en algunos casos el sistema linealiza-

7 1. INTRODUCCIÓN 3 do no provee la información deseada, para ello se puede utilizar las funciones de Lyapunov, ya que éstas estudian la estabilidad a partir del sistema no lineal, pero estas funciones son difíciles de encontrar, ya que no existe un método que siempre guíe al hallazgo de una función de Lyapunov. Algunos métodos que sirven para sistemas no lineales de bajo orden son el de Krasovskii y el del Gradiente Variable, aunque no siempre son eficaces, incluso se pueden auxiliar de la construcción de funciones de la forma cuadrática. En el cuarto capítulo se muestra el uso del análisis de Lyapunov en fenómenos físicos: el movimiento de un péndulo simple y el de un manipulador robótico, ambos tienen su complicación de cierta manera. El primer fenómeno se puede analizar mediante el método de Krasovskii y el del gradiente variable, sin embargo con estos métodos no se puede obtener una función de Lyapunov, así, se procede a utilizar una ecuación muy utilizada en física como función de Lyapunov: La ecuación de la energía. Para el segundo fenómeno es muy complicado obtener una función de Lyapunov por algunos de los métodos, dada la dimensión del sistema asociado con el fenómeno, pero para este caso también se puede utilizar la ecuación de la energía, aunque acoplada al fenómeno del manipulador. Objetivos OBJETIVO GENERAL: Realizar un análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos descritos por Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por medio de las funciones de Lyapunov, enfatizar su importancia a través de algunos ejemplos de aplicaciones y mostrar algunos métodos que ayuden a encontrarlas. OBJETIVOS PARTICULARES: Realizar un estudio de las Funciones de Lyapunov. Mostrar la importancia de las funciones de Lyapunov con algunos ejemplos de aplicaciones. Exponer algunos métodos para encontrar funciones de Lyapunov.

8 2 Teoría de Estabilidad 2.1. Introducción De acuerdo con los libros de ecuaciones diferenciales ordinarias, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) suele representar el modelo matemático de un fenómeno físico, las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales, en algunos casos los fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. se modela como un sistema de éstas. La solución de un sistema de EDO s indica el comportamiento de éste, de este hecho se pueden estudiar algunas de sus propiedades importantes, tal es el caso de la estabilidad, que se estudia a partir de los puntos de equilibrio. En este capítulo se exponen algunas definiciones y algunos resultados para estudiar la estabilidad local de sistemas lineales y no lineales. El material que se presenta en éste segundo capítulo se puede encontrar en [2], [7], [10], [12], [13], [15], etc Conceptos Básicos de Sistemas Dinámicos Descripción y Tipos de Sistemas Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) normal es un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionadas entre si: 4

9 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 5 ẋ 1 = f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ) ẋ 2 = f 2 (t, x 1, x 2,..., x n ). ẋ n = f n (t, x 1, x 2,..., x n ), (2.1) donde los f i s son funciones reales de n + 1 variables, x 1,...,x n,t R conocidas como variables dependientes e independientes respectivamente. Definición 2.1 Una solución del sistema (2.1) es una función vectorial x = x(t), que satisface la igualdad, a ésta se le llama trayectoria del sistema o línea de flujo. Para una mejor notación, se usarán vectores de la siguiente manera: x 1 x 2 x =. x n. Luego se tiene el sistema representado por una sola ecuación ẋ = f (t, x) (2.2) donde f (t, x) = f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ). f n (t, x 1, x 2,..., x n ). Definición 2.2 Se dice que el sistema (2.2) es autónomo si no contiene de manera explícita a la variable t. Así, un sistema autónomo nos queda como: ẋ = f (x) (2.3) Definición 2.3 Si cada una de las funciones f 1,..., f n de (2.3) es una función lineal de las variables dependientes x 1,..., x n, entonces se dice que el sistema es lineal; en caso contrario, es no lineal.

10 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 6 La forma de representar un sistema autónomo lineal es ẋ = Ax (2.4) donde x R, A es una matriz nxn con entradas constantes y la derivada ẋ = dx dt = Esta forma se utilizará cuando se estudie la estabilidad de dichos sistemas. dx 1 dt. dx n dt Puntos de Equilibrio Se puede tener el caso en que una trayectoria sólo le corresponda un punto, a este punto se le llama punto de equilibrio. Definición 2.4 Un punto x es un punto de equilibrio, si una vez que x(t) es igual a x, lo sigue siendo para todo el tiempo futuro. Esto significa que si el vector constante x es un punto de equilibrio, entonces satisface f (x ) = 0 (2.5) Así que los puntos de equilibrio pueden encontrarse resolviendo la ecuación algebraica (2.5) Definición y Tipos de Estabilidad Una de las propiedades más importantes de los sistemas de EDO es la estabilidad, la cual, se puede estudiar de manera local o global, el primer caso se estudia a partir de los puntos de equilibrio. En este trabajo se estudiará la estabilidad para los sistemas autónomos. En este caso, se tiene la siguiente definición.

11 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 7 Definición 2.5 Se dice que un punto de equilibrio x es estable si, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que la solución x = x(t) del sistema (2.2), que en t = 0 satisface x(0) x < δ existe y satisface para toda t 0 x(t) x < ε Figura 2.1: punto de equilibrio estable Esto nos dice que las soluciones que inicien suficientemente cercanas a x permanecen cerca. Definición 2.6 Un punto de equilibrio es inestable, si no es estable. Figura 2.2: punto de equilibrio inestable

12 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 8 Definición 2.7 Un punto de equilibrio x es asintóticamente estable si es estable y si existe δ 0, con 0 < δ 0 < δ, tal que si una solución x = x(t) satisface x(0) x < δ 0 entonces lím x(t) = t x. Figura 2.3: punto de equilibrio asintóticamente estable Por tanto las trayectorias que inician suficientemente cerca de x no sólo deben permanecer cerca, al final deben aproximarse a x cuando t.

13 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD Primer Método de Lyapunov Sistemas Lineales Antes de comenzar con el estudio de la estabilidad de los sistemas no lineales, se hará un breve estudio sobre la estabilidad de los sistemas lineales, para ello se toma el caso más sencillo, cuando A es una matriz 2x2 en la ecuación (2.4). Considere un sistema lineal de segundo orden con coeficientes constantes, este sistema tiene la forma: ẋ = Ax. Claramente x = 0 es un punto de equilibrio. Para este sistema se buscan soluciones de la forma x = ξe λt. Sustituyendo en la ecuación anterior se tiene: De esto, λ es un eigenvalor y ξ un eigenvector. (A λi)ξ = 0. (2.6) Los números λ s son raíces de la ecuación polinomial det(a λi) = 0 (2.7) Los eigenvalores pueden determinarse a partir de (2.7). El plano donde se encuentran ubicadas las soluciones se le llama plano fase y al conjunto de trayectorias retrato fase. Para analizar la estabilidad, debemos considerar diferentes casos, dependiendo de los eigenvalores de A. A continuación se hace un esquema de los diferentes retratos fase al variar las raíces del polinomio característico. Caso 1 : Eigenvalores reales y del mismo signo Se tienen dos opciones: i) Fuente (Eigenvalores positivos): Las trayectorias del sistema inician cerca del origen y se alejan de él en diferentes direcciones.

14 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 10 Figura 2.4: fuente o repulsor (λ 1 λ 2 0) ii) Sumidero (Eigenvalores negativos): Las trayectorias del sistema con condicion inicial fuera del origen se acercan a él en diferentes direcciones. Figura 2.5: sumidero o atractor (λ 1 λ 2 0) Caso 2 : Eigenvalores reales y de signo contrario Nodo silla: Las trayectorias del sistema con condición inicial fuera del origen se acercan un poco a él y despues se alejan.

15 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 11 Figura 2.6: nodo silla (λ 1 > 0 > λ 2 ) Caso 3 : Eigenvalores complejos(λ 1 2 = α ± iβ) Tenemos dos opciones: i) Espirales (Eigenvalores con parte real diferente de cero): a) Parte real negativa e imaginaria positiva: las trayectorias con condición inicial fuera del origen se dirigen a él girando en sentido horario. b) Parte real e imaginaria positivas: las trayectorias surgen en un punto cercano al origen y se alejan de él girando en sentido horario. c) Parte real e imaginaria negativas: las trayectorias condición inicial fuera del origen se dirigen a él girando en sentido antihorario. d) Parte real positiva e imaginaria negativa: las trayectorias surgen en un punto cercano al origen y se alejan de él girando en sentido antihorario.

16 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 12 (a) (b) (c) (d) Figura 2.7: Tipos de espirales de acuerdo a su parte real e imaginaria: a) α < 0, β > 0, b) α > 0, β > 0, c) α < 0, β < 0, d) α > 0, β < 0. ii) Centro (Eigenvalores con parte real igual a cero): Las trayectorias tienen forma elíptica o circular, las cuales giran en sentido a) antihorario, si la parte imaginaria es negativa. b) horario, si la parte imaginaria es positiva. (a) (b) Figura 2.8: Tipos de centros de acuerdo a su parte imaginaria: a) β < 0, b) β > 0. Al reflexionar estos casos y analizar los retratos fase correspondientes se pueden

17 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 13 hacer las siguientes observaciones: a) Si los eigenvalores tienen parte real negativa, las trayectorias se aproximan a x = 0 cuando t. b) Si la parte real es cero, las trayectorias permanecen acotadas pero no se aproximan a x = 0 cuando t. c) Si los eigenvalores tienen parte real positiva, las trayectorias tienden al infinito cuando t. De las definiciones de estabilidad y de estas observaciones podemos concluir con la siguiente tabla: Eigenvalores Tipo de punto de equilibrio Estabilidad λ 1 λ 2 > 0 Fuente Inestable λ 1 λ 2 < 0 Sumidero Asintóticamente Estable λ 1 < 0 < λ 2 Nodo Silla Inestable λ 1 2 = α ± iβ; α > 0 Espiral (repulsor) Inestable λ 1 2 = α ± iβ; α < 0 Espiral (atractor) Asintóticamente Estable λ 1 2 = ±iβ Centro Estable Se puede estudiar el caso de un sistema lineal n-dimensional y se cuenta con un Teorema [2] que afirma lo siguiente Teorema 2.1 * Cada solución x = x(t) de (2.4) es estable si todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa. * Cada solución x = x(t) de (2.4) es inestable si al menos un eigenvalor de A tienen parte real positiva.

18 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 14 * Supóngase que todos los eigenvalores de A tienen parte real 0 y λ i = iσ 1... λ l = iσ l tienen parte real cero. Sea λ j = iσ j de multiplicidad k j, ésto es que el polinomio característico de A puede ser factorizado como P(λ) = (λ iσ 1 ) k 1... (λ iσ l ) k l q(λ) donde todos las raíces de q(λ) tienen parte real negativa, entonces cada solución x = x(t) es estable si A tiene k j eigenvalores linealmente independientes para cada eigenvalor λ j = iσ j, de otra manera cada solución x(t) es inestable Sistemas no Lineales Un aspecto importante de los sistemas lineales es que el comportamiento de sus soluciones cerca de un punto de equilibrio nos dice el comportamiento de las soluciones en todo el plano, sin embargo, si se quiere analizar el comportamiento local de los sistemas no lineales, no se puede hacer de una manera tan directa, ello se hace mediante un proceso de linealización. Algunos procesos de linealización nos pueden llevar a casos erróneos, como el caso de tomar sólo la parte lineal de cada ecuación que compone el sistema, ya que ésto no garantiza que el sistema linealizado se comporte de manera semejante al original. El análisis de la linealización se basa en un concepto del cálculo, la aproximación lineal de Taylor: f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f 2 (a) { 2! = f (a) + f f (a)(x a) + (x a) 2 2 (a) 2! (x a) f n (a) (x a) n n! + f 3 (a) 3! (x a) f } n (a) (x a) n 2, n! el cual se puede escribir como: f (x) f (a) + f (a)(x a) + O((x a) 2 ), donde O((x a) 2 ) representa el hecho de que si x está muy cerca de a, la suma de los términos a partir del segundo es acotado por un múltiplo de (x a) 2. Supóngase que se tiene un sistema autónomo bidimensional, no lineal, de la forma ẋ 1 = F(x 1, x 2 ) ẋ 2 = G(x 1, x 2 ), (2.8)

19 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 15 que tiene como punto de equilibrio el origen (si el punto de equilibrio no es el origen se puede hacer una traslación a él); es decir F(0, 0) = 0 y G(0, 0) = 0. Para la función F(x 1, x 2 ) la mejor aproximación en torno al punto (a, b) la proporciona el plano tangente dado por la fórmula de Taylor F(x 1, x 2 ) F(a, b) + F x 1 (a, b)(x 1 a) + F x 2 (a, b)(x 2 b), donde F x 1 (a, b) y F x 2 (a, b) son las derivadas parciales de F evaluadas en el punto (a, b). Si se toma el punto (a, b) como (0, 0), se puede escribir (2.8) en la forma ẋ 1 = F(0, 0) + F x 1 (0, 0)x 1 + F x 2 (0, 0)x 2 + f (x 1, x 2 ) ẋ 2 = G(0, 0) + G x 1 (0, 0)x 1 + G x 2 (0, 0)x 2 + g(x 1, x 2 ). Como el punto de equilibrio es (0, 0), se tiene que, F(0, 0) = G(0, 0) = 0, entonces el sistema queda ẋ 1 = ax 1 + bx 2 + f (x 1, x 2 ) donde ẋ 2 = cx 1 + dx 2 + g(x 1, x 2 ), a = F x 1 (0, 0), b = F x 2 (0, 0), c = G x 1 y d = G x 2 (0, 0), y se cumple que lím (x 1,x 2 ) (0,0) f (x 1, x 2 ) x x2 2 = lím (x 1,x 2 ) (0,0) g(x 1, x 2 ) x x2 2 La ecuación anterior afirma que en las proximidades del origen f y g son pequeños en comparación con la distancia del punto (x, y) al origen. = 0

20 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 16 Con este hecho, el sistema asociado en torno al punto de equilibrio es: ẋ 1 = ax 1 + bx 2 ẋ 2 = cx 1 + dx 2 (2.9) ( ) a b ó ẋ = Ax con ẋ = (ẋ 1, ẋ 2 ) t, x = (x 1, x 2 ) t y A =, esta última igualdad c d es el Jacobiano del sistema no lineal evaluado en el origen, en general en un punto de equilibrio. De esta manera el comportamiento local del sistema no lineal, puede ser estudiado por medio de su sistema lineal asociado, del cual es mucho más fácil estudiar la estabilidad. Este proceso se puede generalizar para un sistema n-dimensional de manera análoga y nos conduce al resultado que se conoce como primer método de Lyapunov o método indirecto de Lyapunov. Teorema 2.2 (Primer Método de Lyapunov) Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema autónomo no lineal ẋ = f (x) donde f : E R n es una función continuamente diferenciable y E R n es un entorno del origen. Sea entonces: f 1 f 1 f 1 f x 1 x 2 x 3 1 x n f 2 f 2 f 2 f A = f (x) x 1 x 2 x 3 2 x n f 3 f 3 f 3 f x = x 1 x 2 x 3 3 x n x = f n x 3 f n x 1 f n x 2 f n x n x =0 i) El origen es asintóticamente estable, si todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa. ii) El origen es inestable, si al menos un eigenvalor de A tiene parte real positiva. Este teorema nos muestra el comportamiento local de los sistemas no lineales alrededor de un punto de equilibrio que tenga valor propio con parte real distinta de 0, pero se puede tener el caso de que el punto de equilibrio sea solamente

21 2. TEORÍA DE ESTABILIDAD 17 estable, es decir un centro, entonces se procederá a estudiar la estabilidad en una cierta región, para conocer el comportamiento en dicha región se necesitan otro tipo de técnicas, tal es el caso de las funciones de Lyapunov.

22 3 Funciones de Lyapunov 3.1. Introducción Se ha analizado la estabilidad tanto de los sistemas lineales como de los no lineales, para estos últimos se ha descrito el proceso de linealización, sin embargo, cuando el punto de equilibrio es un centro no se puede asegurar qué tipo de estabilidad se tiene, en estos casos se procede a estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una región alrededor de este punto. Una de las técnicas para estudiar la estabilidad, es el uso de funciones de Lyapunov, pero éstas tienen cierta particularidad, no existe un método que garantice que una función es de Lyapunov, ni algún método general para encontrarlas, mas bien se requiere de habilidad para realizar su búsqueda. En este capítulo se hablará acerca de estas funciones, así como de sus características para garantizar el tipo de estabilidad que tienen los sistemas, también se darán algunos métodos para encontrar funciones candidatas a ser de Lyapunov. Este material se encuentra en [2], [3], [4], [5], [7], [8], [10]. 18

23 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV Definición Sea V : D R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D R n que contiene a x, entonces: Definición 3.1 : V(x) es una función definida positiva si V(x ) = 0 y V(x) > 0 en D x. V(x) es una función semidefinida positiva si V(x ) = 0 y V(x) 0 en D. V(x) es una función definida negativa si V(x ) es definida positiva. V(x) es una función semidefinida negativa si V(x ) es semidefinida positiva. Definición 3.2 Una función V(x) definida positiva con V(x) semidefinida negativa se le llama Función de Lyapunov para x ; si además se cumple que V(x) es definida negativa, se le llama Lyapunov estricta con relación a x Segundo Método de Lyapunov Para estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una determinada región a partir de las funciones de Lyapunov, se tiene el siguiente teorema, tambien conocido como método directo de Lyapunov. Teorema 3.1 (Segundo Método de Lyapunov) Si existe una función de Lyapunov V(x) para el punto de equilibrio x del sistema (2.3), entonces x es estable. Además, si esta función es Lyapunov estricta entonces el punto de equilibrio es asintóticamente estable. Demostración:

24 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 20 Para el caso de un sistema bidimensional se tiene al sistema: dx = F(x, t) dt dy (3.1) = G(x, t) dt Sea c 0 una constante y V(x, y) = c la curva en el plano xy con V(0, 0) = 0. Supóngase que si 0 < c 1 < c 2 la curva V(x, y) = c 1 está dentro de v(x, y) = c 2. Se sabe que V(x, y) es normal a la curva en c y apunta en dirección de V(x, y) creciente, es decir V(x, y) crece hacia afuera del origen. Se consideran las trayectorias x = φ(t), y = τ(t) del sistema y sea T(t) = φ(t)i + τ(t) j la tangente en la trayectoria en cada punto. Sea x 1 = φ(t 1 ), y 1 = τ(t 1 ) un punto de intersección de la trayectoria y la curva V(x, y) = c entonces: V(x, y) = V x (x, y) φ(t 1 ) + V y (x, y) τ(t 1 ) = [V x (x, y)i + V y (x, y) j] [ φ(t 1 )i + τ(t 1 ) j] = V(x, y) T(t 1 ) = V(x, y) T(t 1 ) cos ϕ De ésto V(x, y) es el producto escalar de V(x, y) y T(t), como V(x, y) 0, se tiene que el coseno del ángulo entre V(x, y) y T(t) también es menor o igual a

25 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 21 cero, entonces este ángulo se encuentra en el intervalo [ π 2, 3π 2 ]. Por lo tanto el movimiento de la trayectoria es hacia adentro con respecto a c o en el peor de los casos es tangente a la curva c. Caso 1 Si la trayectoria se inicia dentro de la curva nunca podrá salir de ésta. Se puede tomar una bola de radio ε alrededor del origen y una curva con una c suficientemente pequeña para asegurar que la trayectoria no escapa de la bola. Por lo tanto el origen es un punto estable. Caso 2 Si V(x, y) < 0 entonces las trayectorias siempre apuntan hacia adentro de la curva, dado que el ángulo se encuentra en el intervalo ( π, 3π ), de esta 2 2 manera la trayectoria no solo irá hacia dentro de la curva sino, además se aproximará al origen. Por lo tanto el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

26 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV Métodos de busqueda de Funciones de Lyapunov Método de Krasovskii Teorema 3.2 (Método de Krasovskii) Considere el sistema autónomo definido en (2,2), con punto de equilibrio en el origen. Sea A(x) la matriz jacobiana del sistema, es decir A(x) = f x Si la matriz F = A + A T es definida negativa en una vecindad Ω, entonces el punto de equilibrio en el origen es asintóticamente estable. Una función de Lyapunov para este sistema es V(x) = f T (x) f (x) Demostración: Primero se demostrará que si f (x) es definida negativa entonces la matriz jacobiana A(x) es invertible. Se probará que si F es definida negativa, entonces f (x) 0 para x 0. Supóngase que A(x) no es invertible, es decir, que A(x) es singular, entonces existe un vector y 0 tal que A(x)y 0 = 0. Se multiplica F por la derecha con y 0 y por la izquierda con y T 0 y T 0 Fy 0 = y T 0 (A + AT )y 0. Como A + A T es una matriz simétrica, al efectuar la multiplicación con y T 0 y y 0 por la izquierda y por la derecha respectivamente, se tendrá como resultado 2 veces la suma del escalar resultante de y T 0 Ay 0, de esto se tiene que y T 0 Fy 0 = 2y T 0 Ay 0. La singularidad de A implica que y T 0 Ay 0 = 0, esto es que y T 0 Fy 0 = 0, lo que contradice que F sea una matriz definida negativa. Como la matriz A es invertible y esta es el jacobiano de f (x), se puede garantizar que f (x) es únicamente invertible, lo cual implica que el sistema tiene solo

27 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 23 un punto de equilibrio en Ω, es decir que f (x) 0 para x 0. Para mostrar que el origen es asintóticamente estable, se toma la función escalar V(x) = f T (x) f (x), que por construcción es definida positiva, dado que sólo se tienen sumas de funciones al cuadrado. Se sabe que f = A f, entonces la derivada de V puede ser escrita como V(x) = f T f + f T f = f T A f + f T A T f = f T F f. Como F es definida negativa se tiene que V(x) = f T F f < 0. Esto es que V(x) es definida negativa. Por lo tanto, de acuerdo al método directo de Lyapunov, el origen es asintóticamente estable. Ejemplo Considere el sistema no lineal ẋ 1 = 6x 1 + 2x 2 ẋ 2 = 2x 1 6x 2 2x 3 2. Se puede observar que el origen es un punto de equilibrio. Como matriz jacobiana de este sistema se tiene A = f ( 6 2 x = 2 6 6x 2 2 ) y su transpuesta es la misma. Se suman ambas matrices para obtener F ( ) 12 4 F = x 2 2

28 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 24 Sea el vector (a, b) T R 2 ( a b ) ( x 2 2 = ( 12a + 4b 4a 12b 12bx 2 2 ) ( a b ) ) ( a b = 12a 2 + 4ab + 4ab 12b 2 12b2x 2 2 = 12(a 2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) + 8ab. Solo falta comprobar que éste resultado es menor que cero, se sabe que a 2 + b 2 > 2ab y partir de ésto se tiene: a 2 + b 2 + b 2 x 2 2 > 2ab + b2 x 2 2 > 2ab a2 + b 2 + b 2 x 2 2 > 2ab 3(a 2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) > 6ab > 2ab 3(a2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) > 2ab 12(a 2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) > 8ab 12(a2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) < 8ab 12(a 2 + b 2 + b 2 x 2 2 ) + 8ab < 0. así, F es definida negativa, entonces una función de Lyapunov para el sistema es: V = ( 6x 1 + 2x 2 ) 2 + (2x 1 6x 2 2x 3 2 )2. Por lo tanto el origen es asintóticamente estable Método del Gradiente Variable El método del gradiente variable es un camino formal para construir funciones de Lyapunov, consiste en asumir una cierta forma para el gradiente de una función de Lyapunov, y entonces encontrar la función de Lyapunov por la integración del gradiente. En sistemas de bajo orden, éste método conduce a encontrar una función de Lyapunov, pero en sistemas de orden superior los cálculos se vuelven muy complicados. La función escalar V(x) está relaciona con su gradiente V por la integración V(x) = x 0 Vdx )

29 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 25 donde V = { V x 1, V x 2,, V x n } T. Con el fin de obtener una función única V del gradiente V, se procede a obtener el jacobiano de éste último 2 V 2 V 2 V x 1 x 3 2 V x1 2 2 V x 2 x 1 2 V x 3 x 1. 2 V x n x 1 x 1 x 2 2 V x2 2 2 V x 3 x 2. 2 V x n x 2 x 1 x n 2 V x 2 x 3 2 V x 2 x n 2 V 2 V x3 2 x 3 x n V x n x 3 2 V xn 2. Dado esto se puede ver que el jacobiano es una matriz simétrica, es decir V i x j = V j x i (3.2) la i-ésima componente V i es solamente la derivada direccional V x i. Entonces para obtener una función gradiente única, ésta tiene que satisfacer la condición anterior. Lo principal de este método es asumir una forma específica para V, en lugar de hacerlo para V. Una manera simple es asumir que la función gradiente es de la forma V i = n a i j x j (3.3) j=1 donde los a i j son coeficientes por ser determinados. Esto conduce al siguiente procedimiento para la búsqueda de una función de Lyapunov V. Asumir que V está dado por (3.3).

30 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 26 Resolver para los coeficientes a i j que satisfacen (3.2). Restringir los coeficientes en (3.3) para que V sea semidefinida negativa (al menos localmente). Calcular V de la integral de V. Verificar que V es definida positiva. Ejemplo: Considere el sistema no lineal ẋ 1 = 2x 1 ẋ 2 = 2x 2 + 2x 1 x 2 2. Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio. Se asume que el gradiente de la función de Lyapunov está dado por: V 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 V 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2. Se resuelven los coeficientes para que se satisfaga (3.2), para ello se toma: quedando: entonces: a 11 = a 22 = 1; a 12 = a 21 = 0 V 1 = x 1 V 2 = x 2 V 1 x 2 = x 1 x 2 V 2 x 1 = x 2 x 1

31 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 27 de esto se satisface (3.2) Ahora se procede a calcular V x 1 x 2 = x 2 x 1 V = V ẋ = ( V 1, V 2 ) (ẋ 1, ẋ 2 ) = (x 1, x 2 ) ( 2x x, 2x x 2 2 ) = 2x 2 1 2x x 1x 3 2 = 2x2 1 2x2 2 (1 + x 1x 2 ). Entonces V es definida negativa para (1 + x 1 x 2 ) > 0. Así, la función de Lyapunov es: V = x1 0 x 1 dx 1 + x2 0 x 2 dx 2 = x x2 2 2 = x2 1 + x Por lo tanto el origen es asintóticamente estable para la región Función de Lyapunov de Forma Cuadrática Teorema 3.3 La función es definida positiva si y sólo si y es definida negativa si y sólo si Ejemplo: Considere el sistema no lineal V(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 a > 0 y 4ac b 2 > 0, a < 0 y 4ac b 2 > 0. ẋ = x 3 + xy 2 ẏ = 2x 2 y y 3. Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio. Supóngase V como una función cuadrática: V(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2

32 3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 28 cuya derivada es V(x, y) = V x ẋ + V y ẏ = (2ax + bx)ẋ + (by + 2cy)ẏ = (2ax + bx)( x 3 + xy 2 ) + (by + 2cy)( 2x 2 y y 3 ) = 2ax 4 + 2ax 2 y 2 bx 4 + bx 2 y 2 2bx 2 y 2 by 4 4cx 2 y 2 2cy 4 = (2a + b)x 4 + (2a b 4c)x 2 y 2 (b + 2c)y 4 Para que V sea definida positiva a > 0 y 4ac b 2 > 0. Ahora, si se toma b = 0 se tiene que c > 0 y V = 2ax 4 (4c 2a)x 2 y 2 2cy 4 sólo falta hallar los valores de a y c para que V < 0, esto se cumple para 4c 2a > 0 entonces se toma a = 1 y c = 1. 4c > 2a 2c > a, Así, la función de Lyapunov para el sistema es y el origen es asintóticamente estable. V = x 2 + y 2

33 4 Aplicaciones 4.1. Introducción Un campo muy amplio en el que puede ser de mucha utilidad el análisis de Lyapunov es en cuestiones físicas, ya sea desde aplicaciones simples de la mecánica o complejas en el caso de la robótica. En algunos fenómenos no es fácil obtener la función de Lyapunov, ya que el sistema asociado al fenómeno puede ser demasiado complejo, sin embargo, suelen utilizarse los métodos mostrados en este trabajo o usar una búsqueda mediante ensayo y error. En este capítulo se tratarán dos fenómenos que ejemplifican lo dicho anteriormente, el primero de ellos el movimiento de un péndulo simple y el segundo es el movimiento de un manipulador robótico. Se verá que, para ambos fenómenos, puede ser de utilidad la misma ecuación aunque adecuada para cada caso. El material se puede hallar en [1], [4], [9], [16] Péndulo simple no amortiguado Modelo Considérese una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un cable de longitud L cuya masa es despreciable. 29

34 4. APLICACIONES 30 La siguiente figura muestra el esquema de fuerzas que intervienen en el péndulo después de desplazar la partícula de la posición de equilibrio hasta que el cable forme un ángulo Θ con la vertical (C), después se deja caer y, por el efecto de la gravedad se forma un movimiento oscilatorio. En la figura el ángulo θ es el ángulo que indica la posición del péndulo, A y A delimitan la amplitud máxima del péndulo, de esto el diagrama de fuerzas para una posición queda expresado de la forma siguiente: De acuerdo a los datos de la figura y la segunda ley de Newton, la ecuación que representa el movimiento de la partícula es ma t = mg sin θ

35 4. APLICACIONES 31 siendo a t la aceleración tangencial, el segundo término de la ecuación es negativo ya que se opone al movimiento. Por otro lado a t = L θ, si se sustituye en la ecuación ésta queda expresada como ml θ = mg sin θ. Si se toma u = θ y se reordenan los términos, la ecuación queda expresada como ü + g sin u = 0. L Se escribe la ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden, donde x 1 = u con punto de equilibrio en (0, 0). ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g L sin x 1 Para estudiar la estabilidad del sistema se procederá a buscar una función de Lyapunov con los métodos estudiados en el capítulo anterior Método de Krasovskii Considere el sistema Se obtiene la matriz A = f x : ( A = ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g L sin x g cos x L 1 0 ), y por consiguiente A T = ( 0 g L cos x ).

36 4. APLICACIONES 32 Ahora F = A + A T, ( F = 0 1 g L cos x 1 1 g L cos x 1 0 ). A continuación se verifica si F es definida negativa. Sea x T = (a b) R 2, luego x T Ax = ( a b ) ( 0 1 g L cos x 1 1 g L cos x 1 0 = ( b bg L cos x 1 a ag L cos x 1 ) ( a b = ab abg L cos x 1 + ab abg L cos x 1 = 2ab 2abg ( L cos x 1 = 2ab 1 g ) L cos x 1. Para que F sea definida negativa, se tiene que cumplir ( 2ab 1 g ) L cos x 1 < 0 ) ) ( a b ) para cualquier (a, b) T R 2. Esto no siempre se cumple, dado que el valor de cos x 1 oscila entre 1 y 1 y el de ab no tiene un signo definido debido a que a y b pueden ser tanto positivos como negativos. Por lo tanto, el método de Krasovskii no puede ser aplicado a este sistema Método del Gradiente Variable Considere el sistema ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g L sin x 1.

37 4. APLICACIONES 33 De acuerdo al análisis hecho en el ejemplo de éste método, es conveniente tomar V = (x 1, x 2 ). Así, ( V = V ẋ = (x 1, x 2 ) x 2, g ) L sin x 1 = x 1 x 2 x 2g L sin x 1 = x 2 (x 1 g ) L sin x 1. Para que V sea una función de Lyapunov se tiene que cumplir que V = x 2 (x 1 g ) L sin x 1 < 0. Como se puede apreciar en las siguientes gráficas la región que cumple con ésto son dos cuadrantes que no contienen a los ejes y por lo tanto la región no contiene al punto de equilibrio. (a) (b) Figura 4.1: Gráfica de x 2 ( x1 g L sin x 1) : a) vista frontal, b) vista superior. Por lo tanto, el método no puede ser aplicado al sistema.

38 4. APLICACIONES Función de Lyapunov Dado que los métodos estudiados no conducen a una función de Lyapunov para el sistema del péndulo, se procederá de una manera diferente. Para ello se sabe que g sin u es la fuerza de restauración y u es la velocidad del L péndulo, así, la energía potencial en el desplazamiento u del equilibrio es g L u 0 sin αdα = g (1 cos u) L y su energía cinética es 1 2 ( u)2, entonces la energía total es 1 2 ( u)2 + g (1 cos u). L Se tomará a la energía total como una función de Lyapunov V(x 1, x 2 ) = 1 2 (x 2) 2 + g L (1 cos x 1), esta función es definida positiva, dado que el término 1 cos x 1 está acotado por 0 y 2 y el otro término es cuadrático. Sólo falta ver el comportamiento de V ( g ) V(x 1, x 2 ) = V(x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) = L sin x 1, x 2 = g L x 2 sin x 1 g L x 2 sin x 1 = 0 ( x 2, g ) L sin x 1 Entonces V es semidefinida negativa y V es una función de Lyapunov. Por lo tanto el sistema es estable en el origen Controlador de Posición Robótico Una tarea fundamental en aplicaciones robóticas es un manipulador robótico para transferir objetos de un punto a otro.

39 4. APLICACIONES 35 El sistema mecánico está compuesto por diversas articulaciones, normalmente se distingue entre el brazo y la parte terminal, que puede ser pinzas u otros dispositivos para tareas específicas. El brazo consiste en un número de articulaciones conectadas por enlaces de rotación o traslación. El aumento en el número de articulaciones proporciona mayor maniobrabilidad, pero dificulta el problema de control. Los ingenieros han utilizado técnicas para el control de brazos robóticos, pero no había ninguna justificación teórica para la estabilidad de estas últimas, debido a que la dinámica de un robot es altamente no lineal, [1], [9] Modelo Un robot articulado puede describirse definiendo cuatro magnitudes asociadas a cada articulación. Una de estas magnitudes es la variable de la articulación y las restantes son parámetros fijos para cada robot. Así, la variable de una articulación i de rotación se representará mediante el ángulo θ i y la de la prismática mediante el desplazamiento d i. Los otros dos parámetros de la articulación son la distancia L entre el eje de la articulación i 1 y el eje de la articulación i, y el ángulo α i 1 entre estos dos ejes. El movimiento de un manipulador robótico se puede modelar mediante la ecuación de Lagrange: [ ] d dt q L q L = τ donde el Lagrangiano (L) está dado por la diferencia de energías, cinética y potencial L = E c E p. En el caso de un manipulador con una articulación, la energía cinética está dada por E c = 1 2 mv2 t = 1 2 m(l θ) 2 = 1 2 ml2 θ 2

40 4. APLICACIONES 36 donde la inercia puede ser representada por ml 2 = I, y la energía potencial es E p = mgh = mg sin θ luego L = E c E p = 1 2 ml2 θ 2 mg sin θ se realizan las operaciones y al sustituir se tiene L = mg cos θ θ L θ = ml2 θ [ ] d L = ml 2 θ dt θ τ = ml 2 θ + mgl cos θ. Al generalizar el caso de un manipulador con n articulaciones y tomar q = θ se tiene τ = D q + H + g (4.1) donde q Vector de coordenadas articulares. τ Vector de fuerzas en cada articulación. D(q) Matriz de inercias, de dimensión (nxn), cuyos elementos son función de q. H(q, q) Matriz (nx1) de fuerzas coriolis, dependientes de q y q. Se considera un controlador simple compuesto de un término P.D. y un término de compensación de gravedad. τ = K D q K P q + g (4.2) donde K D y K P son matrices constantes nxn definidas positivas.

41 4. APLICACIONES Función de Lyapunov Resulta muy tedioso utilizar ensayo y error para hallar una función de Lyapunov para el sistema dado por 4.1 y 4.2. Sin embargo, una función de Lyapunov puede ser encontrada de manera satisfactoria para tales sistemas robóticos complejos. Desde puntos de vista físicos se puede encontrar una función de Lyapunov adecuada para el sistema: 1. Se puede ver que la matriz de inercias (D) es definida positiva para algún q, ya que tomar velocidades negativas no tiene sentido para este fenómeno, sólo se pueden tomar valores positivos o nulos. 2. El término P.D. de control se puede interpretar como una combinación de amortiguadores y resortes (péndulo). Esto sugiere que la función de Lyapunov puede ser V = 1 2 [ qt D q + q T K P q] donde el primer término representa la energía cinética y el segundo la energía potencial artificial del sistema. La ecuación V es definida positiva puesto que las matrices D y K p también lo son. Para el cálculo de la derivada se procederá por separado. En el caso de la energía cinética se puede usar un teorema de la energía en mecánica, el cual establece que la velocidad de cambio de la energía cinética es igual a la potencia proporcionada por las fuerzas externas, de esta manera la derivada puede ser expresada como Ė c = q T (τ g). Para la energía potencial se procederá de manera normal: E p = 1 2 [qt K P q]

42 4. APLICACIONES 38 Ė p = 1 2 [ qt K P q + q T K P q] pero q T K P q = q T K P q dado que K P es una matriz cuadrada, de esta manera la derivada es Ė p = 1 2 [2 qt K P q] = q T K P q. Por lo tanto V = q T (τ g) + q T K P q. Al sustituir la ecuación (4.2) en la ecuación anterior se tiene V = q T ( K D q K P q + g g) + q T K P q = q T K D q qk P q + q T K P q = q T K D q De esta manera V es definida negativa dado que K D es definida positiva y q no puede ser negativo ni tampoco cero puesto que alguna articulación está en movimiento. La función V es una función de Lyapunov para el sistema ( ), pero el análisis no se hizo en un único punto de equilibrio, sino que fue de forma general. Por lo tanto se dice que el sistema es globalmente asintóticamente estable.

43 5 Conclusiones Después de realizar el análisis de sistemas dinámicos no lineales mediante el uso de las funciones de Lyapunov, se observa que, se requiere de una gran habilidad para la obtención de una función de Lyapunov, ya sea por medio de los métodos estudiados en este trabajo (o por otros) o por inspección del sistema, ya que éste último depende de la naturaleza del fenómeno y de sus características físicas. Se mostró el uso de la ecuación de la energía como función de Lyapunov en los fenómenos del péndulo y un manipulador robótico, aunque adecuando la función para cada aplicación, ésto permite ver cómo gracias a conocimientos del fenómeno se puede llegar a una función de Lyapunov sin necesidad de hacer muchos cálculos y, en el caso del péndulo, se observó cómo los métodos estudiados no siempre llevan a encontrar una. En el trabajo se ha mostrado en general el uso de las funciones de Lyapunov, aunque fueron poco los ejemplos utilizados. Sin embargo, el tema es muy amplio y existen diversas aplicaciones para estas. El trabajo es una introducción a un tema que no se aborda en alguna experiencia educativa oblgatoria de mi plan de estudios, así se puede ver como trabajo a futuro desarrollar funciones para sistemas más especializados, no sólo sistemas físicos, sino también en ciencias en las que se pueda utilizar. 39

44 Bibliografía [1] Barrientos, Antonio; Peñin, Luis F.;Belaguer, Carlos; Aracil, Rafael; Fundamentos de Robótica. Segunda edición,mc Graw Hill, Madrid, [2] Braun, Martin; Differential Equations and Their Aplications. Cuarta edición, Springer, New York, [3] Brauner, F; Noher, J. A.; The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equarions. W.A. Benjamin, New York, [4] E. Slotine, Jean Jacques; Applied Nonlinear Control. Primera Edición, Prentice Hall, New Jersey, [5] Edward Beltrami; Mathematics for Dynamic Modeling. Segunda Edición, Academic Press, USA, [6] Henry Ricardo; Ecuaciones Diferenciales: Una Introducción Moderna. Primera Edición, Reverté, España, [7] Lawrence Perko; Differential Equations and Dynamical System. Tercera edición, Springer, New York, [8] Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney; Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos. Segunda edición, Elsevier, USA, [9] Ollero Baturone, Anibal; Robótica, Manipuladores y Robots moviles. Primera Edición, Alfaomega-Marcombo, México, [10] William E. Boyce, Richard C. DiPrima;Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Cuarta edición,limusa, México, DF,

45 BIBLIOGRAFÍA 41 [11] Yuri A. Kuznetsov; Elements of Applied Bifurcation Theory. Tercera edición, Springer-Verlag, New York, [12] murray/courses/primer-f01/mls-lyap.pdf (6/may/2013) [13] (6/may/2013) [14] (6/may/2013). [15] EstSNL.PDF (6/may/2013) [16] rafael/clases/dinamica/lagrangekellychap3oct09.pdf (6/may/2013)