Control de posición de un robot de un grado de libertad Position control of robot one degree of freedom

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1 Control de posición de un robot de un grado de libertad Position control of robot one degree of freedom Aurelio Beltrán Telles Miguel Eduardo González Elías Rafael Villela Varela Claudia Reyes Rivas Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica Universidad Autónoma de Zacatecas e mail: atellesz@yahoo.com.mx Resumen En este trabajo se presentan los resultados obtenidos en la aplicación del control de posición de un robot de un grado de libertad, el cual tiene como elemento actuador un servomotor de corriente directa. Para poder emplear el algoritmo de control fue necesario obtener el modelo matemático del sistema, por lo que se implementó una plataforma de experimentación basada en la herramienta de cómputo VisSim5.0 ECD y el Procesador Digital de Señales DSP TMS320LF2407 de Texas Instruments con lo que se obtiene el modelo y se implementa el sistema de control. La respuesta deseada fue una curva en que la posición se alcanza de manera suave y sin sobrepaso. Para determinar los valores de los parámetros del controlador proporcional derivativo, se compararon los términos de la ecuación característica del sistema de control en lazo cerrado con un modelo matemático que proporciona la respuesta. Se hizo una simulación con la finalidad de observar el comportamiento del algoritmo de control, se aplicó al robot y se realizaron pruebas con diferentes tiempos para alcanzar la posición que se perseguía. 1

2 Los resultados fueron buenos, ya que el brazo se probó para lograr dicha posición con tiempos de asentamiento distintos. El valor obtenido se manifiesta a través de una señal periódica cuadrada que proporciona dos valores de posición; que obliga al robot a modificar en forma periódica su posición final. Palabras clave: modelo matemático, simulación, controlador. Abstract In this work the results obtained in the application to position control for a robot one degree of freedom are presented, which has as element actuador a direct current servo-motor. To be able to apply the control algorithm it s necessary to obtain the mathematical model system, for that it s necessary to implement a platform of experimentation based in the tool of compute VisSim5.0 ECD and the Digital Signal Processor DSP TMS320LF2407 of Texas Instruments with that which the model is obtained and the control system is implemented. The answer that we looking for is a curve in which the position is reached in a soft way and without surpass. To determine the securities of the derivative proportional controller's parameters the terms of the characteristic equation of the control system they were compared in closed knot with a mathematical model that gives the wanted answer. A simulation was made to observe the behavior of the control algorithm. And finally it was applied the robot and they were carried out tests for different times in reaching the wanted position. 2

3 The obtained results are good, since the arm was proven to reach the position wanted with different times of establishment. The wanted value is given in form of a square periodic signal that provides two position values; that which forces the robot to modify in periodic form the end position. Keywords: mathematical model, simulation, controller. Introducción Para el estudio de los algoritmos de control es necesario contar con una plataforma de experimentación que permita implementarlos y evaluar los resultados. En esta plataforma se utilizan: la tarjeta de procesamiento digital de señales de Texas Instruments, TMS320LF2407, que sirve como interfase entre el sistema y el software en el cual se programan los controladores. Para que la tarjeta PDS pueda manejar la información que envía el sistema o utilizar las señales que manda la tarjeta, es necesaria una etapa de adecuación de señales, ya que el sistema trabaja con alta potencia mientras que la tarjeta con baja potencia. La computadora permite al usuario programar el controlador y evaluar los resultados. En la programación del controlador se utiliza el software VisSim (Simulación Visual) [2]. El sistema es un robot de un grado de libertad con que llevaron a cabo los experimentos y está conformado por un actuador que es el servomotor BE161CJ y un volante de inercia colocado en su eje como se muestra en la Figura 1. 3

4 Figura 1. Plataforma de experimentación. Uno de los problemas que se presentan para obtener buenos resultados es la fricción estática máxima [3][4][5], manifiesta en los cuerpos que tienen deslizamiento. Con el afán de lograr un resultado óptimo de los algoritmos de control utilizados fue necesario emplear un compensador de fricción: el compensador Smooth Robust Nonlineal Feedback (SRNF) [5]; por el hecho de que es un algoritmo fácil de implementar y que para obtener los valores de sus parámetros se usa el método propuesto por Llamas y Nelly [6]. Desarrollo matemático y propuesta de controlador Una vez realizada la plataforma de experimentación se procede a obtener los parámetros del modelo matemático del sistema. Qs () d = Q () s s s b d ( + ) (1) El modelo matemático es de segundo orden, por lo tanto se emplea un controlador PD, ya que el integrador lo incluye el modelo. En el control PD, la parte derivativa es el error de velocidad por la ganancia, es decir 4

5 K ( q ( t) q( t)) v d Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas, pero debido a que se desea alcanzar una posición d constante, entonces q () t = 0, por lo tanto, la parte derivativa queda: Kv q() t (2) El control de posición PD se implementó como se muestra en la Figura 2, donde K p es la ganancia del controlador proporcional, y Kv es la ganancia del controlador derivativo. Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control en lazo cerrado aplicado. Para el cálculo de las ganancias del controlador se procedió a reducir el diagrama de bloques de la estructura en lazo cerrado que se muestra en la Figura 2, y se encontró la siguiente función de transferencia: Qs () dk = Q s s dk b s dk p 2 d () + v + ) + p ( ) (3) En la ecuación (3) se observa que el polinomio del denominador (polinomio característico) es de segundo orden, donde sus coeficientes son las ganancias del controlador y los parámetros del servomotor. Para adquirir el comportamiento deseado, se opta por obtener las ganancias del controlador a partir de una ecuación que defina dicho comportamiento, y se compara con los coeficientes del polinomio característico del sistema de control en lazo cerrado. 5

6 El cálculo de los parámetros de la función con el comportamiento requerido se determina de la forma siguiente [7]: para que la respuesta alcance el 98% del valor que se busca en un tiempo de asentamiento t s se tiene que: 4 ω = (4) n t s La ecuación (4) permite calcular el coeficiente del polo dominante, es decir el que define el comportamiento esperado. Así por ejemplo, para tener una respuesta del sistema en un tiempo de asentamiento en ts = 10 seg, el polo dominante es: 4 1 ω n = = seg seg Puesto que el sistema es de segundo orden, se pone el otro polo 10 veces más alejado que el polo dominante asegurando, de esta manera, que no influya en la respuesta del sistema. 2 2 ( s ω )( s 10ω ) s 11ω s 10ω + + = + + (5) n n n n Al sustituir los valores de los polos para el comportamiento que se desea se obtiene: ( s ) ( s+ 4) Por lo que la función que define a aquél es: s s+ 1.6 (6) Al comparar lo anterior con el denominador de la ecuación (3) del sistema de control en lazo cerrado 11 n dk v ω = + b (7) Se obtiene la ganancia del controlador derivativo: 4.4 b Kv = = = d

7 y la ganancia proporcional: K p = = = d Resultados En el trabajo experimental se probaron diferentes tiempos para conseguir la respuesta de posición que se desea en el robot de un grado de libertad; los valores de ésta los proporciona la onda cuadrada que se muestra en la Figura 3. Figura 3. Onda cuadrada que da el valor deseado de posición. Los movimientos de desplazamiento del eslabón del robot a la posición adecuada son lentos, y como el efecto de la fricción a baja velocidad es significativo, esto se refleja en la respuesta encontrada. Los resultados que se muestran en la Figura 4, se obtuvieron para un tiempo de asentamiento de 10 segundos, donde se puede ver el comportamiento 7

8 de desplazamiento de 0 a 1000 y después en sentido contrario de 1000 a 0. En dicha respuesta se puede observar que el robot tiene la ubicación esperada; para ello, fue necesario utilizar el compensador de fricción de SRNF (Realimentación no Lineal Robusta y Suave) para lograr las respuestas adecuadas. Figura 4. Posición obtenida para un tiempo de asentamiento ts=10 seg. Finalmente en la Figura 5, se muestra el voltaje que suministra el controlador para obtener la respuesta de posición deseada. Estos consisten en pequeños impulsos de voltaje variables en el tiempo. Además se observa un comportamiento simétrico para voltajes positivos y negativos o movimiento en el sentido de las manecillas del reloj y en sentido contrario. 8

9 Figura 5. Voltaje proporcionado por el controlador PD para lograr la respuesta de posición sobreamortiguada en ts=10 seg. Conclusiones Los resultados son satisfactorios porque muestran que el robot responde a las señales del sistema de control de manera adecuada; a causa de ello el robot alcanza el valor de ubicación deseada en el tiempo programado. Además el uso del algoritmo de compensación mejora notablemente el comportamiento del sistema, por lo que se plantea seguir trabajando en mejorar la plataforma de experimentación, además de añadir otro tipo de sistemas a controlar. Como los desplazamientos del robot son muy lentos, entonces el servomotor que sirve de actuador, es decir, el que produce los movimientos de desplazamiento, recibe del controlador pequeños impulsos de voltaje. Dado lo anterior se considera que el circuito convertidor de señales digitales a análogas debe tener una muy buena resolución, por lo que se pretende modificarlo pues en la actualidad 9

10 tiene un convertidor digital análogo de 8 bits y se reemplazará por uno de 12 bits; esto permitirá al sistema trabajar con niveles de voltaje mucho más pequeños. Dentro de los trabajos a futuro se encuentra el desarrollo de un prototipo de robot antropomórfico de tres grados de libertad, que permita la implementación de algoritmos de control de posición más complejos. 10

11 Bibliografía [1] Spectrum Digital, Inc. ezdsp LF2407, Technical Reference, December [2] Visual Solutions Incorporated, VisSim Embedded Controls Developer, Ver. 5.0, First Edition, [3] Pierre E. Dupont: «Avoiding Sticki-Slip Through PD Control» IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, Vol.39, pp , (1994). [4] Brian Armstrong-Hélouvry «Sitck Slip and Control in Low-Speed Motion» IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, Vol.38, pp , (1993). [5] Cai, L., and Song G. (1993) «A Smooth robust nonlinear controller for robot manipulators with joint stick-slip friction». Proc. IEEE International Conference on Robotics and automation, Atlanta, GE, Vol. 3, pp [6] Kelly R., y Llamas J., (1999). «Determination of viscous and Coulomb friction by using velocity responses to torque ramp inputs», Proc. of the 1999 International Conference on Robotics and Automation, Detroit, MI, May, pp [7] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Tercera Edición, Prentice Hall, (1998). 11