Modelos de partícula independiente

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1 Tema 7 Modelos de partícula independiente Asignatura de Física Nuclear Curso académico 2012/2013 Universidad de Santiago de Compostela 1

2 Modelos de partícula independiente 1 Modelo del gas de Fermi 1.1 Gas de fermiones degenerado 1.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas 2 Modelo de capas para núcleos esféricos 2.1 Evidencias de la estructura de capas 2.2 Niveles de energía y potenciales fenomenológicos 2.3 Acoplamiento espín-órbita 2.4 Modelo extremo de partícula independiente Espín y paridad del estado fundamental Momentos electromagnéticos Otros resultados experimentales: límites del modelo extremo de partícula independiente Configuraciones con dos partículas: interacción residual 2.5 Modelos de capas macroscópicos Campo medio nuclear: aproximación de Hartree-Fock Modelo de capas para núcleos esféricos con interacción residual 3 Modelo de capas para núcleos deformados: modelo de Nilsson 3.1 Oscilador armónico anisótropo 3.2 Efecto de la deformación sobre los estados individuales 3.3 Previsiones de espín y paridad de los núcleos deformados 2

3 Modelos de partícula independiente Bibliografía: K. Heyde Basic Ideas and concepts in Nuclear Physics The nuclear shell model Bohr y B.R. Mottelson Nuclear Structure R.F Casten Nuclear Structure from a simple perspective M.A Preston Structure of the nucleus L. Valentin Noyaux et particules C.A. Bertulani y P. Danielewicz Introduction to Nuclear Reactions 3

4 4 Modelo de la gota líquida Modelo colectivo: basados en observaciones fenomenológicas 1 2 2/3 ) 2 ( 3 4 / 1) ( ), ( A Z A a A Z Z a A a A a Z A B A c s v Idea: saturación fuerza nuclear

5 5 Modelo de la gota líquida ilustra la necesidad de introducir los efectos de partícula independiente 1 2 2/3 ) 2 ( 3 4 / 1) ( ), ( A Z A a A Z Z a A a A a Z A B A c s v El modelo de la gota líquida no reproduce muchos de los observables nucleares

6 1. Modelo del gas de Fermi 1.1 Gas de Fermiones degenerados Primer modelo de partícula independiente : núcleo visto como un conjunto de fermiones. El núcleo atómico se describe como un gas constituido por A fermiones confinados dentro de un volumen V V 4 3 1/ 3 ro A R ro A 3 Potencial nuclear al que están sometidos p y n Comportamiento de un sistema de Fermi para T=0 y T=/ 0 6

7 1. Modelo del gas de Fermi 1.1 Gas de Fermiones degenerados Los nucleones se comportan como partículas libres. Se mueven dentro del núcleo pero no interaccionan entre ellos ppo de exclusión de Pauli Condiciones de contorno Soluciones de la forma La energía está cuantizada n n toma valores enteros y positivos Degeneración de la energía FN Tema 7 7

8 1.1 Gas de Fermiones degenerados Calculo del número de niveles entre k y k+dk k x,k y,k z >0 Energía máxima F Volumen de una corona esférica El numero total de estados: A/a 3 = 0,16 nucleones/fm³ K F = 1,33 fm-¹ Volumen del cubo unidad En cada cubo de lado a sólo existe un punto que es solución de la ecuación El numero total de estados debe ser A/4 (4 nucleones por estado) densidad materia nuclear Energía de Fermi: todos los nucleones del núcleo ocupan niveles, hasta un determinado momento k F 8

9 1.1 Gas de Fermiones degenerado La hipótesis de que los nucleones se mueven en el núcleo es difícil de visualizar Simil de los nucleones como moléculas de un gas. Energía cinética media de los nucleones Energía del punto cero (a 0 ) Relacionada con la descripción cuántica del núcleo atómico 9

10 1.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas Una forma de evaluar este modelo es compararlo con las predicciones de la fórmula semiempírica de masas Evaluación del término de volumen La energía de volumen es proporcional a la suma de la energía cinética + potencial (a v = a 0 +U 0 ) La energía potencial es la suma de la energía de enlace + energía de ligadura U o = F +S~ 36+8 =44MeV a v = ~ 20 MeV en la fórmula semi empírica de las masas a v =15.8 MeV Reproducción satisfactoria -el valor U o en acuerdo con resultados experimentales -El valor F no depende del nº de nucleones del núcleo saturación de la fuerza nuclear -La densidad de estados es proporcional al volumen definido por el potencial y aumenta con el nº de nucleones como A 10

11 1.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas Evaluación del término de superficie: en la superficie del núcleos k x,y,z =0, estos estados no deben contabilizar en el total de espacios disponible Densidad de estados en la superficie Superficie de una corona esférica con radio k, k+dk Superficie del elemento volumen unidad Densidad de niveles corregida del término de superficie 11

12 Modelo del gas de Fermi Integrando y desarrollando en serie obtenemos Término de volumen Término de superficie V= a 3 S=6a 2 R=a ~1,2A¹ /3 a s = 15,9 Mev a comparar con La fórmula semiempírica de masas 17,2 MeV 12

13 Modelo del gas de Fermi Evaluación del término de asimetría Si el núcleo es simétrico N=Z=A/2 Lo que permite reescribir el nivel de Fermi de protones y neutrones 13

14 Modelo del gas de Fermi 2/3 Término de asimetría a s = 25 MeV en buen acuerdo con la fórmula semiempírica de masas que predice 21 MeV Potencial bastante realista 14

15 2. Modelo de capas para núcleos esféricos 2.1 Evidencias de la estructura de capas Potencial de ionización atómica : símil de la evidencia experimental de la existencia de capas en física atómica Energía de separación de neutrones

16 2. Modelo de capas para núcleos esféricos 2.1 Evidencias de la estructura de capas Energía de separación de protones Energía del primer estado excitado en núcleos par-par 16

17 2.2 Potenciales fenomenológicos Pozo cuadrado tridimensional: los nucleones se mueven independientemente bajo el efecto De un potencial promedio Coordenadas esféricas Solución de la parte radial R l (r) = A r j l (kr) -Uo 17

18 2.2 Potenciales fenomenológicos La solución se da en forma de funciones de bessel esféricas j l (kr)=0 Los posibles estados permitidos para un potencial así! Solo se reproducen los números mágicos inferiores! n representa el orden de aparición de un momento angular orbital dado La degeneración viene dada por el número de proyecciones de momento angular orbital diferentes 18

19 2.2 Potenciales fenomenológicos Oscilador armónico En coordenadas cartesianas 19

20 En coordenadas esféricas. La parte radial 2.2 Potenciales fenomenológicos La solución se da en función de polinomios de Laguerre Aplicando condiciones de contorno Comparando con la solución en coordenadas esféricas! Solo se reproducen los números mágicos inferiores! 20

21 2.2 Potenciales fenomenológicos Pozo 3D Oscilador armónico Exactamente idéntico al nivel de HF en Física Atómica Mejora reproducción hasta capas más profundas 21

22 2.2 Potenciales fenomenológicos Woods Saxon Mejora un poco más la reproducción hasta capas más profundas 22

23 2.3Acoplamiento espín-órbita Acoplamiento espín-órbita : término adicional introducido en 1949 por Mayer and Jensen Justificación: dependencia de la fuerza nuclear con el espín La función de onda del sistema: tiene su parte radial, angular y de espín Donde m= ms+ml, los valores propios del término de espín-órbita son de la forma Esto significa que el campo medio es más atractivo para el caso en que l y s son paralelos que cuando son anti-paralelos 23

24 2.3 Potenciales fenomenológicos los valores propios de energía son Se rompe la degeneración en j 24

25 2.3 Potenciales fenomenológicos 25

26 2.3 Potenciales fenomenológicos Es el concepto de capa estático? 26

27 Dependencia spin-isospin de la interacción NN V f (r) Esta interacción sólo puede acoplar órbitas con el mismo momento angular l, j>(l+1/2) y j<(l-1/2) El operador de espín acopla j> con j< mucho más fuerte que j> con j> (y j< con j<). Es decir el cambio de espín se ve favorecido. El mismo mecanismo es extensible para el operador que acopla el isospín Otsuka et al (Monte Carlo Shell Model) Phys. Rev. Lett. 87 (2001) V Interacción atractiva Produce elementos de matriz grandes para procesos donde se cambia el espín y el isospín (protón en j> que pasa a neutrón en j< (o viceversa) * El estado d 3/2 en el 24 O se encuentra a alta energía muy próximo a la capa sd, mientras que ese mismo estado en el 30 Si está a menor energía muy próximo al s 1/2 30 Si (Z=14, N=16) Además de los 8 protones de la capa cerrada quedan 6 protones en d 5/2 todos ellos sensibles de interaccionar con neutrones d 3/2. Cuanto mayor es el número de protones d 5/2 más ligado se encuentran los neutrones d 3/2 24 O (Z=8, N=16) Los únicos 8 protones de que disponen forman capa cerrada. NO quedan protones en d 5/2 para interaccionar con neutrones d 3/2. Los neutrones d 3/2 se encuentran poco ligados 27

28 Física con núcleos exóticos Evidencias experimentales de la modificación de números mágicos Curva de abundancia del proceso r comparada con dos cálculos: modelo capas estándar Modelo de capas estándar modificado 28

29 Física con núcleos exóticos Evidencias experimentales de la modificación de los números mágicos con el isospín ISÓTOPOS ISÓTONOS 40 C a 39 K Z=20 38 Ar 37 Cl 36 S 35 P 34 Si Sistemática de la energía de excitación para el primer estado excitado 2+ para isótopos par-par de Ni (Z=28) N=28 número mágico estándar ( 56 Ni) Tz=0 N=40 nuevo fenómeno ( 68 Ni) Tz=-6 Sistemática de la energía de excitación para el primer estado excitado 2+, comparación del 40 Ca (Tz=0) y 36 S(Tz=-2) con el 32 Mg (Tz=-4) 33 Al 32 Mg 31 Na 30 Ne 29 F 29 N=20

30 2.4 Modelo extremo de la partícula independiente - Las capas completas están caracterizadas por el número cuántico j y tienen una degeneración de 2j+1 - La proyección del momento angular total es: En el caso de núcleos Con simetría esférica J nunca puede ser mayor que su proyección J= 0. Todos los núcleos doblemente mágicos tienen un J =0 + en su estado fundamental todos los núcleos par-par MODELO DE PARTÍCULA INDEPENDIENTE TODOS LOS NUCLEONES EN UNA CAPA CERRADA NO CONTRIBUYEN A LA ESTRUCTURA DEL NÚCLEO LOS NUCLEONES DE VALENCIA CARACTERIZAN AL NÚCLEO 30

31 2.5 Espín y paridad de estados fundamentales Recordar: definición de espín en FN 15 O, 17 O J =1/2 - Z=8, N=7 Z=8, N=9 Estructura de núcleos espejos. Todos los niveles debajo de 5 MeV Las paridades negativas presentan configuraciones más complejas, solo una se muestra como ejemplo 31

32 2.6 Momentos electromagnéticos El modelo de partícula independiente permite determinar los momentoselectromagnéticos nucleares. Sólo contribuyen los nucleones desapareados Momento dipolar magnético Unicamente j es un buen número cuántico Si tenemos en cuenta que Sustituyendo en la ecuación anterior análogamente 32

33 2.6 Momentos electromagnéticos Calculamos ahora el valor medio de la proyección del momento dipolar magnético sobre el momento angular total Lo que nos permite definir el factor giromagnético Teniendo en cuenta los posibles acoplamientos entre l y s 33

34 2.6 Momentos electromagnéticos Impar de protones Impar den eutrones Línea contínua g s calculado en nucleones libres Línea discontinua tiene en cuenta el hecho de que está rodeado de mesones g s =0.6g s (free) mejora el acuerdo líneas de Smith El modelo extremo de particula independiente ofrece una comprensión aproximada La dispersión de los datos no la refleja el modelo que esta simplificando 34

35 2.6 Momentos electromagnéticos Momento cuadrupolar Proyectamos este operador sobre La dirección en que j=m es máxima que en el sistema de referencia del laboratorio Para j=m Q relacionado con la deformación Si Q>0 la dirección z domina sobre las otras coordenadas y decimos que el núcleo es prolato (forma de huevo) Si Q<0 las dimensiones del núcleo en el plano x,y son mayores que sobre el eje z, decimos que el núcleo es oblato (forma de galleta) Si Q=0 el núcleo es esférico 35

36 2.6 Momentos electromagnéticos Evaluación para núcleos impares en protones Evaluación para núcleos impares en protones según el modelo de partícula independiente Q=0 Mayor cantidad de Q>0 No se reproducen los valores de Q grandes Fracaso del modelo de partícula independiente??? algunos aspectos relevantes no se están teniendo en cuenta 36

37 2.7 Resultados del modelo de partícula independiente Predicción para núcleos par-par se reproduce la secuencia de niveles no la escala absoluta 37

38 2.7 Resultados del modelo de partícula independiente Predicción para núcleos 1 partícula 1 hueco Tanto el estado fundamental como los primeros excitados 38

39 2.7 Otros resultados: interacción de apareamiento Zona 64<N< Te (Z=52, N=71) 125 Te (Z=52, N=73) 129 Xe (Z=54, N=75) Espín y paridad ½+ 203Tl (Z=81, N=125) Espín y paridad ½+ Favorece el acoplamiento de nucleones idénticos en estados con mayor j 39

40 2.7 Otros resultados: interacción residual 208 Pb( 4 He,t) 209 Bi un proton de valencia 208 Pb(d,t) 207 Pb un hueco de valencia - Las energías de subcapas con diferentes momentos angulares dependen de la interacción con las capas inferiores - Diferentes capas inferiores producirán efectos distintos en una misma capa abierta 40

41 2.8 Configuraciones con dos nucleones Si consideramos núcleos con más de un nucleón/hueco de valencia, el estado de ese núcleo estará determinado por el acoplamiento de los momentos angulares de los orbitales que ocupen esos nucleones/huecos de valencia: j 1 -j 2. j 1 +j 2 Si los nucleones son idénticos función de onda del acoplamiento deberá ser antisimétrica Utilizando propiedades de los Clebsch-Gordon 2j es impar porque j es siempre semientero, así si J no es par se anula 2 fermiones idénticos que se acoplan sólo pueden hacerlo a J pares y en principio todos los posibles acoplamientos corresponderían a niveles de energía degenerados. 41

42 2.8 Interacción residual Experimentalmente se observa una ruptura de la degeneración de los estados que surgen por el acoplamiento de espines de nucleones/huecos de valencia que se explica como una manifestación de una interacción residual más allá del campo medio. Ejemplo configuración 2n a) Elemento de matriz (1d 5/2 ) 2 J b) Elemento de matriz considera El espacio completo (1d 5/2 2s ½ 1d 3/2 ) Ejemplo configuración 2p a) (1h 9/2 ) 2 J (1h 9/2 2 f 7/2 ) (1h 9/2 1i 13/2 ) b) (1h 42 9/2 2f 7/2 1i 13/2 )

43 2.8 Interacción residual La variación de energía introducida por una interacción residual V 12 entre los nucleones/huecos de valencia puede calcularse de la forma: Donde V 12 tiene la forma genérica de un potencial central : corto alcance e independiente del momento angular: A partir de estas expresiones y utilizando el álgebra de momentos Donde F R depende únicamente de las coordenadas radiales Integrando la parte angular Se rompe la degeneración en J 43

44 2.8 Interacción residual Evaluando la separación en energía para niveles de J consecutivos Podemos asignar valores numéricos desde J=0,2,4,... E E E E 2 E E Lo que me permite calcular el espaciamiento relativo entre niveles 0+(espines antiparalelos) disminuye considerablemente El espaciamiento entre niveles depende de A funciones angulares universales que no dependen del potencial central 44

45 45 Descripción microscópica del núcleo atómico José Benlliure 3.1 Resolución del sistema nuclear de N cuerpos H E ),, ( N r r r r N i N k j i k j i b N j i j i b i r r r V r r V T H,, 3, 2 ),, ( ), ( Si nos limitamos a interacciones a dos cuerpos: N i N j i j i b i r r V T H, 2 ), ( Descomponiendo la interacción entre un potencial central y una interacción residual: res N i N i i i H r U T H ) (

46 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.1 Resolución del sistema nuclear de N cuerpos H E ( r, r2, r3 r H 1 N N N Cálculos ab-initio - resuelven de forma exacta la ecuación - utilizan fuerzas fenomenológicas N-N y N-N-N - cálculos limitados a A<12 i T i ) V ( r, r ) i, j Cálculos de campo medio - resuelven la ecuación de forma auto-consistente - utilizan fuerzas efectivas sin interacción residual - describen las propiedades macroscópicas de los núcleos N 2 b i j V3b ( ri, rj, rk ) i, j, k Cálculos de modelo de capas - resuelven la ecuación truncando el espacio de Hilbert - utilizan fuerzas efectivas con interacción residual - describen la estructura microscópica del núcleo 46 José Benlliure

47 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.2 Calculos ab-initio Son necesarias interacciones a tres cuerpos para describir los estados de partícula independiente 47 José Benlliure

48 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.3 Calculos de campo medio auto-consistentes: Hartree-Fock El hamiltoniano general del sistema nuclear puede separarse en una parte de interacción a un cuerpo que describe el campo medio más el término de interacción residual Si aplicamos el modelo extremo de partícula independiente (despreciando la interacción residual), este hamiltoniano puede aproximarse como: U (r i ) representa el campo medio interacción que siente un nucleón generada por los demás nucleones r i representa posición y nº cuánticos (r= n i,, l i, j i, m i ) Cada nucleón está descrito por f.d.o que son propias del H o 48 k=1,2,.. D representa todos los estados de partícula independiente de un núcleo luego en el fundamental D=A José Benlliure

49 Descripción microscópica del núcleo atómico Luego la f.d.o de un núcleo de A nucleones en su estado fundamental será: Y los valores propios de energía del sistema serán PROBLEMA no conocemos ni el potencial medio U(r i ) ni las f.d.o. USO DEL METODO VARIACIONAL (Hartree-Fock) para determinar tanto U(r i ) como las f.d.o del sistema DETERMINACION DE U(r i ) Los nucleones son partículas puntuales caracterizadas por r i que interaccionan vía Así el potencial total sobre una partícula que para una distribución continua será 49 José Benlliure

50 Descripción microscópica del núcleo atómico La densidad puede caracterizarse como Se suma sobre todos los estados ocupados b=n b, l b, j b, m b Por lo que el campo medio puede calcularse en un punto como Para calcular U necesito conoce la interacción V(r,r ) y b (r ) Pero para determinar b (r ), necesito conocer U(r) PROCEDER POR ITERACIÓN partimos de una solución posible para la f.d.o o U(r) e itero hasta que ambas convergen 50 José Benlliure

51 Descripción microscópica del núcleo atómico Se puede partir de f.d.o de partícula independiente obtenidas para un potencial macroscópico: oscilador armónico+ término de espín-órbita Con estas funciones de onda se resuelve la ecuación Para un sistema de i=1,... A ecuaciones descripción del estado fundamental. Teniendo en cuenta que la f.d.o tiene que ser antisimétrica La ecuación anterior resulta 51 José Benlliure

52 Descripción microscópica del núcleo atómico Utilizando la notación: Se puede escribir el sistema de ecuaciones que queremos resolver como: En general la integral incluye términos no locales y su resolución no es trivial solución iterativa i( r) U 0 H( r) + U 0 F( r,r ) i( r) U 1 H( r) + U 1 F( r,r ) i( r) U 2 H( r) + U 2 F( r,r )... El proceso se repite hasta encontrar una solución convergente para las funciones de onda 52 José Benlliure

53 Descripción microscópica del núcleo atómico Con el resultado anterior se puede determinar la f.d.o del sistema como: Estas f.d.o me permiten calcular algunas de las propiedades macroscópicas del sistema Tales como : La energía de ligadura La distribución de masa o carga o el radio cuadrático medio 53 José Benlliure

54 Descripción microscópica del núcleo atómico 54 José Benlliure

55 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.4 Modelos de capas Resuelven la ecuación de Schrodinger utilizando dos aproximaciones: - utilizan un número reducido de estados de partícula independiente: truncamiento - utilizan interacciones efectivas - Las subcapas completas (core) no se incluyen en el cálculo. Su efecto aparece implícito en las energías de los estados de partícula independiente y las interacciones efectivas - Los nucleones pueden ocupar diferentes orbitales (configuraciones) como consecuencia de la interacción entre ellos - En la capa de valencia se consideran todas las posibles ocupaciones de los orbitales por los nucleones de valencia y se promedia sobre ellas (mezcla de configuraciones) - cada configuración está caracterizada por un elemento de matriz 55 José Benlliure

56 56 El hamiltoniano del sistema se puede escribir entonces como: Descripción microscópica del núcleo atómico José Benlliure 3.4 Modelos de capas l k j i l k j i i l k j i i a a a a v H,,,,,, - i son los estados de partícula independiente. - v i,j,k,l son los elementos de matriz a dos cuerpos - a,a + son los operadores de destrucción y creación Cada una de las configuraciones de los nucleones de valencia estará descrita por un elemento de matriz de la forma:,,, H H H Donde cada uno de los estados 1, 2, 3 es un determinante de Slater que resulta del producto de estados de partícula independiente, de una determina capa cerrada 0> : '' '' '' 3 ' ' ' 2 1 a a a a a a a a a

57 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.4 Modelos de capas A partir de aquí podemos construir el hamiltoniano del sistema como: Con este hamiltoniano podemos obtener los valores propios de energía como: H E siendo: c 1 c22 c3 3 1 y los parámetros c 1, c 2, c 3, el peso de cada configuración. 57 José Benlliure

58 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.4 Modelos de capas Diagonalizando la matriz obtenemos los valores propios de energía: Eligiendo convenientemente la base de estados, se simplifica el método de diagonalización. 58 José Benlliure

59 59 Los elementos de matriz a dos cuerpos podemos obtenerlos como: Descripción microscópica del núcleo atómico José Benlliure 3.4 Modelos de capas ,, ,,,,,, ') ',,,, ( ),,,, ( ' ',,,,,, m j m j V m j m j M J m j m j M J m j m j M J j j V M J j j m m m m Como la interacción V es invariante rotacional los elementos de matriz serán independientes de M y J=J : Por tanto solo dependerán de J y de T. A modo de ejemplo se enseñan los elementos de matriz para un núcleo con dos nucleones de valencia en la capa sd (A=22) Los orbitales de valencia serán: 1d 5/2, 1d 3/2, 2s 1/2

60 Descripción microscópica del núcleo atómico 3.4 Modelos de capas El número de configuraciones, y por tanto la dimensión de la matriz que hay que diagonalizar se incrementa rápidamente con el número de nucleones de valencia y con el número total de nucleones del núcleo: 60 José Benlliure

61 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear (para saber más, Heyde pag ) El estudio de momentos cuadrupolares eléctricos ponía en evidencia la existencia de grandes discrepancias entre los valores calculados (suponiendo una distribución esférica) y los resultados experimentales sobre todo manifiesta para valores grandes de A 150<A<190 y A> José Benlliure

62 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear Cualquier superficie puede parametrizarse en función de armónicos esféricos Donde a es la amplitud del armónico esférico, r () determinan la posición de un punto de la superficie en el sistema elegido Dependiendo de la superficie necesitaremos un desarrollo multipolar diferente parametrizado por informa del número de coordenadas necesarias 62 José Benlliure

63 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear Si nos limitamos a desarrollos de orden cuadrupolar Haciendo uso de los armónicos esféricos 63 José Benlliure

64 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear La descripción del sistema puede simplificarse si utilizamos como sistema de referencia el de los ejes principales procedemos a rotar nuestro sistema (ángulos de Euler). El nuevo sistema verifica (simetría especular) Por lo que la superficie queda caracterizada por : los 3 ángulos de Euler, a 20 y a 22 Normalmente estas variables suelen sustituirse por y La figura representa en un diagrama polar las diferentes regiones de deformación =radio =ángulo cambia en 2/3 para pasar de un eje a otro 64 José Benlliure

65 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear El resto de valores de corresponden a núcleos con simetría tri-axial. En genera caracterizaremos cualquier punto de la superficie de un núcleo como r 2 Donde los tres semi-ejes tendrán longitudes r 3 r 1 65 José Benlliure

66 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear Estas expresiones pueden escribirse de forma general Puesto que la densidad del núcleo es constante los núcleos que se deforman lo hacen manteniendo el mismo volumen. 66 José Benlliure

67 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear Si la deformación es permanente los parámetros a 20 y a 22 no dependerán del tiempo. Para núcleos con simetría axial = 0, 120, 240 prolate = 60, 180, 300 oblate 67 José Benlliure

68 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.1 Deformación nuclear 68 José Benlliure

69 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa Utilizaremos el modelo de Nilsson para describir la estructura de núcleos deformados necesitamos un potencial que describa la forma del núcleo J ya no es una constante de movimiento, sino que lo será su proyección 69 José Benlliure

70 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa Vamos a referirnos sólo a núcleos con deformación cuadrupolar (=2 ) Utilizamos una imagen simplista del núcleo en la que los nucleones se mueven en órbitas que son perpendiculares a la dirección del momento angular orbital que definen estas mismas órbitas K es la proyección de J sobre el eje de simetría En núcleos esféricos cada nivel tiene una degeneración de 2j+1, siendo todos los valores de k equivalentes. En núcleos deformados la energía de los niveles depende de la orientación de la órbita Cuanto mayor sea el solapamiento entre la órbita y el resto de la materia nuclear mayor será la interacción y menor la energía del estado 70 José Benlliure

71 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa Caso prolate El solapamiento es máximo cuanto menor sea el valor de K j 4 será la órbita de menor energía Caso oblate El solapamiento es máximo cuanto mayor sea el valor de K j 1 será la órbita de menor energía En núcleos deformados se rompe la degeneración en J J ya no es un buen número cuántico(no define un estado) sino que lo es su proyección K 71 José Benlliure

72 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa La deformación induce pues un desdoblamiento de niveles en función del valor de su proyección del momento angular K. En realidad la separación entre niveles no es equidistante ya que sin~k/j Para j=13/2 aumenta con k 2 72 José Benlliure

73 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa Como depende de j aumenta cuando j aumenta Para un K determinado las capas de mayor j tienen una dependencia menor de la energía con la deformación sin~k/j En mecánica cuántica no pueden juntarse dos estados con idénticos nº cuánticos aquí el buen nº cuántico es k por tanto no es posible que dos estados con el mismo K se crucen 73 José Benlliure

74 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico Consideramos núcleos con deformación cuadrupolar en los que vamos a analizar el formalismo que describe el esquema de niveles del núcleo deformado. Plantearemos la ecuación de Scrödinger para un oscilador armónico oscilador anisótropo Espín-órbita 1, 2,,, 3 son frecuencias independientes ( inversamente proporcionales a las longitudes de los semiejes que definen la forma del núcleo. (para saber más, Nilsson tema 8 y Heyde tema 13) 74 José Benlliure

75 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico Si consideramos la deformación como una perturbación de un potencial esférico: HO isótropo Describe la anisotropía del potencial Para núcleos con simetría axial: Los valores propios de esta parte del hamiltoniano pueden obtenerse aplicando método perturbativo Considerando que j es todavía un buen nº cuántico para deformaciones pequeñas 75 José Benlliure

76 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico La variación de energía respecto al oscilador armónico será: separado la contribución radial y la angular tenemos se rompe degeneración en K la variación dela energía depende proporcionalmente del valor de la deformación cuadrupolar hay dependencia con K 2 depende linealmente con el número cuántico principal 76 José Benlliure

77 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico Los orbitales pueden caracterizarse como: K [ Nn z ] K proyección de momento angular total y paridad N nº cuántico principal n z nº de nodo de la función de onda en el eje z componente del momento angular orbital a lo largo del eje de simetria K = /2 Proyección de espín n z es par cuando N es par paridad positiva n z es impar cuando N es impar paridad negativa 77 José Benlliure

78 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico 78 José Benlliure

79 Descripción microscópica de núcleos deformados 4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico 79 José Benlliure