Introducción a la Cinemática de las Máquinas.

Transcripción

1 Introducción a la Cinemática de las Máquinas. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato Salamanca, Gto , México February 22, 2016 Objetivo: El objetivo de estas notas es proporcionar al interesado una recopilación de las definiciones y resultados mas importantes acerca de los fundamentos de la teoría de las máquinas y mecanismos. Además permite realizar algunas puntualizaciones necesarias ausentes en algunos libros de texto. 1 Generalidades La cinemática de las máquinas, también llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza ciencias más básicas, como dinámica, con otras más ingenieriles o de aplicación, tales como el diseño de máquinas. Durante el estudio de la dinámica se aprendió el cálculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rígidos y agrupaciones de cuerpos rígidos; además, se analizaron las fuerzas necesarias para producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Mucho de ese material será nuevamente estudiado en la cinemática de las máquinas; sin embargo, ahora el estudio se concentrará en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos. Por otro lado, la cinemática de las máquinas concede especial atención a las distintas posiciones que los cuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este análisis de posición es requerido en el diseño de máquinas. Cronologicamente, la primera consideración en un diseño, es el movimiento que es necesario producir a fín de cumplir con el objetivo deseado; en un segundo término, se encuentran las consideraciones de resistencia y rigidéz. En cuanto a predominancia, en algunos casos, como en el diseño del mecanismo de impresión de una máquina de escribir manual, el punto de vista más importante es aquel que se relaciona con el movimiento requerido; mientras que en otros, como el diseño de trascabos y maquinaria de construcción, los argumentos de resistencia y rigidéz predominan sobre los argumentos puramente cinemáticos. En último caso, el diseño final debe obtenerse después de un compromiso entre ambas consideraciones. Después de estos comentarios preliminares, es posible intentar una definición de la cinemática de las máquinas. 1.1 Definición de la Cinemática de las Máquinas. Definición: La cinemática de las máquinas se define como aquella división del diseño de máquinas que concierne con el diseño cinemático de eslabonamientos, levas, engranes, etc. A fín de precisar el significado de la cinemática de las máquinas se requiere de dos definiciones adicionales. Definición: Diseño de máquinas: Es la creación de un plan para la construcción de una máquina o dispositivo para realizar una función. Definición: Diseño cinemático: Es diseño sobre la base de requerimientos de movimiento, en contraste con el diseño en base a requerimientos de resistencia y rigidéz. Así pues, es posible redefinir la cinemática de las máquinas como: Aquella parte del diseño de máquinas que concierne con el diseño, en base a requerimientos de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc. 1.2 Mecanismo y Máquina. Haremos ahora una distinción conceptual entre mecanismos y máquinas. 1

2 Definición: Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro. Definición: Máquina 1 : Es un mecanismo o una combinación de mecanismos que trasmiten fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas están asociadas con la conversión de la energía de fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de una máquina térmica 2. Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejando en un plano secundario la transmisión de fuerza necesaria para vencer la fricción o una fuerza exterior; en la idea de máquina, la mente asocia la transmisión de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformación; es decir, cuerpos rígidos aproximados. 3 Además, puesto que en la cinemática de las máquinas no interesa la resistencia y la rigidéz, supondremos que las partes de un mecanismo son completamente rígidas y sin peso. A la luz de la anterior discusión, podemos definir un mecanismo como un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno se mueve respecto a los demás y transmiten movimiento. 2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rígido. El concepto de grados de libertad proviene de la teoría de sistemas y es de aplicación muy general, en estas notas adoptaremos la siguiente definición. Definición: Grado de libertad de un sistema. Se define como el número mínimo y suficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema. En la cinématica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado de un sistema, cinemático, es sinónimo con posición. Si se conoce la posición de un sistema cinemático se conoce todo acerca del sistema. Así pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados de libertad del movimiento de un cuerpo rígido. Definición: Grado de libertad de un cuerpo rígido es el número mínimo y suficiente de variables necesarias para especificar completamente la posición del cuerpo. Si el cuerpo está libre de moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados de libertad, vea la figura 1. Figure 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido Libre de Moverse en el Espacio. Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posición del cuerpo: Tres variables para especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, y tres variables para especificar la orientación de un sistema coordenado formado por tres líneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de esas variables se le asocia un grado de libertad. Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad, por ejemplo 1 En idioma inglés Machine. 2 En idioma inglés Engine. 3 Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en movimiento. Sin embargo, desde hace unos veinte años, se han dado los primeros pasos en esa dirección. 2

3 1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado de libertad, el de translación a lo largo del eje perpendicular al plano de movimiento. 2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto, pierde los tres grados de libertad asociados a la translación. 3. Un cuerpo sujeto a rotación alrededor de un eje fijo pierde cinco grados de libertad, restándole tan solo aquel asociado a la rotación alrededor del eje fijo. 4. Un cuerpo sujeto a translación rectilínea, pierde todos sus grados de libertad excepto aquel asociado a la translación a lo largo del eje de desplazamiento. 5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos, tiene tres grados de libertad. Dos de ellos están asociados a las translaciones a lo largo de ejes linealmente independientes contenidos en el plano de movimiento y el grado de libertad restante está asociado a la rotación alrededor de un eje fijo perpendicular al plano, vea la figura 2. Figure 2: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General. Este último tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de que en una gran parte de los mecanismos industriales los cuerpos que forman el mecanismo se mueven de esta manera. Más aún, la mayor parte del curso se centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslación bidimensional y la rotación alrededor de un eje fijo. Una vez establecidos estos conceptos fundamentales, se analizarán los elementos que constituyen los mecanismos. 3 Elementos Constitutivos de un Mecanismo. Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismo y, por el otro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contacto y transmitir movimiento. Los cuerpos se denominán eslabones o barras y las conecciones se denominan pares cinemáticos, en estas sección ambos se definirán de manera puntual y se clasificarán en diferentes tipos o clases. 3.1 Eslabón o Barra. Definición: Eslabón o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdo con lo explicado, se suponen que son rígidos y no tienen peso. La condición de rigidéz de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implica que sea rígido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabón. Esta consideración da lugar a una clasificación de los eslabones de acuerdo a su rigidéz: 3

4 1. Rígido en ambos sentidos, cuando el eslabón tiene rigidéz a tensión y compresión. Ejemplos: La biela de un compresor, un engrane, el pistón de una máquina de combustión interna, etc. 2. Rígido en un único sentido. (a) Rígido cuando se sujeta a compresión. Ejemplo: Fluidos hidráulicos. (b) Rígido cuando se sujeta a tensión. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas. A fín de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexiones se realizan a través de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. La siguiente subsección examina la relación entre elementos y pares. 3.2 Eslabones y Pares. Definición: Par cinemático. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidos permanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos, recibe el nombre de par cinemático. Esta definición da lugar a una nueva clasificación de los eslabones, esta clasificación depende del número de elementos que contiene un eslabón; en otra palabras, la clasificación indica el número máximo de pares, que puede formar el eslabón. Es lógico que si los eslabones tienen como función la transmisión de movimiento, el número mínimo de pares que deben formar es dos; así pues, los eslabones se clasifican en: 1. Eslabón o barra binaria, vea la figura 3. 4 Figure 3: Eslabón o Barra Binaria. 2. Eslabón o barra poligonal. 5 (a) Barra ternaria, vea la figura 4. (b) Barra cuaternaria. (c) Barra quinaria, etcetera. Figure 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria. Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario proceder con el estudio y clasificación de pares cinemáticos. 4 Es importante señalar que esta clasificación se desarrolló antes de la aparición de manipuladores seriales, en los cuales, el eslabón terminal y el eslabón que une al manipulador con la tierra, unicamente tiene un elemento y son, por lo tanto, eslabones unarios. 5 A fín de indicar que se trata de un único cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos mediante pares cinemáticos, los eslabones poligonales se anchuran. 4

5 3.3 Clasificación de Pares Cinemáticos. La clasificación de pares cinemáticos puede realizarse en base a tres diferentes criterios. 1. El número de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que están conectados por el par. 2. El tipo de contacto entre los elementos. 3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto. Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número de grados de libertad del movimiento relativo entre los elementos. 6 En esta clasificación, existen dos condiciones que imponen un límite superior e inferior al número de grados de libertad, esas condiciones son: El par cinemático debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lo tanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo. Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben permanecer en contacto. De aqui qué deba existir como máximo cinco grados de libertad en el movimiento relativo entre los eslabones. Una vez que se han determinado los límites superior e inferior del número de grados de libertad del movimiento relativo que permite un par cinemático, es posible clasificarlos de forma exhaustiva. En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinemáticos en base al número de grados de libertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones. 6 Esta clasificación está basada en las diferentes formas en que el movimiento relativo entre los dos cuerpos puede restringirse. Existe otro criterio más estricto para la definición de un par cinemático; este criterio requiere que el conjunto de movimientos relativos que permite un par sea un subgrupo del grupo de los movimientos de un cuerpo rígido junto con la operación de composición. Este grupo se conoce como grupo euclidiano. 5

6 3.3.1 Clasificación de Pares Cinemáticos en Base a los Grados de Libertad del Movimiento Permitido Entre los Eslabones. Pares Cinemáticos de Clase I. Número de grados de libertad del movimiento 1. Número de grados de libertad perdidos 5. Posibles casos: 1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. Figure 5: Par de Revoluta. 2. Prismático (P), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje, o una curva dada. Figure 6: Par Prismático. 3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje y simultaneamente un movimiento de rotación, dependiente de la translación, alrededor del mismo eje. Figure 7: Par de Tornillo o Helicoidal. 6

7 Pares cinemáticos de la clase II. Número de grados de libertad del movimiento 2. Número de grados de libertad perdidos 4. Posibles casos: 1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotación alrededor de dos ejes linealmente independientes. Figure 8: Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un Soporte Ranurado. 2. Cilíndrico (C), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje y un movimiento de rotación independiente alrededor del mismo eje. Figure 9: Par Cilíndrico. 3. Leva (Ca), permite traslación a lo largo de un eje y rotación alrededor de un eje perpendicular al primero. Figure 10: Par de Leva. 7

8 Pares Cinemáticos de la clase III. Número de grados de libertad del movimiento 3. Número de grados de libertad perdidos 3. Posibles casos: 1. Esférico o globular (S), permite rotación alrededor de tres ejes. Es decir permite rotación alrededor de un punto fijo. Figure 11: Par Esférico o Globular. 2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotación alrededor de dos ejes linealmente independientes y traslación a lo largo de un tercer eje. Figure 12: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilíndro Acanalado. 3. Plano (Pl), permite traslación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor de otro eje perpendicular a los otros dos. Figure 13: Par Plano. 8

9 Pares Cinemáticos de la clase IV. Número de grados de libertad del movimiento 4. Número de grados de libertad perdidos 2. Posibles casos: 1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotación alrededor de tres ejes y translación a lo largo de otro. Figure 14: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilindro Ranurado. 2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotación alrededor de dos ejes y traslación a lo largo de otros dos. Figure 15: Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano. 9

10 Pares Cinemáticos de la clase V. Número de grados de libertad del movimiento 5. Número de grados de libertad perdidos 1. Posibles casos: 1. Esfera sobre plano (Sp), permite translación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor de tres ejes. Figure 16: Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano. Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el análisis de mecanismos son altamente importantes en el contexto mas amplio del diseño de máquinas Clasificación de pares cinemáticos de acuerdo al tipo de contacto entre elementos. En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en 1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a través de una superficie. Ejemplos, Pistón-camisa de un compresor, par globular de un portaplumas. 2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a través de un punto o una línea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo. Para la transmisión de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores; pues los superiores estarían sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la forma en que se mantienen los elementos en contacto. En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en 1. Pares abiertos ó cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto mediante el concurso de una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formado por una leva y su seguidor en una máquina de combustión interna. 2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma misma de construcción del par. Ejemplo, El par prismático formado por el pistón y camara de un compresor. Debeobservarsequelosparescinemáticoscerradosporformasonmasconfiablesqueloscerradosporfuerza. 7 7 Es importante notar que estas dos últimas clasificaciones son más importantes en el ámbito del diseño mecánico que en el diseño cinemático de máquinas. La razón de estas clasificaciones está en su generador, el ingeniero alemán Franz Reuleaux, quien en la segunda mitad del siglo XIX fue el impulsor de la enseñanza sistemática de la cinemática de las máquinas y se autodefinía como un constructor de máquinas. 10

11 3.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos. Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construcción es sencilla y su estudio relativamente simple, estas características, aunadas a su gran versatilidad de aplicación, son suficientes para que nuestro curso se concentre en su estudio. Definición: Mecanismos planos. Los mecanismos planos se definen como aquellos mecanismos tales que todos sus eslabones están sujetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos. La pregunta que surge de inmediato es: Qué tipos de pares cinemáticos pueden formar parte de un mecanismo plano? Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo análisis. Un cuerpo sujeto a movimiento plano general tiene tres grados de libertad; si además el cuerpo está conectado a otros eslabones a fín de formar parte de un mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder como mínimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles pares a aquellos de las clases I y II. Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos serán aquellos que permitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. De forma más correcta, debe decirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translación a lo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o rotación alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo análisis muestra que los pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismáticos y los pares de leva. Esta restricción sobre los tipos de pares cinemáticos que pueden formar parte de mecanismos planos se basa exclusivamente en consideraciones del número de grados de libertad en el movimiento relativo así como del movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante engranes cónicos, la junta de cardan, levas cilíndricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras restricciones que conciernen a la disposición u orientación de los ejes de los pares cinemáticos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado es plano. Estas restricciones se indican a continuación. 1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotación deben ser paralelos. 2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismático, el eje de desplazamiento del par prismático debe ser perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta. 3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotación del par de leva debe ser paralelo a los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslación debe ser perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta. Hasta aquí, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de los mecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es el tema de la siguiente sección. 4 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e Inversión. La entidad básica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama cadena cinemática. Definición: Cadena Cinemática. Una cadena cinemática es la unión de pares cinemáticos y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos ó lazos 8 cerrados. Las cadenas cinemáticas se clasifican en: 1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinemática son binarios. 2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales. Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un único lazo y cinco eslabones binarios, por lo tanto es simple. 8 En lenguaje inglés loops. 11

12 Figure 17: Cadena Cinemática Simple. La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe además otro lazo que comprende parte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinaciones de las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinemática, los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por lo tanto, la cadena es compleja. Figure 18: Cadena Cinemática Compleja. El siguiente paso en la generación de mecanismos es la generación de eslabonamientos. Definición: Eslabonamiento. Un eslabonamiento 9 es una cadena cinemática en la cual se ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabón fijo se denomina marco o eslabón fijo. Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido más específico, para nombrar mecanismos formados exclusivamente por pares inferiores. Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura 19 se han formado fijando respectivamente los eslabones 1 y 5 de la cadena cinemática de la figura 17. Estos dos ejemplos permiten introducir el último concepto de está sección. Definición: Inversión. A partir de una cadena cinemática formada por n-eslabones, puede generarse como máximo n eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producen al fijar alternativamente uno de los restantes eslabones de la cadena, se llaman inversiones del eslabonamiento inicial. 9 En lenguaje inglés linkage. 12

13 Figure 19: Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinemática Simple de la Figura 5. Es importante reconocer que en una inversión, el movimiento relativo entre los eslabones no se altera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversión se encuentra en la síntesis gráfica de levas. Una de las aplicaciones más importantes del concepto de inversión cinemática consiste en la búsqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos es conocida como síntesis de número o sistemática. Figure 20: Cadena Cinemática de Watt. Por ejemplo, la sistemática nos indica que a partir de la cadena cinemática de Watt, figura 20, los únicos eslabonamientos diferentes sin importar las dimensiones de los eslabones son los mostrados en la figura 21. Figure 21: Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de Watt. Comentarios históricos: En la literatura actual, en particular en artículos científicos, los términos: Cadena, eslabonamiento y mecanismos se consideran sinónimos. Sin embargo, debe recordarse que estos términos se originaron durante la sistematización de la cinemáticas de las máquinas en Alemania, notorio por la rigidez de su forma de pensar. Por otro lado, el desarrollo de la tecnología moderna ha hecho obsoletos algunos de estos conceptos; por ejemplo, los manipuladores seriales se generan a partir de cadenas abiertas. Estas cadenas abiertas están formadas por pares cinemáticas y eslabones que no forman un lazo cerrado. 13

14 5 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grübler. Definición: Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el número mínimo y suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posición del eslabonamiento. Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la posición de cualesquiera de los eslabones que forman parte del eslabonamiento. Ejemplos. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen un conteo de sus grados de libertad o movilidad. 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatro barras y cuatro pares de revoluta, vea la figura 1. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un grado de libertad o movilidad igual a 1, pues si se conoce el valor del ángulo θ 2, se conoce el valor de θ 3 y θ 4. Figure 22: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Debe notarse que desde el punto de vista estricto, el grado de libertad asociado a θ 2, no es suficiente para determinar la posición del resto de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras. La figura 1 muestra las dos posibles soluciones del análisis de posición del mecanismo. Como puede verse, es necesario indicar cual de las dos posibles soluciones del análisis de posición es la que se requiere. Sin embargo, esta variable es discreta, y en este caso binaria abierta o cruzada y no se cuenta como un grado de libertad adicional. Figure 23: Las Dos Posibles Soluciones del Análisis de Posiciones de un Mecanismo Plano de Cuatro Barras. 14

15 2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismático entre el seguidor y el marco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2. Figure 24: Leva Espacial. Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en observar su movimiento si lo hay, y determinar empiricamente ese número mínimo y suficiente de variables. Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos que no han sido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios de movilidad, uno de los más sencillos es el criterio de Grübler. A continuación se deducirá el criterio de Grübler para eslabonamientos planos. Es decir, para aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente 1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones, vea la figura 25. Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad 3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos que se conectarán para construir el eslabonamiento. Figure 25: Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento. 2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema referencia, vea la figura 26. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3(N 1) grados de libertad. 3. Por último, a fín de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante pares cinemáticos, vea la figura 27. Puesto que los eslabones están originalmente obligados a tener movimiento plano general, entonces un par de la clase I prismático o de revoluta elimina 2 grados de libertad y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad. Así pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuación F = 3(N 1) 2P 1 P 2 (1) Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el número de eslabones que forman el eslabonamiento, P 1 es el número de pares de la clase I que forman parte del eslabonamiento y P 2 es el 15

16 Figure 26: Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento, con uno de Ellos Fijo. Figure 27: Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rígidos Inicialmente Aislados. número de pares de la clase II que forman parte del eslabonamiento. La ecuación (1) se conoce como el criterio de Grübler. 10 Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en 1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructura estáticamente indeterminada. 2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estáticamente determinada. 3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de 1, 2, 3, etc. grados de libertad, según sea el caso. 5.1 Aplicación del Criterio de Grübler. En esta sección se determinarán los grados de libertad de diferentes eslabonamientos aplicando el criterio de Grübler. 1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 27, el eslabonamiento contiene 5 eslabones, y 6 pares cinemáticos, indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P 1 P 2 = 3(5 1) 2(5) 1 = = 1. (2) 10 Existe una modificación del criterio de Grübler, conocido como criterio de Kutzbach-Grübler, aplicable a eslabonamientos espaciales. La fórmula de este criterio está dada por F = 6(N 1) 5P 1 4P 2 3P 3 2P 4 1P 5 donde N es el número de eslabones y P 1,P 2,P 3,P 4 y P 5 son el número de pares de las clases I, II, III, IV y V, respectivamente. Sin embargo, el número de excepciones es en el caso espacial enorme, de manera que este criterio se estudia por razones principalmente históricas. 16

17 El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. 2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 28, el eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 pares de revoluta, indicados en itálica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P 1 P 2 = 3(4 1) 2(4) 0 = = 1. (3) El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de esperarse. Este mecanismo se le conoce como un mecanismo plano de cuatro barras. Figure 28: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones y Cuatro Pares de Revoluta. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. 3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 29, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 pares de revoluta, indicados en itálica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P 1 P 2 = 3(3 1) 2(3) 0 = = 0. (4) El eslabonamiento es una estructura estáticamente determinada, como era de esperarse pues, del estudio de la Estática, se sabe bien que un triángulo es la célula básica de las estructuras. Figure 29: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones y Tres Pares de Revoluta. Estructura estáticamente Determinada. 4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 pares cinemáticos indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 3, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P 1 P 2 = 3(3 1) 2(2) 1 = = 1. (5) El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de cara plana. 17

18 Figure 30: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva de Disco con Seguidor de Cara Plana. 5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 31, el eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 pares cinemáticos indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 4, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P 1 P 2 = 3(4 1) 2(3) 1 = = 2. (6) El eslabonamiento es un mecanismo de dos grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultado parece erroneo, pues una leva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problema alguno, por una leva de disco con seguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamente un grado de libertad. Sin embargo, debe notarse que la leva de disco con seguidor de rodillo presenta un grado de libertad pasivo que consiste en un movimiento de rotación del rodillo, cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos. Figure 31: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva de Disco con Seguidor de Rodillo Análisis de Revolutas Múltiples. En esta pequeña sección, se estudia un problema específico: Si en un eslabonamiento dado aparece una revoluta en la que se conectan varios eslabones, desde el punto de vista cinemático Cuantas revolutas deben considerarse para propósitos de aplicación del criterio de Grübler? La solución a este problema se basa en la idea misma de movimientos relativos entre los eslabones. En la revoluta mostrada en la figura 32 se conectan 3 eslabones, y por lo tanto, existen tres movimientos relativos entre los eslabones θ 2/1 = θ 2 θ 1 θ 3/1 = θ 3 θ 1 θ 3/2 = θ 3 θ 2 Sin embargo, sólo dos de esos movimientos son independientes. Es decir, si se conocen dos de esos tres movimientos relativos, digamos θ 2/1 y θ 3/1, entonces θ 3/2 = θ 3 θ 2 = (θ 3 θ 1 ) (θ 2 θ 1 ) = θ 3/1 θ 2/1 18

19 Figure 32: Revoluta en la que se Conectan tres eslabones. De manera que esta revoluta representa dos movimientos relativos independientes y para efectos del empleo del criterio de Grübler, esta revoluta múltiple cuenta como 2 revolutas. No es muy difícil generalizar este resultado y mostrar que si en una revoluta en la que se conectan n eslabones, esta revoluta cuenta como n 1 revolutas para efectos del empleo del criterio de Grübler. 5.2 Excepciones al Criterio de Grübler. Un criterio de movilidad, como el de Grübler, basado exclusivamente en consideraciones del número de eslabones y de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para los cuales el número de grados de libertad determinado mediante el criterio de Grübler no es el correcto. Algunas de ellas se ilustran a continuación. 1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostrado en la figura 33. Figure 33: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler. Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(4 1) 4(2) 0(1) = 9 8 = 1 (7) Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras son a 1 = 4u.l., a 2 = 2u.l., a 3 = 7u.l. y a 4 = 1u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la única manera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura 15. Consecuentemente, este mecanismo plano de cuatro barras tiene 0 grados de libertad y es en realidad una estructura. 2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 34. Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(5 1) 2(6) 0 = = 0. (8) Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos, además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado, por lo tanto F = Considere el eslabonamiento mostrado en la figura

20 Figure 34: Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinemáticos que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler. Figure 35: Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismáticos y de Revoluta que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler. Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(5 1) 2(6) 0 = = 0. (9) Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel formado por los eslabones conectados por los pares prismáticos está asociado a las traslacionales planas, mientras que cualquiera de los dos restantes lazos está asociado al movimiento plano general. Puede probarse que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad. 4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 36. El eslabonamiento tiene 23 eslabones, 33 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II. Por lo tanto, aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P I 1P II = 3(23 1) 33(2) 1(0) = = 0. (10) El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura. Estas estructuras se emplean frecuentemente en techos y puentes. De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 37. Este eslabonamiento tiene el mismo número de eslabones y pares cinemáticos que el eslabonamiento de la figura 36. Por lo tanto, 20

21 Figure 36: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente. aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P I 1P II = 3(23 1) 33(2) 1(0) = = 0. (11) Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustaría pasar caminando o manejando un automóvil por un puente diseñado de esa manera. Figure 37: Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso. Es fácil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura 37 se obtuvo del eslabonamiento mostrado en la figura 36 simplemente cambiando de localización el eslabón o barra número 14. Este cambio conduce aqueelcuadriláteroformadoporlasbarras16, 17, 18, 19y20formaunasubestructuraestaticamenteindeterminada, de manera que el comportamiento cinemático del eslabonamiento no se altera si el cuadrilátero se sustituye por un cuerpo rígido como se muestra en la figura 38. Este eslabonamiento tiene 18 eslabones o barras, 25 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II. Aplicando, el criterio de Grübler se tiene F = 3(N 1) 2P I 1P II = 3(18 1) 25(2) 1(0) = = 1. (12) Este cálculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecanismo, confirmando las sospechas que habiamos indicado en el párrafo anterior. 6 Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de Paul. Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el número de variables necesarias para determinar la posición del eslabonamiento así como las ecuaciones que restringen esas variables, es debido a 21

22 Figure 38: Un eslabonamiento equivalente al mostrado en la figura 37. Paul y se estudia a continuación. El método requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer las ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto que las ecuaciones escalares de clausura son, también, el punto de partida para resolver el análisis de posición de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinemáticas mediante ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del análisis de posición de mecanismos planos. 6.1 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, θ 4. Estas variables cinemáticas se conocen también como coordenadas Lagrangianas, ó coordenadas generalizadas. Es importante reconocer que estas variables no son independientes sino que están obligadas a satisfacer las ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento. Figure 39: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras. En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuación de clausura en forma vectorial es a 2 + a 3 = a 1 + a 4 (13) 22

23 y las ecuaciones escalares resultantes son a 2 Cosθ 2 +a 3 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 +a 4 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 +a 3 Senθ 3 = a 1 Senθ 1 +a 4 Senθ 4 (14) sustituyendo θ 1 = 0, y reagrupando los términos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como f 1 (θ 2, θ 3, θ 4 ) = a 2 Cosθ 2 +a 3 Cosθ 3 a 1 a 4 Cosθ 4 = 0 f 2 (θ 2, θ 3, θ 4 ) = a 2 Senθ 2 +a 3 Senθ 3 a 4 Senθ 4 = 0 (15) Entonces, el número de grados de libertad, F, será el número de coordenadas Lagrangianas o generalizadas, C, menos el número de ecuaciones independientes E. Es decir En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras, F = C E (16) F = 3 2 = 1. (17) Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grübler. 6.2 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 40. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, y la coordenada s. Debe notarse que las dimensiones a 2, a 3, e, θ e, θ s son parámetros constantes. Figure 40: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Las ecuación de clausura, en forma vectorial, está dada por a 2 = e+ s+ a 3. (18) Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son f 1 (θ 2, θ 3, s) = a 2 Cosθ 2 s a 3 Cosθ 3 = 0 f 2 (θ 2, θ 3, s) = a 2 Senθ 2 e a 3 Senθ 3 = 0 (19) Entonces, el número de grados de libertad será F = C E = 3 2 = 1 (20) De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado. 23

24 6.3 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 41. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, θ 6. Debe notarse que las dimensiones a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, b 1, b 2, θ 1, δ y γ son parámetros constantes. Figure 41: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos. Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son a 2 + a 3 = a 1 + a 4 a 2 + b 2 + a 6 = a 1 + b 1 + a 5 (21) f 1 (θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, θ 6 ) = a 2 Cosθ 2 +a 3 Cosθ 3 a 1 Cosθ 1 a 4 Cosθ 4 = 0 f 2 (θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, θ 6 ) = a 2 Senθ 2 +a 3 Senθ 3 a 1 Senθ 1 a 4 Senθ 4 = 0 f 3 (θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, θ 6 ) = a 2 Cosθ 2 +b 2 Cos(θ 3 +δ)+a 6 Cosθ 6 a 1 Cosθ 1 b 1 Cos(θ 4 γ) a 5 Cosθ 5 = 0 f 4 (θ 2, θ 3, θ 4, θ 5, θ 6 ) = a 2 Senθ 2 +b 2 Sen(θ 3 +δ)+a 6 Senθ 6 a 1 Senθ 1 b 1 Sen(θ 4 γ) a 5 Senθ 5 = 0 Entonces, el número de grados de libertad está dado por (22) F = C E = 5 4 = 1 (23) De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado. Sin embargo, una revisión de la figura 41, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuaciones vectoriales, por ejemplo a 4 + b 3 + a 6 = b 1 + a 5 (24) No obstante, puede probarse que esta ecuación vectorial, al igual que cualquier otra ecuación que se pueda obtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se han obtenido. En particular, si se resta la primera ecuación (21) de la segunda ecuación (21), se tiene que a 2 + b 2 + a 6 a 2 a 3 = a 1 + b 1 + a 5 a 1 a 4 (25) 24

25 o b2 a 3 + a 6 + a 4 = b 1 + a 5 (26) Sin embargo, de la figura 41, es evidente que b2 a 3 = b 3 (27) Por lo tanto, la ecuación puede escribirse como a 4 + b 3 + a 6 = b 1 + a 5 (28) Es claro, pues, que la aplicación de este criterio requiere de la determinación de un conjunto de ecuaciones vectoriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones de clausura del eslabonamiento. Información completa acerca de este problema puede encontrarse en el libro de Paul, vea [1]. 6.4 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grübler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 42. Figure 42: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite Ilustrar Porque Falla el Criterio de Grübler. La posición del eslabonamiento queda únicamente definida si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, θ 4, θ 5. Existen dos ecuaciones vectoriales de clausura, que están dadas por Las ecuaciones escalares son a 2 + a 3 = a 1 + a 4 b2 + a 5 = a 3 + b 4 (29) a 2 Cosθ 2 +a 3 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 +a 4 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 +a 3 Senθ 3 = a 4 Senθ 4 +a 1 Senθ 1 b 2 Cosθ 2 +a 5 Cosθ 5 = a 3 Cosθ 3 +b 4 Cosθ 4 b 2 Senθ 2 +a 5 Senθ 5 = a 3 Senθ 3 +b 4 Senθ 4 (30) Debe notarse que a 1, a 2, a 3, a 4, b 2, b 4, y θ 1 son parámetros cuyo valor no cambia durante el movimiento del eslabonamiento. Por lo tanto, el número de grados de libertad o movilidad del eslabonamiento será F = C E = 4 4 = 0 (31) 25

26 De aquí que, en general, el eslabonamiento sea una estructura. Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condiciones a 1 = a 3 = a 5, a 2 = a 4 y b 2 = b 4. (32) Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior, vea las dos primeras ecuaciones de las de la ecuación (30), donde se han sustituido las igualdades indicadas en la ecuación (32). a 2 Cosθ 2 +a 1 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 +a 2 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 +a 1 Senθ 3 = a 2 Senθ 4 +a 1 Senθ 1 (33) Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los términos correspondientes, se tiene que a 2 (C 2 θ 2 +S 2 θ 2 )+a 1 (C 2 θ 3 +S 2 θ 3 )+2a 1 a 2 (Cθ 2 Cθ 3 +Sθ 2 Sθ 3 ) = a 2 (C 2 θ 4 +S 2 θ 4 )+a 1 (C 2 θ 1 +S 2 θ 1 )+2a 1 a 2 (Cθ 1 Cθ 4 +Sθ 1 Sθ 4 ) o, reduciendo aún mas, C(θ 3 θ 2 ) = C(θ 1 θ 4 ). (34) Figure 43: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinación de la Longitud AN. Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 43, la determinación de la longitud AN conduce a la ecuación a 2 1 +a 2 2 2a 1 a 2 C(θ 2 θ 1 ) = a 2 3 +a 2 4 2a 3 a 4 C(θ 4 θ 3 ), sustituyendo las igualdades dadas por (32), la ecuación se reduce a o, finalmente, a 2 1 +a 2 2 2a 1 a 2 C(θ 2 θ 1 ) = a 2 1 +a 2 2 2a 1 a 2 C(θ 4 θ 3 ), Las ecuaciones (34) y (35), conducen a las siguientes posibilidades C(θ 2 θ 1 ) = C(θ 4 θ 3 ). (35) θ 3 θ 2 = θ 1 θ 4 o θ 3 θ 2 = (θ 1 θ 4 ) (36) θ 2 θ 1 = θ 4 θ 3 o θ 2 θ 1 = (θ 4 θ 3 ) (37) A continuación se analizarán todas las posibles combinaciones de ecuaciones. 26

27 1. Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (36) y (37), se obtiene que sumando término a término Por lo tanto (θ 3 θ 2 )+(θ 2 θ 1 ) = (θ 1 θ 4 )+(θ 4 θ 3 ) θ 3 θ 1 = θ 1 θ 3 o 2θ 3 = 2θ 1 θ 3 = θ 1 y sustituyendo esta ecuación, en la restante, se tiene que El resultado se muestra en la figura 44. θ 4 = θ 2. Figure 44: Primera Posible Solución del cuadrilátero, con a 3 = a 1 y a 4 = a Si se toma la segunda posibilidad de la primera ecuación (36) y la primera posibilidad de la segunda ecuación (37), se obtiene que sumando término a término Por lo tanto (θ 3 θ 2 )+(θ 2 θ 1 ) = ( θ 1 +θ 4 )+(θ 4 θ 3 ) θ 3 θ 1 = θ 1 θ 3 +2θ 4 o 2θ 3 = 2θ 4 θ 3 = θ 4 y sustituyendo esta ecuación, en la primera posibilidad de la segunda ecuación (37), se obtiene que El resultado se muestra en la figura 45. θ 2 = θ 1. Figure 45: Segunda Posible Solución del cuadrilátero, con a 3 = a 1 y a 4 = a 2. Esta solución es válida, pero constituye un caso particular del primer inciso de este análisis. 27

28 3. Si se toma la primera posibilidad de la primera ecuación (36) y la segunda posibilidad de la segunda ecuación (37), se obtiene que sumando término a término Por lo tanto (θ 3 θ 2 )+(θ 2 θ 1 ) = (θ 1 θ 4 )+(θ 3 θ 4 ) θ 3 θ 1 = θ 1 +θ 3 2θ 4 o 2θ 4 = 2θ 1 θ 4 = θ 1 y sustituyendo esta ecuación, en la segunda posibilidad de la segunda ecuación (37), se obtiene que θ 2 = θ 3. Los resultados son iguales a los reportados en el segundo inciso. 4. Finalmente, si se toma la segunda posibilidad de la primera ecuación (36) y la segunda posibilidad de la segunda ecuación (37), resulta que ambas ecuaciones son iguales y no permite resolver el problema. Puesto que θ 4 = θ 2, un análisis mucho más simple para el lazo superior conduce a θ 5 = θ 3 = θ 1. (38) El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 46. Figure 46: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 42. Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restricción se reducen a a 2 Cosθ 2 +a 1 Cosθ 1 = a 1 Cosθ 1 +a 2 Cosθ 2 a 2 Senθ 2 +a 1 Senθ 1 = a 1 Senθ 1 +a 2 Senθ 2 b 2 Cosθ 2 +a 1 Cosθ 1 = a 1 Cosθ 1 +b 2 Cosθ 2 b 2 Senθ 2 +a 1 Senθ 1 = a 1 Senθ 1 +b 2 Senθ 2 (39) Es fácil notar que estas ecuaciones se satisfacen idénticamente. Por lo tanto, F = C E = 1 0 = 1 (40) El grado de libertad, indicado por la ecuación anterior, es evidente cuando se observa que el conjunto puede rotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel. 28

29 6.5 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grübler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 47, que se emplea en mecanismos de prensas mecánicas e hidraúlicas. En particular, debe notarse la simetría de la geometría y de la topología. Esta simetría se emplea para aplicar de manera mas uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superior representado por el eslabón 6. Figure 47: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite Ilustrar Porque Falla el Criterio de Grübler. El mecanismo de la figura 47, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10 pares de revoluta y 2 prismáticos, si se aplica el criterio de Grübler, se tiene que F = 3(N 1) 2P I P II = 3(9 1) 2(12) 0 = = 0. (41) De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que θ 1 = 180 θ 2 = 270 θ 3 = 90 +γ 3 θ 4 = 90 +γ 4 θ 5 = 270 θ 6 = 180 θ 7 = 90 γ 7 θ 11 = 0 θ 12 = 270 θ 13 = 90 γ 3 θ 14 = 90 γ 4 θ 16 = 0 θ 17 = 90 +γ 7 Además, las siguientes magnitudes son constantes a 1 = a 11,a 3 = a 13,a 4 = a 14,a 6 = a 16,a 7 = a 17. Por lo que, las únicas coordenadas generalizadas son a 2,a 12,a 5, junto con γ 3,γ 4,γ 7. Las ecuaciones vectoriales de clausura, están dadas por a 1 + a 2 = a 3 + a 4 29