Matemáticas como Máquina de Calcular. Programa SENIOR Cruz Enrique Borges Hernández

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1 Matemáticas como Máquina de Calcular. Programa SENIOR Cruz Enrique Borges Hernández 7 de marzo de 2010

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3 Índice general 1. Sistemas Axiomático-Deductivo Conceptos y Notaciones Previos Un Ejemplo: La Aritmética de los Números Naturales Caracteríticas Deseables de una Teoría Resultados notables Ecuaciones I: Construcciones con Regla y Compás Conceptos y Notaciones Previos Desarrollo griego de la geometría Los 5 Postulados de Los Elementos Ecuaciones II: Cálculo Simbólico Conceptos y Notaciones Previos Desarrollo del álgebra Ecuaciones III: Cálculo Numérico Conceptos y Notaciones Previos Desarrollo de los Métodos Numéricos Máquinas de Turing: El primer invento humano Conceptos y Notaciones Previos Decibilidad de un problema Complejidad de un problema Computación Bio-inspirada: Copiando la Naturaleza. 17 3

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5 Capítulo 1 Sistemas Axiomático-Deductivo Conceptos y Notaciones Previos Explicar los conceptos: definición, axioma, teorema, conjetura, lemas. Introducir la notación clásica de la lógica:,,. Explicar el concepto de prueba por reescritura. Definición 1 (Teoría). Conjunto de axiomas, definiciones y teoremas que modelan algún comportamiento natural o abstracto Un Ejemplo: La Aritmética de los Números Naturales Axioma 1 (Peano, 1889). 1. El 0 es un número natural. 2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. 3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural. 4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. 5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Nota 1. El último item es el que permite realizar pruebas por inducción. Definición 2 (Suma). 5

6 1.3. Caracteríticas Deseables de una Teoría Sistemas Axiomático-Deductivo. Cualquier número natural n sumado a 0 da el mismo número natural n. Para cualesquiera dos números naturales n y m, el resultado de sumar n al sucesor de m es igual al sucesor de la suma de n y m. Para cualesquiera dos números naturales n y m, el resultado de sumar n y m es igual al resultado de sumar m y n. Definición 3 (Producto). Cualquier número natural n multiplicado por 0 da 0. Para cualesquiera dos números naturales n y m, el resultado de multiplicar n al sucesor de m es igual al producto de n y m más el número natural n. Para cualesquiera dos números naturales n y m, el resultado de multiplicar n y m es igual al resultado de multiplicar m y n Caracteríticas Deseables de una Teoría Definición 4 (Consistencia). Una conjunto de axiomas es consistente si no puede deducirse a partir de ellos un teorema tal que él y su negación sean ciertos simultaneamente. Definición 5 (Completitud). Un conjunto de axiomas es completo si para todo teorema que se pueda expresar con dichos axiomas existe una prueba o una refutación para él usando solo dichos axiomas. Nota 2. Si una teoría es consistente entonces se pueden usar pruebas por reducción al absurdo Resultados notables Teorema 1 (1 o Teorema de Incompletitud de Gödel, 1931). Sea un conjunto de axiomas consistentes tal que es capaz de definir el concepto de número natural. Entonces dicho conjunto de axiomas es incompleto. Teorema 2 (2 o Teorema de Incompletitud de Gödel, 1931). Ningún sistema de axiomas consistentes puede demostrar su propia cosistencia. Corolario 1. No existe un sistema axiomático que describa las matemáticas en su conjunto. 6

7 Capítulo 2 Ecuaciones I: Construcciones con Regla y Compás Conceptos y Notaciones Previos Definición de ecuación. Punto, recta, plano, paralela, perpendicular, circunferencia, ángulo. Construcciones con regla y compás: Números constructibles. Ejemplo 1 (Construcción de 2). Usando el Teorema de Pitágoras tenemos: a 2 + b 2 b a Tomando lados a = b = 1 obtenemos la construcción de Desarrollo griego de la geometría Los números racionales. Los pitagóricos y 2: los números irracionales. 7

8 2.3. Los 5 Postulados de Los Elementos Ecuaciones I: Construcciones con Regla y Compás. La geometría plana. Los Elementos de Euclides. Las Cónicas de Apolonio Los 5 Postulados de Los Elementos Axioma 2 (Postulados de Euclides, 300 a.c.). 1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera. 2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. 3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia. 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Nota 3. El quinto postulado fue objeto de gran controversia durante muchos años. Los intentos se basaban en comprovar que se podía deducir de los anteriores o que al quitarlo se generaba una contradicción en la teoría. Pero todos los esfuerzos fueron en vano hasta que en siglo XIX varios autores desarrollaron varias teoría en la que: Se elimina, dando lugar a la geometría absoluta. Se substituye por: Por un punto exterior a una recta se puede trazar un número infinitos de paralelas, que genera la geometría hiperbólica. Se substituye por: Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela, que genera la geometría elíptica. Construcciones [Imposibles] Famosas con Regla y compás Problema 1 (Duplicación del cubo). Hallar el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado Problema 2 (Trisección del ángulo). Dado un ángulo dividirlo en tres partes perfectamente iguales. Nota 4. Ambos son imposibles pues requieren calcular una raíz cúbica. Usando una regla marcada u origami ambos problemas son resolubles. Problema 3 (Cuadratura del círculo). Hallar un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Nota 5. Es imposible pues requiere construir un segmento de longitud π pero π es un número trascendente y por lo tento NO EXISTE un procedimiento algebraico que lo construya. 8

9 Capítulo 3 Ecuaciones II: Cálculo Simbólico Conceptos y Notaciones Previos Funciones. Polinomios. Raíces o ceros de una función. Resolución simbólica de ecuaciones: Números albegraicos. Ejemplo 2 (Construcción de 2). En este contexto, 2 es la solución positiva de la ecuación x 2 2 = 0. Gráficamente sería: f(x) = x x Desarrollo del álgebra al-khwārizmī: Los inicios del álgebra. 9

10 3.2. Desarrollo del álgebra Ecuaciones II: Cálculo Simbólico. Durante el siglo IX escribe el primer tratado de lo que hoy denominaríamos álgebra. A parte de por introducir la notación actual para las cifras es importante porque presenta el primer método sistemático para resolver ecuaciones de hasta segundo grado. Tartaglia, Cardano y Ferrari: Concursos matemáticos renacentistas. Durante el siglo XVI aparecen varios concursos en los que se daba un premio al concursante que fuera capaz de resolver los problemas matemáticos que proponía sus adversarios (que obviamente también tenía que saber resolver). Generalmente se trataba de saber resolver ecuaciones cúbicas o cuárticas. Tartaglia (1535) desarrolla un método para la resolución de cúbicas con los que gana el concurso. Posteriormente comunica sus resultados a Cardano y éste los publica junto con los resultados en la resolución de cuárticas de su discípulo Ferrari en el libro Ars Magna (1570). Abel, Gauß y Galois: La fundamentación del Cálculo Simbólico. Durante más de dos siglos se persigue la resolución de ecuaciones de quinto grado sin éxito hasta que Abel (1824) demuestra que no es posible, en general, resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que 5. Aproximadamente al mismo tiempo Gauß (1799) demuestra que todo polinomio de grado n tiene n raíces en los números complejos. Finalmente, el joven Galois (1832), antes de morir (con 20 años) en un duelo, escribe sus memorias (que había intento publicar con anterioridad) y las envía a la Academia de Ciencias de Paris. Este manuscrito contiene una extensión de los resultados de Abel en el cual presenta un método para discernir si una determinada ecuación es resoluble y en cuyo caso, como resolverla. Kronecker, Gröbner, Hilbert y Pardo: Poniéndole límites al Cálculo Simbólico. Los siguientes resultados se deben a Kronecker (1853) que extendienden el trabajo de Galois a polinomios con más de una variable. A mediados del siglo XX a Gröbner presenta una forma alternativa de afrontar el problema que es la forma que se suele explicar actualmente. Un punto importante relacionado fue el X Problema de Hilbert. Problema 4 (X Problema de Hilbert, 1900). Dada un un polinomio con coeficientes enteros idear un proceso con el cual pueda determinarse, en un número finito de operaciones, si la si el polinomio tiene alguna raíz entera. La búsqueda de una respuesta a este problema supuso la fundamentación de la noción de algoritmo y posteriormente al desarrollo de la Máquina de Turing. El problema fundamental de todos ellos es la complejidad de dichos métodos. Hay que entender aquí complejidad como cantidad de operaciones necesarias para llevar a cabo el procedimiento. La puntilla a todos estos métodos la pone Pardo a finales del siglo XX al demostrar que no es posible encontrar un método simbólico cuya complejidad sea baja. 10

11 Capítulo 4 Ecuaciones III: Cálculo Numérico Conceptos y Notaciones Previos Sucesiones. Límites y Convergencia. Aproximación. Derivada de una función. Resolución numérica de ecuaciones: Método de Newton. Ejemplo 3 (Construcción de 2). En este contexto, 2 es el límite de la sucesión: Gráficamente sería: x 0 = 2 x n+1 = x n x2 n 2 2x n = 1 2 ( x n 1 ). x n 2 x x 2 x 1 x 0 x 11

12 4.2. Desarrollo de los Métodos Numéricos Ecuaciones III: Cálculo Numérico Desarrollo de los Métodos Numéricos El primer algoritmo numérico conocido fue desarrollado por los babilónicos ( 1000 a.c.) y es el expuesto anteriormente. El método general fue desarrollado por Newton (1669) en un intento de resolver el problema de hallar las raíces de un polinomio. Fue Simpson (1740) el que finalmente desarrolla el método en su formulación analítica actual. A día de hoy, sigue sin saberse escoger el punto inicial necesario para comenzar el método. El mejor resultado hasta la fecha es debido a Beltrán y Pardo (2006), aunque se conocen ciertas heurísticas con mejor comportamiento. 12

13 Capítulo 5 Máquinas de Turing: El primer invento humano Conceptos y Notaciones Previos Definición 6 (Algoritmo). Sucesión de instrucciones finita que conducen a la resolución de un problema. Definición 7 (Máquina de Turing). Modelo matemático abstracto que formaliza el concepto de algoritmo. Está compuesto por: Una cinta infinita en la cual está codificada los datos de entrada de la máquina. Además se usara para realizar los cálculos intermedios y para imprimir el resultado. Un conjunto de instrucciones que explican que hacer con los datos de la cinta. Un cabezal capaz de leer y escribir en la cinta y seguir las instrucciones del programa. Para ello es capaz de moverse a lo largo de la cinta y guardar un código de estado.... Cinta... Cabezal Programa Nota 6. Todos los ordenadores que existen en la actualidad siguen este modelo implementado mediante la arquitectura de von Neumann Decibilidad de un problema Definición 8 (Decibilidad). Un problema se dice decidible si existe una máquina de Turing que resuelva el problema suponiendo que la dejamos trabajar suficiente tiempo. 13

14 5.3. Complejidad de un problema Máquinas de Turing: El primer invento humano. Problema 5 (de la Parada). Dada una máquina de Turing M y sus datos de entrada x, decidir si la máquina M eventualmente terminará de procesar x o si entrará a un bucle infinito. Teorema 3 (Turing, 1931). El anterior problema NO es decidible. Conjetura 1. Puede el cerebro humano resolver el problema de parada? Nota 7. Se tiene entonces la siguiente jerarquía de capacidad de computación: Máquina de Turing Hombre Dios 1 Sabemos que al menos uno de los contenidos es estricto, la pregunta es Cúal? 5.3. Complejidad de un problema Definición 9 (Complejidad). La complejidad de una máquina de Turing es la cantidad de operaciones (o de espacio en la cinta) que usará la máquina para resolver una entrada de tamaño dado. Nota 8. Teniendo en cuenta que una máquina de Turing resuelve un problema determinado, podemos extender esta noción a un problema y diremos que un problema tiene la complejidad de la máquina de Turing que lo resuelve. Los problema se agrupan en clases según su complejidad. Para ello se usan cotas sobre el número de operaciones que se tarda en resolver un problema. Ejemplo 4. Ordenar una pila de libros, todos de diferente grosor, de más fino a más grueso. Un posible algoritmo sería: Algoritmo 1 (Ordenación mágica). 1. Coloco lo libros al azar y compruebo si están ordenados. 2. Si lo están, he terminado. En otro caso, repetir. Está bastante claro que es posible que no terminemos nunca si tenemos extremadamente mala suerte o no lo estamos haciendo al azar. También es cierto que lo sabemos hacer mucho mejor. Por ejemplo: Algoritmo 2 (Ordenación por Inserción). 1. Mientras no haya colocado todos los libros busco el libro más fino y lo coloco en la primera posición sin ordenar. 1 En el sentido filosófico. No tiene por que ser un ser, puede ser simplemente el universo en si mismo o una máquina tipo Matrix. 14

15 Máquinas de Turing: El primer invento humano Complejidad de un problema La pregunta ahora es: Cuántas operaciones hacemos? O lo que es lo mismo, cual es su complejidad? Para ello vamos a fijar algunas reglas: Es claro que la operación que más vamos a hacer es comparar el tamaño entre dos libros, luego vamos a centrarnos en el número de comparaciones que hacemos. Supongamos que nos han dado n libros a ordenar y que los tenemos desordenados en el suelo. Para buscar el más pequeño tenemos que coger un libro y compararlo con todos los demás, por lo que habremos hecho n comparaciones. Una vez colocado repetimos, pero esta vez tenemos n 1 libros, luego tenemos que repetir la operación anterior n veces. Como sólo nos interesa una cota superior, multiplicamos ambos valores y nos queda que tendremos que realizar n 2 comparaciones. Concluimos que la complejidad de Ordenación por Inserción es n 2. Teorema 4 (Cota inferior del problema de ordenación). Todo algoritmo que ordene n elementos usando comparaciones requiere realizar, al menos n log n comparaciones. Si ahora agrupamos todos los problemas en función del número de operaciones nos surgen las siguientes clases: Los problemas que necesitan menos operaciones que un polinomio. Los problemas que necesitan más operaciones que un polinomio. Los problemas que no se pueden resolver. A los problemas de la primera clase se les suele llamar problemas P mientras que a los segundo se les suele llamar no P. La propiedad más interesante que tiene la clase P es que son los únicos problemas que podemos resolver en la práctica, los problemas pequeños de la clase no P pueden llegar a tardar millones de años! en terminar usando los ordenadores más potentes en la actualidad. Ahora bien, hemos visto que un problema puede tener varias formas de solucionarse y que unas pueden tener un complejidad inferior a otra. Entonces cómo hacemos para clasificar un problema? La respuesta es bien simple: lo clasificamos según la mejor forma que conozcamos para resolverlo. La pregunta ahora es, y hay alguna forma de estar seguros de que lo hemos hecho bien? La respuesta está contenida en el siguiente teorema. Teorema 5. Existen un problema Q en P tale que: para todo problema R en P se tiene que puede transformar el problema R en el problema Q rápidamente. Luego resolver el problema R es equivalente a resolver el problema Q y por lo tanto, saber resolver el problema Q equivale a saber resolver TODOS los problemas en P. Nota 9. 15

16 5.3. Complejidad de un problema Máquinas de Turing: El primer invento humano. A los problemas anteriores se les llama Completos y existen para todas las clases de problemas. Es más, se conocen unos buenos cuantos ejemplos de problemas completos en cada clase. Si un problema se ha demostrada que es completo podemos estar seguro que pertenece a esa clase, pues en caso contrario TODOS los problemas de esa clase pertenecería a la otra clase. Nota 10. Uno de los problemas abiertos más importante es si la clase P es igual o no a otra clase que se denomina N P 2. Estamos prácticamente seguros que la respuesta es NO, de hecho la seguridad de las telecomunicaciones de todo el planeta depende de esa respuesta. 2 Ojo, no confundir con la anterior no P. 16

17 Capítulo 6 Computación Bio-inspirada: Copiando la Naturaleza. Ya hemos visto como funciona una máquina de Turing y la clasificación de los problemas que puede resolver. Ahora bien, desgraciadamente para nuestros intereses, la mayor parte de los problemas interesantes están en alguna de las subclases de no P. Sería interesante encontrar, aunque no sea un procedimiento general, si uno que sea resolver algunas instancias de estos problemas. Pero ya puestos a pedir, lo realmente interesante es tener un procedimiento que dado un problema encuentre un algoritmo que lo resuelva sin intervención humana en el proceso. Esto que parece ciencia ficción es ahora posible, aunque los resultados obtenidos hasta ahora son solo parciales. La idea es copiar la evolución de las especies, que a fin de cuentas es una forma de resolver el problema de la supervivencia. Para ello seguiremos el siguiente esquema: Algoritmo 3 (Esquema de algoritmo genético). 1. Generar una población de candidatos a solución. 2. Calificarlos según algún criterio que nos de información sobre cual es el mejor candidato. 3. Mientras no se encuentre un candidato suficientemente bueno hacer a) Cruzar, mutar o reproducir los candidatos. b) Calificar la nueva población. Al final del procedimiento (si ha tenido éxito) tendremos una población de posibles soluciones entre las que se encuentra al menos una que cumple nuestras exigencias. Y sin intervención humana para nada! Bueno, primero hemos tenido que definir algunos procedimientos. A saber: Un generador de candidatos válidos. Una forma de calificarlos. 17

18 Computación Bio-inspirada: Copiando la Naturaleza. Una forma de cruzar dos candidatos de forma que hereden propiedades de ambos padres y que sigan siendo candidatos válidos. Una forma de mutar un candidato de forma que siga siendo un candidato válido. Generalmente la más complicada es el procedimiento que califica una posible solución, pues dependerá mucho de qué se entienda por solución. De todas formas hay que tener en cuenta que este procedimiento no conoce absolutamente nada sobre el problema a resolver. Toda la información necesaria para ello se debe encontrar entre el generador de candidatos y el procedimiento de calificación, con lo que este procedimiento es muy general. La parte interesante biene cuando se observa empiricamente que estos procedimientos funcionan y encuentran soluciones a problemas muy difíciles. Una lista de estos problemas se puede encontrar en: 18