ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Trabajo Práctico Nº 7 Matrices y Determinantes Cursada 2014

Transcripción

1 ÁLGER Y GEOMETRÍ NLÍTIC Trabajo Práctico Nº 7 Matrices Determinantes Cursada Desarrollo Temático de la Unidad Matrices: Definición. Igualdad de Matrices. Álgebra Matricial: adición de matrices: propiedades. Producto de una matri por un escalar: propiedades. Matrices particulares: diagonal, escalar, identidad, traspuesta, simétrica, antisimétrica, triangular, ortogonal, compleja conjugada, asociada, hermítica. Producto de matrices. Propiedades. Definición de matri inversa. Rango de un conjunto de vectores. Rango fila rango columna. Rango o característica de una matri. Determinantes: definición. Menor complementario. djunto o cofactor. Regla de Sarrus. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Propiedades de los determinantes: cálculo de un determinante mediante la reducción de su orden. Matri de los adjuntos o matri cofactor. Obtención de la matri inversa utiliando la matri de los adjuntos. Transformaciones elementales en una matri. Justificación de la invariana del rango en las transformaciones elementales. Obtención del rango utiliando transformaciones elementales. Matrices elementales: su equivalencia con las transformaciones elementales. Obtención de la matri inversa mediante transformaciones elementales: Justificación del método. plicación: Método de Gauss- Jordan. Introducción Con frecuencia en el desarrollo de la asignatura más aún en la vida cotidiana se presentan problemas que requieren la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo podría necesitarse hallar el punto de intersección entre dos rectas dadas por las ecuaciones + = + - = La solución al problema se obtiene resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquier método gráfico o numérico conocido. La dificultad en la resolución de este tipo de problemas crece cuando el número de incógnitas /o el número de ecuaciones aumenta, siendo necesario recurrir a mecanismos de resolución que simplifiquen la tarea.

2 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes v. esq. Tel. () La Plata (9) Por ejemplo, el sistema: puede caracteriarse escribiendo en un arreglo solamente sus coeficientes: Resolvemos el sistema eliminando las incógnitas pero al mismo tiempo conservamos la estructura de los coeficientes solos. De ó después de sumar a la tercera ecuación el triple e la segunda, obtenemos: ó Sumamos ahora la segunda a la primera luego intercambiamos la tercera fila: ó La tercera operación consiste en sumar a la tercera ecuación la primera dividir la segunda ecuación por, resultando: 8 ó 8 Para finaliar sumamos la primera ecuación, la segunda ecuación multiplicada por a la tercera ecuación, la segunda ecuación multiplicada por. ó

3 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes v. esq. Tel. () La Plata (9) Resultando = ; = -; =. Cada ve que hacemos una operación en una ecuación se hace la misma operación en la correspondiente fila del arreglo numérico. Por lo tanto, este arreglo, que recibe el nombre de matri, también sirve para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Ejercitación a desarrollar en el aula: Se deberá desarrollar en el aula los ejercicios b, b,,, 7, 8,,,, 7, 8,,,, 7a, 9a, b,, 7, 8. Los demás ejercicios deben ser realiados por los alumnos..- Escribir la matri que caracteria a cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) b).- Qué sistemas de ecuaciones lineales podrá representarse por cada una de las siguientes matrices? a) b).- a. Dada la siguiente matri cuadrada de orden tres realiar las siguientes operaciones: F ; F ; F -F b. rmar una matri cuadrada de orden definida a ij =i-j.- Sumar las matrices C premultiplicar la matri resultante por las matrices D ; E F. Obtener conclusiones por comparación con los resultados del ejercicio anterior.

4 .- Resolver Universidad Tecnológica Nacional Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes a) Efectuar los productos C C con las matrices correspondientes del ejercicio anterior. Sacar conclusiones. b) Efectuar los productos para las matrices: ;.- Dadas las matrices: a) Es posible calcular? b) Qué condiciona deberán verificar ambas matrices para poder calcular su producto? 7.- Dada la matri a) Sumarla con su traspuesta. b) Restar de su matri traspuesta. c) Sacar conclusiones 8.- Un alumno contabilia las horas semanales que dedica a clases, estudio deporte, de acuerdo con la siguiente tabla: Clases Estudio Televisión Deportes Lunes Martes Miércoles 8 Jueves Viernes Sábado Domingo Y valora cada hora dedicada a las distintas actividades del siguiente modo: Clases: puntos; Estudio: puntos; Televisión: punto; Deporte: puntos. Su padre, hace una valoración distinta: ; ; ; puntos respectivamente. Cuál es el día cuas actividades valora más el alumno cual valora más el padre? v. esq. Tel. () La Plata (9)

5 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes 9.- Los consumos anuales de cuatro familias,, C D en pan, carne leche están reflejados en la primera tabla, mientras que los precios de esos productos en los años,, estan reflejados en la siguiente. Calcular el gasto total de caa familia en los cuatro años los gastos de todas las familias en cada año. Pan Carne Leche Pan,,, 8 8 Carne, C 9 Leche,9,,, D 7.- Las matrices M N que describen todos los viajes entre las ciudades i i ; i C i respectivamente, se presentan mediante las siguientes tablas C C a)construir un diagrama de Venn que represente gráficamente todos los viajes posible. b)construir un grafo o diagrama sagital, colocando sobre la fecha el número posible de viajes c)realiar la operación matricial que permita identificar el numero de viajes posibles entre cada una de las ciudades indicadas con cada una de las ciudades identificadas con C. d)la matri resultante de la operación realiada en c) tiene un cero en la posición a ; qué significa que desde el punto de vista de la posibilidad de viajar? e) Qué indica el valor obtenido en la posición a?.- Un fabricante de juguetes utilia tornillos, clavos, abraadera ganchos para ensambla tres modelos de juguetes. La tabla que sigue muestra el número que se requiere para cada juguete: Juguete Juguete Juguete C Nº de tornillos Nº de Clavos Nº de ganchos Nº de abraaderas El esquema de producción del fabricante para el segundo semestre del corriente año es el siguiente Jul go Set Oct Nov Dic Juguete Juguete 7 8 Juguete C 9 v. esq. Tel. () La Plata (9)

6 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes v. esq. Tel. () La Plata (9) Utiliar la multiplicación matricial para determinar el inventario de partes que se necesitan cada mes para ensamblar los juguetes..- Calcular,,, t para que se verifique: t =.- Para las matrices 7 ; ; C verificar que se cumple: a) C C b) C C c) C C C.- Si encontrar la matri X que cumpla con X- =.- Encontrar las matrices b de dimensión que verifiquen: ;.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en el cual las incógnitas son matrices: Y X Y X

7 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes v. esq. Tel. () La Plata (9) 7 DETERMINTES 7.- Resolver el determinante asociado a la siguiente matri: 7 a) Por Sarrus b) Desarrollando la primera fila c) Desarrollando por la segunda columna 8.- Sabiendo que. Calcular sin desarrollar: a) b) c) 9.- Comprobar la igualdad.- Calcular el determinante a) Desarrollando por columna. b) Reduciéndolo previamente a orden..- Calcular Dado el valor del primer determinante indicar, sin realiar el desarrollo el valor del segundo determinante: w v u r p p c b a ;? w v u r p p c b a

8 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes.- Si el determinante de una matri cuadrada de orden vale Cuál es el valor del determinante de la matri que se obtiene multiplicando la matri original por?.- Encontrar matrices que verifiquen :.- Encontrar el valor de a para que el sistema de ecuaciones lineales, tenga soluciones distintas de la trivial(===) a NOT: Las matrices están íntimamente vinculadas con los sistemas de ecuaciones lineales de la forma: a a b a a b En 8 el matemático inglés CYLEY descubrió que un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como una única ecuación matricial si se definía en forma adecuada el producto de dos matrices. Usando las matrices: a a b ; X ; a a b podemos escribir el sistema como X =, premultiplicando ambos miembros por la matri inversa de : - X = - ; al ser - =, resulta X = -, lo que significa que la matri X de las incógnitas puede obtenerse calculando la matri inversa de multiplicándola por la matri de los términos independientes..- Obtener la matri inversa de a) Utiliando la matri de los adjuntos b) Por medio de operaciones elementales de fila v. esq. Tel. () La Plata (9) 8

9 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes v. esq. Tel. () La Plata (9) Resolver por inversión de matrices a) b) c) 8 9 d) Calcular la matri inversa en los casos en que resulte posible: a) ; b) ; c) ; d) 9.- Calcular el rango de las matrices: ; 8 a) Utiliando el orden de los determinantes asociados b) Por medio de transformaciones elementales.- Obtener los valores de a b para que el rango de las siguientes matrices resulte igual a a) b a b) b a.- Dada la matri Eiste una matri tal que el producto o bien sea una matri de una sola fila?.- Dadas las matrices ; verificar que t t t

10 Álgebra Geometría nalítica Trabajo Práctico Nº Matrices Determinantes.- Para al matri del ejercicio anterior verificar que t es una matri simétrica.- Para las matrices del ejercicio verificar: + t =S (matri simétrica) - t =T (matri antisimétrica).- Dos tiendas T T son abastecidas semanalmente por dos fábricas de ropa F F con pantalones P sacos S de acuerdo con lo que se representa en la siguiente tabla: P S F F El precio por articulo para cada tienda, epresado en unidades monetarias es T T P 8 S Epresar matricialmente el problema, interpretando cada elemento de la matri resultante del producto entre la primera la segunda.- Las condiciones de equilibrio entre tres mercados relacionados (polo, cerdo novillo) se epresan como sigue: Pp Pc Pn Calcular el precio de equilibrio epresado en unidades Pp Pc Pn monetarias para cada mercado Pp Pc Pn 7.- Determinar si 8.- Calcular los valores de para los cuales la matri que sigue tiene inversa: 9.- Si descomponerla en dos matrices de modo tal que una sea la simétrica la otra la antisimétrica. v. esq. Tel. () La Plata (9)