Investigación Operativa I Hoja 4-1 Ing. Marcelo Moliterno

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1 Investigación Operativa I Hoja 4- UNIDAD 4: : PROGRAMACION DE PROYECTOS CON PERT-CPM Introducción histórica. PERT-CPM. Principios básicos del PERT: Proyecto. Suceso. Grafo. Numeración de sucesos. Actividades ficticias (dummy): concepto y campo de aplicación. Etapas de un proyecto. Listado de actividades. Diagrama de precedencias. Camino crítico. Cálculo de tiempos temprano y tardío. Determinación de las holguras. Consideraciones de probabilidad en la programación de proyectos. Construcción del diagrama de tiempo y nivelación de recursos. El costo en la programación de proyectos. Resumen del proyecto. Manejo de software específico. Bibliografía. Investigación de operaciones - Taha, Hamdy - Ed. Alfaomega ª edición 2. Técnicas de redes de flechas y precedencias para construcción - Harris, Robert - Ed. Limusa PERT-CPM y técnicas relacionadas - Munier, Nolberto - Ed. Astrea ª edición revisada 4. Administración de proyectos con PERT-CPM - Prado, Darci - Paraninfo S.A CONCEPTOS: Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes de que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad en un proyecto usualmente se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación. En general, un proyecto es un esfuerzo de sólo un periodo; esto es, la misma sucesión de actividades puede no repetirse en el futuro. La programación de proyectos consiste en tres fases básicas: PLANEACION, PROGRAMACION y CONTROL.- La fase de PLANEACION se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Se determinan las estimaciones de tiempo para estas actividades y luego se construye un diagrama de red (o de flechas), donde cada uno de sus arcos representa una actividad. La red completa da una representación gráfica de las interdependencias entre las distintas actividades del proyecto. El fin de la PROGRAMACION es construir un diagrama de tiempo que muestra los tiempos de iniciación y terminación para cada actividad, así como su relación con otras actividades. Además debemos señalar las actividades críticas en función del tiempo y para las actividades no críticas el programa debe mostrar los tiempos de holgura que puedan utilizarse con ventaja cuando se deben usar eficientemente recursos limitados. Por último el CONTROL se limita a verificar el cumplimiento del programa.- HISTORIA DEL PERT-CPM En el pasado, la programación de un proyecto (en el tiempo) se hizo con poca planeación. La mejor herramienta conocida de "planeación" entonces era el diagrama de barras de Gantt el cual especifica los tiempos de inicio y de terminación de cada actividad en una escala de tiempo horizontal. La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Los sistemas de planeamiento, programación y control por el método del camino crítico, se desarrollaron a partir del año.957, como una tarea conjunta de equipos de trabajo de las compañías Du Pont de Nemours y Remington Rand, labor ésta que dio origen al método C.P.M., sigla de Crítical Path Method o sea Método del Camino Crítico. En forma casi simultánea, otro equipo compuesto por miembros de la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de los Estados Unidos, de la compañía Lockheed Aircraft, y de la firma consultora Booz, Allen and

2 Investigación Operativa I Hoja 4-2 Hamilton, desarrolló el método PERT, sigla de Program Evaluation and Review Technique, o sea Técnica de Revisión y Evaluación de Programas. Este último fue aplicado con éxito al proyecto Polaris, es decir, la construcción de un submarino propulsado por energía nuclear, y capaz de lanzar proyectiles balísticos intercontinentales. Ambos sistemas son similares en su concepción, pero diferentes en su aplicación, siendo el C.P.M. más apto para proyectos de construcción, lanzamiento de nuevos productos, etc., en tanto que el PERT se suele usar en proyectos de Investigación y Desarrollo. Fijación del objetivo: Como paso fundamental y básico, debe determinarse cuál es la meta u objetivo final, como así también fijar desde qué punto comienza a efectuar la planificación. El objetivo debe ser claro, preciso y alcanzable, conforme a los medios que se disponen para ello. Ejemplos de proyectos: Construir un edificio, llevar a cabo una campaña militar, efectuar el montaje de una máquina, lanzar un nuevo producto al mercado Ejemplos de objetivos: Entregar el edificio terminado, dejar cumplido el propósito de la campaña, tener la máquina en funcionamiento, tener el producto a la venta. Todos los objetivos a cumplir están ligados con el factor fecha de finalización del proyecto. Listado de tareas: Para llevar a cabo un proyecto, es necesario ejecutar, en un determinado orden, cierta cantidad de trabajos, que reciben el nombre de tareas o actividades. Estas tareas deben enumerarse comenzando con la que da origen al proyecto, hasta terminar con la tarea que lo finaliza. Deben estar perfectamente definidas, y expresar con claridad lo que se debe ejecutar. Ejemplo de tareas: Excavar cimientos, abastecer la base x, construir la fundación de hormigón, preparar planes de propaganda Las tareas deben listarse siguiendo un orden cronológico. Discriminación de tareas: Hay tareas que de por si, en su denominación encierran un conjunto de actividades paralelas o en serie, que deben efectuarse para cumplimentarlas. Se presenta entonces el problema de discernir hasta qué punto es conveniente discriminar una tarea dada. Este punto está dado por el nivel al cual se efectúa la programación. En efecto, por ejemplo en la construcción de un edificio, una de las tareas puede ser instalar compresores de aire acondicionado, no le interesa conocer todos los detalles de la operación en sí, tales como la secuencia del trabajo, técnica operativa, construcción de basamentos, etc. En realidad, sólo le es útil conocer cuánto tiempo demandará la instalación de máquinas, sus pruebas, y cuándo estará ésta terminada. Pero no sucede lo mismo con el subcontratista a cargo del trabajo, ya que, necesita conocer una gran cantidad de detalles, a fin de poder planificar la marcha del trabajo y cumplir en término. Las tareas deben discriminarse conforme al nivel donde se efectúe la planificación, y de un modo tal que permita su programación y control.

3 Investigación Operativa I Hoja 4-3 REGLAS PARA CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA DE FLECHAS En todo proyecto hay tareas que deben ser ejecutadas antes que otras, o en forma simultánea con otras, es decir, hay relaciones de orden que deben respetarse. Por medio de la teoría de redes o de los grafos, puede indicarse en forma gráfica esta situación. Si se representa con una flecha una tarea determinada, la relación de precedencia puede quedar indicada de la siguiente manera ilustrada en la figura En este caso la tarea A está representada por la primera flecha, debe preceder a la tarea B, representada por la segunda flecha. Es evidente que una tarea puede preceder a varias, como puede verse en la figura La tarea A precede a las tareas B, C y D, o lo que es lo mismo, estas últimas no pueden llevarse a cabo mientras no se haya finalizado la tarea A. Las tareas B, C y D pueden ejecutarse en forma simultánea o paralela, pudiendo también decirse que la iniciación de una cualquiera de ellas no depende de las restantes. Los círculos o nodos que limitan las flechas, representan los eventos, o sea instantes en que comienza o termina una determinada tarea. Los nodos se identifican por números y las tareas suelen indicarse según el par de números de sus respectivos nodos.

4 Investigación Operativa I Hoja 4-4 Puede representarse el caso ilustrado: La tarea -2 debe preceder a las tareas 2-3 y 2-4. La tarea 2-4 debe preceder a la 4-5. pero ésta no puede comenzarse hasta que terminada la tarea 2-3. Esta sujeción o condicionamiento se indica uniendo el nodo 3 con el nodo 4 por medio de trazos, llamada Dummy (ficticio). Cada tarea tiene un tiempo estimado de ejecución, el cual se indica colocando bajo la flecha distintiva de la misma, un número que representa este tiempo, medido en horas, días, semanas, etc. Para indicar analíticamente estos tiempos, suele usarse la notación D i,j significando entonces que el tiempo transcurre para realizar la tarea acotada entre los nodos i y j. No es necesario dibujar a escala las flechas representativas de las tareas, ya que su longitud es función de la comodidad del dibujo, y no del lapso que representan. Al confeccionar el diagrama de flechas o de precedencias es muy útil emplear tres reglas sencillas que permitan dibujar éste con seguridad y precisión, anulando la posibilidad de omitir una tarea. Al analizar una tarea dada, se deben formular las siguientes preguntas - Qué tarea o tareas deben preceder inmediatamente a ésta.? 2- Qué tarea o tareas pueden efectuarse en forma paralela o simultáneamente con ésta.? 3- Qué tarea o tareas deben seguir inmediatamente a ésta.? Luego se confecciona el siguiente cuadro: Actividad Duración Predecesora -2 2 días -3 día -7 3 días días días días día días días días días 2-5, días 2-5, días días días -7, días 4-8, 5-8, días 5-9, 6-9, días 4-0, 8-0, 9-0 Con el orden que arroja el cuadro y con las consideraciones siguientes, comienzo a armar la red.

5 Investigación Operativa I Hoja 4-5 Cada actividad esta representada por una y solo una flecha de la red. A (evento) B (evento) Actividad Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos o nodo terminal y nodo de comienzo. Esta metodología de trabajo permite construir un diagrama de flechas representativo y que refleje las verdaderas interrelaciones entre las tareas que componen al proyecto, hacienda difícil el hecho de omitir involuntariamente una tarea, dado que cada una se apoya en todo o en parte del trabajo ya realizado. Noción de camino crítico: CALCULO DE LA RUTA CRÍTICA Se dice que una actividad es crítica cuando una demora en su comienzo demorará la fecha de terminación del proyecto total. Una actividad no crítica es tal que el tiempo entre su comienzo más temprano y su terminación más tardía es más grande que su duración total. A esta diferencia se la llama tiempo de holgura. DETERMINACION DE LA RUTA CRÍTICA Se define como una cadena de actividades críticas que conectan los eventos de inicio y fin del diagrama de flechas. Los cálculos incluyen dos fases: La primer fase se llama paso hacia adelante (de inicio a fin) y en cada nodo se calcula un número que representa el tiempo de ocurrencia más temprano del evento. La segunda fase se llama paso hacia atrás (de fin a inicio) y el número calculado representa el tiempo de ocurrencia más tardío del evento correspondiente. TIEMPO TEMPRANO (TIP): es el tiempo estimado en el que ocurrirá el evento si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible. Esto se obtienen al efectuar un paso hacia adelante a través de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia adelante en el tiempo hasta los eventos finales. Sea TIP i el tiempo de inicio más temprano de todas las actividades que se inician en el evento i, entonces: TIP j = max i ( TIP i + D i,j ) Tiempo más temprano (para todas las actividades i,j) Duración de la actividad

6 Investigación Operativa I Hoja 4-6 TIEMPO TARDIO (TTT): es el último momento estimado en el que puede ocurrir, sin retrasar la terminación de un proyecto, más allá de su tiempo más próximo. Se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar un paso hacia atrás a través de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo hacia los iniciales. Sea TTT j el paso hacia atrás (tiempo de terminación más tardío), para todas las actividades que está en el evento i: TTT i = min i ( TTT j - D i,j ) Terminación más tardía (para todas las actividades i,j) Secuencia de cálculo: Duración de la actividad Leyenda i TIP TTT j TIP TTT Etapa : TIP Punto de partida: etapa inicial Secuencia de cálculo: de inicio a fin Convenio: el TIP de la etapa inicial es cero Fórmula: Se consideran todas las actividades que llegan a la etapa j en cuestión y se calcula: TIP j = max i ( TIP i + D i,j ). Se elige, entonces, el mayor valor. Etapa 2: TTT Punto de partida: etapa final Secuencia de cálculo: de fin de inicio Elección del valor: el TTT de la etapa final es elegido de entre las opciones: - Fecha contractual - El propio valor de TIP Fórmula: Se consideran todas las actividades que llegan a la etapa en cuestión TTT i = min i ( TTT j - D i,j ). Se elige, entonces, el valor menor. La ruta crítica está compuesta por todas las actividades que cumplen las siguientes condiciones: TIP i = TTT i TIP j = TTT j TIP j - TIP i = TTT j - TTT i = D i,j

7 Investigación Operativa I Hoja 4-7 DETERMINACION DE LAS HOLGURAS La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo más lejano y su tiempo más próximo. La holgura para una actividad (i,j) es la diferencia entre el tiempo más lejano del evento j y el tiempo más próximo del evento i más el tiempo estimado para la actividad. La holgura para un evento indica cuanto retraso se puede tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la terminación del proyecto, y la holgura para una actividad indica lo mismo respecto a un retraso en la terminación de esa actividad. Existen holguras negativas y su efecto es que retrasan el proyecto. Para determinarlas se definen: TIT ij : tiempo de inicio más tardío TTP ij : tiempo de terminación más temprano TIT ij = TTT j - D ij TTP ij = TIP i + D ij HOLGURA TOTAL: el tiempo máximo disponible menos la duración de la actividad. HT ij = TTT j - TIP i - D ij = TIT ij - TIP ij = TTT j - TTP ij HOLGURA LIBRE: cuya característica principal es que su desplazamiento no afecta las actividades siguientes HL ij = TIP j - TIP i - D ij Las actividades críticas tienen ambas holguras 0, siendo esto una condición necesaria pero no suficiente. CUADRO RESUMEN DE UN PROYECTO Actividad (i,j) Duración Di,,j Inicio TIPi Temprano Termina TTPij Inicio TITij Tardío Termina TTTj Holg Total HTij Holg Libre HLij Caso práctico El diagrama de flechas o de precedencias de la siguiente figura representa las operaciones necesarias para llevar a cabo un proyecto dado. Tal diagrama recibe el nombre de grafo. Las cantidades bajo las flechas indican la duración de las actividades o tareas en días. Es de utilidad seguir una norma para la numeración de los nodos. Una de ellas puede ser la siguiente: comenzar la numeración del primer nodo, y avanzar hacia la derecha. Cuando hay varias tareas simultáneas, adoptar el criterio de numerar en orden creciente de arriba hacia abajo. Si el objetivo debe estar finalizado en una fecha dada,

8 Investigación Operativa I Hoja 4-8 interesa conocer en qué fecha debe comenzar el primer trabajo, a fin de que el proyecto se cumpla en su totalidad y en la fecha prevista. Para resolver este problema se procede de la siguiente manera: Se asigna al nodo o inicial el valor de tiempo cero ( 0); a evento señalado por el nodo 2 se llegará en el instante t = = 2; y por lo tanto, se coloca el valor de 2 sobre el nodo 2. E valor así obtenido representa el mínimo tiempo en que puede alcanzarse el evento y constituye, por lo tanto, el instante o fecha más temprana en que pueden comenzarse las tareas que parten del nodo analizado. Al analizar el evento del nodo 7 se advierte que a él llegan dos flechas, que están indicando que las tareas 3-7 y -7 deben efectuarse antes de comenzar la tarea 7-9 y así sucesivamente. Al obtener los valores analizando los nodos, debe elegirse el mayor, el cual se coloca en el lado izquierdo del nodo. A través de los nodos analizados se deduce la metodología a seguir. A) asignación de fecha de iniciación cero al primer evento. B) se exploran los nodos o eventos sucesivos, asignando a cada uno el valor que resulta de sumar, al número de días que figura sobre la flecha que a él se dirige, la flecha más temprana correspondiente al nodo de donde parte la flecha. C) en aquellos nodos o eventos donde convergen varias flechas, se repite para cada una de éstas el procedimiento descrito más arriba, y entre todos los valores, se elige el mayor. Este valor se coloca sobre el evento analizado. En esta forma se analizan los eventos hasta llegar al final. Hasta aquí se ha tratado el diagrama de izquierda a derecha, y se ha encontrado el evento final. Ahora se tratará el diagrama de derecha a izquierda, siguiendo la metodología que aquí se detalla:

9 Investigación Operativa I Hoja 4-9 A) asignación de la fecha de terminación sobre el valor del último evento, valor que se coloca en el lado derecho del nodo. B) exploración de los nodos o eventos sucesivos, asignando a cada uno el número que resulta de restar el valor que figura en el nodo hacia el cual se dirige la flecha, el valor del al duración que figura bajo dicha flecha. C) en aquellos nodos o eventos de donde parten varias flechas, se repite para cada una de ellas el procedimiento descrito más arriba y entre todos los valores se elige el menor. Este valor representa el instante o fecha más tardía en que puede tener lugar el evento. En esta forma se analizan todos los eventos, hasta llegar al primero. En algunos eventos coinciden los valores hallados para la fecha más temprana en que podía iniciarse una tarea dada y la fecha más tardía en que puede tener lugar el evento, a fin de no alterar la fecha de finalización del proyecto. Cuando estos dos valores coinciden, no hay tolerancia evidentemente entre ambas fechas, recibiendo los eventos donde se registra este hecho, el nombre de eventos críticos. Hay tareas que no admiten demora alguna en sus tiempos de ejecución dado que de haberla ésta se reflejaría inmediatamente en el evento final, atrasando consecuentemente el proyecto. Estas tareas reciben el nombre de tareas críticas. Hay tareas que sí admiten un cierto retraso, es decir tienen una determinada elasticidad que les permite absorber alteraciones en sus tiempos de ejecución. Tales tareas reciben el nombre de tareas no críticas. La sucesión ordenada de tareas críticas determina un camino desde el evento o nodo inicial, hasta el evento o nodo final. Tal camino es el de mayor duración que existe entre ambos nodos, y recibe el nombre de camino crítico. En el diagrama se muestra con un trazo más grueso que enlaza los nodos.

10 Investigación Operativa I Hoja 4-0 Actividad Duración Temprano Tardío Holgura inicio fin inicio fin total D Aplicación de probabilidades al ejemplo Fundamentos: En el ejemplo anterior del ejercicio del diagrama de flechas se ha trabajado con un tiempo estimado para la duración de cada actividad.

11 Investigación Operativa I Hoja 4- Esta estimación de la duración se efectúa en base a la experiencia que se posee sobre la tarea en estudio. Pero algunas veces es difícil determinar el tiempo de ejecución de una actividad, porque ésta suele ser variable, o porque no se conoce con exactitud, en virtud de ser una nueva tarea. La aplicación del cálculo de probabilidades al grafo tiende a determinar un tiempo medio o esperado para cada tarea, tiempo éste que se utiliza para la determinación del camino crítico. Estimaciones de tiempos Si bien es difícil determinar a priori la duración de una tarea nueva o aleatoria, siempre es posible estimar cuál es el mínimo número de días que puede demandar su ejecución. De igual manera se puede apreciar cuál puede ser su duración normal. El mismo razonamiento permite estimar el máximo número de días en que, sin tomar previsiones excesivas de tiempo, puede completarse la actividad. El método PERT trabaja según este principio, para lo cual se formulan para cada tarea tres estimaciones de tiempo. Tiempo optimista:(a): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que se den la condiciones favorables para ello. Por ejemplo, en el caso de una construcción, la tarea construir losa de hormigón tiene un tiempo optimista, que se calcula suponiendo que las operaciones se harán en forma pertinentes se harán en forma precisa, sin pérdidas de material, con buenas condiciones atmosféricas, etc. Tiempo normal (m): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que imperan condiciones normales de trabajo. Es el tiempo que la experiencia enseña, suele transcurrir para llevar a cabo la tarea analizada. Este valor debe estimarse con independencia de los otros dos. Tiempo pesimista (b): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que se den las condiciones desfavorables para ello. Por ejemplo, en el caso de planear una entrevista con una persona, la tarea del viaje en automóvil al lugar de la cita tiene un tiempo pesimista calculado en base a que durante dicho viaje se den una serie de hechos desfavorables tales como tránsito mayor que el normal, dificultad para estacionar, etc. Se toma un valor medio que se obtiene no como promedio aritmético de los tres sino como consecuencia de la aplicación de una sencilla fórmula probabilística. Para hallar esta fórmula se admite que la duración de cada tarea se distribuye según una ley β de distribución de probabilidades. En esta ley los tiempos optimista y pesimista corresponden a los extremes izquierdo y derecho de la curva de distribución, siendo el tiempo normal su valor más probable o moda. El promedio de las tres estimaciones o valor medio, que no tiene porqué coincidir con el valor normal, se identifica con te, y se denomina tiempo esperado. Otro valor importante y muy necesario es la varianza, la cual expresa cuál es la situación de los valores extremos respecto al valor medio. La expresión del valor medio y la varianza para la ley β de distribución de probabilidades es: Te ( a m b ) [ 2 σ & 6 ( b a ) ] 2 a m b La varianza se calcula para cada una de las actividades. Después de calcular el tiempo esperado y la varianza se necesitan tres suposiciones adicionales para calcular la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo:

12 Investigación Operativa I Hoja 4-2 Que los tiempos de las actividades son estadísticamente independientes. Que la ruta crítica siempre requiere un tiempo total mayor que cualquier otra ruta. Que el tiempo del proyecto tiene una distribución normal. Dadas la media y la varianza es sencillo encontrar la probabilidad de que esta variable aleatoria normal (tiempo del proyecto) sea menor que el tiempo de terminación programado. Z = T Te σ Con el valor de Z encontramos la probabilidad en una tabla de valores de la distribución normal Resumiendo: a: tiempo optimista: procura ser el tiempo poco probable, pero posible, si todo sale bien; es en esencia una estimación de la cota inferior de la distribución de probabilidad. b: tiempo pesimista: es el tiempo poco probable, pero posible, si todo sale mal; se trata en esencia de una estimación de la cota superior de la distribución de probabilidad. m: tiempo probable: intenta ser la estimación más realista de tiempo que puede consumir una actividad; es una estimación del punto más alto de la distribución de probabilidad para el tiempo de la actividad. Basándonos en estos valores, obtenemos la duración o tiempo esperado de la siguiente manera: (tiempo esperado y varianza) Ejemplo de la determinación del te: se tomará para este ejemplo que las tres estimaciones de tiempo se suponen que son: a = día m = 2 días b = 5 días El tiempo esperado o valor medio será: te = ( + 4* 2 + 5) / 6 = 2.33 días Determinando en igual forma ambos valores para cada una de las tareas, se obtiene el siguiente cuadro: Actividad Tiempo Te Desviación Varianza Optimista Más probable Pesimista estándar

13 Investigación Operativa I Hoja 4-3 Actividad Tiempo Te Desviación Varianza Optimista Más probable Pesimista estándar Conocidos los valores de los tiempos esperados, es posible proceder a la construcción de la figura, donde se han colocado en la actividad los valores correspondientes. Determinación del camino crítico: La determinación del camino crítico empleando tiempos probabilísticos no reviste ninguna dificultad, se procede según las reglas vistas anteriormente obteniéndose los valores de fechas más tempranas y tardías, en forma decimal. En el ejemplo propuesto, se llega así a un valor para el evento final, de 9,98 días. Este valor debe tomarse como valor medio y es el que permite juntamente con la varianza, el análisis del evento final. Actividad Tiempo Temprano Tardío Holgura esperado inicio fin inicio fin total

14 Investigación Operativa I Hoja 4-4 Análisis del evento final. Actividad Tiempo Temprano Tardío Holgura esperado inicio fin inicio fin total d Hasta ahora se conoce cuál es el valor medio, valor más probable de la duración total del proyecto. En el ejemplo desarrollado es de l9,98 días. Pero qué probabilidad existe de que el plan tenga la duración calculada?. La metodología del PERT permite resolver esto, partiendo de la base de contar con un gran número de tareas, se puede aplicar un teorema, conocido como Teorema Central del Límite que establece la duración total del plan se distribuye según una ley de Gauss. Esta distribución tendrá un valor media que se obtiene sumando los valores medios de las tareas críticas, y una varianza igual a la suma de las varianzas de dichas tareas críticas. A pesar de las pocas tareas de este ejemplo que forman parte del camino crítico, se aplicará al citado teorema, obteniéndose: Duración total:,6 + 8,83 + 4, ,83 = 9,98: Varianza = 0,027 +,36 + 0,69 + 0,4 + 0,25 = 2,767. Es evidente que la probabilidad de que el plan tenga la duración prevista es de un 50% Si se desea por ejemplo conocer cuál es la probabilidad de que esta duración esté dentro de los 22 días, se obtendrá lo siguiente: Z = ( )/.66 =.22 => Probabilidad = 77.76% Si se desea tener mayor seguridad deberá ampliarse el plazo o fecha de terminación. Otras aplicaciones del camino crítico: DIAGRAMA CALENDARIO El producto de los cálculos de la red es la construcción del diagrama de tiempos o programa. Este diagrama de tiempos puede convertirse fácilmente en un diagrama calendario apropiado para el uso del personal que ejecutará el proyecto.- El diagrama calendario permite visualizar adecuadamente las tareas críticas, las no críticas y sus respectivos márgenes. Esto conduce al razonamiento de que las actividades no críticas pueden iniciarse inmediatamente, es decir, en su fecha más temprana o a último momento, tomando entonces su fecha más tardía o finalmente en algún instante intermedio entre ambas. La construcción del diagrama de tiempos debe hacerse dentro de las limitaciones de recursos disponibles ya que no puede ser posible realizar actividades concurrentes debido a las limitaciones del personal y equipo. Aquí es donde las holguras totales, para las actividades no críticas, llegan a ser útiles. Cambiando una actividad no crítica (hacia adelante o atrás) entre sus límites (TIPi y TTPij) se puede eliminar los requisitos máximos de recursos. En cualquier caso es práctica común usar las holguras totales para nivelar los

15 Investigación Operativa I Hoja 4-5 recursos sobre la duración del proyecto completo. En esencia esto significaría una fuerza de trabajo más estable comparada con el caso donde los recursos variarán drásticamente de un día para el otro. Para construirlo se unen sobre una línea horizontal continua todas Las tareas críticas y en forma paralela se disponen las no críticas, indicando con una línea llena la duración efectiva de la tarea y con línea de trazos el margen disponible o intervalo de tiempo que queda libre teniendo en cuenta el evento al cual concurre la tarea. Iniciación de la tarea en su fecha en su fecha más temprana Act CCCCC 3-7 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 7-9 CCCCCCCCCCCCCCC 9-0 CCCCCCCCCCCC 0- CCCCCCCCCC -2 xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx Iniciación de la tarea en su fecha más tardía Act CCCCC 3-7 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 7-9 CCCCCCCCCCCCCCC 9-0 CCCCCCCCCCCC 0- CCCCCCCCCC -2...xxxxxxxx -7...xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx Esto conduce al razonamiento de que las tareas no críticas pueden iniciarse inmediatamente en su fecha más temprana, o a último momento, tomando su fecha más tardía o finalmente en algún instante intermedio entre ambas.

16 Investigación Operativa I Hoja 4-6 NIVELACION DE RECURSOS Diagrama de carga Cada flecha del grafo representa una tarea. Su ejecución puede demandar el empleo de recursos tales como mano de obra, equipos, inversión de capitales, etc., o una combinación de tales recursos. En el ejemplo propuesto se supone que sólo se emplea mano de obra, y se indica la cantidad necesaria de personal en el siguiente cuadro. Actividad Duración Recurso [cantidad] -2 2 días trabajador[2] -3 día trabajador[2] -7 3 días trabajador[3] días trabajador[3] días trabajador[2] días trabajador[2] 3-6 día trabajador[2] días trabajador[2] días trabajador[2] días trabajador[2] días trabajador[2] días trabajador[3] días días trabajador[4] días trabajador[2] días trabajador[5] días trabajador[2] 0-3 días trabajador[4] Para cada tarea es necesario contar con un par de datos interrelacionados entre sí que son: tiempo de ejecución de la tarea personal necesario para ejecutarla Ahora analizaremos la carga del personal que necesitará el proyecto, a medida que éste avanza. Para ello se calculan las necesidades acumuladas de personal, suponiendo que todas las tareas no críticas se inician en la fecha más temprana posible. Así, para el día 3, por ejemplo se tendrá en el primer caso: tarea hombres tarea hombres tarea hombres Total día = 7 hombres Necesidad de personal para el día 2: tarea hombres tarea hombres tarea hombres tarea hombres tarea hombres total día 2 = hombres

17 Investigación Operativa I Hoja 4-7 Con los valores obtenidos de la fecha temprana y tardía se puede confeccionar estos gráficos que corresponden respectivamente a la fecha temprana y tardía. La cantidad de personas no variará según se adopte una u otra política pero sí variará la distribución de estas personas a lo largo del tiempo considerado. Lo analizado respecto al personal tiene también aplicación sobre carga financiera, equipos, etc., o sean recursos en general. Cuando se han analizado el comienzo más temprano y el más tardío de las tareas no críticas, los diagramas permiten tomar la decisión más adecuada. Esto no debe conducir a suponer a primera vista que la solución más adecuada es la de comienzo tardío. Si el proyecto es a largo plazo y se consideran meses en lugar de días, es necesario estudiar la forma de la curva de carga más adecuada, teniendo en cuenta factores tales como gastos de almacenamiento del material, convenios laborales, etc. Si se supone que el undécimo mes a partir del momento inicial tiene lugar la reactualización del convenio laboral del personal empleado, es evidente que convendrá efectuar la mayor cantidad posible de tareas antes de dicha fecha. Para ello se agrupan las actividades tal como lo indica el diagrama calendario donde la tareas no críticas que tecnológicamente pueden efectuarse antes del undécimo mes han sido programadas para ser ejecutadas entre su fecha de iniciación más temprana y su fecha de iniciación más tardía, pero compatible con la fecha de firma del convenio. Es lógico programar la ejecución de las tareas no críticas posteriores a la fecha del convenio, en su fecha de iniciación más tardía. Si se grafican las necesidades de personal en función del tiempo, se obtiene entonces el siguiente gráfico:

18 Investigación Operativa I Hoja 4-8 ACELERACION DE PROYECTOS RELACION TIEMPO / COSTO: en la red hay 2 (dos) cálculos de tiempo y costos, indicados en cada actividad: Estimación normal del tiempo (análoga al cálculo del tiempo esperado). Es el costo asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal; es el costo normal. La estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría sino se ahorraran costos para reducir el tiempo de un proyecto. El costo es el asociado con la realización de las obras en base a la terminación acelerada para minimizar el plazo de terminación. La relación tiempo / costo puede tomar diferentes formas pero solo nos interesa tomar una linealización de ellos, de allí que cada reducción unitaria del tiempo produce un incremento igual en el costo. El costo incremental (Ic) es el costo de terminación acelerado (Cc) menos el costo normal (Nc), dividido entre el tiempo normal (Nt) menos el tiempo de terminación acelerado (Ct) Cc Ic Nt Nc Ct Costo Cc Nc Tiempo Ct Nt En los casos que haya que reducir, debemos realizarlo en las actividades críticas; estas reducciones producirán un incremento en el costo total del proyecto. Aceleración del proyecto: Según el ejemplo propuesto no se tomarán los tiempos probabilísticos sino las duraciones estimadas. En él se reconocen el camino crítico y la duración total del proyecto que es de 20 días, y que demandará una cantidad dada de fondos. Algunas veces es necesario disminuir la duración total del plan adoptado. Por ejemplo, si el diagrama en estudio presenta las tareas necesarias para el desarrollo de un nuevo proyecto, y se observa que la fecha inicial del evento no permite terminar en el momento previsto, es evidente la necesidad de tratar de acortar el lapso. Para ello es lógico trabajar reduciendo la duración de alguna/s tarea/s críticas, porque no tendría objeto invertir dinero y/o esfuerzos en tratar de acortar una tarea no crítica cuya influencia en la duración total del proyecto es nula. No todas las tareas pueden acelerarse. Algunas no lo permiten debido a su índole particular, cualesquiera sean los medios de que se disponga para ello. Tal es el caso de aquellas actividades como fraguado del hormigón, cuya aceleración no puede lograrse por la naturaleza química de ese elemento. Hay tareas en las cuales, por razones de espacio, no puede acelerarse su ejecución. Como por ejemplo efectuar la excavación del terreno, en la que se ha calculado el tiempo en base al trabajo de una pala mecánica, pero donde no hay lugar para el uso simultáneo de dos elementos como el mencionado. En cambio, sí es posible acelerar la tarea de recorrido de un motor Diesel ya que se puede llevar a cabo empleando más personal, o si esto no es posible por problemas de espacio, por ejemplo, trabajando en dos o tres turnos.

19 Investigación Operativa I Hoja 4-9 Construcción de la tabla de reducción: Se construye el siguiente cuadro que abarca todas las tareas sean o no críticas. Este aparente contrasentido tiene su razón de ser con motivo de los acortamientos de las actividades, pueden surgir nuevos caminos críticos que hagan tareas críticas que originalmente no lo fueron. Actividad Tiempo Costo I.C. Actividad crítica Normal Acelerado Normal Acelerado x x x x x x x x x TOTAL 5000 Sabemos que la duración total del proyecto es de 20 días, y su costo deducido, es de $ La primera columna ocupa las actividades del proyecto, en la segunda se colocan las duraciones correspondientes a cada una, supuesto que se trabaja en forma normal. La tercera columna especifica para cada tarea cuál es el tiempo mínimo en que puede llevarse a cabo. También recibe el nombre de tiempo crash. La actividad -7 no admite ninguna reducción, par lo que su tiempo crash coincide con la duración estimada. La cuarta columna suministra el costo de ejecución de la tarea, en base al tiempo de la segunda columna con el personal asignado. Su suma da el costo total del proyecto, en lo que a mano de obra se refiere. La quinta columna indica el costo de urgencia, o sea el costo de realizar la tarea en su tiempo mínimo. La sexta columna especifica el costo adicional que involucra acelerar un día la tarea respectiva en función de mayor cantidad de personal a emplear, pago de horas extras, contratación a terceros, etc. A la derecha se han marcado con una (x) las tareas que corresponden al camino crítico. (columna 20). Como punto de partida se toma que el tiempo de ejecución del proyecto es igual a 20 días cuyo costo en pesos es de Reducción a 9 días Si es necesario que el plan se cumpla en 9 días se debe disminuir en un día la ejecución de algunas actividades críticas. Analizando el cuadro anterior, se busca en la sexta columna a qué tarea crítica corresponde el menor costo diario de reducción. En este caso se aprecia que es la 3-7. Se disminuye entonces en un día la mencionada tarea, quedando reducida su ejecución en 8 días y a un costo de: = pesos. Tiempo de ejecución acelerando la tarea 3-7: 9 días. Costo en pesos: = 7500

20 Investigación Operativa I Hoja 4-20 Reducción a 8 días: Si se observe el grafo se encontrará ahora que el nodo 9 convergen tres flechas, dos de las cuales tienen un tiempo máximo de 3 días. Quedan entonces dos caminos críticos y Aparecen nuevas tareas críticas tales como la -2, la 2-5 y la 5-9 que se indican en el cuadro por media de una (x) (columna 9). Un nuevo estudio de dicha tabla revela qué deberá elegirse nuevamente en la tarea 3-7 por ser la más económica de todas. Pero si se analiza el grafo, puede observarse que nada se ganaría con acortar la tarea 3-7 solamente ya que el nodo 9 subsistirá el valor 3, debido al otro camino crítico Por lo tanto, es necesario incorporar también en el estudio las tareas críticas de este último camino. Es evidente que la solución más adecuada es disminuir en un día la tarea común 9-0 con lo cual ésta queda saturada no admitiendo más reducciones. Entonces: Tiempo de ejecución acelerando la tarea 9-0: 8 días Costo en pesos = 2500

21 Investigación Operativa I Hoja 4-2 Reducción a 7 días Conviene restar un día a la tarea 0- que cuesta $ 6500, pero es más económico disminuir en un día la tarea 3-7 con lo cual queda saturada y disminuir en un día a la tarea -2 que también queda saturada. Entonces: Tiempo de ejecución modificando tareas 3-7 y -2: 7 días Costo en pesos ( ) = Esta última reducción ha provocado que la tarea 3-5 sea también crítica, por lo cual se indica con una (x) en la columna 7 del cuadro.

22 Investigación Operativa I Hoja 4-22 Reducción a 6 días: Se deduce que la tarea más económica es la 0- Entonces Tiempo de ejecución acelerando la tarea 0- : 6 días Costo en pesos: = 34000

23 Investigación Operativa I Hoja 4-23 Reducción a 5 días: La tarea 0- sigue siendo la más económica pero como no admite posteriores reducciones, queda saturada. entonces: Tiempo de ejecución acelerando la tarea: 0- : 5 días Costo en pesos: = 40500

24 Investigación Operativa I Hoja 4-24 Reducción a 4 días: Se puede reducir la tarea 7-9 que queda saturada, y la tarea 2-5 pero se aprecia que es más económico disminuir las tareas 5-9 y 7-9 Tiempo de ejecución acelerando las tareas 5-9 y 7-9: 4 días Costo en pesos: ( ) = La reducción de las tareas mencionadas en primer término, hubiera ocasionado un costo total de $52200

25 Investigación Operativa I Hoja 4-25 Reducción a 3 días: Un análisis del grafo revela que no es posible seguir reduciendo la duración del proyecto porque si bien aún aceleran las tareas 2-5 y/o 5-9 no puede reducirse el camino pues está totalmente saturado. Gráfico de costos: Actividad Duración Costo Temprano Tardío Holgura inicio fin inicio fin Total d

26 Investigación Operativa I Hoja Costo acumulado Días Inicio temprano Inicio tardío Actividad Total Acumulado Actividad

27 Investigación Operativa I Hoja 4-27 Actividad Total Acumulado Control y evaluación durante la marcha del proyecto: Una vez construido el grafo y hallados los valores necesarios, se impone llevar a cabo un control periódico de la marcha del proyecto, introduciendo los datos reales. A intervalos regulares se verifican las tareas realizadas, y se comparan con las programadas. Los encargados de cada zona de responsabilidad informan sobre el estado de las tareas que les competen, su grado de realización, atrasos, cambios, etc. Este control permite determinar qué margen queda aún disponible para ejecutar una tarea no crítica, o si ésta se ha convertido en crítica, por no haberse respetado el intervalo inicialmente disponible, o por haber variado el tiempo originariamente estimado. Toda esta cantidad de información se lleva entonces sobre el diagrama, determinándose las nuevas tareas críticas, nuevas fechas, etc., lo cual permite tener siempre actualizada la marcha del proyecto y poder tomar decisiones en consecuencia. Conclusiones: Los métodos de programación por Camino Crítico han recibido distintos nombres como, Pert, Cpm, Cps (Crítical Path Scheduling), etc. Lo visto es aplicable a todos ellos, y sus diferencias recaen principalmente en el campo de la aplicación. Las diferencias entre Pert y Cpm estriban en el empleo, para el primero, de tiempos estimados, y por el uso, en el segundo, de tiempos probabilísticos. Pero hay también una diferencia sutil entre ambas técnicas y que es la que conduce al empleo de uno u otro método. Esta diferencia se basa en el objetivo que se persigue en cada caso. Objetivo del Cpm Construir una curva de costos para el proyecto que suministre el mínima costo posible. Por esta razón se emplea generalmente para grandes construcciones, proyectos de mantenimiento, etc. Objetivo del Pert Determinar la duración probable o esperada de un proyecto, y conocer qué probabilidad existe de poder cumplir con la misma. Se emplea frecuentemente para medir y evaluar los proyectos de investigación y desarrollo, lanzamiento de nuevos productos al mercado, etc., en los cuales no se conocen los tiempos de cada tarea, pero sí pueden establecerse tiempos estimados en forma probabilística. Empleo de computadoras Estos métodos se prestan admirablemente a ser procesados por equipos electrónicos, encontrándose a disposición de sus usuarios, programas muy elaborados que responden a todos los requerimientos. El procedimiento para resolver un grafo por computadora difiere del explicado precedentemente, en el modo de presentar la información a la máquina y en la forma en que ésta la entrega, pero el resultado es el mismo. PERT COSTO Generalidades: Cuando se desarrollaron el Cpm y el Pert, los investigadores, al reconocer la potencialidad de estas herramientas de planificación, trataron de incorporar a la red tiempo los conceptos inherentes a cada tarea. Así nació el Pert-Costo, el cual no tiene por objeto controlar, sino servir de elemento de información y de planificación para ayudar al control de un proyecto. Hay variantes del sistema pero todas ellas reposan en el principio de tratar en forma simultánea las tres variables de dirección que son: Tiempo - Recursos - Perfomance (designa el comportamiento o el estado de un sistema en relación a determinadas variables.

28 Investigación Operativa I Hoja 4-28 Necesidad del Pert- Costo En todo proyecto se grafican en función del tiempo tanto en adelanto o progreso como el empleo de los recursos. El control periódico indica el estado del plan con respecto a los originariamente programado. Se puede llevar también un control sobre los costos, emitiendo un informe periódico. Este informe nos permite juzgar la perfomance real de éstos, relacionados con el desarrollo del proyecto. Nada significa tener en una fecha un guarismo de costo que coincide con el que se habría calculado para esa fecha si no se lo vincula también con la relación entre el trabajo efectuado realmente y el trabajo programado a la fecha. Esta es la misión del Pert - Costo, permitir confeccionar un informe compatible con los procedimientos contables corrientes, donde se liguen racionalmente las perfomances de Costo y Programación. Planeamiento: Esta etapa consiste en la preparación de los valores estimados de costo y progresos a realizar, en función del tiempo. Consta de una serie de etapas principales que a continuación se detallan:. Descomposición del trabajo Si hay que relacionar Costos, Tiempos y Recursos estos valores deben tratarse empleando una base o estructura común que permita efectuar comparaciones. Este es el fundamento del criterio de descomposición del trabajo, característica notable del Pert-Costo que secciona y divide el trabajo a realizar, estableciendo niveles desde el proyecto total hasta aquellos elementos que, por su grado de división, se consideren adecuados desde el punto de vista contable. 2. Determinación de los límites mínimos de descomposición El limite mínimo de descomposición se adopta en un todo conforme al sistema contable en uso, y tiene por objeto permitir establecer los diagramas de flechas o Perts fragmentarios, y poder efectuar la posterior subdivisión del costo de trabajo llevado a nivel de subsistema. 3. Definición de tareas y establecimiento de los "paquetes de trabajo" Definido el limite mínimo cabe ahora determinar qué tareas intervendrán en el Pert fragmentario, en forma simple o detallada. Puede indicarse con una simple flecha una actividad, compendio de otras varias, o puede ser necesario detallar éstas. Así conforme al trabajo es algunas veces conveniente representar al grafo completo para ejecutar la tarea o simplemente indicar ésta con una flecha, con un valor de tiempo igual al que resulta de calcular el camino crítico de las tareas componentes. Definidas las tareas, corresponde agrupar aquellas que son similares, formando paquetes homogéneos. Esto se lleva a cabo estableciendo un código para cada paquete de tareas similares. 4. Cabe ahora las tareas de integrar o ensamblar los distintos Perts fragmentarios, a fin de poder efectuar la cargo contable correcta y dejar establecidas las restricciones existentes. 5. Se impone la implantación de un código contable que permita sumar todos los costos inherentes a cada nivel de descomposición del trabajo. Los números de este código que pueden responder al sistema decimal, reciben el nombre de números sumarios. Dentro de cada número sumario, es necesario asignar otro número a cada paquete de tareas, recibiendo este último el nombre de número de cargo. 6. La próxima etapa es la construcción del grafo general de todo proyecto.