UADER - PROFESORADO Y LICENCIATURA DE MATEMATICA GEOMETRIA I UNIDAD Nº 1 LA GEOMETRIA

Transcripción

1 UNIDAD Nº 1 LA GEOMETRIA La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud y de la posición. Etimológicamente: Geo = tierra, metría=medida, o sea que significa medir el suelo. DESARROLLO O EVOLUCION DE LA GEOMETRÍA Respecto de la evolución de la Geometría vamos a considerar dos etapas Una primera etapa intuitiva en la cual mediante la observación y la experiencia se obtienen las propiedades fundamentales que ha de ser el basament o del trabajo geométrico. Una segunda etapa racional, donde se obtienen todas las demás propiedades deducidas de las ant e- riores. Los primeros conocimientos geométricos tienen su origen en los problemas que se le planteaban a los egipcios unos dos mil años antes de Cristo cuando debían repartir sus terrenos y propiedades, sobre todo las mensuras que debían verificar anualmente después de las inundaciones del Nilo. De los egipcios se conserva un importante documento que es el PAPIRUS RHIND de los siglos 17 y 19 ac, por el que se sabe que los egipcios calculaban áreas y volúmenes y aplicaban casos particulares del teorema de Pitágoras. También realizaban mediciones asombrosas en largos y ángulos, como lo comprueban las pirámides. La gran pirámide de Keops es un ejemplo de ello, ya que la aproximación de sus lados es de 13mm y la de los ángulos de 12. También los caldeos en esta misma época se sirvieron de la Geometría para resolver cuestiones astronómicas, pero 3000 AC los babilonios conocían las propiedades de los triángulos rectángulos y en particular las relaciones entre la diagonal y el lado del cuadrado. Al asomarse los griegos a la civilización, la cultura de estos pueblos estaba ya en completa decadencia. Ellos reunieron los conocimientos intuitivos dejados por aquellos comenzando el desarrollo racional de la Geometría, que iniciado con Pitágoras y su escuela, continua con Platón para terminar con Euclides, Arquímedes y Apolunio. De Euclides nos ha quedado su obra Los Elementos que consta de 13 libros o capítulos y en ellos los razonamientos son tan rigurosos y las demostraciones tan ingeniosas que aún sirven de base para el estudio de la Geometría. (Ver Apolunio ) Para establecer las propiedades la Geometría recurre a los métodos: experimental, intuitivo y lógico. Con el método experimental se establecen las propiedades que se obtienen de la observación directa de las figuras que deben comprobarse en forma material. Este método carece de la fuerza suficiente para poder generalizar una propiedad, puesto que a la falta de instrumentos que se puedan utilizar, debemos agregar la imperfección de nuestros sentidos y la imposibilidad de comprobar las propiedades en todos los casos. Si intuir es ver con la inteligencia, el método intuitivo establece las que cree ver nuestra intelige n- cia, pero todos sabemos que la intuición nos engaña frecuentemente. Ello obliga entonces a la Geometría a recurrir al razonamiento y a la forma deductiva o lógica, es decir, al tercer método. Página 1 de 5

2 Demostrar una propiedad es deducirla a otra o deducirla de ellas. Si para demostrar una propiedad debemos deducirla de otra y esta de otra, debemos llegar así a propiedades evidentes que no necesitan demostración. Por eso, éste método necesita establecer por vía experimental, las propiedades más sencillas que se llaman axiomas o postulados y deducir de ellos, las restantes, por medio del razonamiento. Definición: Definir un concepto es fijar su alcance o contenido. Si al definir un concepto aparece a su vez el concepto que queríamos definir, en realidad no hemos definido nada. Las definiciones deben ser claras y concretas y no se deben emplear términos que a su vez exijan definición. Es imposible definir todos los términos matemáticos. Vamos a tomar varios ejemplos tomado de Los Elementos de Euc lides. El punto es una magnitud sin largo ni ancho. La idea de punto resulta sumamente oscura, pue s- to que no se sabe qué es una magnitud, largo ni ancho. Y aún en el caso de suponer conocidos estos conceptos, podrá uno preguntarse qué es una magnitud sin largo ni ancho. No podemos entonces definir un punto. Para la recta dice Euclides: es la línea que se apoya uniformemente en todos sus puntos. Aquí podemos hacer consideraciones análogas a la anterior. Tampoco podemos definir la recta de esta manera. Podemos ensayar una definición por género próximo y diferencia específica. El género próximo indica un conjunto más amplio que el que abarca el concepto definido traduce una nota a notas que permite distinguir lo que se define dentro del género próximo. Ejemplo: número par es el número natural divisible por dos. Tenemos por género próximo: es un número natural, y la diferencia específica: divisible por dos. Suponemos entonces definido el punto, éste tiene por género próximo a la recta, la recta al plano, el plano al espacio. Además si queremos establecer la diferencia específica de la recta, no podemos hacerlo, puesto que está formada sólo por puntos. Es evidente que los entes fundamentales carecen de definición explícita o aristotélica. Es necesario recurrir a elementos que sin definición sirvieran de base a la Geometría. Estos elementos pueden ser varios y distintos, pero depende del ordenamiento que se siga. Por ejemplo: si se eligen como elementos fundamentales punto, recta y plano, puede definirse el segmento. Por lo que punto, recta y plano no se pueden definir. Una vez establecidos éstos conceptos se toman de base para deducir los restantes por medio de teoremas. Es decir: 1. enunciar sin definir conceptos, 2. admitir ciertas propiedades (no demostrables que relacionan esos conceptos, enunciando los axiomas), 3. deducir lógicamente las restantes propiedades (teoremas). Los axiomas deben ser compatibles e independientes. En un teorema, se llama hipótesis al conjunto de relaciones que se afirman, y tesis a las que se deducen de la hipótesis. La demostración de un teorema es el conjunto de los razonamientos mediante los cuales pasamos de la hipótesis a la tesis, sintetizando proposiciones ya establecidas. Página 2 de 5

3 Dos teoremas en los cuales la hipótesis y la tesis de uno sean la tesis y la hipótesis del otro se llaman recíprocos y es indistinto considerar a uno u otro como recíproco. El otro teorema se llama directo. En símbolos diríamos: 1. si se verifica la hipótesis, se cumple la tesis, 2. Teorema recíproco: si se verifica la tesis se cumple la hipótesis. La certeza de uno de estos teoremas no implica la del otro. Por ejemplo: si decimos todo polígono regular es inscriptible en una circunferencia, no tiene recíproco. H: polígono regular. T: polígono inscriptible no tiene reciproco T = H : polígono inscriptible, T = H : polígono regular Dos teoremas en los cuales la hipótesis y la tesis de uno sean respectivamente la negación de la tesis y la hipótesis del otro reciben el nombre de contrarios o teoremas contrarios. En resumen: Teorema directo: si se verifica la hipótesis, se cumple la tesis Teorema contrario: si no se verifica la hipótesis, no se cumple la tesis Demostrados los teoremas directos y recíprocos, quedan demostrados los contrarios. En efecto, si no fuera cierto, se cumpliría la tesis y en este caso por el recíproco se cumpliría la hipótesis, lo que es absurdo, por lo tanto, el teorema contrario es cierto. De la misma manera, demostrados los teoremas directo y contrario, quedan demostrados los recíprocos. Los teoremas recíprocos y contrarios se dicen equivalentes. Dos teoremas en los cuales la hipótesis y.la tesis de uno son la negación de la tesis y la hipótesis del otro, se dicen contrarrecíprocos. Si se verifica el teorema directo, se dice que la hipótesis es condición suficiente para que se cumpla la tesis. Si se verifica el teorema recíproco, se dice que la hipótesis es condición necesaria para que se cumpla la tesis y sí son válidos los teoremas directo y recíproco, lo que no siempre ocurre, y decimos que la hipótesis es condición necesaria y suficiente para que se cumpla la tesis. METODOS INDIRECTOS DE DEMOSTRACION 1. REDUCCION AL ABSURDO: éste método consiste en demostrar el contrarrecíproco de un teorema. Se comienza por negar la tesis, y siguiendo un encadenamiento riguroso, se llega a la negación de la hipótesis que es el teorema contrarrecíproco, luego el directo queda demostrado. 2. LEY GENERAL DE LOS RECIPROCOS O PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD O PRINCIPIO DE HAUBER: si se han demostrado varios teoremas directos, tales que las hipótesis se complementan, es decir, fuera de ellas no existen otras, y las tesis se excluyen, es decir, si se cumple una no se pueden cumplir las demás, entonces todos los recíprocos son ciertos. Página 3 de 5

4 Supongamos demostrar los teoremas directos de hipótesis: H1 H2 H3 H4 H5 H 6 y de tesis: T1 T2 T3 T4 T5 T 6 en las condiciones del enunciado, es decir, las 5 hipótesis se cumplen y las tesis se excluyen, demostraremos que todos los recíprocos son ciertos. Consideremos uno de ellos: si se verifica T 4 se cumple H. Si no se verifica 4 H, entonces se verificará H 4 1; H2; H3; H5 o H6 puesto que hemos considerado agotadas las hipótesis en el directo, pero entonces también por el directo se cumpliría T1; T2; T3; T5 o T 6 lo que es absurdo, puesto que las tesis se excluyen, por lo tanto, se verifica que todos los recíprocos son ciertos. Por ejemplo: si decimos la distancia d de una recta al centro de una circunferencia de radio r es tal que d > r, la recta es exterior a la circunferencia. Si d = r: la recta es tangente a la circunferencia Si d < r : la recta es secante a la circunferencia r d r O Hd : > r Hd : = r Hdr : < Directos : TrexterioraCOr : (,) T : rtgacor (,) Tr : sec acor (,) HrexterioraCOr : (,) HrtgaCOr : (,) Hr : sec acor (,) Reciprocos: T: dr > T: d= r Tdr : < Como las hipótesis se complementan y las tesis se excluyen, podemos afirmar sin necesidad de demostrarlo, que si una recta es exterior, tangente o secante a una circunferencia, la distancia del centro de ésta última a la recta es respectivamente mayor, igual o menor que el radio de la circunferencia. ELEMENTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES Son el punto, la recta y el plano. Los puntos se nombran con letras mayúsculas de imprenta, las rectas con minúsculas y los planos con letras minúsculas griegas. Estos elementos no tienen existencia real, sino que existen en nuestro entendimiento. Son conceptos primitivos, ya que no requieren de definición ni de demostración, porque quedan determinados. Una figura geométrica es un conjunto de puntos Página 4 de 5

5 POSTULADOS DE EUCLIDES 1. Por dos puntos pasa una recta. 2. Una recta puede prolongarse en continuidad en cualquiera de los extremos. 3. En un plano es posible construir una circunferencia con centro y radio arbitrarios. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos internos a un mismo lado de la transversal, tales que sumados sean menores que 2R, las rectas se cortan del lado de la transversal en el cual la suma de los inte riores es menor que 2R. PROPOSICIONES GENERALES DE EUCLIDES. 1. Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí. 2. Si a dos cosas se le suman cosas iguales, los resultados que se obtienen son iguales. 3. Si a dos cosas se le restan cosas iguales, los resultados que se obtienen son iguales 4. Lo superponible son iguales. 5. El todo es mayor que sus partes. Cuatro de estas propiedades (excluimos la 4) son de naturaleza lógica y aplicables a cualquier magnitud geométrica. La cuarta propiedad nos da un criterio para establecer la igualdad o desigualdad de la Geometría. De estas proposiciones podría criticarse su amplitud, además no considera los signos y no tiene postulados de ordenamiento. METODO LOGICO La insuficiencia de los métodos anteriores obliga a la Geometría a recurrir al razonamiento en forma deductiva. Demostrar una propiedad es deducirla de otra o de ella. Pero si una propiedad se demuestra deduciendo de otras, éstas a su vez se deducen de una anterior y así sucesivamente, obteniéndose una cadena lógica, hasta llegar a proposiciones que no se pueden demostrar. Se debe apoyar toda demostración en ciertas propiedades indemostrables pero evidentes y que sean imprescindibles para la construcción de la Geometría. Por eso el método lógico necesita: 1. ciertas propiedades como primitivas, de manera que sean comprobadas (postulados o axiomas) 2. demostrar las demás propiedades (teoremas), y si es inmediata: los corolarios. Página 5 de 5