EJERCICIOS RESUELTOS DE SERIES TEMPORALES

Transcripción

1 EJERCICIOS RESUELTOS DE SERIES TEMPORALES Estadística Descriptiva: SERIES TEMPORALES Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández. En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros. Desestacionalizar la serie por el método de las medias móviles. Trimestres \ Años Primero 3 Segundo 6 Tercero Cuarto 3 3 PRIMER PASO.- Para calcular la tendencia secular de la serie por el método de las medias móviles, se obtienen primero las medias móviles de tamaño (período de las variaciones estacionales), que al ser un número par, serán descentradas y corresponderán a los períodos intermedios entre cada dos trimestres consecutivos. Cálculo de las medias móviles: 3 3, entre segundo y tercer trimestre de ,7 entre tercer y cuarto trimestre de , entre cuarto trimestre de 006 y primer trimestre de ,7 entre primer y segundo trimestre de entre segundo y tercer trimestre de 007 SERIE NO CENTRADA de las medias móviles Trimestres \ Años Primero-Segundo -- 3,7 3,7, Segundo-Tercero, 3,7,7 6 Tercero-Cuarto,7 3,7, -- Cuarto-Primero 3, 3,7,, -- Para centrar la serie hay que calcular la media armética de cada dos observaciones sucesivas, de este modo, las medias que irán apareciendo, respectivamente, serán:,,7,6,7 3, 3 3, 3,7 3, 3,7 3,87 3,7 3,87 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7,,,,37

2 ,,7,7,87,7,87,,,,,37, 6,7 SERIE CENTRADA por el método de las medias móviles Trimestres \ Años Primero --- 3, 3,7,7,37 Segundo --- 3,87 3,7,87,7 Tercero,6 3,87, Cuarto 3 3,7,37, --- La línea que se obtiene al representar gráficamente la serie de la tabla ( t, y) será la línea de tendencia, que comienza en el tercer trimestre de 006 y finaliza en el segundo trimestre de 00. Al aplicar el método de las medias móviles, en el esquema multiplicativo realmente se obtiene en la serie cronológica es una aproximación de las componentes estacional ( E ) y accidental ( A ). Y T T. C.E.C. A, lo que, quedando sin analizar SEGUNDO PASO.- La tendencia y la componente cíclica se eliminarán dividiendo cada dato de la serie original por la correspondiente media móvil: T Y.C T.E.C.A E.A quedando la componente estacional y accidental T.C Trimestres \ Años Primero --- 3/3, /3,7 /,7 /,37 Segundo --- /3,87 /3,7 /,87 6/,7 Tercero 3/,6 /3,87 / 7/, Cuarto 3/3 /3,7 /,37 3/, --- SERIE con las componentes estacional y accidental: Trimestres \ Años Primero --- 0,87 0,33 0,8 0,930 Segundo ---,03,067,06,03 Tercero,3,90,0, Cuarto,067 0,9 0,8 --- TERCER PASO.- Se elimina la componente accidental A con el cálculo de las medias arméticas trimestrales, es decir, la media armética de cada fila de la tabla anterior (donde solo aparecía el producto de E. A ): 0,87 0,33 0,8 0,930 0,79,03,067,06,03,0

3 ,3,90,0,36,80,067 0,9 0,8 0,89 Trimestres \ Años IBVE Primero --- 0,87 0,33 0,8 0,930 0,79 Segundo ---,03,067,06,03,0 Tercero,3,90,0,36 ---,80 Cuarto,067 0,9 0, ,89,00 Se calcula la media armética de los cuatro valores obtenidos anteriormente 0,79,0,80 0,89,00 CUARTO PASO.- Se calculan los Índices de Variación Estacional (IVE), expresando para ello cada uno de los valores anteriores en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo: Trimestres \ Años IVE (%) Primero (0,79/,00). 00 = 79,0 Segundo (,0/,00). 00 = 0,0 Tercero (,80/,00). 00 = 7,87 Cuarto (0,89/,00). 00= 89, Adviértase que los índices de variación estacional (IVE) suman Sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional produce: º Trimestre: (79,0-00 = - 0,99), un descenso de ventas del 0,99% º Trimestre: (0,0-00 =,0), un aumento de ventas del,0% 3º Trimestre: (7,87-00 = 7,87), un aumento de ventas del 7,87% º Trimestre: (89, - 00 = - 0,89), un descenso de ventas del 0,89% DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la media móvil).- El proceso consiste en dividir cada valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente, esto es: Trimestres \ Años Primero /0,790 3/0,790 /0,790 /0,790 /0,790 Segundo /,0 /,0 /,0 /,0 6/,0 Tercero 3/,787 /,787 /,787 7/,787 8/,787 Cuarto 3/0,89 /0,89 /0,89 3/0,89 /0,89 La serie desestacionalizada, aplicando el método a la razón a la media móvil: Trimestres \ Años Primero,3 3,797,3,06 6,38 Segundo,9 3,8 3,8,803,76 Tercero,36 3,90 3,90,7 6,6 Cuarto 3,367,89,89 3,367,6 3

4 . En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros. Desestacionalizar la serie por el método analítico de los mínimos cuadrados. Trimestres \ Años Primero 3 Segundo 3 7 Tercero 7 8 Cuarto MÉTODO ANALÍTICO DE LA TENDENCIA (MÍNIMOS CUADRADOS) PRIMER PASO.- Se calculan las medias anuales y t (medias para cada año de k = subperíodos) Trimestres \ Años Primero 3 Segundo 3 7 Tercero 7 8 Cuarto y 006, y 007 3, y 008 3, y 009 y 00 6, 7 y y i t t (006,007,,00) medias anuales SEGUNDO PASO.- La tendencia media anual T t se obtiene ajustando una recta de regresión a los años ( t, t,,tn) y a las medias anuales y t, donde t (t, t,,tn) : T t ŷ t ab. t ( 00 t006, t007,,t ) yt medias anuales,0 3,0 3,0,00 6,7 Por el método de los mínimos cuadrados, resulta: a 003, 7 y b con lo que, T ŷ 003,7 t t t t (t006, t007,,t00), resulta pues: Tendencia media anual ( t006, t007,,t00) T t, 3,,, 6, TERCER PASO.- A partir de la tendencia media anual distintos subperíodos, según la expresión general: T t se obtiene el valor de la tendencia para los donde, T k b T t i. tendencia media anual para los subperíodos k-ésimos k

5 t Año (006, 007,..., 00) i Subperíodo donde se calcula la tendencia (trimestral i =,, 3, ) k Número total de subperíodos ( datos trimestrales k = ) b Pendiente de la recta de regresión = SERIE DE LA TENDENCIA (k = trimestres) i \ t Primero,87,87 3,87,87,87 Segundo, 3,,, 6, Tercero 3,37 3,37,37,37 6,37 Cuarto,6 3,6,6,6 6,6 Trimestre Primero 006 : T i006,., 87 Trimestre Segundo 006 : T i006,., Trimestre Tercero 006 : T i006, 3., 37 Trimestre Primero 007 : T i007 3,., 87 Trimestre Primero 008 : T i008,. 3, 87 Trimestre Primero 009 : T i009,., 87 Trimestre Primero 00 : T i00,., 87 Representación gráfica de la serie con los datos originales y la serie suavizada de tendencia

6 CUARTO PASO.- Para eliminar la tendencia y la componente cíclica se divide cada término de la serie original entre el correspondiente término de la serie teórica de tendencia. SE ELIMINA LA TENDENCIA Y LA COMPONENTE CÍCLICA DE LA SERIE Trimestres \ Años Primero /,87 /,87 /3,87 3/,87 /,87 Segundo /, 3/3, /, /, 7/6, Tercero /,37 /3,37 /,37 7/,37 8/6,37 Cuarto 3/,6 /3,6 3/,6 6/,6 7/6,6 Señalar que, en el esquema multiplicativo, al aplicar el método de los mínimos cuadrados, lo que se obtiene es una aproximación de, ya que en el período que se considera (un año) es suficientemente pequeño, pudiendo suponer que la componente cíclica está incluida en la tendencia secular, puesto que en un período tan corto no da lugar a que se manifiestes plenamente las variaciones cíclicas. Serie con COMPONENTES ESTACIONAL y ACCIDENTAL Trimestres \ Años Primero 0,33 0,696 0,6 0,6 0,8 Segundo 0,9 0,960 0,970 0,780,3 Tercero,68,8,3,30, Cuarto,3,03 0,69,067,07 QUINTO PASO.- Para eliminar la componente accidental, se calculan para cada trimestre la media armética de los valores obtenidos por trimestres (filas) en la serie anterior con las componentes estacional y accidental. 0,33 0,696 0,6 0,6 0,8 0,6,68,8,3,30,,373 0,9 0,96 0,97 0,78,3 0,99,3,03 0,69,067,07,00 Trimestres \ Años IBVE Primero 0,33 0,696 0,6 0,6 0,8 0,6 Segundo 0,9 0,960 0,970 0,780,3 0,99 Tercero,68,8,3,30,,373 Cuarto,3,03 0,69,067,07,00 0,99 0,6 0,99,373,00 El promedio anual de las cuatro medias arméticas: 0, 99 SEXTO PASO.- Se calculan los Índices de Variación Estacional, expresando para ello cada uno de las valores obtenidos (medias arméticas por trimestres) en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo: 6

7 Trimestres \ Años IBVE IVE (%) Primero 0,6 (0,6/0,9).00 = 6,9 Segundo 0,99 (0,99/0,9).00 = 96,8 Tercero,373 (,373/0,9).00 = 38,3 Cuarto,00 (,00/0,9).00 = 0,0 En definiva, sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional produce: º Trimestre: ( 6,9-00 = -3,) un descenso de ventas del 3,% º Trimestre: (96,8-00 = -3,) un descenso de ventas del 3,% 3º Trimestre: (38,3-00 = 38,3) un aumento de ventas del 38,3% º Trimestre: (0,0-00 =,0) un aumento de ventas del,0% DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la tendencia).- El proceso consiste en dividir cada valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente: Trimestres \ Años Primero /0,69 /0,69 /0,69 3/0,69 /0,69 Segundo /0,968 3/0,968 /0,968 //0,968 7/0,968 Tercero /,383 /,383 /,383 7/,383 8/,383 Cuarto 3/,00 /,00 3/,00 6/,00 7/,00 SERIE DESESTACIONALIZADA, aplicando el método a la razón a la tendencia Trimestres \ Años Primero,8 3,096 3,096,6 7,7 Segundo,073 3,09,6,6 7, Tercero,896 3,60 3,60,068,79 Cuarto,970 3,960,970,90 6, En la tabla adjunta se expone la serie mensual del Índice de Producción Industrial (IPI), base 000, en el período Enero 9, 0, 0,7 0,7 0,,9 8,, Febrero 9, 0, 0, 0,, 3,9, 0,9 Marzo 03, 3,9 06, 06,3,3 3,7 36,3 3, Abril 97 97, 98,3,8,,9,8, Mayo 0, 08,,6 7,8, 33, 3,9 Junio 0,,7 06,,3 3,8 6, 3,7 9, Julio 0,7 06, 0, 9, 6, 8,3 8, 8 Agosto 6, 67, 66, 7,7 76, 8, 86,9 89,7 Septiembre 0,9 0,6 0,8,8 0,, Octubre 0, 08,,8 3,7 3, 6,8 30,6 Noviembre 09, 0, 08,, 8, 33,3 7 Diciembre 99,9 9, 96,8 06,9 8,3 07, (a) Obtener la tendencia por el método analítico y representar ambas series. (b) Obtener la tendencia por el método de las medias móviles y representar ambas series. 7

8 a) TENDENCIA POR EL MÉTODO ANALÍTICO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS y º. Se calculan las medias anuales: y i t t (003,00,,00) medias anuales Enero 9, 0, 0,7 0,7 0,,9 8,, Febrero 9, 0, 0, 0,, 3,9, 0,9 Marzo 03, 3,9 06, 06,3,3 3,7 36,3 3, Abril 97 97, 98,3,8,,9,8, Mayo 0, 08,,6 7,8, 33, 3,9 Junio 0,,7 06,,3 3,8 6, 3,7 9, Julio 0,7 06, 0, 9, 6, 8,3 8, 8 Agosto 6, 67, 66, 7,7 76, 8, 86,9 89,7 Septiembre 0,9 0,6 0,8,8 0,, Octubre 0, 08,,8 3,7 3, 6,8 30,6 Noviembre 09, 0, 08,, 8, 33,3 7 Diciembre 99,9 9, 96,8 06,9 8,3 07, y t 98,3083 0,8833 0,70 09,833,083 8,000,797,3667 º. La tendencia media anual se obtiene ajustando una recta de regresión (años, medias mensuales): t = años y = medias 98,3083 0,8833 0,70 09,833,083 8,000,797,3667 Por el método de los mínimos cuadrados, resulta: a -703,606 y b 3,776 con lo que, T ŷ -703,606 3,776. t t t t (t003, t00,,t00), resulta pues: Años Tendencia 98,9 0,870 0,6 09,3607 3,09 6,8 0,96,37 El ajuste es bastante bueno, el coeficiente de determinación: R 0,98 3º. En la serie original, la tendencia por subperíodos: k b Ti t T t i. tendencia media anual para los subperíodos k-ésimos k donde, t Año (003, 00,..., 00) i Subperíodo donde se calcula la tendencia (semestral i =,,..., ) k Número total de subperíodos (datos semestrales k = ) b Pendiente de la recta de regresión = 3,776 8

9 ,08 00,36 03, ,6,389,36 8,8799,6 96,70 00,67 0,0 07,96,70,67 9,90, ,036 00,7778 0,3 08,683,036,788 9,0 3,93 97,37 0,0899 0,83 08,80,37 6,0709 9,86 3,6 97,668 0,00 0,73 08,89,6378 6,3830 0,83 3, ,9689 0,7 0,9 09,06,999 6,69 0,0, ,80 0,06 0,77 09,67 3,60 7,007 0,7, ,93 0, , ,888 3,7 7,393,066, ,90 0,60 06,397 0,09 3,886 7,63,3767,9 0 99,73 0,966 06,7078 0,30,983 7,93,6888,30 99,9 03,77 07,099 0,76,0 8,6,0009,76 99,8 03,868 07,330,0773,8 8,678,330 6,08 La representación gráfica de las dos series (original, tendencia): b) TENDENCIA POR EL MÉTODO DE LAS MEDIAS MÓVILES Serie no centrada de medias móviles meses ,7 0,797 0,00 3,00 6,97,0833, ,8083 0,7083 0,997 3,800 6,670,667, ,8667 0,67 06,9083,000 7,097,70, ,70 0,000 07,783,097 7,0667,883, ,70 0,07 08,37,6333 7,6000 3,667, ,3083 0,8833 0,70 09,833,083 8,000,797, ,000 0,783 0,0 09,833,83 8,667 3, ,90 0,8333 0,000 0,97,333 9,083, ,797 0,083 0,397,87,333 0,83, ,80 0,833 03,800,83,67 0,00, ,600 0,9833 0,67,070,900,67, ,00 0,7 0,797,8667 6,7,0667,

10 Serie centrada de medias móviles meses ,398 0,667 0,708 3,83 6,67,070, ,670 0,700 0,7708 3,600 6,833,30, ,837 0,670 06,00,00 6,8833,708, ,008 0,908 07,3333,8 7,079,767, ,0 0,08 08,000,36 7,3333 3,06, ,079 0,083 08,76,88 7,800 3,09, ,8 0,808 0, ,3833,83 8,3333 3, ,66 0,798 0, 0,087,8 9,037 3, ,383 0,08 0,398,67,3333 0,0333, ,8083 0,8 03,08,7000,37 0,, ,37 0,333 03,9833,867,798,0333, ,900 0,7 0,,708 6,08,797,