Tema 2. Estática del sólido

Transcripción

1 Tema 2. Estática del sólido 1. Momento de una fuerza respecto de un punto 2. Estática del sólido rígido 3. Armaduras 4. Tracción-compresión en sólidos deformables 1. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO Hasta ahora, no hemos considerado la geometría de los cuerpos que hemos analizado, ya que para nosotros han sido simplemente puntos con masa, por lo que ni se podían deformar, ni podían girar sobre un eje que los contuviera. Llega, en este tema, el momento de considerar esta cuestión. Por tanto, en este tema sí que intervendrán la geometría de los cuerpos que analicemos. Primero estudiaremos el sólido rígido, que es aquel sólido que no podemos deformar ni romper. Para este estudio tendremos que introducir una nueva magnitud física: el momento de una fuerza respecto de un punto. Después estudiaremos el sólido deformable, que es aquel sólido que se deforma ante la acción de fuerzas y que puede llegar incluso a la fractura. Para este estudio tendremos que introducir una nueva magnitud física: el esfuerzo interno. Comenzamos con el momento de un vector respecto de un punto, para lo que tendremos que definir antes otros conceptos. Def. Recta de acción de una fuerza. Es la recta que contiene a dicha fuerza. No debemos confundir la recta de acción de una fuerza con la dirección de la fuerza. Por ejemplo, todas las fuerzas que tienen la misma recta de acción tienen la misma dirección, pero el recíproco no es cierto. En el tema cero dijimos que para hallar un vector debíamos hallar su módulo, dirección y sentido; o lo que es lo mismo, sus componentes polares o sus componentes cartesianas. También dijimos que las fuerzas eran vectores. En el primer tema dijimos que para hallar una fuerza aplicada a una partícula debíamos hallar, además, la partícula sobre la que se aplica la fuerza. En este tema decimos que para determinar una fuerza aplicada a un sólido rígido debemos determinar, además de módulo, dirección, sentido y cuerpo sobre el que se aplica, la recta de acción de la fuerza. Def. Distancia de un punto a una recta. La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y el punto de r más cercano a P. Por tanto, para hallar la distancia de un punto a una recta trazaremos una perpendicular a la recta que pase por el punto; la distancia del punto a la recta será la distancia entre el punto y el punto de la recta intersección con la perpendicular. Def. Momento de una fuerza respecto de un punto. Sea F una fuerza y P un punto. Para nosotros, el momento M p de la fuerza F respecto del punto P es una magnitud escalar con signo. Módulo. Su módulo es el producto del módulo de F por la distancia de P a la recta de acción de F. Su unidad en el S.I. es el Newton*metro (N*m). Signo. Su signo es positivo cuando la fuerza tienda a hacer girar respecto de P en sentido antihorario; será negativo en caso contrario. M p = F *d, donde d es la distancia entre P y la recta de acción de F. M p > cuando el giro respecto P sea antihorario. M p < cuando giro respecto P sea horario. Teorema 1. El momento de una fuerza respecto de un punto no varía si trasladamos la fuerza a lo largo de su recta de acción. Def. Momento de un sistema de fuerzas respecto de un punto. Es la suma algebraica (con signo) de los momentos de cada fuerza del sistema respecto de dicho punto. Teorema 2 (Th. de Varignon). El momento de una fuerza respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de sus componentes respecto de dicho punto. Este teorema será de gran utilidad en la resolución de problemas. Def. Par de vectores. Un par de vectores es un sistema de dos vectores de igual módulo y dirección, pero de sentidos contrarios. Teorema 3. El momento de un par de vectores es el mismo para todos los puntos. Dicho valor es igual al módulo de los vectores por la distancia entre sus rectas de acción. 2. ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO En este punto vamos a dar las claves para estudiar el equilibrio de un sólido rígido. Axioma. Principio de acción-reacción. Cuando un sólido ejerce una fuerza, llamada acción, sobre otro, éste a su vez, ejerce sobre el primero otra fuerza, llamada reacción, de igual módulo, dirección y recta de acción, pero de sentido contrario. Axioma. Condición para que un sólido esté en equilibrio. Para que un sólido esté en equilibrio deben cumplirse estas dos condiciones simultáneamente:

2 a) Resultante de las fuerzas aplicadas sobre el sólido nula. b) Momento nulo, del sistema de fuerzas aplicado sobre el cuerpo respecto de un punto, el que nosotros elijamos. Como vemos, para que un sólido esté en equilibrio hace falta, por un lado, la misma condición que para la partícula. Pero en el caso de sólido, hace falta una condición más, la condición b; esto se debe a que un sólido tiene la capacidad de girar sobre un eje que pase por él. Vamos a estudiar dos teoremas que aplicaremos bastante en la resolución de problemas. Teorema 4. Sea un sólido sometido sólo a dos fuerzas. Para que dicho sólido esté en equilibrio las dos fuerzas tendrán el mismo módulo, dirección y rectas de acción, pero sentidos contrarios. En el caso de que el sólido esté sometido a más fuerzas, pero con la condición de que cada fuerza o está aplicada en un punto A del sólido o está aplicada en un punto B del sólido, para que dicho sólido esté en equilibrio la resultante de las fuerzas aplicadas en A tendrá el mismo módulo, dirección y recta de acción, pero sentido contrario que la resultante de las fuerzas aplicadas en B. Teorema 5. Sea un sólido sometido sólo a tres fuerzas no paralelas. Para que dicho sólido esté en equilibrio la resultante de las tres fuerzas debe ser nula y las rectas de acción de las tres fuerzas deben cortarse en el mismo punto. Peso de un sólido. La recta de acción del peso de un sólido es la que pasa por su centro de masas o de gravedad. Para los problemas que vamos a hacer no necesitamos definir formalmente qué es el centro de masas de un sólido ya que serán sólidos muy sencillitos. Por ejemplo, el centro de masas de una barra homogénea es el centro de la barra. Tipos de apoyos. Un apoyo impide al sólido algún tipo de movimiento de traslación o de giro. a) Apoyo fijo. Un apoyo fijo impide todo movimiento de traslación en el punto apoyado, pero no impide el giro del sólido en torno a él. Por tanto, al aislar un sólido de un apoyo fijo tendremos que añadir una fuerza que tendrá el módulo, dirección y sentido necesarios para que dicho punto no se pueda mover; su recta de acción pasará por dicho punto. En la práctica, al aislar pondremos una fuerza en el eje x y otra fuerza en el eje y. b) Apoyo móvil. Un apoyo móvil impide el movimiento de traslación del punto apoyado en una dirección, pero no impide el movimiento en la dirección perpendicular ni el giro del sólido en torno a él. Por tanto, al aislar un sólido de un apoyo móvil tendremos que añadir una fuerza que tendrá el módulo y el sentido necesarios para que dicho punto no se pueda mover en la dirección impedida; su dirección será la de la dirección impedida y su recta de acción pasará por dicho punto. 3. ARMADURAS Estructura. Una estructura es un sistema de cuerpos destinado a soportar los efectos de las fuerzas que actúan sobre él. Por tanto, todo objeto debe tener una estructura que soporte las fuerzas que se aplican sobre dicho cuerpo. Para que una estructura se considere adecuada debe cumplir tres condiciones: a) Estabilidad, es decir, que no vuelque. b) Resistencia, es decir, que aguante sin romperse. c) Rigidez, es decir, que no se deforme demasiado. Esfuerzos internos. Dependiendo de cómo intenten las fuerzas deformar un cuerpo diremos que el interior del cuerpo está soportando alguno de los siguientes esfuerzos internos: a) Tracción, si las fuerzas intentan alargarlo. b) Compresión, si las fuerzas intentan acortarlo. c) Flexión, si las fuerzas intentan doblarlo. d) Torsión, si las fuerzas intentan retorcerlo. e) Cizalla o cortadura, si las fuerzas intentan cortarlo. Armadura. Una armadura, cercha o celosía es un tipo de estructura de barras caracterizado porque las fuerzas a las que está sometida cada barra sólo pueden estar aplicadas en sus extremos; además, las uniones y apoyos de las barras permiten el giro relativo de éstas. Por tanto, una armadura debe ser triangulada. Teorema 6. En una armadura, cada barra de la misma está sometida a tracción o a compresión. Para hallar dicho esfuerzo tendremos que romper la 4. TRACCIÓN-COMPRESIÓN EN SÓLIDOS DEFORMABLES Ha llegado el momento de dejar los sólidos rígidos y estudiar los sólidos deformables o reales. Para ello, comenzamos con una novedad, y es que para hallar una fuerza aplicada a un sólido real debemos hallar: módulo, dirección, sentido, cuerpo sobre el que se aplica y punto del cuerpo en el que se aplica. Es decir, ya no nos basta con conocer la recta de acción de la fuerza, sino que debemos conocer el punto de aplicación de la misma. Esto es así porque dos fuerzas con igual módulo, dirección, sentido y recta de acción, pero distinto punto de aplicación producirán deformaciones distintas, como veremos a continuación. Nosotros, de todos los posibles casos de geometría de sólidos y de esfuerzos, sólo vamos a estudiar las deformaciones en barras debidas a esfuerzo de tracción-

3 compresión, también conocido como esfuerzo normal o axil. Def. Tensión. En barras, llamamos tensión (σ) de una sección al esfuerzo normal de dicha sección dividida entre el área de la sección; la tensión tiene unidades de fuerza dividida entre superficie. Def. Deformación. En barras, llamamos deformación o alargamiento unitario (ε) al alargamiento dividido entre la longitud inicial; la deformación es adimensional. σ = F S ε = l l Para entender cómo se deforma un material realizamos el ensayo de tracción del material. Este ensayo consiste en someter a una probeta de dicho material a un esfuerzo de tracción creciente, de forma que vayamos anotando lo que se deforma la probeta en función del esfuerzo de tracción al que es sometida. Esto lo llevamos a una gráfica, llamada curva de tensióndeformación, de la siguiente manera: en el eje horizontal se representa la deformación y en el eje vertical representamos la tensión. Distinguimos los siguientes puntos característicos (todos estos puntos tienen unidades de fuerza entre superficie): material. Esta es la zona que más nos interesa; en ella se cumple: Axioma. Ley de Hooke para barras. En la zona proporcional se cumple que la relación entre tensión y deformación es directamente proporcional: σ = E ε F E S = l l Donde F es el esfuerzo normal, E es el módulo de Young, S es el área de la sección inicial de la barra, l es la longitud inicial de la barra y l es lo que se alarga la barra en el caso de tracción o lo que se acorta en el caso de compresión. IMPORTANTE: Podemos aplicar la ley de Hooke no sólo a toda la barra, sino también a trozos de la misma. Lo único que se exige es que el esfuerzo y la sección no cambien en el trozo de barra considerado. 2. Límite elástico (σ e ). Desde el origen hasta el límite elástico las deformaciones son pequeñas y, además, si la fuerza de tracción cesara, la probeta recuperaría su forma original. Por tanto, superado el límite elástico la probeta no recuperará ya su forma original aunque cese la carga. En muchos problemas, para simplificar, se considera que el límite de proporcionalidad y el límite elástico es el mismo. 3. Límite de fluencia. A partir de este punto se produce una deformación brusca de la probeta sin incremento de la carga aplicada. No todos los materiales presentan este fenómeno. 4. Punto de máxima tensión. Es el máximo de la gráfica. A partir de este punto, las deformaciones se concentran en la parte central de la probeta apreciándose una acusada reducción de la sección de la probeta, denominada zona de estricción. 5. Tensión de rotura. En la zona de estricción, las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura de la probeta en ese punto. Los materiales frágiles no sufren estricción ni deformaciones plásticas significativas, rompiéndose la probeta de forma brusca. Puede parecer que la fuerza para que rompa es menor que el punto de máxima tensión; sin embargo, esto no es así. La razón es que a la vez se alarga la probeta, disminuye su sección; esto es, la probeta es cada vez más estrecha. 1. Límite de proporcionalidad (σ p ). Desde el origen hasta el límite de proporcionalidad la relación entre tensión y deformación es directamente proporcional. A esta constante de proporcionalidad se le conoce como módulo de elasticidad o módulo de Young (E) y tiene unidades de fuerza entre superficie. El módulo de Young sólo depende de la naturaleza del

4 EJERCICIOS TEMA 2. ESTÁTICA DEL SÓLIDO EJERCICIOS DEL PUNTO Calcula el momento de la fuerza respecto de P usando la definición. 2. Calcula el momento de la fuerza respecto de P usando la definición y usando el teorema de Varignon. Comprueba que el resultado es el mismo. 3. Calcula el momento de la fuerza respecto de los puntos: O, A, B y C. 4. Calcula la resultante y el momento respecto del origen del sistema de fuerzas. 5. Calcula el par de fuerzas. EJERCICIOS DEL PUNTO 2 6. La barra tiene peso despreciable y se encuentra en equilibrio. Aísla la barra y calcula las fuerzas que actúan sobre ella. 7. La barra tiene peso despreciable y se encuentra en equilibrio. Aísla la barra y calcula las fuerzas que actúan sobre ella. 8. El sistema está en equilibrio. La masa de la barra es a) Tensiones de las cuerdas T 1, T 2, T 3, y T 4. b) La masa m El sistema está en equilibrio. La masa de la barra es Se pide las tensiones de los cables T 1, T 2, y T Es sistema está en equilibrio. La palanca tiene masa despreciable, pero lleva soldada en A una masa puntual m 2 de 5 kg. El cable T va arrollado en la polea. El radio de la polea es de 6cm, Dicha polea tiene soldada una varilla de 12cm, sin peso, de cuyo extremo pende m 3. a) Tensión T del cable. b) La masa m El sistema está en equilibrio. La palanca tiene masa a) Tensiones de los hilos T 1 y T 2. b) Masa m 2. c) Reacción en A aplicada sobre la barra (módulo, dirección y sentido). 12. El sistema está en equilibrio. La barra tiene masa a) Tensiones de los hilos T 1, T 2, T 3 y T 4. b) Fuerza de enlace en el punto B sobre la barra (módulo, dirección y sentido). 13. El sistema está en equilibrio. El bloque tiene un punto fijo en A. La densidad del cuerpo sumergido es el doble que la del agua. a) Tensión T. b) Masa y volumen del cuerpo sumergido. 14. El sistema está en equilibrio. La varilla tiene una masa m de 6 kg y una longitud l de 1,5 m. El punto A de la varilla es fijo y el punto B está unido a un cable horizontal. a) Tensión del cable T. b) Fuerza de enlace en A sobre la varilla (módulo, dirección y sentido). 15. El sistema está constituido por dos barras homogéneas de igual peso y longitud, que se encuentran en equilibrio. El apoyo y el pasador están situados en los puntos medios de las barras respectivas. El peso del bloque A es 16 kp. a) Peso del bloque B. b) Reacción en la pared. c) Normal en el punto de contacto de las barras. 16. El sistema está en equilibrio. La barra tiene una longitud de 3m y una masa de 12 kg. Se pide el valor de la masa m Cuál es la fuerza F máxima para que el bloque de 1 kg no vuelque? 18. A qué altura como mínimo tengo que hacer una fuerza horizontal de 5 kp si quiero volcar el bloque de 15 kg? 19. Qué fuerza F tengo que hacer como mínimo si quiero que el bloque de 4 kg vuelque? La fuerza se ejerce a media altura del bloque. 2. Qué fuerza F tengo que hacer para que la barra de 2 m y 16 kg permanezca en equilibrio? 21. El sistema representado está en equilibrio. El cuerpo homogéneo y simétrico en forma de T tiene una masa M de 2 kg. En un primer momento sólo colocamos la masa m 1 tal como indica la figura, pero no la masa m 2. a) Cuánto puede valer como máximo la masa m 1, para que el sistema no vuelque? b) Ahora colocamos la masa m 2 como indica la figura, es decir, ahora están colocadas las masas m 1 y la masa m 2. Si la masa m 1, tiene el valor calculado en el apartado anterior, cuánto puede valer como máximo la masa m 2, para que el sistema permanezca en equilibrio? 22. La grúa de la figura tiene una masa M de 1. kg y debe mantenerse en equilibrio en todo momento. Su centro de gravedad (G) aparece dibujado. a) En el caso de que no exista la carga m 2, cuánto es el valor máximo que puede valer el contrapeso m 1? b) Tomando como valor del contrapeso el calculado en el apartado anterior, cuánto es el valor máximo de la carga m 2, para que el sistema siga en equilibrio? EJERCICIOS DEL PUNTO Calcula las tensiones de todas las barras de la 24. Calcula las tensiones de todas las barras de la 25. Calcula las tensiones de todas las barras de la 26. Calcula las tensiones de todas las barras de la 27. Calcula las tensiones de todas las barras de la 28. Calcula las tensiones de las barras EF, CF y BC de la 29. Calcula las tensiones de la barra CF de la 3. Calcula las tensiones de las barras CD y DJ de la

5 31. Calcula las tensiones de las barras CB, KL y CL de la EJERCICIOS DEL PUNTO Una barra cilíndrica de aluminio de 2 m de longitud y 2 mm de diámetro se somete a una fuerza de tracción de 5 kn. El módulo de Young del aluminio es 7 GPa. Sabiendo que la barra se encuentra en la zona proporcional, hallar el alargamiento de la barra. 33. Una barra cilíndrica de acero, con límite de proporcionalidad de 5 kp/cm 2, es sometida a una fuerza de tracción de 85 kp. Sabiendo que la longitud de la barra es de 4 mm, y su módulo de elasticidad de 2,1*1 6 kp/cm 2, se pide: a) Comprobar que, efectivamente, estamos en la zona proporcional. b) Diámetro de la barra para que su alargamiento no supere las 5 micras. 34. Una barra está destinada a soportar una carga de 1 kn de tracción. El límite de proporcionalidad del material de la misma es 5 MN/m 2. Calcular la sección mínima de la barra si queremos que la tensión sea menor que dicho límite de proporcionalidad. 35. Una barra cilíndrica de latón, de 1 mm de diámetro y con una longitud calibrada de 5 mm, se somete a un esfuerzo de tracción, aplicando en sus extremos una carga de 25 kn. De esta forma se observa que la distancia entre las marcas de calibración se incrementa en,152 mm. Sabiendo que estamos en la zona proporcional, hallar el módulo de elasticidad de dicho latón. 36. Cuál será el alargamiento soportado por una barra cuadrada de 1 cm de lado y 1 cm de longitud, si está sometida a una fuerza de tracción de 8 kn, siendo su módulo de Young 2 MN/cm 2 y su límite de proporcionalidad 1 MPa? Si la carga fuera de 8 kn, qué podrías decir del alargamiento? 37. Un latón tiene un módulo elástico de 12 GN/m 2 y límite elástico de 25*1 6 N/m 2. Una varilla de este material de 1 mm 2 de sección y 1 cm de longitud, está colgada verticalmente y lleva en su extremo una carga de 15 N. Suponiendo iguales el límite elástico y proporcional, y despreciable el peso de la varilla: a) Recupera la varilla su longitud inicial al suprimir la carga? b) Cuál será el alargamiento que se ha producido? c) Qué diámetro mínimo habrá de tener una varilla de este mismo material para que sea sometida a una carga de 8*1 4 N, no entre en plasticidad? 38. La barra de acero de la figura, cuya sección es de 8 cm 2, se encuentra sometida a las fuerzas F 1 = 5 kn y F 2 = 25 kn. Para este acero, E = 2*1 6 kp/cm 2. Sabiendo que estamos en la zona proporcional, se pide: a) Alargamiento total de la barra. b) Diagrama de esfuerzos. 39. La barra de la figura tiene una sección de 1 cm 2. El material de la misma tiene un límite de proporcionalidad de 1 kp/cm 2. a) Hallar F 1 y F 2 para que el alargamiento total que experimenta la barra sea nulo. b) Diagrama de esfuerzos. c) Comprobar que estamos en la zona proporcional. 4. La barra de la figura está hecha de un acero cuyo módulo de Young es de 2,1*1 7 N/cm 2. Sabiendo que estamos en la zona proporcional, cuál es el alargamiento total de la barra? 41. El sistema articulado está constituido por una barra de acero de sección circular (AB) y una barra de madera de sección cuadrada (BC). Los módulos de Young del acero y de la madera son: E 1 = 2*1 6 kg/cm 2 y E 2 = 1,2 *1 5 kg/cm 2, respectivamente. Sus tensiones de proporcionalidad son: σ 1 = 8 kp/cm 2 y σ 2 = 1 kp/cm 2. Se pide: a) Diámetro de la barra de acero y lado de la sección cuadrada de madera si queremos que ambas trabajen en la zona proporcional. b) Variaciones de longitud que experimentan ambas barras, si las longitudes de la figura son las longitudes iniciales. 42. En el sistema de la figura se considera que la viga es indeformable, pero no así las dos columnas. La longitud de la viga es l = 5m. La altura inicial de las columnas es h = 3 m. El módulo de Young de las columnas es E = 2.1. kp/cm 2. La sección de la columna de la izquierda es S = 4 cm 2. La sección de la columna de la derecha es S = 16 mm 2. La carga es P = 1. kp. Sabiendo que las columnas trabajan en la zona proporcional, se pide: a) Situación de P para que la viga permanezca horizontal. b) Acortamiento de las columnas.