EJERCICIO A. Problema 1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: x + y 5 x + 3y 9 x 0, y 0

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1 Baremo: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que sólo se harán tres de los cuatro problemas. Cada problema se puntuará de 0 a 3,3. La calificación final será la suma de 0,1 más la suma de las puntuaciones de los tres problemas. Tiempo: 90 minutos EJERCICIO A Problema 1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: x + y 5 x + 3y 9 x 0, y 0 Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos de la región donde las siguientes funciones alcanzan su máximo y su mínimo: a) f ( x, = 2x + 3y, b) f ( x, = y x Problema 2. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9, cuántos han pagado el 20 % del billete y cuántos han pagado el 50 %, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20 % es el doble del número de viajeros que ha pagado el billete entero. Problema 3. La velocidad en (m/s) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dada en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión: f ( x) = 0,00055x( x 300) Deducir de forma razonada: a) Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? Cuál es esa velocidad? b) Entre qué distancias su velocidad va aumentando? Y disminuyendo? c) A qué velocidad llega a la meta? Problema 4. En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música.

2 b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcula de forma razonada cuál es la probabilidad de que esté sintonizada en la emisora B.

3 EJERCICIO B Problema 1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 por cada paquete que venda de tipo A y 5 por cada uno que venda de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular este. Problema 2. Los tres vértices de un triángulo son A = (0, 1), B = (1, 2) y C = (3, 0). a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C y b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación x + 3y = 2. 2 Problema 3. La función f ( t) = 21, t + 0,8t 1, para 0 t 9, donde el tiempo,t, viene expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t = 0) y 2000 (t = 9). a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio en los dos últimos años. c) Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos periodos anteriores? Problema 4. Un alumno realiza un examen tipo test que consta de 4 preguntas. Cada una de las preguntas tiene tres posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Si un alumno aprueba contestando correctamente dos o más preguntas, obtener de forma razonada la probabilidad de que apruebe si escoge las respuestas de cada una de las preguntas completamente al azar. Soluciones de los problemas del EJERCICIO A Problema 1 La región factible es la sombreada en la siguiente figura:

4 Como sabemos, para regiones cerradas, las soluciones máximas y mínimas se dan siempre en alguno de los vértices del polígono de soluciones. Para determinarlas basta con evaluar el valor de la función objetivo en cada uno de esos vértices, que son:. P = (0, 3), Q = (0, 5), R: x + y = 5 x + 3y = 9 R = (3, 2) Para la función f ( x, = 2x + 3y se tiene: f(0, 3) = 9; f(0, 5) = 15; f(3, 2) = 12 El máximo se alcanza en el punto (0, 5); el mínimo, en (0, 3). Para la función f ( x, = y x se tiene: f(0, 3) = 3; f(0, 5) = 5; f(3, 2) = 1 El máximo se alcanza en el punto (0, 5); el mínimo, en (3, 2). Problema 2 Sean x los pasajeros que pagan el billete completo; y los que pagan el 20 %; y z los que pagan el 50 %. Se tiene: x + y + z = 500 9x + 9 0,20y + 9 0,50z = 2115 y = 2z Operando queda:

5 9 x + y + z = 500 x + 1,8y + 4,5z = x y = 0 E2 4,5E1 x + y + z = 500 4,5x 2,7y = 135 2x y = 0 E2 2,7E3 x + y + 0,9x 2x z = 500 = 135 y = 0 x = 150 De donde: y = 300; z = 50 Problema 3 a) Para máximo: f (x) = 0 y f (x) < 0 f ( x) = 0,00055x( x 300) = 0,00055x 2 0, 165x f ( x) = 0,0011x 0, 165 f (x) = 0 si x = 150 m f ( x) = 0,0011 < 0 En x = 150 se da el máximo. La velocidad que lleva es f(150) = 12,375 m/s. b) Si 0 < x < 150, f (x) > 0 la velocidad crece. Si x > 150, f (x) < 0 la velocidad decrece. c) Cuando x = 200, f(200) = 11 m/s Problema 4 Si A, B y C son los sucesos sintonizar la emisora A, B o C, respectivamente, y M es el suceso escuchar música, se tiene: Con esto: P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3 P(M/A) = 1, P(M/B) = 0,5, P(M/C) = 0,5 a) P(M) = P(A) P(M/A) + P(B) P(M/B) + P(C) P(M/C) = =

6 b) Si P(M) = 2/3 P(No M) = 1/3. Luego: 1 1 P(B) P(no M/B) P(B/no M) = = 3 2 = P(no M)