EL PROBLEMA DE FLAVIO JOSEFO

Transcripción

1 EL PROBLEMA DE FLAVIO JOSEFO La entrenadora del equipo de futbol representante de cierto instituto de secundaria de Groenlandia está muy preocupada. Existe en el equipo la tradición de echar a suertes quién debe tirar los penaltis, entre los distintos jugadores que quieran lanzarlos. El problema es que, desde hace un tiempo, todos los lanza la capitana, y ésta lleva fallados los últimos 10 que ha tirado. Cuando hay que decidir quien tira un penalti, se sigue la siguiente tradición: se ponen en círculo y juegan al foca-oso. Ese juego consiste en empezar a contar foca-oso-foca-oso, y todos a los que les toca la oso, quedan eliminados. La última foca será la que tire el penalti. Es decir, se comienza a contar desde uno de ellos (le asignaremos el número 1, de tal forma que este primer jugador, a la que le corresponde una foca, se queda en el círculo, y el segundo (oso) es eliminado. El tercero (foca) se queda en el círculo, y el cuarto (oso) es eliminado. Y así van haciendo, eliminando un jugador de cada dos, y cada vez se va estrechando más el círculo, hasta que sólo queda uno, que será quien tire el penalti. En los partidos oficiales, la capitana tiene el derecho de ser ella quien haga el recuento, y de empezar por la jugadora que ella quiera. Y curiosamente, en las diez últimas ocasiones siempre ha sido ella la elegida para tirar los penaltis. Esto no sería un problema si los tirase bien. Pero es la peor de todas en esa faceta del juego, y ya hemos perdido algún partido por este motivo. Ella dice que no hace trampas, que todo se debe a la suerte. Es realmente así? Esto se conoce como el problema de Flavio-Josefo. Se trata de una historia muy antigua, del siglo I d.c., cuando Roma dominaba todo el Mediterráneo. Los judíos se habían sublevado contra el Imperio, pero el ejército romano era muy poderoso.

2 Al frente del ejército de Galilea estaba Flavio Josefo, que era descendiente de una familia de sacerdotes ligada a la monarquía del pueblo de Israel. Llevaban unos meses defendiéndose de las legiones romanas en la fortaleza inexpugnable de Jotapata, pero ya no podían resistir más el cerco romano. Al ver que iban a ser capturados, decidieron suicidarse antes que entregarse deshonrosamente al ejército enemigo. Pero como la ley judía les prohibía el suicidio, adoptaron un curioso procedimiento para llevar a cabo su propósito, que se conoce en Matemáticas y en Ciencias de la Computación como el problema de los judíos. Los 41 soldados judiós que aún quedaban vivos formaron un círculo. En su caso, iban contando de 3 en 3, de forma que al soldado señalado en tercer lugar le mataba su compañero de la derecha. Y así siguieron contando hasta que sólo quedó Flavio Josefo, el cual sí debía suicidarse, según habían acordado. Pero no lo hizo, sino que se entregó a las tropas romanas.

3 Fue enviado a Roma como esclavo de la familia imperial Flavia, de la que adoptó su nombre. Gracias a su formación académica y a sus dotes diplomáticas, fue finalmente liberado por el emperador Vespasiano, desarrollando una amplia labor en Roma como historiador y literato. Entre sus obras, encontramos la narración de este suceso que marcó su vida. Hay quien piensa que se salvó de casualidad, o gracias a la Divina Providencia, como él afirmaba, pero está claro que sabía dónde colocarse para librarse del fatal desenlace. Volvamos al problema de los jugadores de futbol. Vamos a explicarlo con un grupo de 6 jugadores. Les vamos a poner un número, empezando por la de arriba, y siguiendo el orden de las agujas del reloj. Será la número 5 la que tire el penalti. Ya sabemos que con 6 jugadoras, la elegida será la número 5. Si seguimos este procedimiento con distintos números de jugadoras, tendremos los siguientes resultados:

4 Puede que lo que haya hecho la capitana sea aprenderse toda esta secuencia de números, para saber en qué posición se tiene que colocar en función de la cantidad de jugadoras que forman el círculo, verdad? Podemos tambien encontrar una fórmula. Si nos fijamos en la tabla, veremos que cuando el número de jugadores es potencia de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32), la jugadora que se salva es la número 1, es decir, el jugador por la cual empezamos el juego. Esto es fácil de entender si lo analizamos un poco. Pongamos que tenemos 16 jugadores (16 es potencia de 2: 2 4 = 16). En la primera vuelta al círculo, se eliminarán todas los jugadores que ocupen posiciones pares, y nos quedarán la mitad de los jugadores. Seguimos con el juego, y nuevamente se eliminan todos las que ocupan posiciones pares en la segunda vuelta.

5 Damos la tercera vuelta al círculo, y nuevamente la número 1 se libra de la eliminación. Y finalmente, cuando quedan sólo 2 jugadores (la número 1 y la número 9), también se elimina la segunda. Así que la 1 se salva en todas las vueltas. Y esto ocurrirá siempre que el número de jugadores sea potencia de 2, porque tras cada vuelta siempre quedan un número par de jugadores. Qué hacemos cuando no es potencia de 2? Entonces hemos de tener la habilidad de calcular las jugadores que han de eliminarse hasta que queden un número que sea potencia de 2, de tal forma que en ese momento nos encontremos justo en el lugar que ocuparía el número 1 de ese nuevo círculo que se forma tras eliminar a el último de las jugadores que exceden de la potencia de 2. Supongamos que hay 11 jugadores en vez de 8. Tenemos que conseguir estar en la posición número 1 cuando queden sólo 8, para así poder aplicar el método que hemos visto antes, ya que 8 es potencia de 2 (2 3 = 8). Así que tenemos que contar hacia atrás desde nuestra posición, de forma que haya 3 'osos' antes que nosotros. Y de esta manera obtenemos que debemos colocarnos en la posición número 7, para que así ocupemos la posición número 1 del nuevo círculo de 8 jugadores que se forma tras las tres primeras eliminaciones del grupo de 11. Si queremos generalizar el procedimiento, deberemos tener en cuenta el número total de jugadores, que llamaremos n (en nuestro caso 11). Luego calcularemos en qué cantidad k excede este número de la potencia de 2 inmediatamente inferior: k = n - 2 m, siendo m un número natural positivo tal que 2 m < n < 2 m+1 (en nuestro ejemplo k = = 3, ya que 2 3 < 11 < 2 4 )

6 Y nuestra posición óptima (p) en el círculo vendrá dada por la fórmula: p = 2 k + 1 (en nuestro caso p = = 7) Y esto es lo que hace tu capitana, situarse en el séptimo lugar del círculo. O lo que es lo mismo, empezar a contar por la séptima jugadora que queda a su derecha. Otra forma de saber donde colocarse si conoces bien el sistema binario es la siguiente. Tan sólo tienes que convertir en binario el número de personas que integran el círculo. Luego trasladas el primer uno al último lugar de la cifra en binario, y vuelves a convertir el número resultante al sistema decimal. Y así obtenemos el lugar en el que te tienes que colocar para ser el ganador. - Por ejemplo, para 21 personas, el lugar óptimo es el undécimo, como puedes ver: Y si en vez de ir eliminarse con saltos de 2 en 2, lo hacen de 3 en 3 (focafoca-oso-foca-foca-oso...), o con cualquier otro número? Si te apetece profundizar más sobre los temas tratados en esta historia, puedes visitar cualquiera de estas estupendas páginas: Simulador del problemar Visto en