Introducción a la Probabilidad

Transcripción

1 Introducción a la Probabilidad 1.- Introducción Aunque no lo creas, estudiando el comportamiento de los resultados al lanzar una moneda o un dado, se pueden establecer principios matemáticos de probabilidad que han resultado vitales para el desarrollo de la ciencia, como la Física, la Biología, la Genética, la Economía, la Química, las Ciencias Sociales. De hecho, la axiomática de todo el cálculo de la probabilidad está basado, prácticamente, en el lanzamiento de una moneda o de un dado. Un ejemplo más de que los principios de la ciencia son por lo general sencillos. 2.- Orígenes de la Probabilidad Sabías que la probabilidad tiene su origen en los estudios de las posibilidades de ganar en juegos de azar; en el siglo XVII. Pues bien, en el año 1650, De Meré un francés, jugador empedernido, se encuentra con Blaise Pascal y le propone un problema que ya se había discutido durante la Edad Media. El juego consistía en que cada jugador elegía un número, tiraban un dado alternadamente y el que conseguía primero tres veces el número elegido, ganaba. El problema que le propone De Meré a Pascal consistía en cómo debían repartirse el premio si al suspenderse, De Mère tenía dos puntos y su contrincante 1 punto. Pascal le envía cartas a otro matemático famoso de la época; Pierre de Fermat, contándole acerca de este problema. En el año 1645, ambos matemáticos resuelven el problema argumentado de que si cada uno de los jugadores había aportado 32 doblones y como De Meré tiene el doble de posibilidades de ganar que su adversario, debería recibir 48 doblones. Sobre estas investigaciones que Fermat y Pascal hicieron acerca del juego de dados, surgieron las bases de la probabilidad, la que actualmente influye en muchos aspectos de nuestra vida actual.

2 Por supuesto que estos son los primeros pasos de la teoría de la probabilidad, a continuación te presento un breve resumen del desarrollo histórico de la teoría de la probabilidad. Actividad 1: 1. Elegid un personaje de los mencionados e investigad acerca de la contribución que hizo al desarrollo o estudio de las probabilidades (obra, teorema, trabajos realizados, problemas resueltos etc). 2. Redactad vuestras conclusiones, comenta las conexiones respectivas entre las diversas obras de los personajes. Si aparecen otros matemáticos relacionados con el tema ubícalos en el esquema anterior Para realizar tu actividad puedes revisar la siguiente página relacionada con el tema: Taller 1: Lenguaje del azar Objetivo: Conocer y utilizar el lenguaje del azar Para iniciar este estudio es necesario que conozcas el lenguaje del azar para entender cuando hablamos de él, lo que te será de mucha utilidad. Lee y analiza atentamente las siguientes situaciones: 1. Al tirar una moneda 5 veces ha salido: cara-cara-cruz-cara cruz, si la lanzamos otra vez qué saldrá? 2. En una bolsa tenemos 7 bolas blancas y 4 bolas verdes. Sin mirar sacamos una Qué es más fácil, que la bola sea blanca o que sea verde? 3. Julio ha tirado una moneda al aire y ha obtenido 8 cruces seguidas. Si vuelve a tirar otra vez la moneda, saldrá otra vez cruz? Encontraste la solución?, parece que la respuesta no es tan simple, pues como te habrás dado cuenta dependen del azar, a estos experimentos se les llama

3 experimentos aleatorios, aleatorio porque procede de la palabra latina Alea, que significa riesgo, suerte, incertidumbre (también se utilizaba en la antigua Roma para indicar juego de azar, y más propiamente juegos de dados). Una experiencia es de azar si no se puede predecir su resultado. Ahora fíjate en los siguientes experimentos: 4. Si en un laboratorio se mezclan, en las proporciones adecuadas, hidrógeno y oxígeno da como resultado agua 5. Si lanzas una pelota al aire está siempre caerá al suelo Entonces habrás observado que el resultado de estos experimentos se sabe de antemano por lo que podemos decir que estamos ante dos experimentos determinísticos Puedes diferenciar ahora un experimento aleatorio de uno determinístico?, señala un ejemplo de tu vida diaria de cada uno. Ya conoces dos nuevos conceptos, experimento aleatorio y experimento determinístico, ahora concéntrate y contesta las siguientes preguntas: 1. Al lanzar una moneda Qué es más fácil, obtener cara o cruz? 2. Al lanzar un dado qué es más fácil obtener 3 o 6? 3. Al extraer una bolita de una bolsa que contiene dos bolas rojas y dos verdes, Qué es más fácil de extraer una bolita de color rojo o verde? Te fijas que las posibilidades de salir son las mismas, entonces si dos experimentos aleatorios tienen la misma posibilidad de ocurrir, se dice que son equiprobables, o que tiene la misma probabilidad. Ahora observa la caja con bolitas: Si sacas una bola sin mirar, es posible sacar una bola verde?, Qué es más seguro sacar una bola blanca o roja?, es poco

4 probable sacar una bola amarilla? Un hecho o suceso de un experimento aleatorio es: Imposible, si nunca ocurre. Seguro, si siempre ocurre. Poco probable, o improbable, si tenemos poca confianza de que ocurra. Bastante probable, si tenemos mucha confianza de que ocurra. De acuerdo a esto: Sacar una bola verde es: Sacar una bola blanca es: Sacar una bola roja es: Si Tienes bolas de colores: rojo, negra, café y amarilla, y queremos llenar una bolsa con 10 de esas bolas de modo que: 1. Sea imposible sacar bola amarilla. 2. Sea muy poco probable de sacar bola café. 3. Sea poco probable sacar bola roja. 4. Sea muy probable sacar bola negra. Cuántas bolas de cada color echaría en la bolsa? Sigamos formando nuestra base de datos: Observa el dado de la figura, los números que se pueden obtener al lanzar el dado son: Observa la moneda de la figura, Al lanzarla podemos obtener: El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio es llamado espacio muestral y cada uno de los resultados se llama suceso o evento elemental:

5 Experimento Espacio muestral Sucesos elementales Lanzar un dado S={1,2,3,4,5,6} 1,2,3,4,5,6 Lanzar una moneda S={cara, cruz} Cara y Cruz Si tú lanzas dos monedas al aíre crees que el espacio muestral es el mismo que si lanzas una? Descríbelos. Actividad 2: Realiza un esquema resumen de todo lo visto hasta ahora. 4.-Taller 2: Recogiendo información Recogiendo información un paso hacia la probabilidad experimental Objetivo: Construir tablas de frecuencias y calcular probabilidad en forma experimental En la mayor parte de los experimentos aleatorios se obtiene una gran cantidad de información, y está contiene datos que hay que recoger de algún modo para analizar y sacar conclusiones Lanza una moneda 10 veces al aire y rellena la siguiente tabla Lanzamientos Cara Cruz Frecuencia Cuántas veces ha salido cara? Con que frecuencia ha salido cruz? Llamaremos frecuencia al número de veces que ha ocurrido un suceso en un determinado experimento aleatorio, para diferenciarla de otro tipo de frecuencia la llamaremos frecuencia absoluta. Para obtener más información podemos realizar una comparación a través de una razón, entre la frecuencia absoluta de un suceso y el total de veces que se realiza el experimento a este cociente lo llamaremos Frecuencia relativa. Ejemplo: si lanzas una moneda 20 veces y 7 veces sale cara; la razón entre la frecuencia absoluta de un suceso y el total de veces que se realiza el experimento es 7/20; salen 7 caras de un total de 20 lanzamientos

6 Ahora te toca completar la siguiente tabla, observa lo que vas obteniendo: Al lanzar un dado 20 veces, Marta obtiene los siguientes resultados (complete la frecuencia relativa) Cara Frecuencia absoluta Frecuencia relativa total 20 1 Observa y contesta: Menor valor de la frecuencia relativa: Mayor valor de la frecuencia relativa: La frecuencia relativa varía entre 0 y 1 La suma de las frecuencias relativas es 1 Actividad 3: Para finalizar este taller continúa resumen que hiciste al inicio, complétalo con lo aprendido hasta ahora. 5.- Taller 3: Probabilidad Experimental Objetivo: cuantificar la probabilidad a través de un experimento Aunque un suceso o experimento aleatorio sea impredecible, la matemática ayuda a expresar en forma numérica hasta qué punto se puede esperar que dicho suceso ocurra. Para cuantificar la probabilidad de que un suceso ocurra realizaremos el siguiente experimento, visita el enlace que aparece a continuación en la página, te permitirá simular el lanzamiento de una moneda, primero lánzala 50 veces, anota en una tabla las respectivas frecuencias absolutas (el número de caras y cruces obtenidas) y sus respectivas frecuencia relativas, observa el gráfico, luego borra todo y lanza la moneda

7 100 veces anota en otra tabla los datos obtenidos, hazlo sucesivamente con 1000 lanzadas, lanzadas, lanzadas, y por ultimo lanzadas (indicaciones: 1º debes presionar inicio para limpiar, debes ingresar el numero de lanzamientos, luego presionar intro, y después el botón lanzar moneda, cada vez que realices un nuevo lanzamiento debes borrar el anterior con el botón inicio, en caso de ser necesario debes habilitar macros) Enlace Lados Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Cara Cruz Observaste que la frecuencia relativa de un evento, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento empieza a mantenerse constante. Este número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un evento a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se denomina probabilidad (varía entre 0 y 1). La probabilidad de un suceso es la razón entre el número de veces que el suceso ocurriría en un número muy grande de prueba. La frecuencia relativa y la probabilidad se aproximan más y más cuanto mayor es el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio. De acuerdo al experimento realizado Cuál es la probabilidad que salga cara? Veamos cuánto has aprendido:

8 Un grupo de hombres y mujeres que asistieron a una cena pidieron postre o café según la tabla: Postre café total Hombre Mujer Total Si elegimos al azar un asistente, calcula la probabilidad de que: a) pidiera postre b) sea hombre c) sea mujer y haya pedido postre d) sea hombre y haya pedido café 6.-Taller 4: Regla de Laplace Objetivo: Utilizar la fórmula de Laplace para el cálculo de probabilidades Como has podido comprobar anteriormente, la probabilidad, que es un valor teórico, se puede obtener de forma experimental mediante el cálculo de la frecuencia relativa de un número grande de experiencias. En este caso, sabemos que la frecuencia relativa es un valor aproximado de la probabilidad. Ahora aprenderemos a calcular la probabilidad de forma teórica o matemática y no experimental, mediante la aplicación de la Regla o ley de Laplace. Pierre Laplace ( ) definió, sin tener que hacer repeticiones ni experimentos, la probabilidad de un evento solo con el análisis de casos favorables. Laplace propuso el cálculo del cociente entre los casos favorables y el total de casos posibles del evento, cuando los sucesos elementales del experimento aleatorio son equiprobables.

9 Veamos si has comprendido: Usando la regla de Laplace, resuelve el siguiente ejercicio: Si se tira un dado de seis caras numerado del 1 al 6 : a) Qué probabilidad tienes de obtener 5 al lanzar el dado? b) y de obtener un número entero menor que 5?