Método Egipcio Mejorado

Transcripción

1 Especialidad La enseñanza de las matemáticas en secundaria Grupo B: Celaya Método Egipcio Mejorado Uno de los algoritmos que aprendimos para multiplicar lo conocemos como Método Egipcio. Para poder usarlo necesitamos únicamente saber duplicar, saber sacar mitad y saber sumar. Todos estos conocimientos son en principio mucho más sencillos que aquellos necesarios para la multiplicación. Sin embargo, es de esperarse que encontrar un método para sacarle la vuelta a la multiplicación puede ser ligeramente más tardado. En este material, vamos a hacerle una pequeña mejoría al Método Egipcio. Más adelante, vamos a generalizar al Método Egipcio para otros números. Supongamos que queremos multiplicar Incluimos a propósito el 7 y el 8, la intersección de las dos tablas de multiplicar más conflictivas de la historia. Vamos a hacer una tabla de 5 columnas. La primera columna lleva como encabezado Potencias de 2. La segunda columna lleva como encabezado 76. La tercera columna lleva como encabezado Residuo. La cuarta columna lleva como encabezado 88. La quinta y última columna lleva como encabezado Resultado. Queda más o menos así: Y procedemos como sigue: 1. En la primera columna, escribimos las potencias de 2 (escribimos 1 y lo vamos duplicando por cada renglón que bajemos) hasta la mayor potencia de 2 que sea menor que el número que tenemos en la segunda columa

2 En este caso, 64 es la mayor potencia de 2 que es menor que 76, el número en la segunda columna. Hemos dejado el marcado para notar que la siguiente potencia es mayor. 2. Vamos a dividir el número de la segunda columna entre 2 cada vez que bajemos un renglón hasta llegar al renglón del 64. Si el número es impar, entonces consideramos la parte entera de la división. Es decir, las veces que cabe 2 sin considerar el residuo Siempre tenemos que llegar a 1 en el mismo renglón donde tenemos la mayor potencia de 2 menor que nuestro número. 3. En la columna de Residuo vamos a escribir un 1 si el número del mismo renglón de la segunda columna es impar y un 0 si el número del miso renglón de la segunda columna es par La columna extra que agregamos la que dice Residuo ya nos hizo la tarea de encontrar las potencias de 2 que suman el número de la segunda columna, en este caso 76. Veamos que si sumamos las potencias de 2 que están en los renglones donde tenemos un 1 en Residuo, nos da 76: = 72 También es importante recalcar que siempre tiene que ir escrito un 1 en la casilla donde se cruza la columna de Residuo y el renglón con la mayor potencia de 2 menor que el número de la segunda columna.

3 Como última observación, lo que estamos haciendo es escribir el residuo que deja dividir el número de la segunda columna entre 2. En este caso es lo mismo que encontrar los números impares y los pares. 4. Vamos a duplicar el número de la cuarta columna hasta el renglón de la mayor potencia de 2 menor que el número de la segunda columna. Observa que al igual que el número de la segunda columna al escribirlo inmediatamente debajo no sufre ningún cambio Aunque duplicar es una operación bastante sencilla tenemos nada más que sumar el número a sí mismo con números más grandes puede tomar algo de trabajo. 5. Por último, vamos a multiplicar el número de la cuarta columna la que acabamos de duplicar por el número del mismo renglón en la columna de Residuo. Vamos a escribir ese resultado en la columna que marcamos con Resultado Para este caso fue particularmente sencillo: lo único que hay que hacer es escribir 0 si en Residuo tenemos un 0 o escribir el mismo número si en Residuo tenemos un El último paso es sumar los números que tenemos en la columna de Resultado = 6688 Y ese número es (Comprueba con una calculadora si no te convence.)

4 Por qué funciona? La explicación no es complicada. En el paso 3 encontramos la manera de escribir 76 el número de la segunda columna como suma de números de la primera columna de potencias de 2. Si sustituimos, tenemos: Si distribuimos, tenemos: = ( ) = Haciendo las multiplicaciones, nos damos cuenta que esto es lo mismo que la suma que hicimos: = = 6688 Y así sabemos que nuestro algoritmo siempre funciona. Lo que estamos haciendo es multiplicar en base 2, es decir, multiplicar igual que como multiplica una computadora. Qué tal si en lugar de sacar mitad y duplicar, lo más sencillo para mí es sacar tercera parte y triplicar? No hay problema, podemos usar el mismo método sacando tercera parte en lugar de mitad y triplicando en lugar de duplicar: 1. Escribimos la misma tabla, pero en lugar de Potencia de 2, vamos a escribir Potencia de 3. De la misma forma que la vez pasada, escribimos en la primer columna la potencia de 3 más grande que sea menor que el número de la segunda columna, 76 (escribimos 1 y luego triplicamos a cada paso para abajo) Dividimos el número de la segunda columna entre 3 por cada paso que demos para abajo. En el primer paso queda sin hacerle ningún cambio. Igual que con 2, consideramos sólo la parte entera (las veces que cabe o el número que queda arriba de la casita al hacer la división). No estamos haciendo nada radicalmente distinto que con 2. Lo único es sustituir mitad por tercera parte y duplicar por triplicar.

5 Esta vez no es necesario llegar hasta 1. Podemos llegar a 1 o a 2 y cualquiera de los dos está bien. 3. Escribimos el residuo que deja el número de la segunda columna en su casilla correspondiente de la tercera columna. Los pasos 2 y 3 pueden hacerse juntos: escribimos el número de arriba de la casita en la segunda columna y el número de hasta debajo de la casita en la columna Residuo Ojo: los únicos valores posibles para la columna residuo son en este caso 0, 1 y 2. Cuando estábamos dividiendo entre 2, los únicos valores posibles eran 0 y 1. Si dividiéramos entre 5, los únicos valores posibles serían 0, 1, 2, 3 y 4. Recuerda que estamos hablando de residuos y los residuos de una división van desde 0 hasta el número anterior al número entre el que estamos dividiendo. Si dividiéramos entre n, los residuos son 0, 1, 2, 3,, n 1. Al igual que en el caso anterior, la tercera columna nos dice cómo encontrar 76 como suma de potencias de = = = Si con 2 duplicábamos, ahora con 3 tenemos que triplicar

6 Triplicando hacemos menos operaciones (son sólo 4 pasos para abajo) pero los números se hacen más grandes más rápido. 5. Escribimos en cada renglón de Resultado lo que nos da cuando multiplicamos el número del mismo renglón de la columna Residuo con el de la cuarta columna Para terminar, sumamos los números de la columna Resultado = 6688 = Esta vez el resultado no debió sorprendernos, pues ya sabemos por qué funciona. Intenta el algoritmo para encontrar el resultado de multiplicar distintos números. Anímate a probarlo con distintas bases. Prueba con potencias de 4 o de 5. Recuerda que mientras más grande la base menos pasos necesitas pero las multiplicaciones son más grandes. Qué pasa si eliges la base 10? Piensa un poco. Con base 10 el procedimiento es muy familiar, no es así?