Asesorías Celaya 24 de septiembre de 2011

Transcripción

1 Asesorías Celaya 24 de septiembre de 2011 Luis Islas, Eugenio Flores 1. Acuerdos 2. Resolución de Tarea de Ricardo Vila 3. Resolución de Tarea de Alejandro Díaz Barriga 4. Encuesta sobre las asesorías en línea 5. Racionales e Irracionales 1. Acuerdos Durante la exposición de los 5 problemas que dejó Ricardo Vila, llegamos al acuerdo de que es necesario entregar siempre soluciones completas. También hicimos suficiente énfasis en mostrar que una solución completa no necesariamente está hecha con sistemas de ecuaciones sino con argumentos suficientes. Además, establecimos que mostrar que un valor cumple no es equivalente a demostrar que es el único que cumple, y que es esto segundo lo que buscamos en la tarea. Por último, nuestro acuerdo suponía que no es imposible que un alumno de secundaria encuentre soluciones completas. 2. Resolución de Tarea de Ricardo Vila No se revisó durante esta sesión los 20 ejercicios de factorizaciones que dejó. Sólo revisamos los 5 problemas del libro de Álgebra. a. Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 7 en dicho sistema sea 111? Solución 1. Planteamos la ecuación: 71. Es una cuadrática y resolvemos para a Descartamos la raíz negativa y obtenemos a = 2. Comprobamos: = 7. Solución 2.

2 Sustituimos para distintos valores del sistema. Si a = 1, tenemos = 3. Si a = 2, tenemos = 7. Si a = 3, tenemos = 13. Sabemos que si a < b, entonces 1 1. De aquí concluimos que a = 2 es la única solución posible. Este sencillo argumento es la diferencia entre mostrar que 2 es solución y demostrar que 2 es la única solución. b. En una competencia de lucha grecorromana hay cierto número de personas. Compiten todos contra todos. Si hubo 10 combates cuántos competidores había? Solución 1. Usando la fórmula de combinaciones, sabemos que hay tantos combates como maneras de elegir 2 personas de un conjunto de k. Es decir, buscamos k tal que Descartamos la r aíz negativa y obtenemos que había 5 competidores. Se puede resolver sin hacer las operaciones conociendo que los números de la forma forman la tercera diagonal 2 del triángulo de Pascal, o bien, que se les conoce como números triangulares. Solución 2. Probamos para valores distintos de posibles competidores. Con 2 competidores a, b se puede hacer un único combate: a vs b. Con 3 competidores a, b, c se pueden hacer 3 combates distintos: a vs b, a vs c, b vs c. Con 4 competidores a, b, c, d se pueden hacer 6 combates: a vs b, a vs c, a vs d, b vs c, b vs d, c vs d. Con 5 competidores a, b, c, d, e se pueden hacer 10 combates: a vs b, a vs c, a vs d, a vs e, b vs c, b vs d, b vs e, c vs d, c vs e, d vs e. Es fácil ver que mientras más personas haya, más combates se pueden hacer. Por lo tanto, la única solución es 5. Este sencillo argumento es la diferencia entre mostrar que 5 es solución y demostrar que 5 es la única solución. c. Al cumplir 16 años, Armando decide repartir entre sus primos las 66 canicas que posee: a cada uno le corresponde cierto número de canicas, pero uno de ellos decide no aceptar las canicas, por lo que la repartición se hace entre los restantes, tocando a cada uno 11 canicas más que en la repartición original. Entre cuántos primos quería repartir las canicas inicialmente? Nota: trabajamos el problema asumiendo que a todos les tocaba la misma cantidad de canicas.

3 Solución 1. Planteamos la ecuación inicialmente. Sólo necesitamos resolver para n. 11 donde n es la cantidad de primos que había Descartamos la raíz neg ativa y obtenemos que había 3 primos originalmente. Solución 2. Suponiendo como en la solución pasada que a cada uno le toca la misma cantidad de canicas y que esa cantidad es un número entero, las posibles soluciones para n son los divisores de 66. Los divisores de 66 son 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. Como tanto n como n 1 son divisores de 66, las únicas soluciones posibles son n = 3 ó n = 2. Probando cada caso obtenemos que la solución es n = 3. Sin hacer la anterior observación, se puede resolver probando para cada uno de los 8 divisores. d. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 2 unidades más que uno de los lados y 1 unidad más que el otro. Cuáles son las dimensiones del triángulo Solución. Sabemos que los lados miden k, k 1, k 2. Como se trata de un triángulo rectángulo, aplicamos Teorema de Pitágoras: Como no tiene sentido que los lados tengan medidas negativas, descartamos k = 1. Por lo tanto, la hipotenusa mide 5 y los catetos 3 y 4.

4 e. En un rectángulo, el ancho mide 2 cm menos que el largo. Si el área mide 48 cm 2, cuáles son las dimensione s del rectángulo? Cuánto mide una de las diagonales? Solución. Tenemos que los lados miden k, k 2. Usando la fórmula del área para un rectángulo, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: Descartamos la raíz negativa y obtenemos que los lados miden 6 y 8 centímetros respectivamente. Si trazamos una diagonal, obtenemos un triángulo rectángulo con catetos de dimensiones 6 y 8. Utilizando el Teore ma de Pitágoras para obtener la hipotenusa, planteamos la ecuación: De donde la hipotenusa mide 10 unidades Resolución de Tarea de Alejandro Díaz Barriga Hubo mucha confusión sobre qué dejó de tarea Alejandro. No todos tenían apuntado lo mismo y la mayoría no entregaron nada de tarea. En un acuerdo adicional, los tutores le insistiremos a Alejandro que entregue su tarea impresa como los demás investigadores, y los docentes no se quedarán con dudas sobre su tarea. Entre todos, establecimos cuatro grupos de ejercicios distintos en la tarea de Alejandro. a) El primer grupo era una variación de En qué termina el producto de un número terminado en x con un número terminado en y?. Todos se resolvían de manera análoga. Quizás lo más complicado es saber expresar un número terminado en x de manera que sea útil y nos permita trabajar. a. El producto de un número terminado en 1 con un número terminado en 1. Escribimos dos números terminados en 1: Los multiplicamos: Escribimos el resultado como un múltiplo de 10 más algo: Concluimos que el producto es un número terminado en 1.

5 b. El producto de un número terminado en 9 con un número terminado en 9. Escribimos dos números terminados en 9: Los multiplicamos: Escribimos el resultado como un múltiplo de 10 más algo: Concluimos que el producto es un número terminado en 1. c. El producto de un número terminado en 3 con un número terminado en 3. Escribim os dos números terminados en 1: Los multiplicamos: Escribimos el resultado como un múltiplo de 10 más algo: Concluimos que el producto es un número terminado en 9. d. Queremos llegar hasta la conclusión de que el residuo de un producto es igual al residuo del producto de los residuos. Ya habíamos trabajado con esto antes e hicimos varios ejercicios durante el verano. b) El segu ndo grupo consistía en encontrar la forma de los números que tuvieran cierta cantidad de divisores positivos. Eso ya se trabajó en la sesión con Ismael y Esteban y está en la bitácora del sábado 10 de septiembre. Sin embargo, trabajamos dos ejercicios más: a. Números que tienen exactamente p divisores, donde p es un número primo. Recordando la fórmula para calcular la cantidad de divisores, queremos que Donde a, b, son los exponentes de los primos en la factorización de un número k. Sin embargo, por definición de primo. Por lo tanto, la única posibilidad es que 1. Es decir, que sea un único primo elevado a la potencia 1. b. Números que tienen una cantidad impar de divisores. De nuevo, usando la fórmula, tenemos que Si uno solo de los factores 1es par, entonces todo el producto es par. Por lo tanto, todos los 1 son impares. Entonces, todos los i son pares. Pero si un número tiene todos sus factores primos elevados a exponentes pares, el número es un cuadrado perfecto. Así, un número tiene una cantidad impar de divisores si y sólo si es un cuadrado perfecto. c) El tercer bloque eran varios ejercicios para mostrar o demostrar propiedades de los residuos, utilizando la prueba del 9, es decir, la prueba que hemos visto para demostrar el criterio de divisibilidad entre 9: al dividirse entre 9, un número deja el mismo residuo

6 que la s uma de sus cifras. Es muy útil trabajar siempre en función de los dígitos, pues el criterio del 9 está en función de ellos. a. La suma de dos números de tres dígitos. Escribimos nuestros números de 3 dígitos como y Debemos comparar el resultado de hacer primero la suma y después la suma de cifras con hacer primero la suma de cifras y luego la suma. Si sumamos las cifras obtenemos. Si sumamos los números obtenemos Como sabemos por la prueba del 9, esto es igual a 99 9, que, al dividir entre 9, deja residuo de. b. El producto de un número de dos dígitos con uno de tres dígitos. Escribimos un número de tres dígitos como y uno de dos dígitos como 10. Debemos comparar el r esultado de hacer primero el producto y calcular el residuo a calcular el residuo y luego hacer el producto. Si calculamos el residuo de cada uno y hacemos el producto, tenemos:. Si hacemos primero el producto, tenemos: Ya hem os hecho esto en la pru eba de l 9, y sabemos que es igual a que, al dividir entre 9, deja el mismo residuo. c. Hacer la prueba del 9 para la división. Tengo que admitir que no tengo muy claro a qué se refiere esta instrucción del Dr. Alejandro. Mientras que todos los que entregaron algo sobre este ejercicio repetían lo que conocemos como la prueba del 9 ; la instrucción de hacer la prueba del 9 para la división me hace pensar en probar el residuo de una división es igual a la división de los residuos, pues eso es lo que hicimos con la suma y lo que hicimos con el producto. El detalle es que esta propiedad es falsa. Por lo que habría estado todavía más interesante probar que no funciona. Para probar que es falso que una propiedad sea siempre cierta, basta con encontrar un caso donde no lo es. Por ejemplo, si queremos ver que es falso que todos los perros sean rojos, basta con mostrar un perro azul o verde o blanco o café, un perro que no sea rojo. Este tipo de prueba se llama por contraejemplo y lo que hacemos es probar que lo otro es falso. Hagamos pues, un sencillo contraejemplo. Cuando dividimos 13 entre 2, deja residuo 1. Y el 1 deja residuo 1 al dividir entre 9. Pero al dividir entre 9, 13 deja residuo 4 y 2 deja residuo 2. Si dividimos 4 entre 2, el residuo es 0 que es distinto a 1. Esto demuestra que es falso que el residuo de una división sea la división de los residuos. d) Todo nú mero compuesto tiene un divisor que es menor o igual que su raíz.

7 Para este problema, trabajamos lo que es prueba por contradicción. Lo que hacemos es suponer que lo que queremos probar es falso y llegar a un absurdo o una contradicción o algo imposible. Entonces, es imposible que lo que queremos probar sea falso. Por lo tanto, es verdadero. Hicimos varios ejemplos primero. i) Probar que el 7 es impar. Procedemos por contradicción. Es decir, suponemos que el 7 es par. Si el 7 es par, entonces 2 7. Pero sabemos que 7 = y que 6 = 2x3. Entonces, 2 1 que es imposible pues 2 > 1. Por lo tanto, 7 es impar. Volvemos a lo que queremos probar. Vamos a suponer que es falso que todo número compue sto tenga un divisor que es menor o igual que su raíz. Es decir, que todo divisor de un número compuesto es mayor que su raíz. Sea n=ab compuesto, con a, b > 1. Como a y b son divisores de n, entonces lo que es imposible., Por lo tanto, es falso que si un número es compuesto, todos sus divisores sean mayores que su raíz. Es decir, es verdad que si un número es compuesto, tiene un divisor menor o igual que su raíz. 4. Encuesta sobre las asesorías en línea. Ante la baja participación por parte de los docentes en las asesorías en línea, llevamos a cabo una encuesta para tratar de entender por qué no están usando el servicio y tratar de mejorarlo. Los resultados de la encuesta se anunciarán en la siguiente asesoría con Luis y Eugenio. 5. Racionales e Irracionales. Surgió la duda sobre una pregunta hecha por el Dr. Alejandro sobre de cuáles números hay más, si Raciona les o Irracionales. Les comentamos que es extremadamente complicado comparar directamente los conjuntos Racionales e Irracionales en particular por la manera en que están definidos los irracionales como no racionales. Así pues, nuestra sugerencia fue usar un tercer conjunto para compararlos. Si podemos demostrar que hay tantos Racionales como Naturales pero más Irracionales que Naturales, entonces hay más Irracionales que Racionales. Otro camino era demostrar que hay tantos Racionales como Naturales y tantos Irracionales como Reales y comparar Naturales con Reales. La manera de encontrar que tienen la misma cantidad es con una función biyectiva de un conjunto a otro. Hicimos un esbozo de cómo sería la prueba pero no sugerimos ninguna función.