Matemáticas Ciclo 3 Modulo 1 Capacitación 2000 ARITMÉTICA 7 RECORDEMOS MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.

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2 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 ARITMÉTICA 7 RECORDEMOS MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M. Definición Mínimo Común Múltiplo de varios números es el menor número que los contiene a todos en forma eacta. es mínimo común múltiplo de y de Por qué? Porque es el menor número que contiene a y a en forma eacta. Veamos otro ejemplo es el mínimo común múltiplo de y de. Por qué? Porque es el menor número que contiene a y a en forma eacta. Recordemos Múltiplo de un número es cualquier número que lo contenga en forma eacta. es múltiplo de dos porque lo contiene en forma eacta. MÚLTIPLO COMÚN Toma este nombre el número que contiene a más de un número en forma eacta.

3 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 es múltiplo común de dos y tres porque a ambos los contiene en forma eacta. Importante! Mínimo Común Múltiplo m.c.m. De varios números es el múltiplo común de varios números dados, pero además, es el menor posible. es múltiplo común de y porque los contiene en forma eacta. Pero! es el mínimo común múltiplo de y porque no solo es común, sino el mínimo ya que no hay otro menor que que contenga a y a en forma eacta. Se utilizan dos métodos SISTEMA PARA HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. El Euclidiano. Por descomposición de factores primos SISTEMA EUCLIDIANO Se tiene en cuenta el M.C.D. de los números. Se presentan dos casos. Cuando se busca el Mínimo Común Múltiplo de dos cantidades.. Cuando se busca el Mínimo Común Múltiplo de más de dos cantidades. CUANDO SE BUSCA EL M.C.D. DE DOS NÚMEROS

4 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Regla Uno de los números se divide por el M.C.D. y el cociente se multiplica por el otro número. Hallar el M.C.D. de y. El M.C.D. de y es. Uno de los números se divide por dos Hagámoslo. El cociente se multiplica por el otro número. Hagámoslo es el menor número que contiene a y en forma eacta. Probando y Luego: m.c.m. de y es

5 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Regla CUANDO SE BUSCA EL m.c.m. DE MÁS DE DOS NÚMEROS. Se busca el m.c.m. por el proceso visto de dos números.. Con el m.c.m. hallado y el número siguiente se halla un segundo m.c.m.. Si hay más números, se sigue el mismo proceso, es decir, el segundo m.c.m. y el número siguiente permite hallar el tercer m.c.m. y así sucesivamente. El último m.c.m. será el correspondiente a todos los números. Hallar el m.c.m. de, 0 y 0. Hallamos el M.C.D. de dos de los números Hagámoslo Tenemos y 0 Factor común M.C.D. de y Dividimos uno de los números por el M.C.D. () y el cociente de la división lo multiplicamos con el otro.

6 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Hagámoslo 7 y m.c.m. de y 0 0. Hallar el M.C.D. de 0 y el número siguiente, 0 M.C.D. de 0 y 0 Procedimiento Factor común ² 0 Regla M.C.D. de 0 y m.c.m. de, 0 y 0 0 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO POR DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES PRIMOS. Se descompone los números dados en sus factores primos.. Se toman todos los factores comunes y no comunes afectados en su mayor eponente.

7 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Hallar el m.c.m. de, 0 y 0. Se descomponen los números dados en sus factores primos. Hagámoslo Se toman los factores primos comunes y no comunes, afectados en su mayor eponente. En el caso que nos ocupa tenemos. 7 0 ³ 0 ² Análisis en todos los números está elevado a eponente uno por tanto tenemos. 7 siete está solo en, tomamos el 7 está a la en 0 y a la en 0, tomamos el que tiene el mayor eponente, tomamos a la.

8 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 m.c.m. de, 0 y 0 7 ³ 7 0 Elaboremos otro ejemplo Hallar el m.c.m. de 70, 0 y Se toman los factores comunes y no comunes afectados en su mayor eponente. m.c.m. de 70, 0 y 90 ³ 7 ² m.c.m. de 70, 0 y 90 0 FRACCIONARIOS Importante! Así como la aritmética es la reina de las matemáticas, los fraccionarios, son una parte muy importante de ella. Por lo menos es indispensable que el estudiante los domine si desea dominar el hermoso campo matemático. Fracción Es una parte de la unidad 7

9 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Nombre de la fracción El nombre de la fracción depende del número de partes en que se divide la unidad. Si la unidad se divide en dos partes, la fracción se llama un medio. MEDIO MEDIO Si la unidad se divide en tres partes, la fracción se llama tercio. TERCIO TERCIO Si la unidad se divide en cuatro partes la fracción se llama cuarto. Cuarto Cuarto Cuarto Cuarto

10 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 En la misma forma si se divide: En Cinco partes se llama Quinto En Seis partes se llama Seto En Siete partes se llama Séptimo así sucesivamente ELEMENTOS O TÉRMINOS DE UN FRACCIONARIO Los elementos de un fraccionario son las partes que lo constituyen. Estas en su orden son: Numerador, signo que indica división y denominador Numerador El número de partes a que nos referimos MEDIO Signo de división Denominador indica cómo fue dividida la unidad Se lee: Un medio Tercio Tercio Numerador Indica el número de partes a que nos referimos Signo de división Tercio Denominador indica cómo fue dividida la unidad Se lee: Un tercio SIMILITUD DE LOS FRACCIONARIOS Y LA DIVISIÓN 9

11 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Un fraccionario no es otra cosa que una división planteada con diferente nombre en sus términos. DIVISIÓN Dividendo Divisor 0 Cociente Residuo FRACCIONARIO Numerador Denominador Cociente o resultado de ocho sobre cuatro Importante! Aunque cada término en la división y en el fraccionario, tengan nombres diferentes, su función es similar. Comparemos Función Función Dividendo en Igual Numerador en División Fraccionario 0

12 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Función Función Signo en Igual Signo / en División Fraccionario Función Función Divisor en Igual Denominador en División Fraccionario OJO! En razón de esta similitud, a los fraccionarios se les llamada División planteada o cociente indicado. CLASIFICACIÓN DE LOS FRACCIONARIOS Los fraccionarios responden al cuadro siguiente: ) Menores que la unidad Comunes Fraccionarios o ) Iguales a la unidad Decimales ) Mayor que la unidad o impropios NÚMERO FRACCIONARIO Son epresiones matemáticas que constan de Numerador y Denominador. FRACCIONARIOS COMUNES

13 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Toma este nombre cualquier fraccionario cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros.,, FRACCIONARIOS DECIMALES Toma este nombre cualquier fraccionario cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. 0, 00, 000 Nota Los fraccionarios comunes, o los decimales, pueden ser propios, iguales a la unidad o impropios. FRACCIONARIOS MENORES QUE LA UNIDAD (Propios) Toman este nombre los fraccionarios cuyo numerador es menor que el denominador.,, 7 7 FRACCIONARIOS IGUALES A LA UNIDAD Toman este nombre los fraccionarios cuyo numerador y denominador son iguales.

14 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación ,, FRACCIONARIOS MAYORES QUE LA UNIDAD (Impropios) Toman este nombre los fraccionarios cuyo numerador es mayor que el denominador. 0,, TEOREMAS BÁSICOS CON RELACIÓN A LOS FRACCIONARIOS ) Si dos o más fraccionarios tienen igual denominador, es mayor el que tenga mayor numerador.,, 0 De lo anterior se deduce: ) Si dos o más fraccionarios tienen el mismo numerador es mayor el que tenga menor denominador.

15 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación ) Si a un fraccionario propio se le suma al numerador y denominador un mismo número, el resultado es mayor que el inicial. < ) Si al numerador y denominador de un fraccionario impropio se le suma un mismo número, el resultado es menor que el inicial.

16 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 ) Si al numerador y denominador de un quebrado propio se le resta un mismo número, el resultado es menor que el inicial. - - ) Si al numerador y denominador es un quebrado impropio se le resta un mismo número, el resultado es mayor que el inicial ) Si el numerador y denominador de un fraccionario cualquiera se divide o se multiplica por un mismo número el valor de la fracción no se altera. Multipliquemos por numerador y denominador y tenemos Observe que en ningún caso se alteró el valor de la fracción aunque cambiaron las cantidades del numerador y denominador. ) Si el numerador de un fraccionario cualquiera se multiplica por un número, el fraccionario queda multiplicado por dicho número.

17 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Observe que la fracción quedó multiplicada por Multiplicamos por el numerador y nos queda 9) Si el numerador de un fraccionario se divide por un número, el fraccionario queda dividido por dicho número. Dividimos el numerador por Observe que el valor de y tenemos la fracción quedó dividida por 0) Si el denominador de un fraccionario cualquiera se multiplica por un número, el valor de la fracción queda dividida en dicho número.

18 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Observe que el valor de la Multipliquemos su denominador fracción quedó dividida por y nos queda: por ) Si el denominador de un fraccionario cualquiera se divide por un número, el fraccionario queda multiplicado por dicho número. 0 Observe que la fracción quedó Dividamos el denominador multiplicada por por y nos queda: ) Para elevar una fracción a una potencia cualquiera el numerador y denominador se elevan a dicha potencia. Hagámoslo 0 0, y ² ² 0² 00 ² Observe que en los dos casos vistos, el resultado es igual 7

19 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 FRACCIONES EQUIVALENTES Toman este nombre las fracciones que aunque tengan diferentes cantidades, arrojan el mismo valor. Veamos otro ejemplo Son equivalentes Aunque las cantidades que conforman cada fracción son diferentes, ambas fracciones arrojan el mismo valor 0 Son equivalentes SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONARIOS Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente pero con cantidades menores. Observe que: 0 0 y es Simplificando 0

20 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 y 9 Observe que: Recuerde! 9 es Simplificando Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente, pero con cantidades menores. DEFINICIÓN REDUCIR UNA FRACCIÓN A SU MÁS MÍNIMA EXPRESIÓN Reducir una fracción a su más mínima epresión es convertir la fracción no solo en términos menores, sino en el menor posible. 9 / es la más simple epresión de / o la más simple epresión de /9 9

21 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 ARITMÉTICA CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE LOS FRACCIONARIOS ) Si el numerador y denominador de un fraccionario se multiplica por un mismo número, la fracción no se altera, es decir, conserva su valor Si se multiplica numerador y denominador por un mismo número, el valor de la fracción no se altera ) Si el numerador y denominador de un fraccionario se divide por un mismo número, el valor de la fracción no se altera Si el numerador y denominador de un fraccionario se divide por un mismo número, el valor de la fracción no se altera 0

22 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 SISTEMA PARA CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN SU MÁS SIMPLE EXPRESIÓN Regla Para convertir una fracción en su más simple epresión, se puede proceder de dos formas. ) Por divisiones sucesivas a partir del menor divisor común que contenga el numerador y el denominador, hasta que el numerador y el denominador sean primos entre si. ) Dividiendo el numerador y el denominador por su M.C.D. SIMPLIFICACIÓN POR DIVISIONES SUCESIVAS Simplificar por divisiones sucesivas: Hagámoslo Decimos: mitad de cuatro, mitad de dieciséis Por tanto: Decimos: mitad de uno, mitad de cuatro Decimos: mitad de dos, mitad de ocho

23 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Elaboremos el mismo ejemplo sin eplicación. Teniendo en cuenta que en la práctica el número que va siendo reemplazado se tacha. Conclusión La más simple epresión de: Aunque la forma vista, es la más usada en la práctica, veamos el segundo punto de la regla. Para reducir un fraccionario a su más simple epresión, numerador y denominador se divide por su M.C.D. Elaboremos el mismo ejemplo: Simplificar A simple vista podemos ver que el M.C.D. de y es y procedemos

24 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Decimos: octava de uno octava de cuatro Veamos otro ejemplo: Simplificar Usando el M.C.D. Usando divisiones sucesivas OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS Sistema para trasladar un fraccionario a otro de denominador dado. Regla El denominador dado se divide por el denominador del fraccionario y el cociente hallado se multiplica por el numerador del fraccionario. Procedimiento pasarlo a denominador Numerador

25 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Denominador Denominador del fraccionario dado El denominador dado se divide por el denominador del fraccionario El cociente se multiplica por el numerador del fraccionario 0 En otras palabras 0 El cociente se multiplica por el numerador del fraccionario Veamos otro ejemplo Pasarlo a denominador y Denominador Denominador Cociente de Producto del cociente Dado del fraccionario la división por el numerador del fraccionario Veamos otro ejemplo:

26 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Pasarlo a denominador 9 Elaborando la operación nos queda: 9 y De donde 9 SISTEMA PARA TRASLADAR UN ENTERO A FRACCIONARIO Regla Basta con escribir al entero la unidad como denominador. : Convertir en fraccionario Respuesta denominador Escribimos la unidad como Convertir en fraccionario Respuesta denominador Escribimos la unidad como SISTEMA PARA TRASLADAR UN ENTERO A FRACCIONARIO DE DENOMINADOR DADO

27 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Regla ) El entero se multiplica por el denominador dado ) El producto es el numerador del fraccionario : enteros pasarlo a fraccionario con denominador Procedimiento El entero () se multiplica por el denominador dado () y el producto es el numerador pasarlo a fraccionario de denominador Procedimiento El numerador es el producto de, es decir, el número por el denominador dado IMPORTANTE! El estudiante debe asimilar los pasos vistos, es decir, como trasladar un entero a fraccionario, como trasladar un fraccionario a otro de denominador dado. Son importantes estos conceptos para dominar lo siguiente. SUMA DE FRACCIONARIOS CON IGUAL DENOMINADOR Regla ) Se suman los numeradores y se deja el mismo denominador ) Se simplifica si es posible el resultado

28 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 : Regla SUMA DE FRACCIONARIOS CON DIFERENTE DENOMINADOR ) Se reducen las fracciones a su mínima epresión para trabajar con valores lo más pequeño posibles. ) Se halla el m.c.m. de los denominadores. ) El m.c.m. de los denominadores es el común denominador más indicado. ) Se pasa cada fracción al denominador común, es decir, el denominador común se divide por el denominador de cada fracción, el cociente se multiplica por el numerador. ) Se suma los numeradores hallados y se deja el denominador común. ) El resultado se simplifica si es posible. : Resolver Aplicando la regla 0 7

29 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 ) Se simplifican los fraccionarios, es decir, se reducen a su mínima epresión. Hagámoslo Decimos: Seta de uno y de seis 0 Decimos: mitad de dos y mitad de 0 quince De donde: 0 Seguimos trabajando con:

30 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 El segundo paso de la regla es: ) Se halla el m.c.m. de los denominadores por descomposición de factores primos. Hagámoslo Hallar el m.c.m. de y que son los denominadores m.c.m. de y 0 m.c.m. de y 0 ) Según la regla, el m.c.m. de los denominadores es el más indicado, como denominador común, por tanto el común denominador de y es 0. ) Se pasa cada fracción al denominador común (0) y tenemos: Primera fracción Segunda fracción ) El resultado se simplifica si es posible. El resultado arroja 0 que simplificado arroja 0 Elaborando en forma sintética toda la operación eplicada, tenemos: 9

31 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación de donde 0 0 Elaboremos otro ejemplo: Resolver m.c.m. de, y 0 y tenemos de donde Valor de los numeradores

32 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 En conclusión Recuerde! En la práctica antes de elaborar cualquier operación con fraccionarios, deben simplificarse, siempre que sea posible, esto facilita la operación. Resolver: 0 0 Simplificando tenemos: 0 0, 0 y y tenemos: pero: y tenemos: 0 0 0

33 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 Pero simplificando es: y tenemos: Trabajando con 0 m.c.m. de 0 y de donde: Conclusión:

34 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 REGLA RESTA DE FRACCIONARIOS CON DIFERENTE DENOMINADOR ) Se simplifican los fraccionarios si es posible. ) Se halla el común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores. ) El común denominador se divide por el denominador del minuendo y el cociente se multiplica por el numerador. ) El común denominador se divide por el denominador del sustraendo y el cociente se multiplica por el numerador. ) Se restan los numeradores y a la diferencia se le deja el denominador común. ) Se simplifica el resultado si es posible. Elaborar la operación siguiente: 0 - ) Simplificando 0 y

35 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 y tenemos que: Trabajos con: - Hallar los numeradores m.c.m. de y Conclusión 0-0 Elaboremos otro ejemplo: Resolver: 0-0 Elaborando la operación tenemos:

36 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación m.c.m. de 0 y 0 De donde De donde SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONARIOS REGLA ) Se simplifican las fracciones si es posible. ) se halla el común denominador que es el m.c.m. de los denominadores.

37 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 ) El común denominador se divide por cada denominador y se multiplica por el numerador. ) Cada producto lo precede el signo que le corresponda a la fracción. ) Se elabora la suma algebraica de los numeradores, es decir, se suma aparte los positivos y aparte los negativos, los totales se restan y el resultado lleva el signo del mayor en valor absoluto. ) Se simplifica el resultado si es posible. Resolver - ) Se simplifican las fracciones si es posible (ya están simplificadas) ) Se halla el denominador común que es el m.c.m. de los denominadores. m.c.m. de,, y 0 ) El común denominador se divide por cada denominador y se multiplica por el numerador. Hagámoslo: De donde

38 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación Observe que a cada numerador le corresponde el signo de su fracción. Por otra parte observe que, sumando: Elaboremos otro ejemplo ) Simplificando ) Se halla el denominador común de los denominadores, que es el m.c.m. de los denominadores, y tenemos: m.c.m. de, y ) Pasando cada fracción al denominador común con el signo que le corresponde a la fracción tenemos: 7

39 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación De donde MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS REGLA ) Se simplifican las fracciones, si es posible. ) Se multiplican numeradores y denominadores entre si. ) La fracción que arroje como resultado se simplifica si es posible. Elaboremos la operación siguiente: ) Simplificando tenemos: 0

40 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación ) Multiplicando numeradores y denominadores entre si Conclusión Elaborar la siguiente operación: 9 Simplificando 9 ) Multiplicando numeradores y denominadores entre si, tenemos:

41 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación ) Simplificando el resultado tenemos: De donde: 9 Elaboremos el mismo ejemplo en forma sintética. Multiplicar 9 Elaborando la operación queda: 9

42 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS REGLA ) Se simplifican los fraccionarios si es posible. ) El dividendo permanece estático. ) El divisor se invierte. ) Los numeradores y denominadores se multiplican entre si. ) El resultado de la operación se simplifica si es posible. Elaboremos la operación siguiente Según la regla El divisor se invierte Eran y escribimos El dividendo permanece estático Elaborando la multiplicación nos queda: Una vez invertido el divisor la división se convierte en una multiplicación de fraccionarios

43 Matemáticas Ciclo Modulo Capacitación 000 En otras palabras Veamos otro ejemplo sin eplicación Elaborar