TEMA 2: MÉTODO MONTE CARLO

Transcripción

1 TEMA 2: MÉTODO MONTE CARLO Introducción al tema: En esta sección continuaremos estudiando los elementos necesarios que sustentan el método Monte Carlo. Ya en el tema anterior se vio la aplicación de la ley de los grandes números, ahora con base en el Teorema del Límite Central, veremos la fortaleza o debilidad de éste método, y empezaremos a aplicarlo a algunos problemas, incluyendo integrales múltiples. 2.1 Método Monte Carlo: Ve a la biblioteca y busca el libro de Ross, Sheldon M. Introduction to probability models. Sheldon M. Ross. Décima edición. Academic Realiza la lectura sobre el teorema del límite central e intervalos de confianza, sus hipótesis y sus aplicaciones. Hasta ahora hemos aproximado el valor de integrales y valores esperados, pero, qué tan buenos son estos resultados? De acuerdo con el Teorema del Límite Central, si X 1, X 2,... son v.a.i.i.d. con media común µ y varianza finita σ² se tiene. Actividad 7ª: Recuerdas la normal estándar? Qué debo hacer? Entra en el siguiente ejercicio y selecciona la respuesta correcta. Ya que a la larga, cómo debe definir Z m, a partir de, para que Z m ~ Normal(0, 1)? Elija la respuesta correcta. Z m = a.

2 b. c. d. Recomendación: Para los problemas siguientes, es muy conveniente que tengas a la mano una calculadora, computadora o tablas en donde puedas obtener valores de la distribución normal estándar. Actividad 7b: intervalos de confianza: Qué debo hacer? Entra en el siguiente ejercicio y selecciona la respuesta correcta. 1. Si Z 1. ~ Normal(0, 1), entonces P( Z < 1.96) Si Z ~ Normal(0, 1), entonces el valor de x tal que P( Z < x) = 0.99, con una

3 aproximación a dos lugares decimales, es Ahora si Z m = ~"Normal(0,1)" entonces un intervalo del 95% de confianza para Z m centrado en es Actividad 7c. Integrales múltiples Descarguen el documento anexo, que contiene las instrucciones de la actividad que deberán realizar. Conclusión de la actividad 7: En general, se tiene que si X 1, X 2,... son v.a.i.i.d. con media común μ y varianza finita σ² entonces

4 es un intervalo de confianza 100(1-α)% y es la puntuación z correspondiente. Una consecuencia del teorema de Slutsky dice que, para el intervalo de confianza anterior se puede utilizar la desviación estándar muestral, s, en lugar de σ, y se conserva el intervalo cuando m es grande. Así que el intervalo que se propone en la práctica, ante la ausencia del conocimiento de σ², es el intervalo como un intervalo de confianza de m con 100(1-α)% de confianza. 2.2 Aplicaciones del Método Monte Carlo En el ejercicio se desarrolló el experimento de lanzar un dado, que es un hexaedro (un poliedro regular de seis caras). Recuerda que otro poliedro regular es el dodecaedro, tiene doce caras y cada una es un pentágono regular. Supón que tienes un dado en forma de dodecaedro y numeras sus caras del 1 al 12. Supón que este dado es legal. Realiza el mismo experimento del ejercicio, es decir, simula el tiro de un par de estos dados, sea X la variable aleatoria cuyo valor es la suma del resultado de cada uno de los dados. Aproxima el valor de E[X] simulando el tiro de M tiros. Llena la tabla siguiente: M (Límite inferior, Límite Superior) Longitud del intervalo Tabla 1. Simulación del tiro de un par de dados en forma de dodecaedro para estimar E[X] y construcción de un intervalo del 95% de confianza. Para calcular de manera eficiente la media aritmética y la varianza muestral (y por tanto, la desviación estándar muestral) lee el libro de Sheldon Ross, Simulación o el de Patricia Saavedra y Víctor Ibarra, Método Monte Carlo aplicado a finanzas. Actividad 8. Tiro de Dados

5 Qué debo hacer? De acuerdo a los resultados de la tabla, comenta sobre el valor de pueda existir entre los valores M, longitud del intervalo y E[X]. a E[X], y la relación que Conclusión del tema: En esta parte del curso hemos sentado las bases del método Monte Carlo, y cómo, por lo regular, deben presentarse los resultados realizados en un estudio de Simulación. Se comentaron las ventajas y desventajas del método Monte Carlo, y su amplio espectro de aplicación, así como fórmulas recursivas para el cálculo de la media aritmética y la varianza muestrales, útiles cuando se utiliza el método Monte Carlo. Ya con este fundamento, en las siguientes secciones del curso se resolverán casos prácticos. Bibliografía: Saavedra, P. e Ibarra V. Método Monte Carlo y su aplicación a finanzas Libro electrónico. Glasserman, P. (2003) Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Estados Unidos. Springer. Herzog, Thomas y Lord, G. (2002) Applications of Monte Carlo Methods to Finance and Insurance. Actex publications. Ross, Sheldon M., Introduction to probability models / Sheldon M. Ross, décima edición. Academic, 2010.