Región de Convergencia para la Transformada- Z

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1 OpenStax-CNX module: m Región de Convergencia para la Transformada- Z Benjamin Fite Translated By: Fara Meza Erika Jackson Based on Region of Convergence for the Z-transform by Benjamin Fite This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License.0 1 La Región de Convergencia La región de convergencia, también conocida como ROC, es importante entender por que dene la región donde la transformada-z 1 existe. La transformadaz se dene por X (z) = x [n] z n (1) La ROC para una x [n], es denida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformadaz es una serie de potencia, converge cuando x [n] z n es absolutamente sumable. En otras palabras, x [n] z n < () tiene que ser satisfecha para la convergencia. Propiedades de la Región de Convergencia La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x [n]. Version 1.: Aug, 005 1:9 pm "La Transformada Z: Denición" <

2 OpenStax-CNX module: m1956 La ROC no tiene que contener algún polo. Por denición un polo es donde X (z) es innito. Ya que X (z) tiene que ser nita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC. Si x [n] es una secuencia de duración nita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en z = 0 o z =. Una secuencia de duración nita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo nito n 1 n n. Mientras que cada valor de x [n] es nito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando n > 0 entonces existirá z 1 términos por lo tanto la ROC no incluye z = 0. Cuando n 1 < 0 la suma será innita por lo tanto la ROC no incluye z =. Pero si, n 0 entonces la ROC incluirá z = 0, y cuando n 1 0 la ROC incluirá z =. Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es x [n] = cδ [n]. Figure 1: Ejemplo de una secuencia de duracion nita. Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración innita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando X (z) <. Así que podemos escribir X (z) = x [n] z n x [n] z n = x [n] ( z ) n (3) Podemos separar la suma innita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto X (z) N (z) + P (z) () donde y N (z) = P (z) = 1 x [n] ( z ) n (5) x [n] ( z ) n (6) n=0

3 OpenStax-CNX module: m Para que X (z) se innita, x [n] tiene que estar restringida entonces denamos n x (n) C 1 r 1 para n < 0 y n x (n) C r para n 0 De estos también se pueden derivar más propiedades: (7) (8) Si x [n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde X (z). Una secuencia del lado derecho es aquella donde x [n] = 0 para n < n 1 <. Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que P (z) C n=0 r n ( z ) n = C n=0 ( ) n r (9) z Por lo tanto para que la suma converja, z > r, así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de z > r. Figure : Secuencia de lado derecho

4 OpenStax-CNX module: m1956 Figure 3: LA ROC de una secuencia de lado derecho. Si x [n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en X (z). Una secuencia del lado izquierdo es aquella donde x [n] = 0 para n > n >. Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que N (z) C 1 1 r 1 n ( z ) n = C 1 1 ( r1 z ) n ( ) k z = C 1 (10) Por lo tanto para que la suma converja, z < r 1, así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de z < r 1. k=1 r 1 Figure : Secuencia de lado izquierdo.

5 OpenStax-CNX module: m Figure 5: La ROC de una secuencia de lado izquierdo. Si x [n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo. Una secuencia de dos lados es aquella con duración innita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si r < z < r converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y X (z) converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de r < z < r. Figure 6: Una secuencia de dos lados.

6 OpenStax-CNX module: m Figure 7: La ROC de una secuancia de dos lados. 3 Ejemplos Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos. Example 1 Tomemos x 1 [n] = La transformada de ( ) 1 nu [n] es z z 1 ( ) n 1 u [n] + con ROC en z > 1. ( ) n 1 u [n] (11)

7 OpenStax-CNX module: m Figure 8: La ROC de ` 1 [n] La transformada de ( ) 1 nu [n] es z z+ 1 con ROC en z > 1. Figure 9: ` 1 La ROC de [n]

8 OpenStax-CNX module: m Usando linealidad, X 1 [z] = z = z 1 + z z+ 1 z(z 1 8) (z 1 )(z+ 1 ) (1) Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en 0 y el otro en 1 8, y dos polos, uno en 1, y en 1. Usando las propiedades, la ROC es z > 1. Figure 10: La ROC de x 1 [n] = ` 1 [n] + ` 1 [n] Example Ahora tomemos ( ) n ( ) n 1 1 x [n] = u [n] u [( n) 1] (13) La transformada y ROC de ( ) 1 nu [n] fueron mostradas en el ejemplo anterior (Example 1). La transformada de ( ( ) 1 n ) u [( n) 1] es z con una ROC en z > 1. z 1

9 OpenStax-CNX module: m Figure 11: La ROC de ` ` 1 n u [( n) 1] Usando linealidad, X [z] = z = z+ 1 + z z 1 z(z 1 8) (z+ 1 )(z 1 ) Podemos observar que hay dos ceros, en 0 y 1 16, y dos polos en 1, y 1. En este caso la ROC es z < 1. (1)

10 OpenStax-CNX module: m Figure 1: La ROC de x [n] = ` 1 [n] ` 1 [( n) 1].