Ley de GAUSS y Aplicaciones

Transcripción

1 Fisica III -9 Cátedra de Física Experimental II Fisica III Ley de GAUSS y Aplicaciones Prof. Dr. Victor H. Rios 9

2 Fisica III -9 Contenidos - Fundamentos básicos - Flujo de campo eléctrico. - Ley de Gauss. - Diferencia de potencial electrostático. - Relación entre campo y potencial eléctrico. - Superficies equipotenciales. - Conductores - Aplicaciones -Condensadores, Condensador plano paralelo. - Campo y potencial de una esfera conductora. - Campo, Potencial y Energía de un condensador cargado. - Condensador cilíndrico, capacidad y energía. - Dieléctricos

3 Fisica III -9 Concepto de flujo del campo eléctrico Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ E S El vector superficie es un vector que tiene: c) por módulo el área de dicha superficie d) la dirección es perpendicular al plano que la contiene Fig. 1 Esquema para el cálculo de Φ Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero E es variable en S se puede escribir: Φ E. ds

4 Fisica III -9 Ley de Gauss El teorema de Gauss afirma que : El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada : Φ E. ds E S es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε, es decir : q / ε. Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss Ley de Gauss S E. ds q ε

5 Pasos a seguir para el cálculo de E Fisica III A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L. Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S 1 o S forman 9º, luego el flujo es cero Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie ds y es constante en todos los puntos de la superficie lateral, E. ds E ds cos E ds S S S E π r L El flujo total es: E π r L

6 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico E π r L λ L ε E λ π ε r Conclusión El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

7 Fisica III -9 Modelo del átomo de Kelvin-Thomson Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin embargo, durante el periodo que va de 19 a 196 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de partículas alfa por los átomos de una lámina de oro. Este modelo simple de átomo explicaba bastante bien la valencia química, la emisión de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc. Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón. Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera.

8 Fisica III -9 Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga El teorema de Gauss afirma : S E. ds q ε Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial..- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Fig. 1 Geometría para usar Gauss Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:. E 4π r E ds E ds cos E ds S S S El flujo total es : E 4π r

9 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada Fig.13 Superficies de Gauss usadas. Para r < R. (figura de la izquierda) Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color naranja), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r. q Q r R 3 3 Para r > R ( figura de la derecha) Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q Q

10 Fisica III Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico E 4π r q ε se obtiene Q r E ( r < 3 4π ε R Q E ( r > 4π ε r R ) R ) Concluímos El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro para r > R. E Q r E ( r < 3 4π ε R R ) Q E ( r > 4π ε r R ) r R r

11 Fisica III -9 Potencial Para calcular el potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V ( r ), lo haremos de la siguiente manera: Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos < r < R y r > R Q E ( r > 4π ε r R ) Fig.14 Grafico del campo E E ( r ) r > R Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha) V r E. dr r Q Q 4π ε r 4π ε r

12 Fisica III -9 Potencial en r < R Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, discontinua en el punto r R. (figura de la izquierda) E Q r ( r 3 4π ε R < R ) Q E ( r > 4π ε r R ) Fig.14 Grafico del cam- po E E ( r ) V ( r) R Q r dr + r 3 4π ε R Q π ε R 4 r dr Q 3 r V ( r) ( 4π ε R R )

13 Fisica III -9 Energía de ionización La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el origen de la esfera cargada hasta el infinito. Q 3 r V ( r) ( 4π ε R R ) V () 3 Q 4π ε R La energía de Ionización será: W 3 q Q q V () Ionización 4π ε R Para un átomo con un electrón q Q e C, R~ 1-1 m, W I J 1.6 ev. Es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, 13.6 ev.

14 Energía de la esfera cargada Fisica III -9 La energía vale entonces W formacion 1 R V ( r) dq Como calculamos dq? r dr 1) Volumen ) Carga τ 4π r 3 3 4π dτ 3 r dr 3 4 π r dr dq dq ρ dτ Q 3 Q r dq dτ 3 τ R dr 3) Potencial Q 3 r V ( r) ( 4π ε R R ) 4) Energia W formacion R 1 Q 3 1 r 3 Q r 3 Q ( ) dr 3 4πε R R R 5 4π ε R

15 Fisica III -9 Energía total del átomo de Kelvin-Thomson La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q q e, es la diferencia entre dos energías: la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva W formacion la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga W ionizacion. W W formación W ionizacion e π ε R

16 Conductores Fisica III -9 Localización del exceso de carga en un conductor Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo. Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos interiores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas se moverían originando una corriente eléctrica. Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superficie cerrada S: E. ds S Fig. 15 Conductor CONCLUSION El campo eléctrico E en todos los puntos de dicha superficie. El flujo a través de la superficie cerrada S es cero. * La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula. Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta deberá situarse en la superficie del conductor.

17 Fisica III -9 Aplicaciones de Campo y Potencial eléctrico

18 Fisica III -9 Campo producido por un conductor esférico de cargado q El teorema de Gauss afirma que: E. ds Consideremos una esfera metálica S ε de radio R cargada con una carga Q. 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial.-elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Fig. 1 Esfera metálica Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica por lo que, El flujo total es : E 4π r

19 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada r < R No hay carga en el interior de la esfera de radio r < R, q r > R Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q Q. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico En la fig., se muestra la representación del módulo del campo eléctri-co E en función de la distancia ra-dial r. Fig. Gráfico E E (r)

20 Fisica III -9 Potencial de la esfera conductora Se denomina potencial a la diferencia de potencial entre un punto P a una distancia r del centro de la esfera y el infinito. Como el campo en el interior de la esfera conductora es cero, el potencial es constante en todos sus puntos. El potencial en la superficie de la esfera es el área sombreada (fig. de la derecha) Capacidad Se denomina capacidad de la esfera (más adelante definiremos esta magnitud) al cociente entre la carga y su potencial: C Q / V 4 π ε R

21 Condensador Fisica III -9 Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto. La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencia V-V existente entre ellos. La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio µf1-6 F, y el picofaradio, pf1-1 F. Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como demostraremos más abajo es Condensador plano-paralelo En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada con una densidad de carga σ, aplicando la ley de Gauss.

22 Fisica III -9 Campo creado por una placa plana indefinida, cargada. Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa..-elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones * Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos. E S 1 + E S E S cosº E S Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie ds, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; E S

23 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale : q σ S donde σ es la carga por unidad de superficie 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

24 Fisica III -9 Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas. Supondremos que las placas son infinitamente grandes o bien, que la separación entre las placas es pequeña comparada con sus dimensiones. En la figura de arriba, se muestra el campo producido por cada una de las placas y en la figura de abajo, el campo resultante. Sea un condensador formado por dos placas iguales de área S, separadas una distancia d, pequeña en comparación con las dimensiones de las placas. El campo se cancela en la región del espacio situado fuera de las placas, y se suma en el espacio situado entre las placas. Por tanto, solamente existe campo entre las placas del condensador, siendo despreciable fuera de las mismas. Como el campo es constante, la diferencia de potencial entre las placas se calcula multiplicando el módulo del campo por la separación entre las mismas.

25 Fisica III -9 La capacidad del condensador plano-paralelo será donde Q σ S es la carga total de la placa del condensador. La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de las placas S y de la separación entre las mismas d. Energía de un condensador cargado Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energía. Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descargadas y después, sacamos repetidamente cargas positivas de una de ellas y la pasamos a la otra.

26 Fisica III -9 Energía de un condensador cargado En un momento dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas será V tal que: q C V El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será : dw V dq El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta desde cero hasta su valor final Q.

27 Fisica III - 9 Capacidad de un condensador cilíndrico El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a < r < b, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero. La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro..- Elegir una superficie cerrada a- propiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentes

28 Fisica III - 9 El cálculo del flujo, tiene dos componentes Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son perpendiculares, el flujo es cero. Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que: El flujo total es por tanto : E π r L 3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

29 Fisica III - 9 Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones r < a y r > b es nulo. En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r < a y de longitud L, dicha superficie no encierra carga alguna. En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r > b y longitud L, la carga total encerrada es +Q Q, es nula, el flujo es cero y el campo es cero. En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r. La diferencia de potencial entre las placas del condensador se calcula integrando, (área sombreada de la figura). La capacidad es :

30 Fisica III - 9 La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus armaduras, y longitud L del condensador) Si el cilindro interior no está completamente introducido en el exterior, sino solamente una longitud x, la capacidad del condensador será Energía del condensador

31 Fisica III - 9 Efecto del dieléctrico en un condensador La mayor parte de los condensadores llevan entre sus láminas una sustancia no conductora o dieléctrica. Un condensador típico está formado por láminas metálicas enrolladas, separadas por papel impregnado en cera. El condensador resultante se envuelve en una funda de plástico. Su capacidad es de algunos microfaradios. La botella de Leyden es el condensador más primitivo, consiste en una hoja metálica pegada en las superficies interior y exterior de una botella de vidrio. Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 1 a 1 mf.

32 Fisica III - 9 La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple: Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas metálicas a distancia muy pequeña sin contacto alguno. Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica). La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.

33 Fisica III - 9 Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y Q, iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V, su capacidad y la energía que acumula serán Si introducimos un dieléctrico se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V La capacidad del condensador con dieléctrico será donde k se denomina constante dieléctrica La energía del condensador con dieléctrico es : la energía de un condensador con dieléctrico disminuye respecto de la del mismo condensador en vacío.

34 Fisica III - 9 Dieléctrico Constante dieléctrica Ámbar.7-.9 Agua 8.8 Aire 1.59 Alcohol 5. Baquelita Cera de abejas.8-.9 Glicerina 56. Helio 1.7 Mica moscovita Parafina.-.3 Plástico vinílico 4.1 Plexiglás Porcelana electrotécnica 6.5 Seda natural 4-5 Fuente: Manual de física elemental, Koshkin N. I, Shirkévich M. G., Edt. Mir, págs 14-15

35 Fisica III Idea molecular de las cargas inducidas La disminución de la diferencia de potencial que experimenta el condensador cuando se introduce el dieléctrico puede explicarse cualitativamente del siguiente modo. Las moléculas de un dieléctrico pueden clasificarse en polares y no polares. Las moléculas como H, N, O, etc. son no polares. Las moléculas son simétricas y el centro de distribución de las cargas positivas coincide con el de las negativas Por el contrario, las moléculas N O y H O no son simétricas y los centros de distribución de carga no coinciden.

36 Fisica III - 9 Dipolos Inducidos Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a desplazarse como se indica en la figura, las cargas positivas experimentan una fuerza en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo. La separación de equilibrio se establece cuando la fuerza eléctrica se compensa con la fuerza recuperadora ( como si un resorte uniese los dos tipos de cargas ). Este tipo de dipolos formados a partir de moléculas no polares se denominan dipolos inducidos.

37 Fisica III - 9 Moléculas polares en un campo eléctrico Las moléculas polares o dipolos permanentes de un dieléctrico están orientados al azar cuando no existe campo eléctrico, como se indica en la figura. Bajo la acción de un campo eléctrico, se produce cierto grado de orientación. Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es el número de dipolos que se orientan en la dirección del campo.

38 Efecto resultante de la aplicación de un campo a un dieléctrico Fisica III - 9 Sean polares o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exterior se encuentra representado en la figura inferior. Al lado de la placa positiva del condensador, tenemos carga inducida negativa y al lado de la placa negativa del condensador, tenemos car-ta inducida positiva. Como vemos en la parte derecha de la figura, debido a la presencia de las cargas inducidas el campo eléctrico entre las placas de un condensador con dieléctrico E es menor que si estuviese vacío E. Algunas de las líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran en el dieléctrico y llegan a la placa negativa, otras terminan en las cargas inducidas. El campo y la diferencia de potencial disminuyen en proporción inversa a su constante dieléctrica k є / є E E / k

39 Fisica III - 9 Ejemplo: Se conecta un condensador plano-paralelo a una batería de 1 V. Los datos del condensador son: 1. Condensador en vacío * el área de cada una de sus placas es.7 m, * la distancia entre las mismas es.75 mm. La capacidad del condensador vacío La carga Q y densidad de carga σ f en las placas del condensador es Q C ( V - V ), Q C El campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas del condensador es: E σ f / є, E N / C

40 Fisica III - 9 Capacidad con dieléctrico Se desconecta el condensador de la batería y se introduce un dieléctrico, por ejemplo, baquelita de k 4.6 La capacidad del condensador, aumenta : C k C, C F La diferencia de potencial entre las placas, disminuye : V - V Q / C, V - V.17 V El campo eléctrico E en el espacio comprendido entre las pla-cas del condensador es: E E / k, E N/C Podemos considerar este campo E, como la diferencia entre el campo E producido por las cargas libres existentes en las placas, y el campo E b producido las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico, ambos campos son de signos contrarios. E E - E b La densidad de carga inducida en el dieléctrico es σ b C/m

41 Capacitores comerciales Fisica III - 9

42 Capacitores en Serie Los condensadores Ci conectados en serie a un potencial V adquieren la misma carga. La carga +Q del primer condensador induce una -Q en la otra placa, inicialmente descargada; esto sólo es posible si aparece o- tra carga +Q en el segundo condensador y así sucesivamente. Por tanto: i i i i C Q V V Q C La diferencia de potencial total es la suma de las caídas de potencial Vi en los distintos condensadores: n i i n i i n i i C Q C Q V V n i i n i C i C Q Q V Q C y la capacidad equivalente: o, lo que es lo mismo: n n i i C C C C C Fisica III - 9

43 Fisica III - 9 Capacitores en Paralelo Probar que la capacidad equivalente es : C Q V V n i i 1 V C n i 1 C i La capacidad equivalente de un conjunto de condensadores unidos en paralelo es la suma de las capacidades de los condensadores aislados.

44 FIN