Tema 2. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 Tema. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. Se lanza un dado y se considera la variable generada por el resultado del mismo. (a) Clasica esta variable como continua o discreta, indicando su rango de variabilidad. (b) Obtén su función de probabilidad o de densidad, según proceda. (c) Calcula su función de distribución y represéntala grácamente. (d) ¾Se puede identicar esta variable con algún modelo de probabilidad conocido?. Para sortear 1 plazas de excedente de cupo entre 100 aspirantes se otorga un número a cada uno de ellos, al azar, y luego se sortea un número de los 100, siendo declarados excedentes los poseedores del número agraciado y los 0 siguientes, bien entendido que si se rebasa el número 100 se continua contando desde el 1. (a) Calcula la probabilidad de que el número 78 salga como excedente. 3. Se considera la variable aleatoria "Número de números pares" obtenidos en un sorteo de la lotería primitiva. (a) Describe los posibles valores de esta variable. (b) Calcula su función de probabilidad, su media y su varianza. (c) Explica por qué esta variable no se puede identicar con un modelo binomial. 4. Obtén las funciones de probabilidad y de distribución de la variable aleatoria B(10; 0.1). (a) Interpreta los grácos obtenidos. (b) ¾Cuáles son los valores de la media y de la desviación típica de esta variable? (c) Calcula la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que la media, y mayor o igual que la media. Representa esta probabilidad grácamente. (d) Relaciona los valores anteriores con la simetría de la función de probabilidad. (e) Realiza el mismo estudio con las binomiales B(10;0.5), B(100;0,9) y B(00;0.5). Explica los diferentes comportamientos observados. 5. Contesta a las mismas cuestiones del ejercicio anterior, tomando como referencia inicial la distribución de Poisson de parámetro y repítelo con las variables de Poisson de parámetros 5, 10 y 0. Explica las diferencias de los comportamientos de estas variables. 6. Escribe detalladamente cuáles son las condiciones de un proceso de Bernoulli y de un proceso de Poisson, y da varios ejemplos extraídos de la realidad que sean asimilables a los mismos. Dene dentro de estos procesos variables aleatorias que respondan a los modelos binomial y de Poisson y escribe las ecuaciones de sus modelos de probabilidad, indicando el valor de sus medias y varianzas. 7. La proporción del número de días en que el sistema de los equipos informáticos de una empresa tiene algún tipo de fallo es 0.0. (a) ¾Qué condiciones deben vericarse para que este proceso sea un proceso de Bernoulli? 1

2 (b) Aceptando estas condiciones, si se observa el proceso durante 100 días, ¾cuál es la función de probabilidad de la variable X="número de días en los que el sistema ha fallado"? (c) Representa grácamente la función de probabilidad de esta variable. Analiza su simetría. Calcula su media y su desviación típica, y discute la posibilidad de aproximar los cálculos de probabilidad relativos a esta variable por medio de una distribución normal. (d) Calcula las siguientes probabilidades: ˆ Probabilidad de que de los 100 días el sistema falle menos de tres. P(X < 3). ˆ Probabilidad de que falle 5 días o más. P(X 5). ˆ Probabilidad de que haya, por lo menos, un día de fallo. ˆ Probabilidad de que haya menos de días de fallo ó más de 4. ˆ Probabilidad de que haya 6 fallos en los primeros 50 días y 4 en los siguientes 50 días. 8. En cierta ciudad se sabe que el 0% de las casas están aseguradas contra incendios. Si se toma una muestra aleatoria de 5 casas, plantea y realiza el cálculo de las siguientes probabilidades. (a) Probabilidad de que haya exactamente casas aseguradas. (b) Probabilidad de que haya al menos 3 casas aseguradas. (c) Probabilidad de que no haya ninguna casa asegurada. (d) ¾Cuál es el número más probable de casas aseguradas? 9. El interruptor de una televisión se encuentra desgastado por el uso, de forma que la probabilidad de fallo, lo que signica que no responde a la orden, es 0.. Suponiendo que los fallos se producen con independencia, plantea y realiza el cálculo de las siguientes probabilidades: (a) Probabilidad de que sea necesario pulsar el interruptor más de una vez para ponerla en funcionamiento cuando está apagada. (b) Probabilidad de que sea necesario pulsar 5 veces para apagarla. (c) Probabilidad de que se encienda y se apague a la primera en los dos casos. (d) Si un forofo del fútbol desea ver un Madrid Barcelona ¾cuál es la probabilidad de que vea el partido, sabiendo que si la televisión no se ha encendido a la séptima pulsación sufrirá un ataque de histeria y tirará la televisión por la ventana? ¾Se puede aproximar este cálculo por medio de la normal? 10. El número medio de veces que suena algún teléfono móvil en una sesión de cine es 3,6. Si las llamadas se producen con independencia, plantea y calcula las siguientes probabilidades: (a) Probabilidad de ver la película tranquilo, sin que nadie te moleste. (b) Probabilidad de que suenen más de dos y menos de ocho teléfonos en una sesión. (c) Probabilidad de que en tres sesiones seguidas haya más de quince llamadas en total. (d) Probabilidad de que en dos sesiones alternas haya menos de 0 llamadas en total. (e) ¾Se pueden realizar estos cálculos utilizando la distribución normal? 11. Se sabe que el número de errores cometidos por una secretaria en una hoja mecanograada, sigue una distribución de Poisson con λ= 6. Plantea y calcula las siguientes probabilidades: (a) Probabilidad de que en una hoja mecanograada no haya ningún error.

3 (b) Probabilidad de que en una hoja mecanograada haya, como mucho, 3 errores. (c) ¾Cuál es el número medio de errores de esta variable aleatoria? ¾y el número medio de errores en una muestra de diez páginas? 1. En un sistema de seguridad de una obra se ha observado que se producen, en media, 3 situaciones "potencialmente peligrosas" por día. (a) Describe el posible rango de valores de la variable "Número de situaciones potencialmente peligrosas por día", y explica qué condiciones deben vericarse para que esta variable se comporte como un modelo de Poisson. (b) Escribe la expresión de su función de probabilidad. (c) Utiliza el programa para representar grácamente dicha función de probabilidad. (d) ¾Cuál es la probabilidad de que en un día se produzcan más de 5 situaciones potencialmente peligrosas? Escribe su expresión teórica y realiza los cálculos con el programa. (e) ¾Cuál es la probabilidad de que se produzcan menos de 3 situaciones de este tipo, y entre y 9 en un día? (f) ¾Qué modelos de probabilidad siguen las variables Número de situaciones potencialmente peligrosas en una semana (5 días laborables) y Número de situaciones potencialmente peligrosas en un mes (1 días laborables)? (g) Representa grácamente las funciones de probabilidad de las tres variables utilizadas y compáralas. ¾Cuál tiene mayor variabilidad? (h) Si se sabe que cuando hay más de 6 situaciones de peligro en un día la probabilidad de que alguna de ellas desemboque en accidente es 0.3, mientras que si hay entre 1 y 6 situaciones de peligro dicha probabilidad es 0. (si no hay situación de peligro la probabilidad de accidente es cero) ¾cuál es la probabilidad de que en un día haya algún accidente? 13. Por analogía con los ejercicios anteriores obtén la función de densidad y la función de distribución de una variable aleatoria exponencial de media 1. (a) ¾Qué porcentaje de esta población toma un valor menor o igual que la media? Represéntalo grácamente. (b) ¾Cuál es la desviación típica de esta variable? (c) Emplea la inversa de la función de distribución para calcular la mediana y los cuartiles de la variable. Represéntalos grácamente. (d) Realiza el mismo análisis anterior utilizando las variables exponenciales de media 10, 0 y La duración de las lámparas producidas en una cierta fábrica sigue una distribución exponencial, con una vida media de 3600 horas. Plantea el cálculo, y representa grácamente: (a) El porcentaje de lámparas con una duración superior a las 5000 h. (b) El porcentaje de lámparas con duración entre 000 h. y 4500 h (c) ¾Cuál es la duración superada por el 99% de las lámparas? Si se eligen 100 lámparas al azar, ¾habrá 99, cuya duración sea superior a este valor? 3

4 15. Se sabe que un teléfono móvil recibe en media 5 mensajes, de forma independiente, a lo largo de 60 minutos. (a) ¾Cuál es la distribución de la variable aleatoria número de mensajes recibidos en una hora? Calcula razonadamente la probabilidad de que en una hora se reciban menos de 3 mensajes. (b) ¾Qué distribución sigue la variable aleatoria número de mensajes recibidos en tres horas?, ¾cuáles son su media y su desviación típica? (c) Indica cuál es la distribución que sigue la variable aleatoria tiempo transcurrido entre dos mensajes consecutivos y expresa su función de densidad. (d) ¾Qué representan las siguientes integrales: 1/4 0 5 e 5x dx y 1/ e 15x dx? Resuélvelas y explica porqué los resultados son iguales. (e) Calcula la probabilidad de que entre dos llamadas consecutivas transcurran entre ocho y doce minutos. 16. Utiliza los comandos de los ejercicios anteriores para el estudio de poblaciones normales. (a) Representa conjuntamente las funciones de densidad de las variables aleatorias N(10;) y N (15;). Explica el efecto sobre la población del desplazamiento de la media. (b) Representa conjuntamente las funciones de densidad de las variables N(6;1) y N(6;). Explica el efecto sobre la población de la variación de la desviación típica. (c) ¾En qué intervalos están contenidos, aproximadamente, los individuos de las cuatro poblaciones anteriores en el 68, 95 y 99% de los casos? resultados. Haz este mismo cálculo en una N(0,1) y relaciona los (d) Utiliza la función de distribución de las variables de los apartados anteriores para calcular la proporción de las distintas poblaciones que se encuentran a menos de un cuarto de desviación típica de la media por la derecha, y represéntalas grácamente. ¾Cómo son estas proporciones? ¾Es casual? (e) Emplea la inversa de la función de distribución para encontrar el valor a que, en una N(0,1), permite encerrar en el intervalo (0,a) el % de la población. Relaciona este resultado con el del apartado anterior. Represéntalo grácamente. 17. Dada la N(0,1) (a) Calcula el porcentaje de población que se encuentra a menos de una, dos y tres desviaciones típicas de la media. (b) Calcula los intervalos centrados en la media que contienen al 68, 95 y 99% de la población. 18. La variable X sigue una distribución N(0,1). Rellena los espacios en blanco, planteando el cálculo necesario para ello, y representa grácamente los resultados: (a) P(0 < X < 1,84) = P(X < )=0,4 (b) P(0,7 < X) = P(X > )=0,5 (c) P(X < 3) = P(X > )=0,3 19. Sea la variable aleatoria X N(8,) (a) Calcula P(X 10) y P(X 1) (b) Calcula la probabilidad de que X se encuentre en los intervalos (10,1) ; (8,10) y (1,14). 4

5 (c) ¾Por qué, si todos los intervalos tienen la misma longitud, no contienen la misma proporción de población? (d) Calcula la probabilidad de que una N(0,1) se encuentre en los intervalos (1,), (0,1) y (,3). (e) Explica la coincidencia de los resultados en los apartados b) y d). 0. Los pesos de los adultos, en kilogramos, de una determinada especie se distribuyen según una N(8,). Se pesaron diez individuos y se obtuvieron los siguientes resultados: 70, 81, 83, 86, 95, 88, 80, 5, 84, 79. (a) ¾Se podría sospechar que alguno de estos individuos no es adulto o no pertenece a esta especie?¾por qué? 1. Para grabar una película que dura 165 minutos se dispone de una cinta de vídeo de tres horas. Sabiendo que el tiempo dedicado a anuncios por la cadena de televisión, en este horario, es una distribución normal de media 8 minutos y desviación típica minutos. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que se pueda grabar la película completa, si se conecta el vídeo en el momento de su comienzo? (b) Si se interrumpe la película durante 6 minutos por un avance informativo, ¾cuál es la probabilidad anterior? (c) Las películas así grabadas se almacenan en cajas de diez. Si no se realiza un control de calidad para asegurarse de que las películas se encuentran grabadas íntegramente, ¾cuál es la probabilidad de que en una de estas cajas elegidas al azar ninguna película esté completa?. El diámetro interior de las piezas producidas por cierta máquina sigue una distribución normal de media 0'5 cm. y desviación típica 0'05 cm. (a) Calcula el porcentaje de piezas con diámetro interior mayor que 0'4 cm. (b) Considerando defectuosas las piezas cuyo diámetro interior sale fuera del intervalo (0'45,0'55), ¾cuál será el porcentaje de piezas defectuosas? (c) Si estas piezas se embalan en cajas de 100 unidades ¾cuál es la distribución de probabilidad del número de piezas defectuosas en una caja? ¾Se puede aproximar esta distribución por una normal? ¾Cuál es la probabilidad de que en una de estas cajas haya menos de tres piezas defectuosas? 3. En cierta fábrica se ha observado durante un largo período de tiempo la cantidad semanal gastada en mantenimiento y reparaciones, llegando a la conclusión de que dicho gasto sigue una distribución normal con una media de 50 y una desviación típica de 1. (a) Si el presupuesto para la próxima semana es de 70 ¾cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que dicha cantidad? (b) ¾Cuál debería ser el presupuesto semanal para que la cantidad presupuestada se rebase el 10% de las semanas? 4. Una cadena de T.V. en su programación semanal cine de casquería va a proyectar la película Sesos desparramados XXVI, cuya duración es de 14 minutos. Un acionado al género se dispone a grabarlo en vídeo, previa programación, para lo que dispone de una cinta de 180 minutos. Sabiendo que la película empieza a su hora y el tiempo dedicado a anuncios por esta cadena, en esta franja horaria, sigue una distribución N(40,15) 5

6 (a) Calcula la probabilidad de que la película quede grabada íntegramente. (b) Calcula la probabilidad de que sólo pueda ser grabada, como máximo, la mitad de la película. (c) Por desajustes en el horario de la cadena, la película comienza a emitirse 10 minutos más tarde de lo previsto, de lo cual el acionado no se entera. anteriores? ¾Cómo se modican entonces las probabilidades 5. El peso de los sacos de cemento obtenidos en una empaquetadora sigue una distribución N(50 ; 1) (a) ¾Cuál es la proporción de estos sacos que pesan más de 50 Kgs?, ¾y más de 51?, ¾y menos de 49,5? (Realiza el cálculo a través de la función de distribución de la variable y la de la variable estandarizada.) (b) ¾En qué intervalo, centrado en la media, se encuentra el peso del 90% de los sacos? (c) Se mandan de estos sacos a una obra. Si el peso total de los mismos es inferior a Kgs. la empresa rechaza el envío. ¾Cuál es la probabilidad de que esto ocurra? (d) ¾En qué intervalo centrado en la media, se encuentra el peso del 99% de los envíos? (e) ¾Cuál es la probabilidad de que si se hacen 10 envíos, se rechace más de 1? 6. Analiza el efecto de la variación de los grados de libertad de las distribuciones t de Student y Chi cuadrado, tomando como referencia las de 3, 5, 10 y 15 grados de libertad. 7. Genera muestras de tamaño 100, 00 y 500 de una N(8,), almacenándolas como M1, M y M3. (a) Compara los histogramas de las muestras con la función de densidad de la v.a. de procedencia. (b) ¾Cuáles son las medias y desviaciones típicas de las muestras? valores teóricos y con los obtenidos en otros ordenadores. Compara estos resultados con los (c) Hemos utilizado el hecho de que si una variable X N(µ,σ), la variable X µ σ N(0,1). Para comprobar esto empíricamente, construir las variables M1 8, M 8 y M3 8, almacenándolas como M10, M0 y M30 y compara sus histogramas con la función de densidad de la N(0,1). ¾Qué se puede decir? 8. Compara los histogramas o diagramas de barras, según convenga, de las muestras que se enumeran a continuación, con las funciones de probabilidad o de densidad de los modelos de probabilidad que consideres oportuno, y discute si puede emplearse, en cada caso, alguno de estos modelos para representar el comportamiento de las variables de procedencia de dichas muestras. Si lo crees necesario puedes emplear transformaciones de los datos para realizar esta comparación. ˆ Variable Resultado del archivo DADO. ˆ Variables Supercie y Población del archivo PAISES. ˆ Variables Cava A y Cava B del archivo CAVA. ˆ Variables juez1, juez y juez3 del archivo JUECES. ˆ Variable tiempo del archivo COAGULA. 6