Dyna ISSN: Universidad Nacional de Colombia Colombia

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1 Dyna ISSN: Universidad Nacional de Colombia Colombia Marinez Torres, Claudia Lorena; Resrepo Munera, Jorge Andres; Velásquez Henao, Juan David Selección de porafolios usando simulación y opimización bajo inceridumbre Dyna, vol. 71, núm. 141, marzo, 2004, pp Universidad Nacional de Colombia Medellín, Colombia Disponible en: hp:// Cómo ciar el arículo Número compleo Más información del arículo Página de la revisa en redalyc.org Sisema de Información Cienífica Red de Revisas Cieníficas de América Laina, el Caribe, España y Porugal Proyeco académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciaiva de acceso abiero

2 SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS USANDO SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN BAJO INCERTIDUMBRE CLAUDIA LORENA MARTINEZ TORRES Escuela de Ingeniería de la Organización. Faculad de Minas. Universidad Nacional de Colombia JORGE ANDRES RESTREPO MUNERA Escuela de Ingeniería de la Organización. Faculad de Minas. Universidad Nacional de Colombia JUAN DAVID VELÁSQUEZ HENAO Escuela de Sisemas. Faculad de Minas. Universidad Nacional de Colombia Recibido para revisión 14 de Febrero de 2003, acepado 6 de Marzo de 2003, versión final recibida 6 de Mayo de 2003 RESUMEN: Los méodos uilizados usualmene en la formación de porafolios, son basados en hipóesis que no son reales en mercados emergenes, y en consecuencia no son aplicables a esos mercados. Ellos no indican la forma en que debe ser conformado el porafolio. Se presena enonces, una meodología basada en simulación y opimización bajo inceridumbre que permie realizar la conformación del porafolio. Se realizan pruebas en el mercado colombiano y la Bolsa de Nueva York. PALABRAS CLAVE: Teoría de Porafolio, Simulación, Opimización bajo inceridumbre, Búsqueda Tabú, Series de Tiempo. ABSTRACT: Mehods usually used in porfolio building, are based in hypohesis ha are no real in emergen markes, and in consequence hey are no applicable in his markes. They don show he way for building he porfolio. A mehodology based in simulaion and opimizaion under uncerainy for porfolio building is presened. Tes are made for Colombian marke and New York s sock marke. KEYWORDS: Porfolio Theory, Simulaion, Opimizaion under uncerainy, Tabu Search, Time Series. 1 INTRODUCCIÓN En las ulimas décadas el secor económico que más se ha desarrollado a nivel mundial ha sido sin duda el secor financiero y en Colombia eso no ha sido la excepción. En la acualidad se observa un secor financiero consolidado y foralecido, debido a que en los úlimos años se han presenado algunos cambios imporanes en el Mercado de Valores y de Capiales. Esos cambios han enido vial imporancia en el campo ecnológico ya que ha modificado la esrucura operaiva del sisema financiero. Todas esas modificaciones han esado sujeos a las disposiciones de la ley 45 de 1990, la cual se enmarca en la aperura y la modernización de la economía y por lo ano se refleja en el mercado bursáil Nacional. Es así como la Bolsa General de Colombia viene adelanando las respecivas políicas para responder a las necesidades y evolución de la economía colombiana. Adicionalmene, la inroducción de nuevos méodos de análisis y herramienas para la conformación y selección de un porafolio de inversión han hecho que los invesigadores financieros las consideren como elemenos de oma de decisiones para inversiones en el largo plazo. Enre los méodos más difundidos se encuenran el análisis fundamenal, Análisis Técnico y los méodos de selección de porafolio; como el modelo de fijación de precios de acivos de Capial (CAMP) y el modelo de fijación de precios de arbiraje (APM). Esos méodos de análisis se basan principalmene en pronosicar las variaciones fuuras de un valor bursáil, eniendo como base la información disponible del mercado, y con crierios diferenes de selección pero, ninguno indica como seleccionar las acciones que deben enrar y salir del porafolio de inversión para maximizar su uilidad en el coro plazo. La conformación del porafolio esa basada en el análisis de la información disponible, del Dyna, Año 71, Nro. 141, pp Medellín, Marzo de ISSN

3 36 Marínez, e. al. conocimieno y experiencia del inversionisa que ese conformando dicho porafolio, y de las expecaivas del mercado, siendo la eapa de esudio e inerpreación de resulados insalvable denro del proceso de la definición del porafolio de inversión. El objeivo del presene rabajo es proponer una meodología objeiva para la selección de porafolios en el coro plazo, ésa deberá proponer los diferenes movimienos diarios de acciones necesarios para obener una buena renabilidad y permiiendo opimizar algunos indicadores de riesgo. Para validar la meodología propuesa se aplica la meodología al mercado Colombiano para el periodo comprendido enre los meses de Ocubre de 2001 y Enero de Para el mercado Esadounidense se evalúa para el mes de agoso de TÉCNICAS DE ANÁLISIS BURSÁTIL Exisen diferenes eorías y écnicas de análisis desinadas a seleccionar y esudiar los valores bursáiles con mayor poencial alcisa o en deerminados momenos a idenificar aquellos insrumenos del mercado con endencia la baja. De los principales méodos de análisis de inversiones que han demosrado su eficiencia a lo largo del iempo, los dos más uilizados en la bolsa son el Análisis Fundamenal y el Análisis Técnico. Cada uno de esos méodos de análisis iene sus principios, venajas, limiaciones y se basa en un componene diferene del mercado accionario. 2.1 ANÁLISIS FUNDAMENTAL El Análisis Fundamenal es el esudio de oda la información disponible en el mercado sobre el emisor (empresa o gobierno) y su enorno empresarial (Bizarro, 2001), financiero y económico, con la finalidad de obener su verdadero valor y así formular una recomendación de inversión. Ese méodo recopila y analiza la información hisórica preendiendo anicipar el comporamieno fuuro de un deerminado íulo valor que se coiza en la Bolsa. La hipóesis fundamenal en que se basa ese méodo es que el mercado no es eficiene a coro plazo, aunque sí a largo plazo, por lo que una empresa ermina coizando en bolsa al precio que le corresponde. El Análisis Fundamenal raa en odo momeno de descubrir subvaloraciones o sobrevaloraciones, con base en deerminadas informaciones aún no asimiladas por el mercado y que solo se pueden apreciar su endencia al largo plazo. Ese méodo pare del supueso de que los movimienos de los precios de las acciones ienen causas, ya sea económicas o de oro ipo, y que ellas pueden idenificarse y ponderarse anes de producir su efeco en el mercado. Para ello es necesario analizar la siuación financiera de los mercados ano en el enorno macroeconómico, como en las condiciones microeconómicas de las empresas, los esados financieros, los balances, los resulados de venas, el flujo de efecivo, las políicas de dividendo e inversión, la capacidad gerencial y produciva, la compeencia que exise en el secor, los proyecos de inversión, las perspecivas de crecimieno, el enorno políico, el ipo de cambio, los raados inernacionales de comercio, y la legislación, enre oros. La diversidad de secores coizados hace que apenas se pueda hablar de reglas generales para la valoración y el análisis de los diferenes facores ya que no son aplicables los mismos crierios de valoración y análisis a odos los secores. Por lo ano, no se puede hablar de una meodología de Análisis Fundamenal, sino de varias en función del secor que se analice. La principal limiación del Análisis Fundamenal es la duración, ya que se basa en balances y cuenas de resulados publicados por cada una de las sociedades que coizan en Bolsa y esos daos, según la legislación vigene, se publican por rimesres vencidos y con uno o dos meses de araso. Además, las cuenas anes de ser publicadas ya han sido conocidas por personas que ienen información privilegiada, las cuales esán en la capacidad de omar posiciones anes de que se conozcan oficialmene con lo cual producen una aleración de las coizaciones, impidiendo de esa manera que el inversionisa que no cuena con esos privilegios vea runcada la posibilidad de omar una decisión de manera veraz y oporuna. Además (Boero e al, 2000) exise una relaiva probabilidad de que las empresas aleren o maquillen los resulados de una sociedad en un periodo deerminado, razón por la cual no exisirán parámeros reales de comparación con oras empresas del mismo secor que coizan en la bolsa. 2.2 ANÁLISIS TÉCNICO El Análisis Técnico de valores preende pronosicar las variaciones fuuras de un valor bursáil basándose exclusivamene en la evolución de las coizaciones a lo largo de un periodo de iempo. A

4 Dyna 141, diferencia del Análisis Fundamenal, (Ellio, 2000), ese no esudia las variables económicas, sino los movimienos que sea han producido en las coizaciones de un iulo denro de la dinámica del mercado. Ese esudio se realiza mediane el manejo de indicadores y gráficos que reflejan el precio de una acción y su volumen a ravés del iempo, con el fin de deerminar las endencias fuuras de los precios, mediane el análisis de facores claves: el precio, el iempo y el volumen. El Análisis Técnico pare del supueso cenral de que los inversionisas son capaces de predecir los cambios y quiebres en los precios a parir de la información hisórica de esas mismas variables, y considera que los inversionisas cuenan con series de precios, volúmenes ransados de acciones, informaciones conables y un conjuno de hechos cuanificables sobre los que se pueden aplicar diferenes écnicas maemáicas y heurísicas. De hecho, el Análisis Técnico considera que la información que se iene al presene se conservará en el fuuro. Aunque el Análisis Técnico ha ido ganando reconocimieno con el paso del iempo, y son cada día menos aquellos que rechazan radicalmene sus posibilidades, es oporuno señalar algunas críicas que se han planeado respeco a la validez de los posulados écnicos: Es el propio mercado el que ofrece información para poder predecir su endencia fuura. Los analisas écnicos opinan que el precio que iene un acivo refleja oda la información exisene del mercado. Por lo ano, esudiando los movimienos de precios de los acivos esaremos esudiando indirecamene las expecaivas de cómo evenos fuuros, ya sean económicos, políicos, ec., pueden afecar a dichos acivos. Según los esudios de Malkiel (Parada, 1999) fundamena su afirmación en la eoría de mercados eficienes y afirma que odos los pronósicos de los écnicos son falsos, y sosiene que los méodos écnicos no se pueden usar para elaborar esraegias úiles de inversión. Los precios se forman por endencias. Los precios normalmene siguen una única endencia, hasa que sucede algo que hace cambiar ese escenario. Por ano, el precio de una acción seguirá coninuamene esas endencias, formando ondas. El precio de un acivo se esará moviendo en una misma dirección hasa que se produzca un cambio en las expecaivas de los inversores, que haga cambiar la endencia del acivo. Los precios muchas veces no los forman sólo los análisis fundamenales que se realicen en una empresa, sino que influyen oro ipo de facores que deberían enerse en cuena. Enre ellos se pueden desacar: facores sicológicos (expecaivas de éxio de la empresa en cuesión, opiniones del mundo empresarial, enre oras. Lo que sucedió en el pasado puede volver a ocurrir en el fuuro. Esudiando las series hisóricas de los precios de los acivos se puede observar que, en un gran número de ocasiones, el acivo reacciona de una manera parecida a algunas formaciones gráficas del pasado. El Análisis Técnico pare de esas informaciones que se ienen al presene, y supone el fuuro se manendrá como el pasado, siuación que puede ser o no ciera. De esa manera, lo que los inversionisas realmene conocen es el pasado y el presene de las acciones, además cuena con una serie de información como son las series de precios, volúmenes ransados de acciones, informaciones conables y un conjuno de hechos cuanificables sobre los que se puede aplica diferenes écnicas maemáicas. Las figuras, o formaciones gráficas son casi compleamene subjeivas y sólo exisen en la mene del observador. En muchos casos las figuras gráficas no son fáciles de idenificar y consruir, sobre odo cuando se busca hacerlo sobre los propios indicadores y osciladores. De allí que esa sea una de las principales criicas que suele hacérsele a esa herramiena. Los analisas écnicos sosienen que los precios del pasado describen rayecorias que se repeirán en el fuuro, sin embargo, debe pensarse que ocurre en aquellos mercados bursáiles como el colombiano que no reúnen las caracerísicas de ser compeiivos con odo lo que ello implica, como por ejemplo, mercados con generación de información reservada o confidencial que es usada para inverir por algún grupo privilegiado, o bien con acciones alamene concenradas en pequeños grupos y que se ransan generalmene fuera de Bolsa; (Boero e al. 2000) con inermediarios que forman los precios a parir de remaes ofreciendo grandes paquees de acciones, generación de burbujas, ec. Son hechos que por inuición o senido común indican que el mercado bursáil no reúne las caracerísicas para ser explicado oalmene por los analisas écnicos o por las eorías fundamenalisas.

5 38 Marínez, e. al. 2.3 UNA APROXIMACIÓN AL CASO COLOMBIANO Las eorías que soporan los ipos de análisis mencionados, se han desarrollado para mercados bursáiles con unas caracerísicas diferenes a las del mercado colombiano, ya que ese presena paricularidades que hacen cuesionable la prácica de esos análisis, al menos de una manera direca. Dichas caracerísicas esán relacionadas con variables como el amaño y liquidez del mercado, la concenración de la aención de los inversionisas en unas pocas acciones de inerés o la eficiencia de la valoración de acivos. Todo ello sugiere (Pinilla e al, 2000) que no exise un méodo concreo de análisis en la selección de un porafolio de acciones en el coro plazo que le reribuya al inversionisa ciera uilidad, para ese ipo de mercados. La base para seleccionar una nueva conformación del porafolio de inversiones, (Ramírez, 1995) esa basada en las expecaivas que iene el inversionisa sobre la evolución de los precios de las acciones que araen su inerés. Es por eso, que la consrucción de pronósicos de precios de acciones es un ema fundamenal denro del problema de selección de porafolios. En general cualquier méodo de pronósico, esimará el valor fuuro de las acciones, sin embargo, esa información es punual y realmene solo refleja la endencia de hacia donde evolucionará ese; ella no refleja el conjuno de posibles evoluciones que puede sufrir el valor de una acción a parir de su úlimo valor conocido. Es por ello que no es suficiene conar con un único valor pronosicado para cada insane del fuuro, ya que es necesario realizar un análisis del riesgo al que se ve someido el inversionisa respeco a los precios fuuros pronosicados de las acciones. Sin embargo, aunque los enfoque radicionales permien conformar de alguna forma un porafolio, no le dan información al inversionisa de cuando comprar o vender una deerminada acción. Asimismo, esán orienados a decisiones de inversión de mediano plazo, las cuales pueden ser de varias semanas a varios meses, sin enregarle información al inversionisa de cómo aprovechar las alzas y bajas que sufren los precios de las acciones en el coro plazo. 3 TEORÍA DE PORTAFOLIO La eoría de porafolio o carera de inversiones, hace pare de los méodos desarrollados por Markowiz y sus seguidores para el manejo de las inversiones en valores o adminisración de las careras de valores o acivos. Su marco de análisis se fundamena en concepos esadísicos y económicos, que son aplicados en el análisis de la información sobre acivos, con el fin de ransformarlos en conclusiones que permian consruir porafolios eficienes, de acuerdo a las preferencias de los inversionisas. Esa eoría pare del supueso de que la mayoría de los inversionisas son adversos al riesgo, es decir, les ineresa reducir el riesgo ano como maximizar la renabilidad esperada. La eoría de porafolio comienza con la proposición de la cual los inversionisas deben aender a las caracerísicas de su porafolio compleo y no sólo de algunos componenes individuales del porafolio o de solamene un acivo. De aquí se desprende una idea muy imporane en la eoría de porafolio, que un acivo que es en exremo riesgoso en si mismo puede resular basane seguro denro de un porafolio que iene oros acivos que compensan ese riesgo (Grossman, 1996). En general, los inversionisas se preocupan ano de la asa esperada de renabilidad como del riesgo generado por los acivos componenes del porafolio que más les convenga. Un porafolio, en érminos formales, es una colección de acivos, ano financieros (por ejemplo, dinero, bonos, acciones, ec.) como reales (por ejemplo, ierra, meales preciosos, edificaciones, cuadros, ec.) con caracerísicas propias de plazo, renabilidad y riesgo. En oras palabras, la eoría de porafolio se refiere (Medina e al, 1993), a la composición de un porafolio deerminado, como se disribuye su oal enre el dinero y los oros íulos. Puede ser normaiva, eso es, una eoría capaz de orienar hacia un porafolio ópimo, ideal, o bien una eoría puramene descripiva, empírica, que informe sobre el comporamieno efecivo de las personas, sea racional o no. Es bueno ener en cuena que exisen diversos apores a la eoría de porafolio. Es así que en ese puno se presenan, en forma breve un análisis de los principales apores realizados por algunos auores. 3.1 MODELO DE MARKOWITZ La eoría básica de la selección de porafolios fue desarrollada inicialmene por el Premio Nóbel Harry Markowiz a comienzos de los años 50. Más adelane fue ampliada por oros economisas, que se inrodujeron en el campo de las finanzas, y le

6 Dyna 141, aporaron aspecos imporanes para incremenar su desarrollo eórico. De acuerdo con Varian, (1993), Markowiz observó que en el libro La eoría del Valor de Inverir de John Burr Williams, se argumenaba que el valor del capial debería ser el valor presene de sus dividendos (lo que era considerado una eoría nueva). Pero Markowiz vio como eso presenaba un problema, ya que los dividendos fuuros no son conocidos con cereza; son variables al azar. Eso lo llevo a ampliar la eoría de Williams Sharpe, ya que para Markowiz el valor de capial debería ser el valor presene esperado de su flujo de dividendos. Markowiz observó, que un inversionisa no sólo debe ener en cuena la renabilidad esperada más ala, sino ambién el riesgo que implica esa inversión. Eso lo llevó a examinar el problema de enconrar un porafolio con el máximo reorno esperado a un nivel de riesgo dado. Llevándolo a planear el problema de minimizar las variaciones de un porafolio omando como resricción el requerimieno de un reorno esperado. (Markowiz, 1952). Es decir, propuso un problema de programación cuadráica, el cual enía como condiciones de primer orden el aumeno marginal en la varianza de inverir un poco más en un acivo dado y debería ser proporcional al reorno dado. Esa variación depende ano de la varianza del reorno del acivo, como de la covarianza del reorno de odos los demás acivos del porafolio. Esa se considera como la idea cenral de la conribución de Markowiz. En 1952 la programación lineal esaba naciendo y la programación cuadráica no esaba definida, sin embargo Markowiz desarrolló méodos prácicos para deerminar la línea críica para solucionar los problemas de opimización, describiendo porafolios eficienes con varianza mínima y renabilidad ala. Finalmene, Markowiz público dos documenos en 1952 y 1956 y su libro clásico en El modelo de Markowiz es la base de la mayoría de los modelos de selección de carera. Sin embargo, su uilización en la prácica es basane reducida. El moivo de ello iene que ver con sus dificulades de cálculo, la inesabilidad de las soluciones que proporciona, los problemas para incluir opiniones de los experos y la rigidez de la función de riesgo considerada. Ese modelo se fundamena principalmene en recoger de forma explícia los rasgos fundamenales de lo que en un principio se puede calificar como conduca racional del inversor, consisene en buscar aquella composición de la carera que haga máxima la renabilidad para un deerminado nivel de riesgo, o bien, un mínimo de riesgo para una renabilidad dada. Markowiz cenró su aención en la prácica habiual de la diversificación de careras y mosró como un inversor puede reducir la desviación ípica de las renabilidades de una carera eligiendo acciones cuyas oscilaciones no sean paralelas. Markowiz coninuó con el desarrollo de los principios básicos de la formación de careras. Esos principios son el fundameno de odo lo que pueda decirse enre riesgo y renabilidad. La renabilidad de cualquier íulo o carera, es una variable aleaoria de carácer subjeivo, cuya disribución de probabilidad para el periodo de referencia es conocido por el inversor. El valor medio o esperanza maemáica de dicha variable aleaoria se acepa como medida de la renabilidad de la inversión. Se acepa como medida del riesgo la dispersión, medida por la varianza o la desviación esándar, de la variable aleaoria que describe la renabilidad, ya sea de un valor individual o de una carera. La conduca del inversor le lleva a preferir aquellas careras con una mayor renabilidad y menor riesgo. En la primera eapa se deermina el conjuno de Careras Eficienes cuando proporciona la máxima ganancia para un riesgo (medido por la varianza) dado, o bien, proporciona el mínimo riesgo para un valor dado de ganancia (Esperanza Maemáica). Ese supueso ya fue probado (Jiménez e al,2000) y llegaron a la conclusión que en economías an poco desarrolladas esa eoría de carera no se puede aplicar, es decir, se necesia realizar muchas modificaciones al modelo para enconrar resulados que se puedan comparar con experimenos realizados en Esados Unidos o en los mercados Europeos. A pesar de esos principios, el modelo en el mercado colombiano no iene gran aplicabilidad ya que lleva implícias dos condiciones fundamenales: Para que el modelo se pueda desarrollar gráficamene el número de alernaivas de inversión debe ser manejable, es decir, sólo se puede rabajar con dos o res posibilidades. A parir de ahí, exisen grandes dificulades para exrapolar al caso general de n posibilidades de inversión, y en el caso de aplicación se conformará un porafolio de 10 acciones para el cual ese modelo no aplicaría. Se deben asumir deerminados posulados de probabilidad esáica cuando el esudio raa un análisis dinámico. De esa manera, habría que reconocer que la disribución de probabilidad de los

7 40 Marínez, e. al. rendimienos de cualquier alernaiva de inversión depende del iempo. Debido a que el análisis se desarrolla en el largo plazo esa condición no es necesaria en el méodo que se planea ya que el desarrollo se hará en el coro plazo. 3.2 MODELO DE MERCADO DE SHARPE El modelo de mercado de Sharpe (1963) surgió como un caso paricular del modelo diagonal del mismo auor que, a su vez, fue el resulado de un proceso de simplificación que Sharpe realizó del modelo de Markowiz. Sharpe consideró que el modelo de Markowiz implicaba un dificuloso proceso de cálculo ane la necesidad de conocer de forma adecuada odas las covarianzas exisenes enre cada pareja de íulos. Para eviar esa complejidad, Sharpe propone relacionar la evolución de la renabilidad de cada acivo financiero con un deerminado índice, normalmene macroeconómico, únicamene. Ese fue el denominado modelo diagonal, debido a que la mariz de varianzas y covarianzas sólo presena valores disinos de cero en la diagonal principal, es decir, en los lugares correspondienes a las varianzas de las renabilidades de cada íulo. Sharpe exploró un acercamieno conocido por esos días como Modelo de Mercados o Modelo de un sólo facor o Modelo Diagonal. Él asume que el reorno sobre cada íulo es linealmene relacionado con un exponene único, usualmene omado para ser el reorno sobre algunos exponenes de mercados (por ejemplo un índice de mercado, ahora conocido como coeficiene bea (Shapiro, 1999). La moivación de Sharpe para formular ese modelo era empírica. Según él, la mayoría de los capiales se mueven junos la mayoría del iempo. Por lo ano, es naural pensar que un sólo facor (o un pequeño número de facores) deermina las variaciones en reornos. Esa relación lineal puede esimarse fácilmene, y los coeficienes obenidos pueden usarse para consruir covarianzas, las cuales, pueden, a su vez, usarse para consruir porafolios ópimos. La enaiva de Sharpe redujo dramáicamene la dimensión del problema del porafolio y simplificó el cálculo de los porafolios eficienes. Más arde, Sharpe dedicó su aención a la eoría de equilibrio de mercado de capiales. El se pregunó como sería sí odos los inversionisas se comporaran como opimizadores del porafolio de Markowiz. Ellos pueden ener diferene canidad de dinero inverida en el mercado de valores, pero cada uno escogería el mismo porafolio de acivos de riesgo. Sharpe se dio cuena que si odos reuvieran el mismo porafolio de acivos de riesgo, sería medir ese porafolio. Se necesiaría mirar la liquidez oal inverida en deerminados acivos, y dividirla por la liquidez oal en el mercado de capiales. Sharpe, decía que, en equilibrio, el porafolio de acivos de riesgo individual es simplemene el porafolio de mercado. Esa observación implica que el porafolio de mercado es de eficiene variación, es decir, se apoya en la fronera del conjuno eficiene, y por ano saisface las condiciones de primer orden de eficiencia, lo cual se conviere en una de las imporanes ideas del celebrado Modelo de Precios de Acivos de Capial (CAPM, sigla en ingles). Pero como en odos los modelos, ese ambién iene sus supuesos, a saber: Los inversionisas son adversos al riesgo y maximizan la uilidad esperada de su riqueza al fin del periodo. Los inversionisas son omadores de precios y ienes expecaivas homogéneas acerca de los rendimienos de los acivos que ienen disribución normal conjuna. Exise un acivo libre de riesgo al que los inversionisas puedan pedir en présamo o presar monos limiados a la asa libre de riesgo. Las canidades de odos los acivos riesgosos son fijas. Los mercados de acivos esán libres de fricciones, la información no iene coso alguno y esá al alcance de odos los inversionisas. No exisen imperfecciones de mercado como impuesos, leyes o resricciones sobre venas de recore. Debido a lo anerior, es imporane ener en cuena que el mercado accionario de Colombia es imperfeco, reducido y concenrado. Asimismo, el modelo CAMP ha sido moivo de muchos cuesionamienos por pare de diversos auores. Medina y Echeverri (1993) en su rabajo La Selección de Porafolios y la Fronera Eficiene: el caso de la Bolsa de Medellín, , enconraron que la fronera eficiene siempre incluye shor- sale (venas coras) en cerca del 50% de las acciones que componían la mayoría de sus porafolios eficienes. Por oro lado, concluyeron que el IBOMED es ex pos media varianza ineficiene ya que no enconraron una relación lineal enre la renabilidad de las acciones y sus beas (algo parecido al rabajo de Arango y Cardona (1984), lo cual los llevó a rechazar la hipóesis del

8 Dyna 141, modelo CAMP o que ese en el mercado accionario Colombiano no es una eoría valida. 4 METODOLOGÍA PROPUESTA Todo inversionisa preende una esraegia exiosa en maeria de inversión, sin embargo ella esará someida a diferenes riesgo que podrán hacer que ésa sea imposible de realizar en la realidad o en oro caso puede suceder que esa esraegia no sea an exiosa como se enia proyecado. Un programa de compra y vena fuura de acivos financieros que se haya obenido por algún méodo esa someido para el caso de la inversión en la bolsa de valores a que: El volumen de los insrumenos financieros que se preendían comprar según la esraegia no sea ofrecido por el mercado. La canidad de insrumenos financieros que se proyecaban vender solo sea demanda parcialmene por el mercado. Que el precio de los acivos que se van a incorporar al porafolio sea mucho más alo que el proyecado. Que el precio de vena de los acivos que salen del porafolio sea mucho mas bajo. Esas son algunas de las siuaciones que se pueden presenar y hacen que una esraegia previsa sea imposible de implemenar en la realidad. En el caso ideal para la conformación del programa de compra y vena de acivos, el inversionisa conoce con cereza el valor fuuro de las acciones día a día. Queda enonces por deerminar el volumen diario de acciones de cada empresa que deben manenerse en el porafolio. Ese problema puede planearse como un modelo de programación lineal enera, donde la función objeivo corresponde a maximizar el valor presene neo del flujo de caja, las resricciones represenan las condiciones de coninuidad del flujo de caja y las resricciones físicas sobre los volúmenes de acciones, las cuales impiden que se vendan más acciones de las que se ienen, o se compren más acciones de las posibles con el flujo de caja de ese insane de iempo. Las variables corresponden a los volúmenes de las acciones de cada empresa a nivel diario durane el horizone de planificación. En el caso real no se conoce la evolución fuura de los precios y el inversionisa cuena con diferenes escenarios posibles para la evolución del precio de cada acción, lo que conviere el problema de opimización convencional expresado en el caso ideal, en un problema de opimización bajo inceridumbre. La función objeivo ya no opimiza un indicador financiero sobre la inversión, al como el VPN, si no una medida que cuanifique el riesgo sobre el porafolio, al como podría ser el valor esperado del VPN del porafolio o su dispersión. La principal caracerísica de la solución obenida es que debe represenar una posición sólida para el inversionisa, eso es, represene una buena inversión la mayoría de posibles evoluciones del precio de los insrumenos financieros considerados. El méodo propueso en ese rabajo busca esrucurar un proceso de decisión para la selección de porafolios, que permian la especulación en el coro plazo, de al forma que se puedan conrolar los riesgos, y realizar una opimización bajo inceridumbre del porafolio de acciones. Para ello se realiza una combinación de écnicas de opimización y simulación, para maximizar o minimizar indicadores de riesgo medidos sobre el porafolio, ales como la desviación esándar de los reornos esperados o su promedio. La meodología se proponen res pasos fundamenales: 1. Selección de los insrumenos financieros que endrán la opción de hacer pare del porafolio. 2. Desarrollo de modelos de pronósico de precios y generación de series sinéicas. 3. Opimización del porafolio. Un diagrama de la meodología se presena en la Figura 1. Inicio Selección de los insrumenos que andran la opción de hacer pare del porafolio Para cada semana Desarrollo de los pronosicos de precio de los insrumenos seleccionados Opimizacion del porafolio usando Busqueda Tabú Simulación del Flujo de Caja Realizar los movimienos bursáiles sugeridos por la meodología Figura 1. Meodología propuesa.

9 42 Marínez, e. al. 4.1 SELECCIÓN DE INSTRUMENTOS FINANCIEROS La selección de los insrumenos financieros es pare fundamenal de la meodología propuesa, sin embargo, no se preende proponer un modelo que ome esa decisión por el inversionisa, ya que ese ipo de decisión es propio a su nauraleza y depende de la aversión al riesgo de ése, sus preferencias sobre los mercados, el ipo de inversión que prefiere, enre oros aspecos que diferencian a un inversionisa de oro, así como su forma de ver el mercado y omar decisiones de acuerdo a esa visión. Cada inversionisa omara su decisión de acuerdo a su conocimieno y experiencia en el mercado, depende además de la écnica aplicada por ése si es que recurre a alguna, es donde inerviene el juicio del expero; aspeco que se debería ener en cuena como rabajo fuuro para ser incorporado denro de la meodología propuesa. Si se preende inverir en el coro plazo una caracerísica que debe procurar el inversionisa en el acivo financiero que desea considerar es que enga una ala bursailidad para faciliar el cumplimieno de las políicas planeadas. 4.2 CONSTRUCCIÓN DE PRONÓSTICOS Y SERIES SINTÉTICAS El proceso de conformación del porafolio de inversiones esa basado en las expecaivas que iene el inversionisa sobre la evolución de los precios de las alernaivas de inversión que araen su inerés. Es por eso, que la consrucción de pronósicos de precios de acciones es un ema fundamenal denro del problema de selección de porafolios. Una de las alernaivas que se esán esudiando acualmene en el pronósico de precios de acciones, es el uso de sisemas experos, ales como las Redes Neuronales Arificiales (Marín, 2000), que ya han sido empleadas en el análisis del caso colombiano. En general, cualquier méodo de pronósico esimará el valor fuuro de las acciones, sin embargo, esa información es punual y realmene solo refleja la endencia de hacia donde evolucionará ese; ella no refleja el conjuno de posibles evoluciones que puede sufrir el valor de una acción a parir de su úlimo valor conocido y no incluye el efeco de oros facores exógenos a la evolución pasada de la acción. Es por ello, que no es suficiene conar con un único valor pronosicado para cada insane del fuuro, ya que es necesario realizar un análisis del riesgo al que se ve someido el inversionisa respeco a los precios fuuros pronosicados de las acciones. Ya que el modelo propueso es de simulación, es necesario enregarle las proyecciones del precio de las acciones en el horizone de planificación. Esas proyecciones corresponden a posibles evoluciones del precio de cada acción en el fuuro. Eso implica que no debe enregarse al modelo la endencia cenral del precio, al como lo hacen los modelos economéricos, sino una muesra represenaiva de las posibles evoluciones, las cuales pueden obenerse como series sinéicas a parir del modelo generador de la serie de precios de la acción. Eso es, cuando se ajusa un modelo maemáico a una serie de iempo, {x }, que represena la evolución hisórica del precio de la acción x, independienemene que sea un modelo economérico o de Redes Neuronales Arificiales, exise una porción de la varianza de la serie que solo puede ser explicada como un ruido o error, que represena oros facores endógenos o exógenos que afecan la serie y el cual se represena denro del modelo como un número aleaorio normal con media cero y desviación esándar, es decir: x = F(x -1, x -2,..., x -n ) + N(0, σ) donde x -1 es el úlimo valor hisórico de la serie. Cada serie sinéica se genera puno por puno, generando para cada valor de x un número aleaorio normalmene disribuido con media cero y desviación esándar σ, a parir del úlimo dao conocido de la serie. Aunque se considera que odas las series son equiprobables, ese supueso puede ser modificado, confiriéndole más peso a algunas series que cumplan una caracerísica deerminada. Es el caso del inversionisa que posee información privilegiada sobre el comporamieno fuuro de un acivo financiero, ése podrá darle más peso a las series que son consecuenes con esa información, sin embargo, eso no ha sido considerado denro del modelo en cuesión. 4.3 OPTIMIZACIÓN DEL PORTAFOLIO Con las series sinéicas que se generan se obiene una muesra represenaiva de posibles evoluciones del precio de las acciones o del insrumeno financiero que se haya considerado. Se preende

10 Dyna 141, enconrar una solución renable para la mayoría de las posibles evoluciones del mercado, suponiendo que cada una de esas es equiprobable. Se espera que cualquiera que sea el comporamieno real del precio, el modelo propueso ya haya considerado una conduca similar, eso es, la solución deberá ser robusa ane cualquier evolución normal del mercado. Una solución robusa se eniende como una solución cuyo resulado es favorable en la mayoría de los posibles esados de la nauraleza, para el caso en paricular la solución deberá ser renable en la mayoría de las posibles evoluciones del mercado. En érminos maemáicos, se debe obener la canidad de acciones que debe conener el porafolio en cada periodo de iempo, esa canidad corresponde a variables eneras ya que no es posible fraccionar acciones en el mercado real, ese ipo de problema donde se preenden canidades eneras es noorio por su dificulad. Para el caso en paricular se uiliza la écnica de Búsqueda Tabú (Glover, 1989), como insrumeno para obener las políicas de compra y vena de acciones del porafolio en el coro plazo, dada la necesidad de conar con un méodo eficiene de opimización que genere denro de la infinidad de posibles políicas de compra y vena la solución más robusa, que implique menor riesgo y maximice la uilidad esperada. La solución ópima buscada es el vecor que coniene el número de acciones de cada empresa que se debe ener en cada uno de los días del horizone de inversión, al que opimice la medida de riesgo omada sobre el flujo de caja que se obiene al usar dicha solución y obener un flujo de caja para cada una de las series sinéicas consideradas. Para evaluar el rendimieno de las soluciones generadas por la Búsqueda Tabú se considera cada una de las series sinéicas generadas y se simula el flujo de caja obeniendo el VPN de la solución para porafolio en el día 2 de la empresa A, y así sucesivamene Generalidades sobre Búsqueda Tabú Los orígenes de la Búsqueda Tabú (TS) pueden siuarse en diversos rabajos publicados hace alrededor de 20 años. Oficialmene, el nombre y la meodología fueron inroducidos poseriormene por Fred Glover (1989). Numerosas aplicaciones han aparecido en la lieraura, así como arículos y libros para difundir cada una de las series sinéicas y se procede a evaluar la medida de riesgo que se quiere opimizar. Para el caso analizado, se busca maximizar el VPN promedio evaluado sobre el desempeño de odas las series sinéicas, se genera un promedio ya que se considera que cada una de las series son equipróbables; es decir; cada una de la series sinéicas se esablece como un posible esado del mercado a fuuro, lo que en eoría de oma de decisiones se considera como posible esado de la nauraleza. Se supone que cada una de la series es equiprobable por que se considera que el inversionisa no iene ningún conocimieno sobre la evolución fuura del mercado, por lo ano no podrá darle mas peso a unas series, es decir, no puede esablecer que una serie sinéica iene mayor probabilidad de acercarse a la serie real fuura de precios. En la realidad el inversionisa puede ener algún conocimieno sobre la evolución de los precios de las acciones en el fuuro por que iene por ejemplo acceso a información privilegia, en ese caso el inversionisa podrá darle mas peso a las series que sean consecuenes con esa información, por ejemplo, el inversionisa iene conocimieno que el precio de la acción de una deerminada empresa caerá, el inversionisa le dará mas peso a las series que presenen una endencia a la baja, en al caso se buscaría maximizar en VPN promedio ponderado. La solución que se genera con el modelo es el vecor de los x ij que opimiza la medida de riesgo considerada, donde x ij es la canidad de acciones de la empresa j en el día i. Por ejemplo, si se consideran 2 empresas (A, B) y 2 días hacia adelane para esablecer la conformación del porafolio, la respuesa que enrega el modelo será {a 1, b 1, a 2, b 2 } donde a 1 es el número de acciones que se debe ener en el porafolio en el día 1 de la empresa A, b 1 es el número de acciones que se debe ener en el porafolio en el día 1 de la empresa B, a 2 es el número acciones que se debe ener en el el conocimieno eórico del procedimieno (Glover & Laguna, 1997). TS es una écnica para resolver problemas combinaorios de gran dificulad que esá basada en principios generales de Ineligencia Arificial (IA). En esencia es un meaheurísico que puede ser uilizado para guiar cualquier procedimieno de búsqueda local en la búsqueda agresiva del ópimo del problema. Por agresiva se eniende la esraegia de eviar que la búsqueda quede arapada en un ópimo local.

11 44 A al efeco, TS oma de la IA el concepo de memoria y lo implemena mediane esrucuras simples con el objeivo de dirigir la búsqueda eniendo en cuena la hisoria de ésa. TS comienza de la misma forma que cualquier procedimieno de búsqueda local, procediendo ieraivamene de una solución x a ora y en el enorno de la primera: N(x). Sin embargo, en lugar de considerar oda la vecindad de una solución, TS define el enorno reducido N*(x) como aquellas soluciones disponibles del enorno de x. Así, se considera que a parir de x, sólo las soluciones del enorno reducido son alcanzables. Exisen muchas maneras de definir la vecindad de una solución. La más sencilla consise en eiquear como abú las soluciones previamene visiadas en un pasado cercano. Esa forma se conoce como memoria a coro plazo (shor erm memory) y esá basada en guardar en una lisa abú las soluciones visiadas recienemene. Cada vez que un movimieno es realizado, se inroduce en una cola (la primera en enrar es la primera en salir, esraegia FIFO) de amaño L de al forma que los elemenos de dicha lisa esán penalizados durane un ciero iempo. Un movimieno, por ano, no será acepado siempre y cuando permanezca en la lisa abú. Esa lisa consiuye la esrucura de memoria del algorimo. El objeivo principal de eiquear las soluciones visiadas como abú es el de eviar que la búsqueda enre en ciclos. Es imporane considerar que los méodos basados en búsqueda local requieren de la exploración de un gran número de soluciones en poco iempo, por ello es críico el reducir al mínimo el esfuerzo compuacional de las operaciones que se realizan a menudo. En ese senido, la memoria a coro plazo de TS esá basada en aribuos en lugar de ser explícia; eso es, en lugar de almacenar las soluciones compleas se almacenan únicamene algunas caracerísicas de ésas. La memoria mediane aribuos produce un efeco más suil y beneficioso en la búsqueda, ya que un aribuo o grupo de aribuos idenifica a un conjuno de soluciones. Así, un aribuo que fue eiqueado como abú por perenecer a una solución visiada hace n ieraciones, puede impedir en la ieración acual, el alcanzar una solución por conenerlo, aunque ésa sea muy diferene de la que provocó el que el aribuo fuese eiqueado. Eso provoca, a largo plazo, el que se idenifiquen y manengan aquellos aribuos que inducen una ciera esrucura beneficiosa en las soluciones visiadas. Marínez, e. al Un algorimo TS esá basado en la ineracción enre la memoria a coro y la memoria de largo plazo. Ambos ipos de memoria llevan asociadas sus propias esraegias y aribuos, y acúan en ámbios diferenes. Como ya se ha mencionado la memoria a coro plazo suele almacenar aribuos de soluciones recienemene visiadas, y su objeivo es explorar a fondo una región dada del espacio de soluciones. La memoria a largo plazo almacena las frecuencias u ocurrencias de aribuos en las soluciones visiadas raando de idenificar o diferenciar regiones. La memoria a largo plazo iene dos esraegias asociadas: inensificar y diversificar la búsqueda. Una forma clásica de diversificación consise en reiniciar periódicamene la búsqueda desde punos elegidos aleaoriamene. Los elemenos básicos de la Búsqueda Tabú son los siguienes: Selección de una solución inicial x 0. Un facor muy imporane a ener en cuena es la posible influencia que enga comenzar la búsqueda abú con una solución inicial más o menos buena. Esa solución dependerá del algorimo específico que la genera. Con una solución inicial buena, de bajo cose, generada de forma algorímica, se puede pensar que es posible evolucionar, a coro plazo, hacia soluciones mejores, aunque podría suponer un gran perjuicio compuacional si realmene evoluciona la búsqueda hacia regiones de soluciones más desfavorables. Es, por ano, necesario evaluar la conveniencia de considerar un méodo algorímico o no. En cualquier caso, siempre será posible generar una solución de forma aleaoria. Elección de la vecindad V(x a ). Para evolucionar hacia oras soluciones, el algorimo de búsqueda abú selecciona ésas en un enorno de x a. Hay que definir, por ano, el concepo de solución cercana de x a para proceder a seleccionar una nueva solución denro de dicho enorno. Elección del amaño de la lisa abú (L). Varios auores oman el valor 7 como "número mágico" sin explicación lógica. Más recienemene, se oman valores dependienes del amaño del problema. En cualquier caso, consiuye un parámero imporane cuya influencia habría que analizar y del cual dependerá la evolución del algorimo en gran medida.

12 Dyna 141, Elección de los aribuos para almacenar en la lisa abú. Almacenar la descripción complea de las úlimas soluciones exploradas y comprobar si cada movimieno se encuenra en la lisa puede ocupar mucho iempo. Como alernaiva se puede almacenar un aribuo represenaivo del movimieno. Los aribuos que se consideren, así como la forma de almacenarlos dependerán, en ciera medida, del problema a resolver. Crierio de finalización. Se puede esablecer un número máximo de ieraciones, o un número máximo de pasos sin mejorar el cose. Ya que la TS rabaja sobre cadenas de binarios, esos deben ser converidos en números eneros que represenen las canidades de acciones que se manienen en el porafolio; para ellos Para ese caso paricular, se ha enconrado que la represenación de los eneros usando el código Gray, puede resular beneficiosa en érminos de convergencia del algorimo y calidad de la solución. El Código Gray es un ipo de código binario, en el que la secuencia ordenada cambia sólo en un bi enre un número y sus adyacenes (predecesor y anecesor), a diferencia del código binario radicional en donde pasar de un enero al siguiene, por ejemplo enre el 1 y el 2, implica el cambio de más de un bi, al como puede verse en la Tabla Parámeros de la Búsqueda Tabú A coninuación se describen los parámeros que uiliza la búsqueda abú: Selección de la solución inicial: Se elige como solución inicial un vecor de ceros, lo que represena una esraegia donde el inversionisa no acúa en el mercado y su capial inicial será igual a su capial final. Elección del enorno: el enorno será las soluciones que se pueden generar al modificar un bi de la solución acual, si es que ese bi no esa eiqueado como abú. Elección del amaño de la lisa abú para la memoria en coro plazo: El amaño de la lisa abú esa deerminado por del número de bis que represena cada políica dividido enre dos. Elección del amaño de la lisa abú para la memoria de largo plazo (L): se esableció la lisa abú para la memoria en el largo plazo como una variable que define el usuario. Para efecos de las pruebas que se le aplican al modelo se rabaja con una lisa de 500 soluciones. Elección de los aribuos para almacenar en la lisa abú de coro plazo: se eiquearan denro de la lisa abú los úlimos bis modificados. Elección de los aribuos para almacenar en la lisa abú de largo plazo: se almacena la oalidad de las L soluciones en código Gray. Ciclos: recorrido por la oalidad de los bis que coniene la solución. Numero de ciclos: máximo de número de ciclos consecuivos sin enconrar una mejor solución que la acual. Crierio de finalización: la búsqueda finaliza cuando al desarrollarse un número deerminado de inenos de búsqueda del opimo, en el primer ineno la solución con que se inicia es la solución inicial definida en el íem anerior, para los siguienes inenos si inicia con una solución elegida al azar enre la soluciones perenecienes a la lisa abú de largo plazo. Cada ineno ermina cuando al realizar un número deerminado de ciclos consecuivos no se haya enconrado una mejor solución. Tabla 1. Ejemplo de codificación en binario y en Gray. Código Gray Enero Código Binario Adicional a esos elemenos claves para la búsqueda abú se definen los parámeros necesarios para desarrollar el modelo y que son propios a cada siuación, son ellos: Número de insrumenos financieros que ienen la opción de hacer pare del porafolio: ese parámero depende de la decisión del inversionisa denro del primer puno de la meodología. Número de días: horizone de inversión como número de días para los que se busca las mejores políicas de compra y vena.

13 46 Número de bis: Canidad de binarios necesarios para represenar cada políica. Número de series: número de series sinéicas consideradas. Pronósicos: mariz que posee la oalidad de los pronósicos, es decir, coniene el número de series dado. Capial inicial: Mono de dinero del que se dispone para inverir. Porafolio inicial: se refiere al volumen de acciones con que cuena el inversionisa al comenzar el periodo de inversión. Porcenaje de Comisión: es la fracción de dinero adicional que se le debe pagar al comisionisa de bolsa al efecuar cada ransacción. Volumen máximo de acciones: es la canidad máxima de acciones de cada empresa que puede ser incorporada al porafolio. Es un recurso limiado de capial, dado que se supone que el inversionisa apora un capial inicial al comenzar el horizone de inversión como único desembolso y no se consideran reiros de capial durane el periodo de inversión incluyendo las ganancias obenidas, es decir, se supone reinversión de las uilidades. Las resricciones que se le imponen a la solución son: Recurso limiado, dado que se supone que el inversionisa apora un capial inicial al comenzar el horizone de inversión, no se consideran apores o reiros de capial durane ese periodo, las ganancias son reinveridas, luego como primera resricción se iene el capial de inversión. Un número de acciones de cada empresa que pueden ingresar al porafolio (volumen máximo de acciones), esa resricción se impone con fin de ener un porafolio diversificado que en eoría disminuye el riesgo, además para el caso Colombiano donde se presena una baja liquidez (Gómez, 1999). En el modelo cada inversionisa esablecerá el volumen máximo de acciones que desea ener en su porafolio, ese volumen deberá ser menor a la canidad promedio de acciones de cada empresa que se ransa diariamene en la bolsa, y será proporcional al grado de diversificación que el inversionisa desea para su porafolio. El porcenaje de comisión que se debe pagar al comisionisa de bolsa, esa comisión puede variar dependiendo de la firma comisionisa con Marínez, e. al la que se rabaje, la relación enre el inversionisa y el comisionisa, el volumen y la frecuencia con que ransa en la bolsa, enre oros aspecos que hacen que esa comisión varié de un inversionisa a oro. Por esa razón el modelo permie rabajar con el porcenaje de comisión que el inversionisa solicie. Una vez obenida una esraegia enaiva de compra y vena de acciones para el horizone de iempo que es analizado se puede dar el caso que el modelo sugiera comprar un número de acciones superior a la capacidad de compra, debido a que se considera que el inversionisa apora un capial inicial sin hacer más desembolsos, para ese caso se debe hacer un ajuse a las políicas propuesas por el modelo. Para considerar esa dificulad, el modelo obiene la capacidad de compra del inversionisa en el momeno que debe hacer la compra, si esa capacidad es suficiene el modelo auoriza la compra, si no hay suficiene capacidad el modelo asigna los recursos disponibles, auorizando la compra de las acciones de la primera empresa del vecor de políicas si hay recursos disponibles; si no hay recursos calcula la canidad de acciones que esa en condiciones de comprar el inversionisa, si se poseen los recursos para comprar la oalidad de las acciones de la primera empresa, se calcula si hay capacidad para la segunda y el procedimieno se repie hasa agoar los recursos disponibles. El proceso es presenado algorímicamene en la Figura 2. Esa forma de disribuir el capial disponible para la compra de acivos financieros puede ser inervenida por el inversionisa, de acuerdo con su expecaiva de la evolución del mercado. Se insise en cada aparado de la meodología la imporancia que iene el conocimieno de inversionisa denro del proceso de oma de decisiones, los auores no preenden en ningún caso subvalorar la capacidad que ienen los inversionisas de omar decisiones de acuerdo a su experiencia y conocimieno del mercado, se planea como rabajo fuuro incorporar denro de la meodología el Juicio del Expero como información que sopore las soluciones. 5 APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA Y RESULTADOS OBTENIDOS La meodología es una herramiena general, cuya aplicabilidad es en el mercado bursáil, además puede ser ajusada en cualquier insrumeno financiero pereneciene a algún oro mercado. La meodología propuesa se desarrolla en el mercado