Estudio de la estabilidad de una variante del modelo de la telaraña

Transcripción

1 Semiiel, José ; Arnulfo, Angélica ; Cianciardo, Cinia Esudio de la esabilidad de una variane del modelo de la elaraña Anuario de la Faculad de Ciencias Económicas del Rosario Nº 10, 2014 Ese documeno esá disponible en la Biblioeca Digial de la Universidad Caólica Argenina, reposiorio insiucional desarrollado por la Biblioeca Cenral San Benio Abad. Su objeivo es difundir y preservar la producción inelecual de la Insiución. La Biblioeca posee la auorización del auor para su divulgación en línea. Cómo ciar el documeno: Semiiel, J., Arnulfo, A., Cianciardo, C. (2014). Esudio de la esabilidad de una variane del modelo de la elaraña [en línea], Anuario de la Faculad de Ciencias Económicas del Rosario, 10. Disponible en: hp://biblioecadigial.uca.edu.ar/reposiorio/revisas/esudio-esabilidad-variane-modelo.pdf [Fecha de consula:...]

2 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA VARIANTE DEL MODELO DE LA TELARAÑA Semiiel, José ; Arnulfo, Angélica ; Cianciardo, Cinia 131 Faculad de Ciencias Económicas del Rosario Universidad Caólica Argenina Av. Pellegrini 3314, CP 2000, Argenina Resumen. Ese arículo versa sobre una de las aplicaciones de las ecuaciones en diferencias finias lineales de primer orden en el análisis económico de un problema. A parir del conocido modelo de la elaraña o modelo de cobweb se inroducen, siguiendo a P. Cagan (1956), expecaivas adapaivas y se obiene una variane de dicho modelo. Se esudia la esabilidad de al variane a parir del análisis del carácer de la sucesión de precios generada por la solución del modelo. Palabras clave: Ecuaciones en diferencias finias- Variane del modelo de la elaraña- Esabilidad 1. Inroducción En Economía es frecuene esudiar cómo evolucionan los valores de una misma variable en disinos insanes emporales. Si la variable iempo se considera como algo coninuo, dicha evolución se esudia uilizando ecuaciones diferenciales. Sin embargo, si el iempo es raado de manera discrea, es decir que dicha variable sólo puede omar valores eneros, se uilizan enonces las ecuaciones en diferencias finias. Las ecuaciones en diferencias finias se pueden aplicar en diferenes ámbios económicos y financieros. Son muchos y variados los ejemplos 131 {semiiel, aarnulfo, ciniac}@fceia.unr.edu.ar 203

3 de modelos microeconómicos y macroeconómicos que se planean a parir de esa formulación. El cálculo de la solución (general y paricular) de las ecuaciones en diferencias finias y su poserior inerpreación puede ser de gran uilidad en conexos económicos y financieros. En ese arículo presenamos una aplicación de las ecuaciones en diferencias finias lineales de primer orden, conocida con el nombre de modelo de la elaraña o modelo general de cobweb del economisa briánico Nicholas Kaldor (1934), para esimar los precios en un mercado agrícola. Más precisamene efecuamos el esudio de una variane del modelo de la elaraña al considerar, como sugiere Phillip D. Cagan (1956), expecaivas adapaivas. Para el nuevo modelo planeado obenemos su solución, que genera una sucesión de precios, y analizamos el carácer de la misma. Por úlimo, y en función de los resulados obenidos al esudiar la convergencia de la sucesión de precios, se analiza la esabilidad de la variane del modelo de la elaraña planeado. 2. Una variane delmodelo de la elaraña 2.1. El modelo de la elaraña El modelo de la elaraña explica el modelo general que sigue la formación de los precios de los producos, cuya demanda se esablece como una función del precio del mercado y la ofera en función del precio de mercado observado en el período inmediaamene anerior, como puede ser un día, semana, emporada, año, ec. En la prácica, el modelo se aplica principalmene a bienes y servicios cuya producción es disconinua, ales como producos agrícolas. Ese modelo puede explicar las flucuaciones que se producen en los precios de los mercados. Tras un fuere cambio en la producción (aumeno o disminución), es el propio mercado que lleva a cabo el 204

4 proceso de ajuse, corrigiendo la desviación hasa alcanzar su precio en equilibrio. El modelo recibe el nombre de elaraña pues el proceso de ajuse gráficamene se asemeja a la de una ela de araña. Por ejemplo, la Ilusración 1 muesra la relación enre los precios y el volumen de venas de viviendas (casa y pisos) nuevos en la región cenral de Francia enre Ilusración 1. El modelo de la elaraña Fuene: hp://es.wikipedia.org/wiki/teorema_de_la_elara%c3%b1a Para formular maemáicamene ese modelo, se ienen en cuena las siguienes hipóesis: [a] la decisión de producir debe ser adopada en el período anerior al de la vena y se confía en el que el precio acual se manendrá en el próximo período; [b] las canidades demandadas y oferadas son funciones lineales del precio del produco; 205

5 [c] el mercado esá en siuación de equilibro. Enonces el modelo de la elaraña se puede expresar maemáicamene mediane el siguiene sisema: D ( i) q a bp S ( ii) q c dp D S ( iii) q q 1 (1) donde q D y S q represenan las canidades demandada y oferada respecivamene en el insane de iempo, p represena el precio en el insane de iempo, y las consanes a, b, c y d son odas posiivas. La ecuación (1)(i) es la ecuación de demanda donde la canidad demandada es una función lineal del precio (hipóesis [b]). La ecuación (1)(ii) represena la ecuación de ofera donde la canidad oferada es una función lineal del precio en un período anerior (hipóesis [a] y [b]). Mediane la ecuación (1)(iii) se indica que el mercado esá en equilibrio (hipóesis [c]) Cambio de hipóesis La hipóesis [a] es poco acepable en general. Por al moivo, si se * inroduce en la función de ofera un precio p, significando con ello el precio esperado para el período al momeno de efecuarse la vena, se inroducen varianes en el modelo de la elaraña, quedando el mismo expresado de la siguiene manera: D ( i) q a bp S ( ii) q c dp D S ( iii) q q * (2) 206

6 Si además se define un precio normal p como el precio en que los n producores creen que, más arde o más emprano, ese produco endrá en el mercado, y por lo ano el precio en el mercado se ajusará mediane el precio normal, se inroduce en el modelo ora variane. A esa nueva variane se la puede expresar: * p p k p p (3) donde 0 k 1. 1 n 1 En 1956, Phillip D. Caganen [1] y [2],sugiere una variane del modelo con expecaivas adapaivas, pues al considerar p no consane, ésas n son revisadas en cada período por pare del producor, ajusando el precio previamene esperado. De esa manera, se susiuye la ecuación (3) por la expresión: * * * p p k p p (4) donde 0 k 1 es llamado coeficiene de ajuse de las expecaivas. Con ese úlimo supueso, se puede consruir una variane del modelo de la elaraña que es el que nos proponemos esudiar en ese arículo y el cual puede expresarse como: ( i) q a bp ( ii) q c dp ( iii) q q ( iv) p p k p p 2.3. Solución del modelo D S * D S * * * (5) Para esudiar la esabilidad de la solución de (5), resolvemos dicho problema para p. Para ello, susiuyendo (5)(i) y (5)(ii) en (5)(iii), se iene que: de donde: a bp c dp. (6) * 207

7 p * y reemplazando (7) en (5)(iv): o equivalenemene donde y a c b p, (7) d d d a c p 1 k k p 1 k, (8) b b p Ap B. (9) 1 A 1 k 1 d b, (10) k( a c) B. (11) b Las ecuaciones (8) ó (9) son ecuaciones en diferencias finias lineales de primer orden. Dado que d 0, b 0 y 0 k 1 de (10) resula que A 1. Supongamos que el precio inicial, vale decir, el precio en el insane 0 p. Enonces los precios en los insanes 0 1, 2 y 3 son p1 Ap0 B, (12) 2 p Ap B A Ap B B A p B A, (13) p Ap B A A p B A B A p B A A, respecivamene. Luego, se puede inferir que p A p0 B 1 A A... A es (14) 2 1, (15) 208

8 para 1,2,3,....Como con 1,2,3,..., susiuyendo (16) en (15) se obiene que: para 0,1,2,3,... y siendo p A 1 A A... A,(16) 1 A A, (17) a c p0, (19) b d a c. (20) b d La ecuación (17) represena la solución de la variane del modelo de la elaraña planeado en (5) con la condición inicial (precio inicial) p 0. Esa solución genera una sucesión de precios p 0, p 1, p 2,... que represenamos por p Análisis de la solución del modelo Con el propósio de esudiar la esabilidad de la ecuación en diferencias (9) y por lo ano del modelo planeado en (5), en ese aparado analizaremos el carácer de la sucesión p dada en (17). Si 0 la ecuación en diferencias dada en (8) iene por solución a la sucesión consane p para odo 0,1,2,3,... como se muesra en la Ilusración 2. Luego, la sucesión p converge al valor llamado precio en equilibrio o precio esacionario de dicha sucesión. 209

9 Ilusración 2. Trayecorias emporales: 0 Supongamos ahora 0, es decir, el precio inicial es diferene al precio en equilibrio.si A 0enonces p para odo 0,1,2,3,... por lo que la siuación es idénica al caso en que 0 (ver Ilusración 2). Por lo ano, la sucesiónp esconvergene al precio en equilibrio, independienemene de las condiciones iniciales. Si A 1 se iene que p p para odo 0 2k con k 0,1,2,3,..., mienras que p p0 2 para odo 2k 1 con k 1,2,3,.... La Ilusración 3muesraque la sucesión dada en (17) oscila en forma acoada y por lo ano es divergene. 210

10 Ilusración 3. Trayecorias emporales: 0, A 1 y p. 0 Si 1 A 0 enonces si de (17) se iene que p sucesión p converge oscilaoriamene al precio en equilibrio.. Por lo ano la En la Ilusración 4se puede observar que el nivel de precios iende al nivel de equilibrio, pariendo de una siuación en la cual la demanda del produco en su período inicial es mucho mayor a la canidad ofrecida, que luego por presiones de demanda y ofera, iende en el mediano a largo plazo al equilibrio. 211

11 Ilusración 4. Trayecorias emporales: 0, 1 A 0 y p0. Si A 1 de (17) se iene que no exise lim p, enoncesla sucesión p dada en (17) es oscilaoria no acoada como se observa en la Ilusración 5. Resula enonces que dicha sucesión es divergene. Ilusración 5. Trayecorias emporales: 0, 1 A 0 y p0. 212

12 Si 0 A 1 enonces si de (17) se iene que p. Por lo ano la sucesión p converge monóonamene al precio en equilibrio. En la Ilusración 6 se puede observar que el nivel de precios crece en el iempo endiendo en el mediano a largo plazo, al nivel de equilibrio. Ilusración 6. Trayecorias emporales: 0, 1 A 0 y p0. 3. Conclusiones En el párrafo 2.3hemos analizado el carácer de la sucesión de precios p dada en (17) generada a parir de la solución de la variane del 213

13 modelo de la elaraña planeado en (5). En la Tabla 1 se muesran los disinos resulados obenidos. Tabla 1. Carácer de la sucesión de precios p dada en (17) Convergene Convergene Divergene a Divergene monóona oscilaoria oscilaoria 0 0, 0 A 1 0, 1 A 0 0, A 1 0, A 1 La esabilidad del modelo planeado en (5) dependerá de la ecuación en diferencias dada en (8) sea o no esable, es decir si la solución (sucesión de precios) dada en (17) converge o no al precio en equilibrio, independienemene de las condiciones iniciales (precio inicial p ). 0 d Llamamos, cociene enre las pendienes de las ecuaciones de ofera b y demanda dadas en (5)(i) y (5)(ii) respecivamene, concluimos que el modelo planeado en (5) resula ser: 2 esable si 1 1, k inesable si 2 1. k 4. Referencias bibliográficas [1] Di Marco, L., Expecaivas de Precios, Revisa Económica, Vol. 15, No. 3, 1969, pp

14 [2] Chrisev, A., The Hiperinflaion Model of Money Demand (or Cagan Revisied): Some new Empirical Evidence from he 1990s,Cenre for Economic Reform and Transformaion, 2007, hp://www2.hw.ac.uk/sml/downloads/cer/wpa/2005/dp0507.pdf(acc eso el 20 de febrero de 2015). [3] Chiang, A. (1987).Méodos fundamenales de Economía Maemáica. México: Mc Graw-Hill. [4] Tenorio Villalón, A., Marín Caraballo, A., Paralera Morales, C., Conreras Rubio, I.: Ecuaciones diferenciales y en diferencias aplicadas a los concepos económicos y financieros, Revisa de Méodos Cuaniaivos para la Economía y la Empresa, 16, 2003, [5] Weber, J. (1984). Maemáicas para Adminisración y Economía. México, D.F: Harla. 215