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1 Diagramas de Venn con 3 Conjuntos - Problemas Resueltos Problemas Resueltos de Diagramas de Venn con 3 Conjuntos Problema 1 A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos. La encuesta arrojó los siguientes resultados: A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87 les gustaban los videojuegos. Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un juguete: 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos; por ultimo 7 expresaron su gusto por los tres. a) A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? b) A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos? c) A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? Problema 2 La secretaría de educación municipal requiere la provisión de 29 cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores en matemáticas, 13 profesores en física y 15 en sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 dicten matemáticas y física, 4 dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas. Determinar: a) Cuántos profesores se requiere que dicten las 3 áreas? b) Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente? c) Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física? Problema 3 Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son: 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria. 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria. 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica. 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria. 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media. 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica. 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria. Con la información anterior, deducir: - El número de familias que solo tienen hijos universitarios. - El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles. - El número de familias que tienen hijos que no estudian.

2 Problema 4 En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67% beben A o B, y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75% beben A o C y 15% beben ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida. 1. Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida. 2. Determine el porcentaje que beben las tres bebidas Problema 5 Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática, Física y Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en: a) Los tres cursos b) Matemática pero no Química c) Física pero no matemática d) Química pero no Física e) Matemática o Química, pero no Física f) Matemática y Química, pero no Física g) Matemática pero no Física ni Química Problema 6 Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres detergentes -Albino, Blancura y Claridad- reveló los siguientes datos: 126 personas consumían Claridad. 124 personas no consumían Albino. 36 usuarios de detergente no consumían ni Albino ni Blancura. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían Albino y Claridad. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían Blancura. A) Cuántas personas consumían solamente Blancura? B) Cuántas personas consumían Albino y Blancura? C) Cuántas personas consumían solamente Albino?

3 Más ejemplos de Diagramas de Venn de tres conjuntos. Ejemplo 1 De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A. Ejemplo 2 De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40 laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente? Ejemplo 3 De un grupo de 80 personas: - 27 leían la revista A, pero no leían la revista B leían la revista B, pero no C leían C pero no A. - 2 las tres revistas mencionadas. Cuántos preferían otras revistas? Ejemplo 4 En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. a) Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b) Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio? Ejemplo 5 En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio se pide: a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión. b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente.

4 Diagramas de Venn con 3 Conjuntos - Ejemplos (problemas dejados por los visitantes del blog) Ejemplo 6 En una fiesta infantil hay 3 sabores refresco; guanaba, naranja y tamarindo. Represente gráficamente con diagrama de Venn y con expresiones matemáticas los siguientes consumos de refrescos por parte de los niños. A. No consumen agua de guanaba B. no les gusta ninguno de los tres sabores C. prefieren solo agua de guanaba D. prefieren agua de guanaba y naranja, pero no de tamarindo Ejemplo 7 En un grupo de estudiantes el 60% aprueba matemáticas, el 70% aprueba español pero el 15% pierden ambas materias. Calcule: A. El porcentaje de estudiante que aprueban ambas materias. B. El porcentaje de estudiantes que solo aprobó matemáticas. C. El porcentaje de estudiante que solo aprobó español. Ejemplo 8 Para ingresar al colegio Trilce, un grupo de 80 niños dieron 3 exámenes para ser admitidos, al final, se supo que: - 28 aprobaron el 1er examen - 32 aprobaron el 2do examen - 30 aprobaron el 3er examen - 8 aprobaron solo el 1er y 2do examen - 10 aprobaron el 2do y el 3er examen - 4 aprobaron los tres exámenes - 18 no aprobaron examen alguno Cuántos alumnos fueron admitidos si solo se necesita aprobar 2 exámenes? Ejemplo 9 Se realizo una encuesta entre alumnos de una universidad; los siguientes son los datos que muestran la preferencia de algunos alumnos de primer semestre por ciertas asignaturas, a 36 les gusta matemáticas, a 39 les gusta la administración, a 37 les gusta biología, a 16 les gusta administración y biología, a 15 matemáticas y administración, a 14 les gusta matemáticas y biología y 6 tienen preferencia por las tres materias. a) Cuantos alumnos fueron encuestados? b) Cuantos alumnos prefieren solamente matemáticas? c) Cuantos estudiantes no prefieren biología? d) Cuantos estudiantes prefieren matemáticas o biología pero no administración?

5 Ejemplo 10 En una encuesta se encontró que 190 personas viajan en avión, 110 personas viajan en tren y 150 viajan en ómnibus. El número de personas que sólo viaja en ómnibus es la mitad de los que sólo viajan en tren y un tercio de los que sólo viajan en avión. El número que sólo viaja en tren y ómnibus es la mitad de los que sólo viajan en avión y tren. Si el número de personas que viaja por los tres medios es un tercio de los que solo viajan en avión y ómnibus, cuántas personas usan exclusivamente un medio de transporte? Ejemplo 11 En un estudio sobre las bases matemáticas de 50 estudiantes inscritos en estadísticas se encontró que el número de estudiantes que habían cursado distintas asignaturas de matemáticas era como sigue: álgebra de matrices 23, geometría analítica 18, matemática finita 13, álgebra de matrices y geometría analítica 3, álgebra de matrices y matemática finita 6, geometría analítica y matemática finita 3, y todas las tres materias 1. a) Cuántos estudiantes hay que jamás han tomado ninguna de las tres materias? b) Cuántos estudiantes han tomado solo algebra de matrices, solo geometría analítica y solo matemática finita? c) Cuántos estudiantes han tomado solamente algebra de matrices y geometría analítica? d) Cuántos estudiantes han tomado solo algebra de matrices y matemática finita?, Solo geometría analítica y matemática finita? Ejemplo 12 En una encuesta a 100 inversionistas, se observa lo siguiente: - 5 sólo poseen acciones poseen solamente valores son propietarios de bonos poseen acciones y valores tienen valores y bonos son propietarios sólo de acciones y bonos. Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Halle el número de inversionistas que: a) Tienen valores, bonos y acciones. b) Tienen sólo una de ellas. c) Tienen al menos una. d) Tienen, cuanto mucho, dos de ellas.

6 Ejemplo 13 Una compañía compró 500 tornillos en una subasta de la DIAN. Los cuales pueden utilizarse en tres diferentes operaciones básicas como se indica a continuación: 255 tornillos para la operación A, 215 para la operación C, 25 para las operaciones A y C solamente. 125 tornillos para las operaciones A y B. 105 para la operación B solamente. 395 para las operaciones A o C 60 para las operaciones B y C. 1. Hallar el número de tornillos que se pueden utilizar en las tres operaciones. 2. Hallar el número de tornillos que son desechados que no sirven para ninguna operación. Ejemplo 14 En una investigación se encontró que el 48% del publico lee la revista A; el 50% lee la revista B; lee la revista C; el 20% lee la revista A Y B; el 10% lee la revista B Y C el 13% lee las revistas A Y C el 10% no lee ninguna de las revistas. a. Qué porcentaje lee las tres revistas? b. Qué porcentaje lee exactamente dos revistas? c. Cuántos leen a lo sumo una revista? d. Cuántos leen A si y solo si no leen B? e. Cuántos leen A y B pero no C? f. Cuántos si leen A o B entonces no leen C? g. Cuántos leen A y no C si y solo si no leen B? Ejemplo 15 Un total de 90 alumnos realizo 3 exámenes para aprobar un curso, se observó que los que aprobaron un solo examen es igual el quíntuple de los que aprobaron los 3 exámenes, y los que aprobaron solo 2 exámenes es el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes, si el número delos que desaprobaron los tres exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes. Para probar el curso es necesario que los alumnos aprueben al menos 2 exámenes.la cantidad que lo aprobó es a) 36 b)12 c)16 d)20 Ejemplo 16 De un grupo de 80 personas: - 27 leían la revista A, pero no leían la revista B leían la revista B, pero no C leían C pero no A. - 2 las tres revistas mencionadas. Cuántos preferían otras revistas?

7 Ejemplo 17 En un evento internacional el 60% de los participantes habla inglés y el 25% habla castellano. Si el 20% de los que hablan inglés también habla castellano y son 1200 los que hablan solo inglés cuántos no hablan ni inglés ni castellano? Ejemplo 18 En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una línea aérea descubrió que a 48 les gustaba el vino (V) con sus alimentos, a 78 les gustaba las bebidas preparadas (P) y a 66 el té helado (T). Además, a 36 les gustaba cualquier par de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo. Encuentre: a) Cuántos pasajeros solamente les gusta el té? b) A Cuántos de ellos solamente les gusta el vino con sus alimentos? c) A Cuántos de ellos solamente les gusta las bebidas preparadas? d) Cuántos de ellos les gusta al menos 2 de las bebidas para acompañar sus alimentos? e) Cuántos de los pasajeros no beben ni vino. ni té, ni bebidas preparadas? Ejemplo 19 Entre los alumnos de la UNAB se realizo un encuesta sobre qué empresa han utilizado para navegar por Internet, arrojando los siguientes resultados: - 18% solo Z. - 16% C y Z. - 40% T - 8% solo C y T - 9% solo Z y T - 23% solo T - 12% por ninguna de las tres. Realice un diagrama adecuado que contenga la información recién entregada y conteste: a) Qué porcentaje de alumnos han utilizado solo dos de estas empresas? b) Qué porcentaje han utilizado las tres compañías?