Módulos de convexidad y estructura normal.

Transcripción

1 Módulos de convexidad y estructura normal. Introducción Hoy en día, las Matemáticas se usan como una herramienta esencial en muchos campos, como las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso la música (resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, nos conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales, fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban. Sirva esta introducción para homenajear los números más antiguos: los mayas. La grafía es tremendamente simple y abarcan desde el 0 al 19. 1

2 Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre como: Hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio. Medición de terrenos. Predicción de eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un gran desarrollo. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad. Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.). Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división). Todos estos descubrimientos desembocaron en espacios cuyos elementos no son números sino funciones. Propiedades que se conservan con normas equivalentes (topológicas) y otras que no (geométricas). Como en tres artículos anteriores seguiremos estudiando la estructura normal y su entorno. En este artículo estudiaremos a fondo los espacios estricta y uniformemente convexos dando numerosos ejemplos de espacios de Banach clásicos. Posteriormente definiremos el módulo de convexidad de Clarkson que es una función que nos describe el grado de convexidad de un espacio de Banach. Por último definiremos la característica de convexidad que nos medirá el déficit de convexidad de un espacio de Banach. Estos dos valores íntimamente ligados con la estructura normal serán calculados para algunos espacios de funciones clásicos y enunciada y demostrada su relación con la estructura normal en espacios de Banach. 2

3 1.- Dónde ubicamos los módulos de convexidad? El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por S.Banach en 1922, podemos decir que la Teoría Métrica del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando F.E. Browder, D.Göhde y W.A. Kirk prueban la existencia de puntos fijos para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas. Browder Kirk Estos resultados establecen un nuevo puente entre la Teoría Geométrica de los Espacios de Banach, tema enmarcado habitualmente en Análisis Funcional Lineal, y la Teoría del Punto Fijo, tema correspondiente al Análisis Funcional No Lineal. Banach 3

4 A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios de Banach (convexidad uniforme, suavidad uniforme, condiciones de tipo Opial, casi convexidad uniforme, casi suavidad uniforme, etc.) que puedan ser aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores no lineales. Asociados a dichas propiedades se definen unos módulos y coeficientes geométricos que las caracterizan y dan una idea cuantitativa de su verificación. Los módulos más conocidos son probablemente el módulo de Clarkson de convexidad uniforme y el módulo de suavidad uniforme. Éste es una función que nos describe el grado de convexidad de un espacio de Banach. Estos, y otros muchos referentes a otras propiedades geométricas, han sido muy útiles para el estudio de la existencia de puntos fijos de operadores no expansivos. Clarkson En 1995 C.Benítez, K. Prezslawski y D. Yost definieron un módulo, llamado modulo de cuadratura, que caracteriza simultáneamente diferentes propiedades geométricas de los espacios normados (convexidad uniforme, suavidad uniforme, estructura normal, casi cuadratura, etc.). La ventaja que este módulo tiene sobre otros antes definidos como el modulo de suavidad uniforme, el módulo de Clarkson, etc.) es poder medir simultáneamente la suavidad y la convexidad del espacio en lugar de hacerlo independientemente. 4

5 2.- Módulo de Clarkson y característica de convexidad. Para motivar la introducción de estos dos conceptos íntimamente ligados a la estructura normal daremos las dos definiciones siguientes: Definición 2.1. Un espacio de Banach X se dice estrictamente convexo si verifica que: Ejemplo 2.1. El plano euclídeo con la norma infinita no es estrictamente convexo. Ejemplo 2.2 El plano euclídeo con la norma uno no es estrictamente convexo. Definición 2.2. Un espacio de Banach X se dice uniformemente convexo si: Ejemplo 2.3. El plano euclídeo con la norma dos (euclidea) es uniformemente convexo por ser un espacio de Hilbert. Ejemplo 2.4. El espacio de las funciones continuas con la siguiente norma: Donde la norma infinito es la habitual del supremo. Ambas normas son equivalentes: 5

6 Además se verifica: Las pruebas detalladas se encuentran en [1]. El segundo concepto (uniformemente convexo) es más fuerte que el primero (estrictamente convexo) y además implica la estructura normal. Definamos un número que nos medirá la convexidad en espacios de Banach. Definición 2.3. El módulo de convexidad de Clarkson de un espacio de Banach X es una función: Es equivalente la definición: Además para cada épsilon positivo, el módulo de convexidad de Clarkson es el mayor número para el cual: 6

7 Y además la definición se puede generalizar de la siguiente forma: Definamos un coeficiente que nos permite clasificar los espacios de Banach con respecto a su convexidad. Definición 2.4. Se define la característica de convexidad de un espacio de Banach X como el número real: Propiedades: 1. X es uniformemente convexo si y sólo si su característica de convexidad es nula. 2. X es estrictamente convexo si y sólo si la imagen del módulo de convexidad del valor 2 es la unidad. 3. El módulo de convexidad de Clarkson de un espacio de Banach X es un invariante isométrico. Las demostraciones se encuentran en [1]. 7

8 3.- Módulo de Clarkson y estructura normal. Hemos llegado, por fin, a un resultado muy importante en el que se relaciona el módulo de Clarkson y la estructura normal en espacios de Banach. Este teorema si lo demostraremos, pero para llegar a este resultado es imprescindible enunciar: Lema 3.1. Sea X un espacio de Banach. Entonces: 1. El módulo de convexidad es continuo en [0,2). 2. El módulo de convexidad es estrictamente creciente desde la característica de convexidad hasta 2. Lema 3.2. En un espacio de Banach X se cumple: Ejemplo 3.1. El espacio de las funciones continuas con la siguiente norma: Donde la norma infinito es la habitual del supremo. Ambas normas son equivalentes: Ya hemos expuesto que el módulo de convexidad es nulo desde cero hasta 2 y en el valor 2 vale 1. Definición 3.1. Un espacio normado es reflexivo si su bidual coincide con sí mismo. Teorema 3.1. Si el módulo de convexidad en el valor 1 es positivo entonces el espacio es reflexivo. Teorema 3.2. Si el módulo de convexidad de un espacio de Banach en el valor 1 es positivo entonces X tiene estructura normal. D) Sea K un conjunto cerrado y convexo en un espacio de Banach cuyo diámetro 8

9 Por tanto Por ser el módulo de convexidad positivo, z es un punto no diametral de K y por tanto X tiene estructura normal. Nota: Se ha demostrado este teorema por ser el resultado fundamental de este epígrafe. Los demás resultados se encuentran demostrados en [1] y sobrepasan los objetivos de este artículo. Bibliografía Webs: Libros y artículos de consulta: [1] Rivera, Juan Antonio Estructura Normal en Espacios de Banach. Catálogo Fama de la Universidad de Sevilla. W.L. Bynum, A class of spaces lacking normal structure, Compositio Math. 25 (1972), J.A. Clarkson, Uniformily convex spaces. Tran. Amer. Math. Soc. 40 (1936),