Sobre una definición matemática del caos

Transcripción

1 Sobre una definición matemática del caos A. Bonilla A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 1 / 1

2 Sobre una definición matemática del caos A. Bonilla Resumen Trataremos de motivar y presentar una de las definiciones matemáticas más extendidas de caos, la dada por Devaney. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 1 / 1

3 Sistemas dinámicos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 2 / 1

4 Sistemas dinámicos a) Los posibles estados de un sistema (físico, biológico, ecónomico, etc) son descritos por elementos de X. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 2 / 1

5 Sistemas dinámicos a) Los posibles estados de un sistema (físico, biológico, ecónomico, etc) son descritos por elementos de X. b) La evolución del sistema está descrita por una aplicación T : X X, esto es, si x n X es el estado del sistema en tiempo n 0, entonces el estado del sistema en tiempo n + 1 viene dado por x n+1 = T (x n ). A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 2 / 1

6 Sistemas dinámicos a) Los posibles estados de un sistema (físico, biológico, ecónomico, etc) son descritos por elementos de X. b) La evolución del sistema está descrita por una aplicación T : X X, esto es, si x n X es el estado del sistema en tiempo n 0, entonces el estado del sistema en tiempo n + 1 viene dado por x n+1 = T (x n ). c) Puesto que queremos medir los cambios en los valores x n, asumamos que X es un espacio métrico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 2 / 1

7 Sistemas dinámicos a) Los posibles estados de un sistema (físico, biológico, ecónomico, etc) son descritos por elementos de X. b) La evolución del sistema está descrita por una aplicación T : X X, esto es, si x n X es el estado del sistema en tiempo n 0, entonces el estado del sistema en tiempo n + 1 viene dado por x n+1 = T (x n ). c) Puesto que queremos medir los cambios en los valores x n, asumamos que X es un espacio métrico. d) Puesto que queremos que pequeños cambios en x n provoquen pequeños cambios en x n+1, asumamos que T es continuo. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 2 / 1

8 Definición Un sistema dinámico discreto es un par (X,T) consistente en un espacio métrico X y una aplicación continua T : X X. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 3 / 1

9 Definición Un sistema dinámico discreto es un par (X,T) consistente en un espacio métrico X y una aplicación continua T : X X. Definición T : X X un sistema dinámico discreto. x X, orb(x,t ) = {x,tx,t 2 x, } A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 3 / 1

10 Ingredientes de la definición de caos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

11 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

12 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

13 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, pequeños cambios en las condiciones iniciales despues de algún tiempo, pueden provocar separaciones en sus órbitas. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

14 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, pequeños cambios en las condiciones iniciales despues de algún tiempo, pueden provocar separaciones en sus órbitas. b) El sistema debe ser indescomponible, A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

15 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, pequeños cambios en las condiciones iniciales despues de algún tiempo, pueden provocar separaciones en sus órbitas. b) El sistema debe ser indescomponible, es decir, no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre si A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

16 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, pequeños cambios en las condiciones iniciales despues de algún tiempo, pueden provocar separaciones en sus órbitas. b) El sistema debe ser indescomponible, es decir, no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre si (esto es equivalente, a que la aplicación T conecta cualquier dos partes no triviales del espacio). A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

17 Ingredientes de la definición de caos a) Debe ser impredecible, esto es, capturar la idea del efecto mariposa, pequeños cambios en las condiciones iniciales despues de algún tiempo, pueden provocar separaciones en sus órbitas. b) El sistema debe ser indescomponible, es decir, no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre si (esto es equivalente, a que la aplicación T conecta cualquier dos partes no triviales del espacio). c) El sistema debe tener muchas órbitas con comportamiento muy regular. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 4 / 1

18 Definición Sea (X,d) un espacio métrico sin puntos aislados. Un sistema dinámico T : X X se dice tiene dependencia sensible respecto a las condiciones iniciales si existe δ > 0 tal que x X y ε > 0 existe y X: d(x,y) < ε y n 0: d(t n x,t n y) > δ. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 5 / 1

19 Definición Un sistema dinámico T : X X se dice topológicamente transitivo si para cualquier par U,V de abiertos no vacios, n : T n (U) V /0. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 6 / 1

20 Definición Un sistema dinámico T : X X se dice topológicamente transitivo si para cualquier par U,V de abiertos no vacios, n : T n (U) V /0. Proposición T es topológicamente transitivo si y solo si X no puede ser escrito como X = A B con A y B disjuntos con interior no vacio y A T-invariante. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 6 / 1

21 Definición Un sistema dinámico T : X X se dice topológicamente transitivo si para cualquier par U,V de abiertos no vacios, n : T n (U) V /0. Proposición T es topológicamente transitivo si y solo si X no puede ser escrito como X = A B con A y B disjuntos con interior no vacio y A T-invariante. Definición x es un punto periódico para T si n 0 : T n 0x = x A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 6 / 1

22 Definición Sea (X,d) un espacio métrico sin puntos aislados. Entonces un sistema dinámico T : X X se dice caótico ( en el sentido Devaney, 1986) si satisface las siguientes condiciones: a) T tiene dependencia sensible de las condiciones iniciales. b) T es topológicamente transitiva. c) T tiene un conjunto denso de puntos periódicos. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 7 / 1

23 Toda teoría tiene una noción de isomorfismo. Cuando consideramos que dos sistemas dinámicos son equivalentes? A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 8 / 1

24 Toda teoría tiene una noción de isomorfismo. Cuando consideramos que dos sistemas dinámicos son equivalentes? Definición Decimos que dos sistemas dinámicos (X, T) y (Y,S) son conjugados si existe un homeomorfismo ϕ : X Y tal que S ϕ = ϕ T A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 8 / 1

25 Toda teoría tiene una noción de isomorfismo. Cuando consideramos que dos sistemas dinámicos son equivalentes? Definición Decimos que dos sistemas dinámicos (X, T) y (Y,S) son conjugados si existe un homeomorfismo ϕ : X Y tal que S ϕ = ϕ T Definición Decimos que (Y,S) es cuasi-conjugado a (X,T) si existe una aplicación continua con rango denso ϕ : X Y tal que S ϕ = ϕ T A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 8 / 1

26 Toda teoría tiene una noción de isomorfismo. Cuando consideramos que dos sistemas dinámicos son equivalentes? Definición Decimos que dos sistemas dinámicos (X, T) y (Y,S) son conjugados si existe un homeomorfismo ϕ : X Y tal que S ϕ = ϕ T Definición Decimos que (Y,S) es cuasi-conjugado a (X,T) si existe una aplicación continua con rango denso ϕ : X Y tal que S ϕ = ϕ T Proposición Ser topologicamente transitivo y tener un conjunto denso de puntos periódicos se conserva por cuasi-conjugación. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 8 / 1

27 Ser sensible respecto a las condiciones iniciales: No T : (1, ) (1, ), T (x) = 2x ((1, ),d euclidea ) T n x T n y = 2 n x y si x y Por tanto tiene dependencia sensible respecto a las condiciones iniciales. Sea ((1, ),d(x,y) = logx logy ). d(t n x,t n y) = d(x y) por tanto T no tiene dependencia sensible respecto a las condiciones iniciales ((1, ),d(x,y) = logx logy ) es cuasi-conjugado a ((1, ),d euclidea ) utilizando la aplicación identidad. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 9 / 1

28 Teorema (Banks-Brooks-Cains-Davis-Stacey, Amer. Math. Montly, 1992) Sea (X,d) un espacio métrico sin puntos aislados. Si un sistema dinámico T : X X es topológicamente transitiva y tiene un conjunto denso de puntos periódicos entonces T tiene dependencia sensible de las condiciones iniciales con respecto a cualquier métrica que defina la topología de X. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 10 / 1

29 Definición Sea (X,d) un espacio métrico. Entonces un sistema dinámico T : X X se dice caótico ( en el sentido Devaney) si satisface las siguientes condiciones: a) T es topológicamente transitiva. b) T tiene un conjunto denso de puntos periódicos. Ser caótico en el sentido Devaney se conserva por cuasi-conjugación. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 11 / 1

30 Ejemplos de sistemas dinámicos Devaney caóticos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 12 / 1

31 Ejemplos de sistemas dinámicos Devaney caóticos a)la aplicación logística en [0,1], L 4 (x) = 4x(1 x). A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 12 / 1

32 Ejemplos de sistemas dinámicos Devaney caóticos a)la aplicación logística en [0,1], L 4 (x) = 4x(1 x). b) La aplicación tienda en [0,1]. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 12 / 1

33 Teorema (Teorema de transitividad de Birkhoff) T una aplicación continua sobre un espacio métrico completo X, separable sin puntos aislados. Entonces son equivalentes: a) T es topológicamente transitiva. b) Existe x X : orb(x,t ) = X c){x X : orb(x,t ) = X} es un conjunto residual. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 13 / 1

34 Teorema (Teorema de transitividad de Birkhoff) T una aplicación continua sobre un espacio métrico completo X, separable sin puntos aislados. Entonces son equivalentes: a) T es topológicamente transitiva. b) Existe x X : orb(x,t ) = X c){x X : orb(x,t ) = X} es un conjunto residual. Prueba Sea U k una base numerable de la topología en X. Entonces {x X : orb(x,t ) = X} = k=1 n=0 T n (U k ) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 13 / 1

35 Definición Sea (X,d) un espacio un espacio métrico completo y separable sin puntos aislados. Son equivalentes: a) T es Devaney caótico b)i)existe x X : orb(x,t ) = X ii) T tiene un conjunto denso de puntos periódicos. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 14 / 1

36 Más ejemplos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 15 / 1

37 Más ejemplos d) X = {0,1} IN, d(x,y) = 0 x n y n 2 n, T= backward shift. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 15 / 1

38 Más ejemplos d) X = {0,1} IN, d(x,y) = 0 x n y n 2 n, T= backward shift. c) S : ID ID, T (z) = z 2 A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 15 / 1

39 Más ejemplos d) X = {0,1} IN, d(x,y) = 0 x n y n 2 n, T= backward shift. c) S : ID ID, T (z) = z 2 Puesto que S es cuasi-conjugada a T por φ : X = {0,1} IN ID, donde φ({x n } n ) = e (2πi xn 0 2 n+1 ) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 15 / 1

40 Ejemplos de operadores lineales no Devaney cáoticos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 16 / 1

41 Ejemplos de operadores lineales no Devaney cáoticos Proposición T : IC n IC n lineal. Entonces x se tiene alguna de estas situaciones: a) T n x 0, b) T n x c) Existen m, M > 0 tal que m T n x M. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 16 / 1

42 Ejemplos de operadores lineales no Devaney cáoticos Proposición T : IC n IC n lineal. Entonces x se tiene alguna de estas situaciones: a) T n x 0, b) T n x c) Existen m, M > 0 tal que m T n x M. Proposición T : IC n IC n lineal no es Devaney caótico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 16 / 1

43 Teorema Toda componente del espectro de un operador hiperciclico (Existe x X : orb(x,t ) = X ) encuentra la circunferencia unidad. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 17 / 1

44 Teorema Toda componente del espectro de un operador hiperciclico (Existe x X : orb(x,t ) = X ) encuentra la circunferencia unidad. Teorema Si T es hiperciclico, entonces σ p (T ) = /0. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 17 / 1

45 Teorema Toda componente del espectro de un operador hiperciclico (Existe x X : orb(x,t ) = X ) encuentra la circunferencia unidad. Teorema Si T es hiperciclico, entonces σ p (T ) = /0. Teorema Todo operador compacto no es hiperciclico y por tanto no Devaney caótico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 17 / 1

46 Teorema Toda componente del espectro de un operador hiperciclico (Existe x X : orb(x,t ) = X ) encuentra la circunferencia unidad. Teorema Si T es hiperciclico, entonces σ p (T ) = /0. Teorema Todo operador compacto no es hiperciclico y por tanto no Devaney caótico. Teorema Todo operador normal no es hiperciclico y por tanto no Devaney caótico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 17 / 1

47 Teorema El espectro de un operador caótico no tiene puntos aislados y su espectro puntual contiene infinitas raices de la unidad. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 18 / 1

48 Teorema El espectro de un operador caótico no tiene puntos aislados y su espectro puntual contiene infinitas raices de la unidad. Teorema Ninguna perturbación compacta de la identidad es Devaney caótica. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 18 / 1

49 Teorema El espectro de un operador caótico no tiene puntos aislados y su espectro puntual contiene infinitas raices de la unidad. Teorema Ninguna perturbación compacta de la identidad es Devaney caótica. Teorema Hay espacios de Banach donde no se pueden definir operadores Devaney caóticos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 18 / 1

50 Ejemplos de operadores lineales Devaney cáoticos A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 19 / 1

51 Ejemplos de operadores lineales Devaney cáoticos a) (H(IC),T 1 ) donde T 1 f = f (z + 1) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 19 / 1

52 Ejemplos de operadores lineales Devaney cáoticos a) (H(IC),T 1 ) donde T 1 f = f (z + 1) b) (H(IC),D) donde Df = f (z) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 19 / 1

53 Ejemplos de operadores lineales Devaney cáoticos a) (H(IC),T 1 ) donde T 1 f = f (z + 1) b) (H(IC),D) donde Df = f (z) Teorema El operador derivada es caótico en H(IC) porque De z = e z. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 19 / 1

54 Ejemplos de operadores lineales Devaney cáoticos a) (H(IC),T 1 ) donde T 1 f = f (z + 1) b) (H(IC),D) donde Df = f (z) Teorema El operador derivada es caótico en H(IC) porque De z = e z. c) (l 2 (IN),T= 2 backward shift) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 19 / 1

55 Criterios de hiperciclicidad o transitividad topológica Teorema Sea T un operador en un espacio de Frechet separable. Si existen conjuntos densos X 0 e Y 0 de X y una aplicación S: Y 0 X tal que, i) lim n 0 T n x 0, x X 0 ii) lim n 0 S n x 0, x Y 0 iii) TSx = x x Y 0 entonces T es topológicamente transitivo. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 20 / 1

56 Criterios de hiperciclicidad o transitividad topológica Teorema Sea T un operador en un espacio de Frechet separable. Si existen conjuntos densos X 0 e Y 0 de X y una aplicación S: Y 0 X tal que, i) lim n 0 T n x 0, x X 0 ii) lim n 0 S n x 0, x Y 0 iii) TSx = x x Y 0 entonces T es topológicamente transitivo. Teorema Sea T un operador en un espacio de Frechet separable. Entonces el conjunto de puntos periódicos viene dado por: P(T ) = span{x X;Tx = e απi x,α Q} A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 20 / 1

57 Criterios de Caos Devaney Teorema ( Godefroy-Shapiro, 1991) Sea T un operador en un espacio de Frechet separable. Si i) X 0 = span{x X;Tx = λx, λ < 1} ii) Y 0 = span{x X;Tx = λx, λ > 1} iii) Z 0 = span{x X;Tx = e απi x,α Q} son densos entonces T es caótico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 21 / 1

58 Teorema ( Bayart-Grivaux, Taniguchi, Bonilla-Grosse-Erdmann, ) Sea T un operador en un espacio de Frechet separable. Si existe un conjunto denso X 0 de X y una aplicación S: X 0 X 0 tal que, x X 0 i) n=0 T n x converge incondicionalmente ii) n=0 Sn x converge incondicionalmente iii) TSx = x entonces T es caótico. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 22 / 1

59 Prueba: A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 23 / 1

60 Prueba: a) Este criterio implica el criterio de hiperciclicidad o transitividad topológica. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 23 / 1

61 Prueba: a) Este criterio implica el criterio de hiperciclicidad o transitividad topológica. b) {y k (x) = n=0 Skn x + x + n=0 T kn x,k IN,x X 0 } es un conjunto denso de puntos periódicos. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 23 / 1

62 Prueba: a) Este criterio implica el criterio de hiperciclicidad o transitividad topológica. b) {y k (x) = n=0 Skn x + x + n=0 T kn x,k IN,x X 0 } es un conjunto denso de puntos periódicos. Aplicación:(l 2 (IN),T= 2 backward shift) es Devaney caótico T= 2 backward shift S= 1 2forward shift X 0 = {(a 1,a 2,,a n,0,0, )} n=0 Sn (1,0, ) = (1, 1 2, 1 2 2,,) A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 23 / 1

63 Dinámica lineal versus dinámica no lineal A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 24 / 1

64 Dinámica lineal versus dinámica no lineal Teorema ( El universo de los sistemas dinámicos no lineales) Existe un operador lineal caótico T en un espacio de Hilbert H con la siguiente propiedad: Para cualquier aplicación continua f sobre un espacio métrico compacto, existe un subconjunto L T -invariante de H tal que F es conjugado a la restricción de T L de T a L. A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 24 / 1

65 Dinámica lineal versus dinámica no lineal Teorema ( El universo de los sistemas dinámicos no lineales) Existe un operador lineal caótico T en un espacio de Hilbert H con la siguiente propiedad: Para cualquier aplicación continua f sobre un espacio métrico compacto, existe un subconjunto L T -invariante de H tal que F es conjugado a la restricción de T L de T a L. Prueba: H = ( n=0 l 2 ) l 2, es decir, el espacio de todas las sucesiones de elementos de l 2. T = 2B A. Bonilla () Sobre una definición matemática del caos 24 / 1