PARTE I FUNDAMENTOS DE LA MODELACIÓN DE LOS SISTEMAS CONTINUOS.

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1 PARTE I FUNDAMENTOS DE LA MODELACIÓN DE LOS SISTEMAS CONTINUOS. 1

2 1. MÉTODO SISTEMÁTICO PARA LA FORMULACIÓN DE LOS MODELOS La técnica general que se utiliza para realizar la predicción es la modelación, la cual consiste en construir modelos con los cuales se predice el comportamiento del sistema que interesa [66]. 1.1 Los Modelos Un modelo de un sistema es un sustituto de cuyo comportamiento es posible derivar el correspondiente al sistema original. Los modelos matemáticos, en la actualidad, son los utilizados con mayor frecuencia y también los más versátiles. En las aplicaciones específicas están constituidos por programas de cómputo cuya aplicación y adaptación a cambios de las propiedades de los sistemas es relativamente fácil. También, sus bases y las metodologías que utilizan son de gran generalidad, por lo que es posible construirlos para situaciones y sistemas muy diversos. Los modelos matemáticos son entes en los que se integran los conocimientos científicos y tecnológicos y con ellos se construyen programas de cómputo que se implementan con medios computacionales. Hoy en día, la simulación numérica permite estudiar sistemas complejos y fenómenos naturales que sería muy costoso, peligroso o incluso imposible estudiar por experimentación directa. En esta perspectiva la significación de los modelos matemáticos en Ciencias e Ingeniería es clara, porque la modelación matemática constituye el método más efectivo de predecir el comportamiento de los diversos sistemas de interés. En nuestro país, ellos son usados ampliamente en la industria petrolera, en las ciencias y la ingeniería del agua, en la industria automotriz y en muchas otras. En este curso, estudiaremos las bases de la modelación matemática y computacional de los sistemas físicos macroscópicos utilizando su formulación axiomática [1-17]. Una gran parte de los sistemas de la ingeniería y tecnología son de esta clase. La física macroscópica incluye, por ejemplo, las estructuras de la Ingeniería Civil, los suelos, los problemas de la Hidrología, tanto superficial como subterránea, la mecánica de los yacimientos petroleros, la propagación de las

3 ondas sísmicas (cuyo estudio es básico, entre otros temas, en Sismología e Ingeniería Sísmica, así como en la exploración del petróleo y otros recursos naturales), la dinámica de los océanos y de la atmósfera, etc. 1. Física Microscópica y Física Macroscópica La materia, cuando se le observa en el ámbito ultramicroscópico, está formada por moléculas y átomos. Estos a su vez, por partículas aún más pequeñas como los protones, neutrones y electrones. La predicción del comportamiento de estas partículas es el objeto de estudio de la mecánica cuántica y la física nuclear. Sin embargo, cuando deseamos predecir el comportamiento de sistemas tan grandes como la atmósfera o un yacimiento petrolero, los cuales están formados por un número extraordinariamente grande de moléculas y átomos, su estudio resulta inaccesible con esos métodos y en cambio el enfoque macroscópico es apropiado. Por eso en lo que sigue distinguiremos dos enfoques para el estudio de la materia y su movimiento. El primero -el de las moléculas, los átomos y las partículas elementales- es el enfoque microscópico y el segundo es el enfoque macroscópico. Al estudio de la materia con el enfoque macroscópico, se le llama Física Macroscópica y sus bases teóricas las proporciona la Mecánica de los Medios Continuos [1-17]. Cuando se estudia la materia con este último enfoque, se considera que los cuerpos llenan el espacio que ocupan, es decir que no tienen huecos, que es la forma en que los vemos sin el auxilio de un microscopio. Por ejemplo, el agua llena todo el espacio del recipiente donde está contenida; nuestro escritorio de trabajo es un continuo de materia perfectamente delimitado. Este enfoque macroscópico está presente en la física clásica. La ciencia ha avanzado y ahora sabemos que la materia está llena de huecos, que nuestros sentidos no perciben y que la energía también está cuantizada. A pesar de que estos dos enfoques para el análisis de los sistemas físicos, el microscópico y el macroscópico, parecen a primera vista conceptualmente contradictorios, ambos son no tan sólo compatibles sino además complementarios, y es posible establecer la relación entre ellos utilizando a la Mecánica Estadística. La Teoría de los Sistemas Macroscópicos es

4 aplicable no solamente a sistemas físicos, sino también a sistemas químicos y a algunos sistemas formados por seres vivos. Así, utilizándola en algunos casos es posible predecir el movimiento y evolución de poblaciones formadas por seres vivos microscópicos. Para ello, se ignora a los individuos microscópicos y se les considera distribuidos en todo el espacio de estudio. Muchos sistemas de la Ciencia, la Ingeniería y las Ciencias Aplicadas se estudian con la Mecánica de los Medios Continuos. Entre los sistemas que requieren de la aplicación de la Teoría del Continuo para realizar la predicción de su comportamiento, están las estructuras, los suelos, las cimentaciones, y la corteza y el interior profundo de la Tierra; el flujo sanguíneo, el sistema mecánico de los huesos, los depósitos de recursos naturales como el petróleo o el agua subterránea, la atmósfera y el estado del tiempo. Intentar, por ejemplo, predecir el estado del tiempo simulando cada una de las partículas de la atmósfera es una tarea monumental completamente imposible de realizar, por ahora y en el futuro previsible, a pesar de los grandes recursos computacionales a nuestro alcance. Por otra parte, el avance en el ámbito mundial de la Modelación Matemática y Computacional ha permitido tratar con estos métodos una diversidad cada vez más amplia de sistemas, incluyendo muchos biológicos. Presentar esta gran diversidad en forma unificada permite un gran ahorro de esfuerzo en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, debido a que la formulación unificada contiene muchas situaciones no previstas, proporciona un valiosísimo instrumento para la investigación. Muchos de los desarrollos originales de la formulación axiomática son casi inaccesibles para la comunidad no matemática, pero se han realizado diversos esfuerzos para poner dicha formulación en términos de más fácil comprensión. En particular, la presentación contenida en la referencia [8] destaca por su sencillez y la que se da a continuación es muy similar a ella, excepto por el hecho de que utilizaremos las propiedades intensivas por unidad de volumen, en lugar de por unidad de masa. Como se verá, esto proporciona ventajas significativas en el desarrollo y las aplicaciones de la teoría Cinemática de los sistemas continuos 4

5 En la Teoría de los Sistemas Continuos, los cuerpos llenan todo el espacio que ocupan ; y en cada punto del espacio físico hay una y solamente una partícula. Un cuerpo es un conjunto de partículas, que denotaremos por B, el cual en cualquier instante dado ocupa un dominio -en el sentido matemático, [18]-, del espacio físico; es decir, del espacio Euclidiano tridimensional. Denotaremos por B( t ) al dominio ocupado por el cuerpo B, en el tiempo t. En general, t puede ser cualquier número real; es decir < t <, pero en cada caso de estudio hay un intervalo finito de tiempo en el cual se centra el interés. Dado un cuerpo B, todo subdominio B ~ B, constituye a su vez otro cuerpo; en tal caso, se dice que B ~ B es un subcuerpo de B. De acuerdo con lo mencionado antes, una hipótesis básica de la teoría de los sistemas continuos es que en cualquier tiempo, t (, ), y en cada punto, x B(t), de la región ocupada por el cuerpo, hay una y sólo una partícula del cuerpo B. Como nuestro estudio incluye no solamente la estática (es decir, los cuerpos en reposo), sino también la dinámica (es decir, los cuerpos en movimiento), un primer problema de la cinemática de los sistemas continuos consiste en establecer un procedimiento para identificar a las partículas cuando están en movimiento. Sea X una partícula y p( X, t ) el vector de posición en el espacio físico de dicha partícula en el tiempo t. Una forma, aunque no la única, de identificar a la partícula, X, es asociándole la posición que ocupa en un instante determinado. Tomaremos en particular el tiempo t = 0. En tal caso p( X,0) A las coordenadas del vector X ( X, X, X ) X (1.1) 1, se les llama las coordenadas materiales de la partícula. En este caso, las coordenadas materiales de una partícula son las coordenadas del punto del espacio físico que ocupaba la partícula en el tiempo inicial, t = 0. Desde luego, el tiempo inicial puede ser cualquier otro, si así se desea. Sea B el dominio ocupado por un cuerpo en el tiempo inicial, entonces X B si y solamente si la partícula X pertenece al cuerpo. Es decir, el dominio B caracteriza al cuerpo. Sin embargo, debido al 5

6 movimiento, la región ocupada por el mismo, B( t ), cambia con el tiempo (ver Figura 1). Formalmente, para cualquier t (, ), B( t ) se define por { } B( t) x R X B x = p X, t (1.) El vector de posición, p ( X, t), es función del vector (tridimensional) X y del tiempo t. Si fijamos t, p ( X, t) define una transformación del espacio Euclideano B B(t) x X Coordenadas materiales tiempo incial t R en sí mismo y la ecuación (1.) es equivalente a B ( t) (B, t) = p. Una notación utilizada para representar esta familia de mapeos es pi (, t). De acuerdo a la hipótesis de 6

7 B p( X, t) B(t) x X 1 p ( x, t) tiempo incial t 7

8 los sistemas continuos: En cualquier tiempo t (, ) y en cada punto x B(t) de la región ocupada por el cuerpo hay una, y solo una, partícula del cuerpo B para cada t fijo. Es decir, pi (, t) es un mapeo biunívoco, por lo que existe el 1 mapeo inverso (,t) p i. Ver Figura. Si se fija la partícula, X, en la función p ( X, t) y se varía el tiempo t, se obtiene su trayectoria. Esto permite obtener la velocidad de cualquier partícula, la cual es un concepto central en la descripción del movimiento. Ella se define como la derivada con respecto al tiempo de la posición cuando la partícula se mantiene fija. Es decir, es la derivada parcial con respecto al tiempo de la función de posición, p ( X, t). Por lo mismo, la velocidad como función de las coordenadas materiales de las partículas, está dada por p V ( X, t) ( X, t); (1.) t Propiedades intensivas y sus representaciones En lo que sigue estudiaremos funciones definidas, para cada tiempo, en cada una de las partículas de un sistema continuo. Hay dos formas de representar a tales funciones. En una de ellas, llamada representación Lagrangeana, se da el valor de la funcion en la partícula X y en el tiempo t ; se usará la notación φ ( X, t) para esta representación. Esa misma función puede también representarse por medio de la función ψ ( x, t), donde ( x, t) ψ da el valor de la propiedad intensiva en la partícula que ocupa la posición x en el tiempo t. A esta ultima forma se le llama representación Eulereana. A cualquier función de esta clase, cuando la representación Eulereana es integrable para todo tiempo, se le llamará propiedad intensiva. Las propiedades intensivas pueden ser funciones escalares o funciones vectoriales. Por ejemplo, la velocidad definida por la Ec.(1.) es una función vectorial que depende de la partícula X y del tiempo t ; por lo mismo, ahí la 8

9 función V ( X, t ) proporciona la represnteación Lagrangeana de la velocidad, la cual toma valores vectoriales. Note que una propiedad intensiva vectorial es equivalente tres escalares, correspondientes a cada una de sus tres componentes. Los nombres de estas representaciones son en honor a los matemáticos Leonard Euler ( ) y Joseph Louis Lagrange ( ), respectivamente. Frecuentemente, el punto de vista Lagrangeano es ampliamente utilizado en el estudio de los sólidos, mientras que el Eulereano se usa más en el estudio de los fluidos. Una condición necesaria y suficiente para que las funciones φ ( X, t) y ψ ( p( X, t), t) representen a la misma propiedad intensiva es que ellas satisfagan la siguiente ecuación: φ( X, t) ψ ( p( X, t), t); (1.4) Note que en general dos funciones φ ( X, t) y ψ ( x, t) que satisfacen la Ec.(1.4) no son idénticas. Sus argumentos X y x son vectores tridimensionales (es decir, puntos de R ), pero si tomamos x = X generalmente Por otra parte, Ec.(1.4) implica φ ( X, t) ψ ( X, t) (1.5) 1 ψ ( x, t) φ( p ( x, t), t); (1.6) Es fácil ver que las Ecs.(1.4) y (1.6) son equivalentes. Envista de las Ecs. (1.4) y (1.6), la representación Lagrangeana de la velocidad, dada por la Ec.(1.), satisface Además, p ( X, t ) = V ( X, t ) v ( p ( X, t ), t ) (1.7) t 1 v ( x, t) V ( p ( x, t), t); (1.8) donde la notación v ( x, t) se adopta para la representación Eulereana de la elocidad. 9

10 La derivada parcial con respecto al tiempo de la representación Lagrangeana φ ( X, t), de una propiedad intensiva, de acuerdo a la definición de la derivada parcial de una función, es la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en una partícula fija. Es decir, si nos montamos en una partícula y medimos a la propiedad intensiva y luego los valores así obtenidos los derivamos con respecto al tiempo, el resultado final es φ( X, t) / t. En cambio, si ψ ( x, t) es la representación Eulereana de esa misma propiedad, entonces ψ ( x, t) / t es simplemente tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en un punto fijo en el espacio. Tiene interés evaluar la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en una partícula fija, cuando se usa la representación Eulereana. Derivando con respecto al tiempo a la identidad de la Ec.(1.4) y aplicando la regla de la cadena, se obtiene o, más brevemente φ( X, t) ψ ψ p = ( p( X, t), t) + ( p( X, t), t) X, t t t x t i (1.9) i= 1 Se acostumbra definir el símbolo Dψ / Dt por Utilizando esta notación, se puede escribir i φ( X, t) = ψ / t + v ψ (1.10) t Dψ / Dt = ψ / t + v ψ (1.11) φ( X, t) = ( Dψ / Dt )( p( X, t), t) ( ψ / t + v ψ )( p( X, t), t) (1.1) t Por ejemplo, la aceleración de una partícula ( a ) se define como la derivada de la velocidad cuando se mantiene a la partícula fija. Así, la representación Eulereana de la aceleración se obtiene aplicando la Ec. (1.1) a la representación Eulereana de velocidad: (, ) = ( / + )(, ) a x t v t v v x t (1.1) Una expresión tal vez más transparente se obtiene aplicando la Ec.(1.1) a cada una de las componentes de la velocidad. Así: a x, t = v / t + v v x, t ; i = 1,..., (1.14) i i i Desde luego, la aceleración, en representación Lagrangeana es simplemente 10

11 V X t t t (, ) p( X, t) (1.15) Propiedades Extensivas En la sección anterior se consideraron funciones definidas en las partículas de un cuerpo; más precisamente, funciones que hacen corresponder a cada partícula y cada tiempo un número real, o un vector del espacio Euclideano tridimensional, R. En ésta, en cambio, empezaremos por considerar funciones que a cada cuerpo, B, de un sistema continuo, y a cada tiempo,t, le asocia un número real o un vector de R. A una función de este tipo, E (, t) propiedad extensiva cuando está dada por una integral: B, se le llama E B, t ψ ( x, t) d x; (1.16) B t Observe que en tal caso el integrando es una función ψ ( x, t) necesariamente integrable, y por lo mismo es la representación Eulereana de una propiedad intensiva. Además, la Ec.(1.16) establece una correspondencia biunívoca entre las propiedades extensivas y las intensivas, porque dada la representación Eulereana, ψ ( x, t), de cualquier propiedad intensiva su integral sobre el dominio ocupado por cualquier cuerpo define una propiedad extensiva e inversamente, dada una propiedad extensiva el integrando, cuando se le expresa en la forma de la Ec.(1.16), define una propiedad intensiva. Finalmente, nótese que la forma de escribir la Ec.(1.16) es muy explícita, pues ahí se ha escrito E (, t) B para enfatizar que el valor de la propiedad extensiva corresponde al cuerpo B. Sin embargo en lo que sucesivo, siempre que sea posible sin caer en ambigüedad, se simplificará B. la notación omitiendo el símbolo B ; es decir, se escribirá E ( t ) en vez de E (, t) Hay diferentes formas de definir a las propiedades intensivas. Como aquí lo hemos hecho es por unidad de volumen. Sin embargo, es frecuente que se les defina por unidad de masa [8]. Es fácil ver que la propiedad intensiva por unidad de volumen es igual a la propiedad intensiva por unidad de masa multiplicada por la densidad de masa (es decir, masa por unidad de volumen), por lo que utilizando 11

12 la densidad de masa, con sencillez se pasa de un concepto al otro. Sin embargo, una ventaja de utilizar a las propiedades intensivas por unidad de volumen, en lugar de las propiedades intensivas por unidad de masa, es que la definición del volumen del espacio físico es independiente del sistema continuo considerado, en cambio el concepto de masa es relativo al sistema continuo en estudio. Concomitantemente, la correspondencia entre las propiedades extensivas y las intensivas por unidad de volumen es más directa que la correspondencia entre las propiedades extensivas y las intensivas por unidad de masa; en efecto, cuando se usa la propiedad intensiva por unidad de volumen, dada una propiedad extensiva para identificar la propiedad intensiva correspondiente, basta con expresar a la primera como una integral de volumen, pues el integrando de ella es la propiedad intensiva correspondiente. Por otra parte, del cálculo se sabe que ψ ( ξ, t) dξ E( t) B( t) ψ ( x, t) lim = lim ; Vol 0 Vol Vol 0 Vol (1.17) La Ec.(1.17) proporciona un procedimiento efectivo para determinar las propiedades extensivas experimentalmente: se mide la propiedad extensiva en un volumen del sistema continuo de que se trate, se le divide entre el volumen y el cociente que se obtiene es una buena aproximación de la propiedad intensiva, si el volumen es suficientemente pequeño. El uso que haremos del concepto de propiedad extensiva es, desde luego, lógicamente consistente. En particular, cualquier propiedad que satisface las condiciones de la definición de propiedad extensiva establecidas antes es, por ese hecho, una propiedad extensiva. Sin embargo, no todas las propiedades extensivas que se nos pueden ocurrir de esta manera son de interés en la mecánica de los medios continuos. A pesar de esto, el concepto de propiedad extensiva es fundamental en la teoría de los sistemas continuos, pues el modelo básico de todos ellos se formula en términos de ecuaciones de balance de propiedades extensivas Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas 1

13 Los modelos matemáticos de los sistemas continuos están constituidos por los balances de algunas familias propiedades extensivas. Por ejemplo, los modelos de transporte de solutos (los contaminantes transportados por corrientes superficiales o subterráneas, son un caso particular de estos procesos de transporte) se construyen haciendo el balance de la masa de soluto que hay en cualquier dominio del espacio físico. Aquí, el término balance se usa, esencialmente, en un sentido contable. En la contabilidad que se realiza para fines financieros o fiscales, la diferencia de las entradas menos las salidas nos da el aumento, o cambio, de capital. En forma similar, en la mecánica de los medios continuos se realiza, en cada cuerpo del sistema continuo, un balance de las propiedades extensivas en que se basa el modelo Ecuación de balance global Para realizar tales balances es necesario, en primer lugar, identificar las causas por las que las propiedades extensivas pueden cambiar. Tomemos como ejemplo de una propiedad extensiva a las existencias de maíz que hay en el país. La primera pregunta es: qué causas pueden motivar la variación, o cambio, de esas existencias. Un análisis sencillo nos muestra que dicha variación puede ser debida a que se produzca o se consuma. También a que se importe o se exporte por los límites del país (fronteras o litorales). Y con esto se agotan las causas posibles; es decir, esta lista es exhaustiva. Producción y consumo son términos similares que fácilmente se engloban en uno sólo de esos conceptos, pues la diferencia entre ellos es que sus efectos tienen signos opuestos. Así, si convenimos en que la producción puede ser negativa, entonces el consumo es simplemente una producción negativa. Una vez adoptada esta convención, ya no es necesario ocuparnos separadamente del consumo. En forma similar, la exportación es una importación negativa. Entonces, el incremento en las existencias, período, t, queda dado por la ecuación E = P + I (1.18) E, en un Donde a la producción y a la importación, ambas con signo, se les ha representado por P e I, respectivamente. 1

14 Similarmente, en la mecánica de los medios continuos, la lista exhaustiva de las causas por las que una propiedad extensiva de cualquier cuerpo puede cambiar, contiene solamente dos motivos: i. Por producción en el interior del cuerpo; y ii. Por importación (es decir, transporte) a través de la frontera. Esto conduce a la siguiente ecuación de balance global, de gran generalidad, para las propiedades extensivas: de ( t ) = g ( x, t ) d x + q ( x, t ) d x + g Σ( x, t ) d x dt (1.19) Σ B t B t t Donde g( x, t ) es la generación en el interior del cuerpo, con signo, de la propiedad extensiva correspondiente, por unidad de volumen, por unidad de tiempo. Además, en la Ec.(1.19) se ha tomado en cuenta la posibilidad de que haya producción concentrada en la superficie Σ ( t), la cual está dada en esa ecuación por la última integral, donde gσ ( x, t) es la producción por unidad de área. Por otra parte, q ( x, t ) es lo que se importa, o transporta, hacia e interior del cuerpo a través de la frontera del cuerpo B( t) ; en otras palabras, es el flujo de la propiedad extensiva a través de la frontera del cuerpo, por unidad de área, por unidad de tiempo. Puede demostrarse [5], con base en hipótesis válidas en condiciones muy generales, que para cada tiempo, t, existe un campo vectorial ( x, t) (, ) τ (, ) (, ) donde n( x, t ) es normal exterior a B( t) balance se puede escribir como q x t x t n x t (1.0) τ tal que. En vista de esta relación, la ecuación de de ( t ) = g ( x, t ) d x + τ ( x, t ) n ( x, t ) d x + g Σ( x, t ) d x dt (1.1) Σ B t B t t A las funciones g ( x, t ) y g ( x, t) generación interna), y el campo vectorial ( x, t) Σ se les denomina generación (frecuentemente τ es el campo de flujo [8]. A la Ec.(1.1) se le refiere como la Ecuación General de Balance Global y es la ecuación básica de los balances de los sistemas continuos. 14

15 En la mayor parte de los tratados sobre mecánica de medios continuos, la función gσ ( x, t) no se considera y la ecuación que se obtiene corresponde a la Ec.(1.1) con g Σ = 0 ; es decir, de ( t ) = g ( x, t ) d x + τ ( x, t ) n ( x, t ) d x dt (1.) B t Aquí, ese término se ha incluido porque hay casos de interés cuyo tratamiento requiere de la incorporación de fuentes concentradas en la superficie Σ. Un ejemplo de esta situación se presenta la modelación de yacimientos con punto de burbuja variable, de la Ingeniería Petrolera [19-4]. Sin embargo, para simplificar un poco y también porque la condición g Σ 0 se da solo en casos muy especiales, B t en lo que sigue solamente se considerara la Ec.(1.) Condiciones de Balance Local Como ya se dijo, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por las ecuaciones de balance correspondientes a una colección de propiedades extensivas. Así, a cada sistema continuo le corresponde una familia de propiedades extensivas, tal que, el modelo matemático del sistema está constituido por las condiciones de balance de cada una de las propiedades extensivas de dicha familia. Sin embargo, las propiedades extensivas mismas no se utilizan directamente en la formulación del modelo, en su lugar se usan las propiedades intensivas asociadas a cada una de ellas. Esto es posible porque las Ecuaciones de Balance Global son equivalentes a las llamadas Condiciones de Balance Local, las cuales se expresan en términos de las propiedades intensivas correspondientes. Las Condiciones de Balance Local son de dos clases: las Ecuaciones Diferenciales de Balance Local y las Condiciones de Salto. Las primeras son ecuaciones diferenciales parciales, que se deben satisfacer en cada punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y las segundas son ecuaciones algebraicas que las discontinuidades deben satisfacer donde ocurren; es decir, en cada punto de Σ. Cabe mencionar que las Ecuaciones Diferenciales de Balance Local son de uso mucho más amplio que las Condiciones de Salto, pues estas últimas solamente se aplican cuando y donde hay discontinuidades, mientras que las primeras en todo punto del espacio ocupado por el sistema 15

16 continuo. Y, hay que decirlo, solamente en problemas de carácter especial es necesario introducir modelos en que las propiedades intensivas son discontinuas. Los llamados choques, ampliamente conocidos en el flujo supersónico de fluidos compresibles no-viscosos-, son cambios muy rápidos tanto en la presión como en otras propiedades del fluido [5], los cuales en los modelos en que se desprecia la viscosidad, se simulan como discontinuidades de dichas propiedades del fluido [5]. Una vez establecidas las ecuaciones diferenciales y de salto del balance local, e incorporada la información científica y tecnológica necesaria para completar el modelo (la cual por cierto se introduce a través de las llamadas ecuaciones constitutivas ), el problema matemático de desarrollar el modelo y derivar sus predicciones se transforma en uno correspondiente a la Teoría de la Ecuaciones Diferenciales, generalmente parciales, y sus Métodos Numéricos Las Ecuaciones de Balance Local. En lo que sigue se supone que las propiedades intensivas pueden tener discontinuidades, de salto exclusivamente, a través de la superficie Σ ( t). Se entiende por discontinuidad de salto, una en que el límite por ambos lados de Σ ( t) existe, pero son diferentes. Se utilizará en lo que sigue un resultado matemático que se da a continuación. Teorema Para cada t se supondrá 0 B t t -, sea R el dominio ocupado por un cuerpo, como se le definió en este Capítulo. Suponga que la propiedad ψ es intensiva, ( x, t) 1 C, excepto a través de la superficie Σ ( t) funciones son v ( x, t) y v ( x, t), esta última definida para x ( t) Σ velocidades de las partículas y la de Σ ( t), respectivamente. Entonces d dt ( Σ ) B( t) Σ B t. Además, sean las Σ solamente, las ψ ψ dx + vψ dx + ψ ndx t v v (1.) Demostración. Su demostración se da en el Apéndice. 16

17 Teorema 6..- Considere un sistema continuo,. Entonces, la Ecuación de Balance Global, (1.1), se satisface para todo cuerpo del sistema continuo, si y solamente si, se cumplen las condiciones siguientes simultáneamente: i. La ecuación diferencial ψ + ( v ψ ) = τ + g (1.4) t vale en todo punto x R, excepto en Σ, de la región ocupada por el sistema. ii. La ecuación ( ) τ n = 0 ψ v v Σ (1.5) vale en todo punto, x Σ. Demostración. En vista del Teorema de Gauss Generalizado (Apéndice I de este Capitulo), la Ec. (1.) puede escribirse como de ( t ) = { g ( x, t ) + τ ( x, t )} dx + τ n ( x, t ) dx dt i (1.6) B t Combinando esta ecuación con la Ec. (1.), resulta que la Ecuación de Balance Global es equivalente a ψ g x, t x, + vψ iτ t dx + t v v ψ τ ndx = 0 (1.7) B t, si ( Σ ) Σ( t) B t A su vez, esta ecuación se satisface para todo dominio del espacio físico y solamente si, el primer integrando que ocurre en ella se anula idénticamente en todo punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y el segundo integrando se anula en todo punto de Σ. Con lo cual queda establecida la equivalencia de las Ecuaciones de Balance con el sistema de ecuaciones (1.4) y (1.5). A las ecuaciones (1.4) y (1.5), se les llama Ecuación Diferencial de Balance Local y Condición de Salto, respectivamente. Σ ( t) Desde luego, el caso más general que se estudiará se refiere a situaciones dinámicas; es decir, aquéllas en que las propiedades intensivas cambian con el tiempo. Sin embargo, los estados estacionarios de los sistemas continuos son de sumo interés. Por estado estacionario se entiende uno en que las propiedades intensivas son independientes del tiempo. En este caso, ψ / t 0. Por lo mismo, para los estados estacionarios, la Ecuación de Balance Local se reduce a 17

18 ( ψ ) τ g v = + (1.8) que vale en todo punto del sistema continuo, y mientras que la Condición de Salto está dada por la misma Ec.(1.5). Sin embargo, en muchos estados estacionarios las superficies de discontinuidad ( t) por lo que la condición de salto se reduce a Σ se mantienen fijas (no se mueven y v 0 ), [ ψ τ ] n = 0, en Σ( t) Σ v (1.9) Ejemplos de Condiciones de Balance Local. La formulación de restricciones en el movimiento de sistemas continuos constituye una de las aplicaciones más sencillas de las Condiciones de Balance Local. Como un ejemplo, a continuación formulamos la condición para que el movimiento sea isocórico, es decir la condición para que los cuerpos conserven su volumen en su movimiento. Desde luego esta condición se cumple en el movimiento de sustancias incompresibles, sean ellas sólidas o fluidas; sin embargo, por costumbre y para ser mas concretos, en las discusiones que se presentan a continuación, nos referiremos a un fluido. Se considerarán dos casos: cuando el movimiento ocurre en el espacio libre (un fluido libre ) y cuando éste solamente dispone de los huecos que hay en un medio poroso (un fluido en un medio poroso ). Para empezar consideremos un cuerpo de un fluido incompresible que llena completamente el volumen del espacio físico en que se encuentra. En este caso, el volumen del fluido es igual al volumen del dominio que ocupa el cuerpo. Así: f V t = d x (1.0) Aquí, Vf ( t ) es el volumen del fluido contenido en el cuerpo y B ( t ) es el dominio del espacio físico (es decir, de 18 B t R ) ocupado por el cuerpo. Observe que una forma que muestra en forma explicita el integrando en la Ec.(1.0) es V t = 1 d x (1.1) f Comparando esta ecuación con la ecuación (1.16), vemos que el volumen del fluido es una propiedad extensiva y que la propiedad intensiva que le corresponde B t

19 es ψ 1. Además, la hipótesis de que el volumen de los cuerpos se conserva durante el movimiento implica dv f dt ( t ) = 0 (1.) Claramente, la Ecuación de Balance Global se satisface tomando g = 0 y τ 0 en la Ec. (1.). A su vez, esta condición es equivalente a las Ecs.(1.4) y (1.5), con ψ 1. Estas ecuaciones se reducen a [ v ] v = 0 n = 0, en Σ (1.) La primera es la bien conocida condición de incompresibilidad para un fluido libre y la segunda implica, dado que n es cualquier dirección, que si un fluido libre es incompresible la velocidad de sus partículas es necesariamente continua. Por otra parte, es oportuno mencionar que si bien es cierto que cuando un fluido tiene la propiedad de ser incompresible, todos los cuerpos de fluido conservan su volumen, también los fluidos compresibles pueden efectuar algunos movimientos en que cada cuerpo de fluido conserva su volumen a esta clase de movimientos se les llama movimientos isocóricos. El caso en que el fluido se encuentra en un medio poroso, es bastante diferente y menos conocido. Un medio poroso es un material sólido que tiene huecos distribuidos en toda su extensión (Fig.), y se supondrá que ellos están conectados de manera que permiten el movimiento del fluido. Cuando los poros están llenos de un fluido, se dice que el medio poroso está saturado. Esta situación es la de mayor interés en la práctica y es también la más estudiada. En muchos de los casos que ocurren en las aplicaciones el fluido es agua o petróleo. A la fracción del volumen del sistema, constituido por la matriz sólida y los huecos, se le llama porosidad y se le representará por ' ε '. Así Aquí hemos escrito ( x, t) ε Volumen de huecos = (1.4) Volumen total ( x, t) lim V 0 ε para enfatizar que la porosidad generalmente es función tanto de la posición como del tiempo. Las variaciones con la posición pueden ser debidas, por ejemplo, a heterogeneidad del medio y los cambios con el 19

20 tiempo a su elasticidad; es decir, los cambios de presión del fluido originan esfuerzos en los porosos que los dilatan o los encogen. Cuando el medio está saturado, el volumen del fluido ( V f ) es igual al volumen de los huecos del dominio del espacio físico que ocupa. Así, V t = ε x, t dx (1.5) f B t En vista de esta ecuación la propiedad intensiva asociada al volumen de fluido es la porosidad, ε ( x, t), por lo que la condición de incomprensibilidad de un fluido contenido en un medio poroso, está dada por las Ecs.(1.4) y (1.5), con ( x, t) ψ ε, g = 0 y τ = 0: es decir ε + ( εv ) = 0 t ε ( Σ ) n = 0, en Σ v v (1.6) Que la divergencia de la velocidad sea igual a cero, Ec.(1.), como condición para que un fluido libre conserve su volumen, es ampliamente conocida. Sin embargo, este no es el caso de las Ecs.(1.6), como condición para la conservación del volumen de los cuerpos de fluido contenidos en un medio poroso. En aplicaciones a Geohidrlogía y a Ingeniería Petrolera, las discontinuidades de la porosidad están asociadas a cambios en los estratos geológicos y por esta razón están fijas en el espacio; así, v Σ 0. En ese caso Usando la notación [ ε ] n = 0 v (1.7) v v n para la componente normal de la velocidad y los n subíndices más y menos para los límites por los lado más y menos de Σ, respectivamente, la Ec.(1.7) es ε v = ε v (1.8) + n+ n- Al producto de la porosidad por la velocidad se le conoce con el nombre de velocidad de Darcy (U ) [ ]; es decir, 0

21 U εv (1.9) Así, las Ecs.(1.7) y (1.8) son [ U ] n 0 = y Un+ = U (1.40) n- Por lo tanto, en el caso de fluidos en medios porosos y a diferencia del caso de fluidos libres, es la velocidad de Darcy la que es continua cuando el flujo es isocórico. Las Ecs.(1.9) y (1.40) son ampliamente utilizadas en el estudio del agua subterránea (Geohidrología) y en Ingeniería Petrolera. Ahí, los valores que toma la porosidad dependen de cada estrato y por lo mismo es frecuente que la porosidad sea discontinua en la superficie de contacto entre dos estratos geológicos diferentes. En tal caso, φ φ, por lo que v v, necesariamente. + n+ n- Resumiendo: la velocidad de las partículas de fluido es discontinua en las superficies de contacto de dos estratos diferentes, sin embargo la velocidad de Darcy es continua. 1.7 Los Modelos de los Sistemas Continuos de Fases Múltiples Para poder abordar este tema con una generalidad adecuada, es necesario empezar por revisar los conceptos de solución, mezcla, componente y fase Sistemas Continuos de una y Varias Fases La diferencia entre mezcla y disolución (o solución), la cual es ampliamente conocida, puede ayudar a motivar estos conceptos. Por ejemplo, si disolvemos sal de mesa (cloruro de sodio) en agua pura y aumentamos la sal disuelta por encima de la concentración de saturación, el exceso de sal se separa. Entonces, esa sal no disuelta puede mezclarse; por ejemplo, utilizando un mecanismo revolvedor, hasta formar una mezcla relativamente homogénea. Sin embargo, si esa mezcla se deja en reposo al poco tiempo veremos que la sal que no se disolvió se mueve hacia la base del recipiente; es decir, se precipita. En este caso podemos distinguir dos fases, la fase liquida y la fase sólida. Además, la fase líquida y la fase sólida se mueven con diferentes velocidades, pues la fase liquida (el agua) está en reposo, mientras que la fase sólida (la sal no disuelta) se mueve hacia el fondo del recipiente. Por otra parte, en la fase líquida en que está el agua podemos distinguir dos componentes: la sal disuelta y el agua. Por estar en la 1

22 misma fase, estas dos componentes se mueven con la misma velocidad y es por ello que no se separan aunque las dejemos en reposo durante un tiempo prolongado. En la teoría de los sistemas continuos, los modelos para procesos como el que se acaba de describir, se conceptualizan como se explica a continuación. Se considera que hay dos fases: la fase líquida (el agua con la sal disuelta) y la fase sólida (la sal no disuelta). En cada punto del espacio físico ( R ) hay una partícula de cada una de las fases y cada una de ellas se mueve con su propia velocidad. Por lo mismo, cada dominio de R define dos cuerpos, que son los formados por los conjuntos de partículas correspondientes a cada una de las fases. Además, en cada punto tenemos definidas dos velocidades, que en general pueden ser diferentes; por lo tanto los dos cuerpos que en un tiempo dado ocupan el mismo dominio de R, inmediatamente después se separan y en general en otros tiempos ocuparán dominios que no coinciden. En el caso que nos ocupa la masa de cada una de las componentes: agua pura, sal disuelta y sal no disuelta, define una propiedad extensiva cuyo balance está dado por la Ec.(1.), o en forma equivalente por las Ecs.(1.8) y (1.9). Note, sin embargo, que en estas últimas ecuaciones debe utilizarse la velocidad de la fase a la cual está asociada la componente correspondiente Forma General de los Modelos de los Sistemas Continuos A continuación se explica como se construyen los modelos de los sistemas continuos multifásicos. Más que los sistemas continuos mismos, se modelan los procesos que tienen lugar en ellos; por ejemplo, el transporte de calor o el de los solutos contenidos en un fluido, etc. Ejemplos de sistemas de varias fases son los yacimientos petroleros [6] y los geotérmicos [7], así como muchos otros. En primer lugar se identifica un conjunto finito, o familia, de propiedades extensivas (una, dos, tres, etc.). Además, cada una de ellas se asocia con una, y solamente una, de las fases del sistema continuo y para cada una de las propiedades extensivas de esa familia se formula la Condición de Balance Global

23 de la Ec. (1.), en cada cuerpo del sistema continuo. Esta condición es equivalente a la Ecuación Diferencial de Balance Local y a la Condición de Salto de las Ecs. (1.8) y (1.9). El sistema así obtenido, formado por las ecuaciones diferenciales y las condiciones de salto, constituye el modelo básico del sistema correspondiente Ecuaciones Básicas de los Modelos Continuos Pasemos ahora a escribir con detalle las ecuaciones que constituyen los modelos básicos de los sistemas continuos multifásicos. Sea N el número de propiedades extensivas y M el número de fases que integran el modelo de un sistema continuo, donde M N. Además, cada propiedad extensiva está asociada a una y solamente una fase. Las propiedad extensivas y sus correspondientes intensivas se denotarán por E α y α ψ ( α = 1,..., N ), respectivamente, de manera que E α t = x t dx (1.41) α ψ (, ) Aquí, β ( α ) es la fase asociada a la propiedad extensiva α y B ( t) dominio ocupado por le cuerpo de la fase β ( α ). También usaremos g α y Bβ α ( t) la generación y el (campo de) flujo de la propiedad α. Por otra parte, β α es el α τ para β ( α ) v será la velocidad de la fase β ( α ), a la que está asociada la propiedad extensiva α. Entonces el modelo básico de los sistemas multifásicos está constituido por las Condiciones de Balance correspondientes a cada una de las propiedades intensivas del sistema Aplicando las ecuaciones Ecs.(1.4) y (1.5) se obtiene β ( α ) α α α ( ψ ) τ g α ψ + v t = + α = 1,...,N (1.4) y las condiciones de salto α β ( α ) α ( Σ ) τ i n = 0 ψ v v = 1,...,N α (1.4) Estas ecuaciones básicas gobiernan a una gran diversidad de sistemas continuos. En general, interesa construir modelos completos; es decir uno que nos permita predecir el comportamiento del sistema continuo a que se refiere el modelo. Como hemos visto los modelos de los sistemas continuos son sistema de ecuaciones

24 diferenciales parciales, pues cada una de las ecuaciones de balance da lugar a una ecuación diferencial parcial -u ordinaria, cuando el modelo depende de una sola variable independiente-, la cual se complementa con las condiciones de salto en el caso de modelos discontinuos, las cuales deben satisfacerse en las fronteras interiores, Σ. Por lo mismo, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por sistemas de ecuaciones diferenciales cuyo número es igual al número de propiedades intensivas o equivalentemente extensivas- que intervienen en la formulación del modelo básico. El Apéndice III de este Capítulo está dedicado a una breve presentación de algunos de los temas de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales que son más relevantes para los objetivos de este curso. Para que el modelo de un sistema continuo sea completo es necesario que el sistema de ecuaciones asociado al mismo, bajo condiciones iniciales y de frontera apropiadas, defina problemas bien planteados (ver Apéndice III del Capitulo 1). Tratándose de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, decimos que un problema de valores iniciales y de frontera es bien planteado si se cumple que: a) Existe una y sólo una solución, y b) Esta depende de manera continua de las condiciones iniciales y de frontera del problema. Los sistemas de ecuaciones diferenciales se clasifican en elípticas, hiperbólicas y parabólicas, y la clase de condiciones iniciales y de frontera que da lugar a problemas bien planteados depende del tipo del sistema de ecuaciones correspondiente. Para obtener modelos completos, además de las ecuaciones básicas, (1.4) y α α (1.4), es necesario evaluar la generación g ( x, t) y el flujo τ ( x, t) correspondientes con cada propiedad extensiva del modelo por medio de leyes o relaciones que las determinen en términos de la propiedades intensivas del modelo del sistema. En ciertos casos, como cuando tratemos el trasporte de calor y de solutos, o el flujo a través de medios porosos, también la velocidad de la fase ( x, t) β α v debe determinarse de esta manera. 4

25 A esta clase de relaciones se les llama ecuaciones constitutivas, y a traves de ellas se integra el conocimiento científico y tecnológico en los modelos matemáticos. Para establecerlas se usan conocimientos de la Física, la Química, la Biología, las Ingenierías, etc.; todo depende de la clase de procesos involucrados. Por ejemplo, al estudiar el transporte de un soluto producido por una reacción química, la rapidez con que se produce el soluto depende de la concentración de él y de las demás sustancias que participen en la reacción, por lo α que el suministro, g ( x, t), sería una función de esos parámetros. En este caso, a través de esta función se integraría el conocimiento químico en el modelo. Observe que en este caso el suministro (a veces llmado suministro externo) proviene del interior del sistema en estudio, pero se origina en alguna otra, u otras componentes que son ajenas, o externas, a aquélla a la que se le hace el balance. Al estudiar la distribución de seres vivos en los océanos, los conocimientos que se integran incluyen hechos biológicos. En resumen, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por: Una colección de propiedades intensivas o, lo que es lo mismo, extensivas; El conjunto de ecuaciones de Balance Local correspondientes (diferenciales y de salto), en cada una de las cuales la velocidad de las partículas es la de la fase correspondiente a la cual esta asociada la propiedad extensiva correspondiente; Suficientes relaciones que liguen a las propiedades intensivas entre sí y que definan a g α, α τ y en algunos casos conocen como leyes constitutivas; y α v, en términos de éstas, las cuales se Condiciones iniciales y de frontera que deben satisfacer las propiedades intensivas. 5

26 APÉNDICE I ALGUNOS RESULTADOS DEL CÁLCULO Algunos resultados del Cálculo Diferencial e Integral, serán de gran utilidad en desarrollos subsecuentes [8-6]. El primero de ellos, el Teorema de Gauss o Teorema de la Divergencia, el cual se deriva fácilmente del Teorema de Green. Este último es una generalización del Teorema Fundamental del Cálculo que establece que la integral de la derivada es la función primitiva-, a funciones de varias variables. Para vectores de n-componentes adoptamos la notación u ( u1,..., u n ). Sea u( x,..., x ) una función vectorial de n-variables; su divergencia se define por 1 n i= n ui i u = A(1.1) i= 1 xi También, en lo que sigue Ω denota un dominio del espacio Euclidiano de n dimensiones, en el sentido de Ciarlet [18]. una partición, también llamada descomposición de Ω, es una colección de subdominios de Ω, donde para cada i = 1,..., E, Ωi Ω, tal que Ωi Ω j = φ siempre que i j, y con la propiedad de que la cerradura de i= E Ωi contiene a Ω. Además en lo que sigue, con referencia a i= 1 una partición de Ω, Σ denota el complemento cerrado con respecto a i E Ω - de Ω (ver Fig. ). Nos referiremos a la frontera Ω como la frontera exterior, mientras que Σ será la frontera interior. Esta frontera interior siempre se supondrá que ha sido orientada; es decir, que en ella se han definido un lado positivo y uno negativo. Sin embargo, esta orientación puede definirse de manera arbitraria, pues los resultados que se presentarán se verá que son invariantes frente a un cambio de orientación. El vector normal unitario n, en la frontera exterior se tomará apuntando hacia fuera de Ω y en la frontera interior apuntando hacia el lado positivo. Dada una partición de Ω y una función definida en Ω, decimos que ella es continua por partes cuando, para cada i = 1,..., E, su = i= 1 i restricción a Ω i es continua y se puede extender de manera continua a la 6

27 cerradura de Ω i. Note que cuando una función es continua por partes su límite por el lado positivo, y también por el lado negativo, existe. Si f ( x ) es una función continua por partes escribiremos, en Σ, f f+ f A(1.) Aquí, f + y f son los límites respectivos. A la función f definida en Σ, salvo posiblemente en esquinas donde más de dos subdominios de la partición se encuentren, se le llamará el salto de la función. A.1.- El Teorema de Green [8-6]. Sea f ( x1,..., x n) una función de n-variables, continua y con primeras derivadas continuas en la cerradura de Ω. Entonces f ( x) d x = f ( x) n i d x x A(1.) Ω i donde n = n,..., n ) es el vector normal unitario, que apunta hacia el exterior de Ω. ( 1 n Ω A..- El Teorema de Gauss o de la Divergencia [8-6]. Sea u( x1,..., x n) una función de n-variables, cuyos valores son vectores de n- componentes, continua y con primeras derivadas continuas en la cerradura de Ω. Entonces Ω iud x = ui nd x A(1.4) Prueba.- El Teorema de la Divergencia es una consecuencia inmediata de la Ec.A(1.). Escribiendo i= n i= n i = = i i = i= 1 x Ω Ω i i= 1 Ω Ω Ω u iud x dx u n dx ui nd x A(1.5) Una versión más general del Teorema de Gauss, aplicable a campos vectoriales continuos por partes y con primeras derivadas también continuas por partes, se presenta a continuación. 7

28 Una versión más general del Teorema de Gauss, aplicable a campos vectoriales continuos por partes y con primeras derivadas también continuas por partes, se presenta a continuación. Más específicamente, supondremos que la función vectorial u y su primera derivada, son continuas en cada una de las subregiones { Ω 1,..., Ω N }, separadamente. A..- Teorema de Gauss generalizado Sea u( x1,..., x n) una función de n-variables, cuyos valores son vectores de n- componentes, continua por partes y con primeras derivadas continuas por partes en Ω. Entonces Prueba. E = iud x uin d x ui n d x A(1.6) Ω Ω Σ = = = Ω α = 1 Ω α = 1 α Ωα Ω Σ E iud x iud x uind x uind x ui nd x A(1.7) Excepto la última igualdad, las demás son inmediatas por aplicación d el Teorema de Gauss en cada uno de los subdominios de la partición separadamente. Para derivar la última de esas igualdades, dado cualquier punto de Σ, denotaremos por Ω + y Ω a los subdominios que se encuentran en el lado positivo y en el negativo, respectivamente, mientras que n + y n serán las normales unitarias que apuntan Σ hacia fuera de dichos subdominios. Observe además que E Ω α = Ω Σ y que α = 1 E α = 1 Ωα Ω Σ uind x = uind x + u in + u i n d x A(1.8) + + Sin embargo, de acuerdo con la convención adoptada, n+ = n y n = n en Σ, por lo que al sustituir se obtiene E = ( + ) = uind x uind x u u ind x uind x uind x α = 1 Ωα Ω Σ Ω Σ A(1.9) 8

29 CAPÍTULO 1 APÉNDICE II Derivada de una Integral cuando la Región de Integración Depende de un Parámetro. Teorema A. 1. Sea ψ(x, t) una función continua y con primera derivada continua y B( t ) el dominio ocupado por un cuerpo, el cual depende del parámetro t. Defina Entonces y también E( t) ψ ( x, t) d x A(.1) B t de ψ ( t ) = ( x, t ) ( ψ ) d x dt + t i v A(.) B t de ψ ( t ) = ( x, t ) dx ψ ndx dt + t v i A(.) B( t) Demostración.- La Ec. A(.1) es equivalente a B t φ E( t) ( X, t) J ( X, t) d X B A(.4) donde B es el dominio ocupado por el cuerpo en la configuración de referencia. Desde luego B es independiente del tiempo. Además, aquí J ( X, t) es el determinante de la matriz Jacobiana; es decir, p p p X X X p p p J ( X, t) Det p p p X X X Derivando la Ec. A(.4) se obtiene X1 X X 1 de ( t ) = { φ( X, t ) J ( X, t )} d X { φt ( X, t ) J ( X, t ) φ( X, t ) J t ( X, t )} d X dt = + t B Escribiendo φ ( X, t) en términos de la derivada material: t B A(.5) A(.6) Dψ ψ φt ( X, t) = ( x, t) ( x, t) + v ( x, t) i ψ ( x, t) A(.7) Dt t Por otra parte, aplicando la formula de la derivada de un determinante se obtiene 9

30 p1 p1 p 1 p1 p1 p 1 t X 1 X X X1 t X X p p p p p p Det + Det + t X 1 X X X1 t X X p p p p p p t X 1 X X X1 t X X Jt ( X, t) p1 p1 p 1 X1 X t X p p p Det X1 X t X p p p X1 X t X Además, la representación Lagrangeana de la velocidad satisface Así p t (, ) ( X, t) V X t A(.8) A(.9) V1 p1 p 1 p1 V1 p 1 p1 p1 V 1 X1 X X X1 X X X1 X X V p p p V p p p V Jt ( X, t) Det + Det + Det A(.10) X1 X X X1 X X X1 X X V p p p V p p p V X1 X X X1 X X X1 X X Tomemos ahora a la configuración en el tiempo t como configuración de referencia. En tal caso pi p( X, t) = X, = δij, J ( X, t ) = 1 y V ( X, t) = v ( p( X, t), t) = v ( X, t) A(.11) X Sustituyendo en la Ec.(.10) se tiene j v 1 v 1 v x1 x x v v v Jt ( X, t) Det 1 0 Det 0 0 Det 0 1 x1 x x v v v x1 x x Por lo que la Ec. A(1) es + + = iv A(.1) de ψ ( t ) = ( x, t ) ( x, t ) ψ ( x, t ) ψ ( x, t ) ( x, t ) d x dt + v i + iv A(.1) t B t 0