Construcción de números complejos
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- Sergio Bernardo Palma Cruz
- hace 9 años
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1 Construcción de números complejos (ejercicios) Objetivos. Definir números complejos como pares ordenados de números reales, definir las operaciones de adición y multiplicación de números complejos y demostrar sus propiedades principales. Requisitos. Propiedades de la adición y multiplicación de números reales. El conjunto de números complejos 1. C : R 2. Denotemos por C al conjunto R 2 de todos los pares ordenados de números reales. Por ejemplo, algunos elementos de C son p7, 1{2q, p 3, πq, p0, 4.7q. Las palabras pares ordenados significan que pa, bq, en general, no es lo mismo que pb, aq. Por ejemplo, p7, 5q y p 5, 7q son dos elementos diferentes de C: p7, 5q p 5, 7q. 2. Igualdad de números complejos. Dos pares ordenados pa, bq y pu, vq se llaman iguales si a u y b v. En este caso se escribe pa, bq pu, vq. 3. Ejemplos. Determine si los siguientes pares ordenados de números reales son iguales entre si o no: p6, 4q lomon p 4, 6q, p2 3, 9{2q lomon p 12, 4.5q, p3 2, 81q lomon p9, 9q, p0, 2q lomon p4, 5q. 4. Ejercicio. Cuándo pa, bq pb, aq 5. Ejercicio. Encuentre x, y P R tales que p2x, 7q p4, y ` 2q. Solución. Por la definición, la igualdad de pares ordenados p2x, 7q p4, y ` 2q es equivalente al siguiente sistema de dos igualdades de números reales: 2x lomon, 7 loomoon. Resolviendo estas ecuaciones encontramos x lomon, y lomon. Construcción de números complejos, ejercicios, página 1 de 6
2 Suma y producto de números complejos (definición) 6. Definición. Sean c y z dos números complejos: c pa, bq P C, z px, yq P C. Definimos su suma c ` z y su producto cz de la siguiente manera: c ` z : pa ` x, b ` yq, cz : pax by, ay ` bxq. 7. Ejemplo. Sean c p5, 7q, z p3, 2q. Entonces c ` z p5 ` 3, 7 ` 2q p lomon, lomon q, cz p5 3 p 7q 2, 5 2 ` p 7q 3q p15 ` lomon, 10 lomon q p lomon, lomon q. 8. Ejemplo. Calculamos la suma y el producto de los números complejos p3, 6q, p 4, 1q. p3, 6q ` p 4, 1q p3 4, 6 ` 1q p, q, p3, 6qp 4, 1q p 18, 21q. 9. Palabras suma y adición, producto y multiplicación. Conocimientos y destrezas son resultados de estudio y entrenamiento. La suma y el producto de dos números complejos son resultados de las operaciones adición y multiplicación. La suma de dos números complejos es un número complejo. La adición de números complejos es un operación binaria que a cada par de números complejos les asocia su suma. Propiedades de la adición de números complejos 10. Propiedad conmutativa de la adición en C. Para cualesquier c, z P C, c`z z`c. Demostración. Sean c pa, bq, z px, yq, donde a, b, x, y P R. Entonces c ` z p1q ùùù pa ` x, b ` yq p2q ùùù px ` a, y ` bq p3q ùùù z ` c. (1) Definición de la suma de números complejos. (2) Propiedad looooooooooooooooomooooooooooooooooon de la adición de números reales. (3) loooooooooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooooooooon Construcción de números complejos, ejercicios, página 2 de 6
3 11. Propiedad asociativa de la adición en C. Para cualesquier c, w, z P C, pc`wq`z c ` pw ` zq. Demostración. Sean c pa, bq, w pu, vq, z px, yq, donde a, b, u, v, x, y P R. Entonces pc ` wq ` z p1q ùùù pa ` u, b ` vq ` z p2q ùùù ppa ` uq ` x, pb ` vq ` yq p3q ùùù `a p4q ` p loomoon q, b ` p loomoon q ùùù c ` ` loomoon p5q ùùù c ` pw ` lomon q. (1), (2) Definición de la suma de números complejos. (3) (4), (5) 12. Notación 0 C. Denotamos por 0 C al par ordenado p0, 0q. loomoon 13. El neutro aditivo en C. El par ordenado 0 C es un neutro aditivo en C: Demostración. Sea z px, yq P C. P C z ` 0 C z. p1q z ` 0 C ùùù px, yq ` p0, 0q ùùù p2q px ` 0, y ` 0q ùùù p3q loomoon. (1) Definición de 0 C y la notación para los componentes de z. (2) (3) El número 0 es un neutro aditivo en R. 14. Notación z en C. Para cualquier z px, yq P C, denotemos por z al par p x, yq. 15. Ejemplos. p7, 4q p 7, 4q, p 5, 1q loooomoooon. 16. Un ejemplo más. Si z p 2, 1.5q, entonces z looooooomooooooon. Construcción de números complejos, ejercicios, página 3 de 6
4 17. Inversos aditivos en C. Para cualquier z P C, Demostración. Sea z px, yq. Entonces z ` p zq 0 C. z ` p zq ùùù p1q px, yq ` p x, yq ùùù p2q `x ` p xq, looooomooooon p3q ùùù p lomon, 0q ùùù p4q 0 C. (1) Notación z, notación para las componentes de z. (2) Definición de la operación ` en C. (3) Propiedad principal de inversos aditivos en R. (4) Notación lomon. Definición del producto de dos números complejos (repaso) 18. Definición de la multiplicación en C (repaso). Sean w p, q, z p, q. Entonces wz p, ` q. 19. Definición de la multiplicación en C (repaso). Sean w pu, vq, z px, yq. Entonces el producto de los pares ordenados w y z se define como el par ordenado ` looooomooooon looooomooooon. 20. Ejemplo. p7, 5qp2, 6q p looooooomooooooon, looooooomooooooon q p14 ` lomon, looooomooooon q p44, 32q. Construcción de números complejos, ejercicios, página 4 de 6
5 Algunas propiedades de la multiplicación de números complejos 21. Propiedad conmutativa de la multiplicación en C. Para cualesquier w, z P C, wz zw. Demostración. Sean w pu, vq, z px, yq, donde u, v, x, y P lomon. Entonces wz p1q ùùù p looooomooooon, looooomooooon q ùùù p2q pxu yv, yu ` xvq ùùù p3q zw. (1) Definición looooooooooooomooooooooooooon de números complejos. (2) Propiedad looooooooooooooooomooooooooooooooooon de la multiplicación de números reales. (3) 22. Propiedad asociativa de la multiplicación en C. Para cualesquier c, w, z P C, cpwzq pcwqz. Demostración. Sean c pa, bq, w pu, vq, z px, yq. Entonces cpwzq Justificación: pcwqz. Construcción de números complejos, ejercicios, página 5 de 6
6 23. Propiedad neutra multiplicativa del par ordenado p1, 0q. Para cualquier z px, yq P C, px, yqp1, 0q loomoon. Demostración. px, yqp1, 0q p1q ùùù `x 1 lomon, lomon lomon p2q ùùù p, q. Justificación: (1) Definición (2) Propiedades de los números reales 0 y lomon. 24. Propiedad distributiva de la multiplicación de números complejos respecto a la adición de números complejos. Sean c, w, z P C. Entonces pc ` wqz cz ` wz. Demostración. Denotemos las componentes de c, w, z de la siguiente manera: Entonces c pa, bq, w pu, vq, z px, yq. pc ` wqz ùùù p1q pa ` u, b ` vq px, yq ùùù p2q `pa ` uqx loooomoooon, loooomoooon loooomoooon p3q ùùù `ax ` ux p looooomooooon q, p4q ùùù `pax byq ` p q, p q ` p q p5q ùùù ` (1), (5) (2), (6) (3) Propiedad distributiva en R. (4) Propiedades de la adición en R., ` `, p6q ùùù cz ` wz. Construcción de números complejos, ejercicios, página 6 de 6
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