5Solucións aos exercicios e problemas PÁXINA 114

Transcripción

1 5Solucións aos eercicios e problemas PÁXINA 4 Pá. P RACTICA Ecuacións: solucións por tenteo É ou solución dalgunha das seguintes ecuacións? Compróbao. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no es solución. () 5 sí es solución. b) es solución.? 4 no es solución. 4 c) ( ) 9 es solución. ( ()) () () no es solución. d) 4?4 no es solución. 4 () 6 4 es solución. Resolve mentalmente e eplica o proceso que seguiches. a) ( ) 00 b) 7 4 c) 5 4 d) 4 6 e) 5 f) a) puede ser 0 o 0 0 b) tiene que ser igual a tiene que valer 9 7 c) 5 tiene que ser igual a 5 tiene que ser igual a 5 5 d) 4 tiene que ser igual a 4 tiene que valer 6 o e) 5 tiene que valer 5 tiene que ser igual a 0 5 f) 7 tiene que ser 5

2 5Solucións aos eercicios e problemas 4 Busca por tenteo unha solución eacta de cada unha das seguintes ecuacións: Pá. a) 5 7 b) 9 c) ( ) 6 d) 5 a) b) 60 c) 5 d) 5 Busca por tenteo unha solución aproimada das seguintes ecuacións: a) b) 4 54 c) 5 0 d) 0,005 e) 5 0, f) 0,75 7 a) 7,5 b) 4,4 c) d) 4 e) 0,7 f) 44 Ecuacións de primeiro grao 6 Resolve as seguintes ecuacións e comproba a solución de cada unha: a) ( ) ( ) b) 4 4 ( ) 5 ( ) 0 c) 7 ( ) ( ) d) 4 ( 7) ( ) (7 ) a) ( ) ( ) 6 Comprobación: ( ) ( ) 5 5 b) 4 4( ) 5( ) Comprobación: 4 4( ) 5( ) c) 7 ( ) ( ) Comprobación: 0 7 (0 ) (0 ) 9 9 d) 4( 7) ( ) (7 ) Comprobación: 4[() 7] [() ] [7 ()] Comproba se estas dúas ecuacións son equivalentes: ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) Son equivalentes, porque tienen la misma solución.

3 5Solucións aos eercicios e problemas Resolve as seguintes ecuacións: a) ( ) ( ) 4 ( ) (4 5) b) c) d) e) 5 6 f) 4 6 a) ( ) ( ) 4( ) (4 5) b) ( 5 ) ( ) ( ) 5( ) c) ( ) ( ) d) 4 ( 4) 5( ) e) ( 6 ) ( ) (5 6) ( ) 4( ) f) ( ) ( ) ( 4) (4 ) Pá. 9 Resolve e comproba a solución de cada unha das seguintes ecuacións: a) 4 5 b) c) a) ( ) ( 4 5 ) 0( ) 0( ) 5( 4) ( 5) Comprobación:

4 5Solucións aos eercicios e problemas b) ( 5 0 ) ( 4 ) ( ) 4(4 ) 5(5 ) 0( ) Comprobación: c) ( 5 4 ) ( 0 60 ) 4( 5) 5( 5) ( 6) ( 4) Comprobación: Pá. 4 0 Comproba que as seguintes ecuacións son de primeiro grao e calcula as súas solucións: a) (4 )(4 ) 4 ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( )5 ( ) d) ( ) ( ) 4 a) (4 )(4 ) 4( ) 6 9 4(9 4 ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 5( ) d) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 4 ) 4( ) ( ) ( ) 4 4 (4 4)

5 5Solucións aos eercicios e problemas PÁXINA 5 Pá. 5 Ecuacións de segundo grao Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao sen utilizar a fórmula de resolución: a) 0 b) 0 c) 5 0 d) 0 e) f) g) 6 00 h) 6 0 a) 0 ( 4) 0 b) 0 ( ) 0 c) 5 0 ( 5) 0 d) 0 4 e) f) No tiene solución. g) h) / 0 5/ 0/4 5/ 0/4 5/ Resolve. a) 4 0 b) c) d) 0 e) f) 0 g) h) 0 a) 4 ± b) 9 ± / 5/ 4 ± 0 9 ± 4 5 c) 9 ± ±

6 5Solucións aos eercicios e problemas d) ± 4 0 No tiene solución. Pá. 6 e) 4 ± ± 0 7 f) ± No tiene solución. g) 4 0 ± ± 0 5 h) ± 9 4() 0 4 ± 5 4 /4 / Resolve as seguintes ecuacións: a) ( )( ) ( )( ) b) ( )( ) ( ) 5 0 c) ( ) 4 ( )( ) d) ( 4) ( ) a) ( )( ) ( )( ) 6 5 ± ± b) ( )( ) ( ) ± 4 (4) ± 69 ± 7/ c) ( ) 4 ( )( ) ± ± 4 4 ± / d) ( 4) ( ) 6 (4 4) ± 6 4 () 5 4 ± 96 5/ 4 ±

7 5Solucións aos eercicios e problemas 4 Resolve as ecuacións seguintes: a) (5 4)(5 4) ( ) 9 4 Pá. 7 b) ( ) ( ) c) ( )( ) ( )( ) 6 d) ( ) e) ( ) ( ) 4 6 a) (5 4)(5 4) ( ) (9 6 9) (7 ) 0 0 /7 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 4 ) 4( ) ( ) ± c) ( )( ) ( )( ) 6 6 ( 6 ) ( ) ( ) 4( ) ± 4() 0 ± 6

8 5Solucións aos eercicios e problemas d) ( ) ( ) 0 [ 5 5 ] 0 ± No tiene solución. Pá. e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 6 ) 6 6( ) ( ) 4( ) ( 4 4) P ENSA E RESOLVE 5 Resolve as seguintes ecuacións: a) 0,5 [ ( ) ] 0,5 ( ) b) 0,,4 6 0 c) (,)(,5) 0 d) 4 ( ) 00 0 a) 0,5[ ( ) ] 0,5( ) 0,5( 4 4) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 0,,4 6 0,4 ± 5,76 4(0,)(6) 0,6,4 ±,6 0,6 0 c) (,)(,5) 0, 0,,5 0,5 d) 4( ) ( ) ± ± 0 6

9 5Solucións aos eercicios e problemas 6 Algunhas das seguintes ecuacións non teñen solución e outras teñen infinitas solucións. Resólveas e compróbao (lembra que, en realidade, estas igualdades non son ecuacións, a que non teñen termo en ). a) 4 ( ) ( ) 5 ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) d) 7 4 a) 4( ) ( ) 5( ) No tiene solución. b) ( ) ( ) ( ) Tiene infinitas soluciones. c) ( ) ( ) Tiene infinitas soluciones. d) ( ) ( 4 ) No tiene solución. e) ( ) ( ) No tiene solución. Pá. 9 7 A suma de tres números naturais consecutivos é igual ao quíntuplo do menor menos. Cales son eses números? Llamemos,, a los números. Así: Los números son 7, y 9. Calcula un número tal que sumándolle a súa metade se obtén o mesmo ca restando 6 aos 9/5 dese número ( ) ( 5 ) El número es 0. 9 Busca tres números impares consecutivos tales que a súa suma sea 7. (Un número impar é ) Los números son 7, 9 y 4.

10 5Solucións aos eercicios e problemas 0 Calcula as lonitudes dos lados dun rectángulo de perímetro cm e cua base mide cm máis cá altura. Pá. 0 ( ) 4 6,5 La base mide 4,5 cm, y la altura, 6,5 cm. Paguei 4,0 por un bolígrafo, un caderno e unha carpeta. Se o prezo da carpeta é 5 veces o do caderno e este custa o dobre có bolígrafo, cal é o prezo de cada artigo? Precio del bolígrafo, ; cuaderno, ; carpeta, ,0 4,0, El bolígrafo cuesta, ; el cuaderno,,, y la carpeta,. O prezo duns zapatos subiu un 5% en decembro e baiou un 0% en aneiro. Desta forma, o prezo inicial diminuíu en 6,96. Cal era o prezo inicial?,5 0, 6,96 0,9 6,96 6,96 0,0 7 El precio inicial era 7. Luís e Miguel compraron dous videoogos que tiñan o mesmo prezo, pero conseguiron unha rebaia do 6% e do 9%, respectivamente. Se Luís pagou,6 máis ca Miguel, cal era o prezo que tiña o videoogo? Luis pagó 0,4 y Miguel pagó 0,. 0,4 0,,6 0,0,6 4 El precio del videojuego era 4. PÁXINA 6 4 Calcula o capital que colocado ao 6% de uro composto durante dous anos se converteu en 9. es el capital inicial., ,76,06 El capital inicial era 90,76.

11 5Solucións aos eercicios e problemas 5 Se un número aumenta un 0%, resulta 9 unidades maior ca se diminúe un 5%. Cal é ese número? es el número., 9 0,5 0, es el número buscado. Pá. 6 Con,5 máis do diñeiro que teño, podería comprar a camiseta do meu equipo. Se tivese o dobre, sobraríanme 7,5. Canto diñeiro teño? es el dinero que tengo.,5 7,5,5 7,5 0,75 es el dinero que tengo. 7 Tres amigos traballan 0, 0 e 50 días nun negocio. Ao cabo de tres meses, reparten os beneficios e correspóndenlle ao terceiro 00 máis ca ao segundo. Cal foi a cantidade repartida? Se son os beneficios, ao primeiro correspóndelle son los beneficios días de trabajo. Las partes que corresponden a cada uno son: 0; 0 y es la cantidad repartida. 9 Do diñeiro dunha conta bancaria retiramos /7; ingresamos despois /5 do que quedou e aínda faltan para ter a cantidade inicial. Canto diñeiro había na conta? es el dinero de la cuenta. 6 Retiramos quedan Ingresamos había en la cuenta Dun depósito de auga sácanse /7 do seu contido; despois, 40 litros, e por último, 5/ da auga restante, e quedan aínda 60 l. Canta auga había no depósito?

12 5Solucións aos eercicios e problemas son los litros que hay en el depósito. Sacamos quedan 5 Sacamos 40 l quedan Sacamos quedan ( 7 ) ( 7 ) Quedan litros de agua había en el depósito. Pá. Un pai de 4 anos ten dous fillos de 9 e anos. Cantos anos teñen que transcorrer para que entre os dous fillos igualen a idade do pai? son los años que tienen que pasar. (9 ) ( ) Han de transcurrir años. A idade actual dun pai é o triplo cá do seu fillo e dentro de 4 anos será o dobre. Que idade ten cada un? es la edad del hijo es la edad del padre. Dentro de 4 años la edad del hijo será 4, y la del padre, 4. ( 4) El hijo tiene 4 años, y el padre, 4 años. 4 Calcula cantos litros de aceite de bagazo de,6 /l temos que engadirlle a un bidón que contén 60 l de aceite de oliva de, /l para obter unha mestura de,5 /l. Mira o problema resolto da páina. son los litros de aceite de orujo. CANTIDAD PRECIO COSTE ORUJO,6,6 OLIVA 60,, 60 MEZCLA 60,5,5( 60) Tenemos que añadir 0 litros.,6 6,5 50 0,9 0 l 5 Ao mesturar 0 kg de pintura con 50 kg doutra de calidade inferior, obtemos unha mestura a,0 /kg. Se o prezo da pintura barata é a metade có da outra, cal é o prezo do quilo de cada clase de pintura? CANTIDAD PRECIO COSTE PINTURA I 0 60 PINTURA II MEZCLA 0,0 0, ,4 /kg La pintura cara vale 4, /kg, y la pintura barata,,4 /kg.

13 5Solucións aos eercicios e problemas 6 Unha marca de café elabórase cun 0% de café colombiano de /kg, e o resto, con outro tipo de café. A mestura resulta a 4,5 /kg. Cal é o prezo do café máis barato? Para obtener kg de mezcla, ponemos 0, kg de café colombiano y 0,7 kg del otro café. 0, 0,7 4,5 0,7,75,5 /kg El precio del café barato es,5 /kg. Pá. 7 Un centro escolar contratou un autobús para unha saída ao campo. Con todas as prazas ocupadas, o prezo do billete é ; pero quedaron 4 prazas libres polo que a viae custou,5. Cantas prazas ten o autobús? Con prazas a obtense o mesmo ca con 4 prazas a,5. es el número total de plazas. ( 4),5, ,5 6 es el número de plazas que tiene el autobús. PÁXINA 7 9 Un ciclista que vai a km/h tarda tres cuartos de hora en alcanzar a outro que lle leva unha vantae de,5 km. Que velocidade leva o que vai diante? A velocidade coa que se achegan é a diferenza das velocidades absolutas. es la velocidad del que va delante. La velocidad con que se acercan es. Con esa velocidad, deben recorrer,5 km en 0,75 h.,5 ( ) 0,75,5 km/h 0,75 40 A distancia entre dúas cidades, A e B, é 0 km. Un tren sae de A a 0 km/h, e media hora máis tarde sae un coche de B cara a A que tarda, horas en cruzarse co tren. Que velocidade leva o coche? Ten en conta que o tren percorreu 40 km cando sae o coche. El tren ha recorrido 0 0,5 40 km antes de que salga el coche. La distancia que hay entre los dos es ahora 40 km. Si es la velocidad del coche, se acercan a (0 ) km/h. (0 ), km/h,

14 5Solucións aos eercicios e problemas 4 Se ao cadrado dun número lle restamos o seu triplo, obtemos 0. Cal é o número? es el número buscado ± ± 0 El número puede ser o 0. Hay dos soluciones. Pá. 4 4 Calcula dous números enteiros consecutivos tales que a suma dos seus cadrados é 45. Los números son y. ( ) ± 7 4 Son y 9, o bien, 9 y. Hay dos soluciones. ± Se ao produto dun número natural polo seu seguinte lle restamos, obtemos o quíntuplo da suma dos dous. De que número se trata? es el número que buscamos. ( ) 5( ) ± 4 6 El número puede ser, o bien,. Hay dos soluciones. 9 ± 5 44 Calcula os lados dun rectángulo cua diagonal mide 0 cm e no que a base mide cm máis cá altura. Mira o problema resolto da páina. 0 ( ) ± 4 4(4) ± 4 6. No vale. La altura mide 6 cm, y la base, cm.

15 5Solucións aos eercicios e problemas 45 Se duplicamos o lado dun cadrado, a súa área aumenta en 47 cm. Canto mide o lado do cadrado? Área del mayor: () Área del menor: 4 47 A 47 cm A Pá El lado del cuadrado mide 7 cm No vale. 46 Os catetos dun triángulo rectángulo suman cm e a súa área é 40 cm. Determina os catetos deste triángulo. Se un cateto mide cm, o outro medirá ( ) cm. Área: ( ) ± ± 4 7 Los catetos miden 7 cm y cm, respectivamente. 47 A base dun rectángulo mide 5 cm máis cá altura. Se diminuímos a altura en cm, a área do novo rectángulo será 60 cm. Determina os lados do rectángulo. ( 5)( ) ± 9 4(70) ± 7 La altura mide 7 cm, y la base, cm. 0 7 No vale. 4 O perímetro dun rombo é 40 cm e as súas diagonais diferéncianse en 4 cm. Determina a medida das súas diagonais. Se unha diagonal mide, a outra medirá 4. O lado coa metade de cada diagonal forma un triángulo rectángulo. l 4 El lado del rombo mide cm.

16 5Solucións aos eercicios e problemas ( 5 ) ( ) ± 96 4( 5) 4 4 ± 9 56 No vale. La diagonal menor mide 4 cm, y la mayor, 56 cm. Pá. 6 R EFLEXIONA SOBRE A TEORÍA 49 Se ao resolver unha ecuación de primeiro grao chegamos a 0, cantas solucións ten a ecuación? E se chegamos a 0 0? 0 La ecuación no tiene solución, porque ningún número multiplicado por 0 puede ser igual a. 0 0 La ecuación tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a Xustifica cantas solucións ten cada unha das seguintes ecuacións: a) (5 ) ( ) b) c) ( ) 4 ( ) a) (5 ) ( ) 5 0 No tiene solución, porque no hay ningún número que multiplicado por 0 sea igual a. b) 0 0 Tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0. c) Tiene una solución. PÁXINA 5 Se o discriminante dunha ecuación de segundo grao é D 5, que podemos dicir do número de solucións da ecuación? E se D 0? Si D 5, el número de soluciones es. Si D 0, el número de soluciones es.

17 5Solucións aos eercicios e problemas 5 Resolve coma no eercicio anterior: a) ( )( ) 0 b) (5 ) 0 c) ( 4) 0 d) 5 ( ) 0 Pá. 7 a) ( )( ) 0 b) (5 ) 0 c) ( 4) d) 5( ) /5 55 Inventa ecuacións de segundo grao con: a) Dúas solucións: e b) Dúas solucións: e c) Dúas solucións: 0 e 5 d) Unha solución: 4 e) Ningunha solución. a) ( )( ) b) ( ) 0 7 ( ) c) ( 5) d) ( 4) 0 e) Na ecuación 4 m 0: a) Que valor debe tomar m para que teña dúas solucións iguais? b) E para que sean distintas? c) E para que non teña solución? a) 4 m 0 D 4 4 m m 0 m 49 b) Para que sean distintas, m? 49 y m < 49. c) Para que no tenga solución, 96 4m < 0 96 < 4m m > Cal debe ser o valor de a para que sea solución da ecuación ( ) a 0? Xustifica a túa resposta. ( ) a 0 ( ) a 0 a 0 a 7 5 Son equivalentes as ecuacións 0 e 4 0? Xustifica a túa resposta. 0 ( ) No son equivalentes, porque no tienen las mismas soluciones.

18 5Solucións aos eercicios e problemas 59 A ecuación b 4 0 pode ter por solucións e? Razoa a túa resposta. b 4 0 b 4 0 b 4 b 4 0 b No, porque para que sea solución tiene que ser b 4, y para que sea solución, b. Solo sería posible si obtuviéramos el mismo valor para b en ambos casos. Pá. A FONDA 60 Epresa en función de m a solución da ecuación m m m. Para que valor de m a ecuación non ten solución? m m m m m m (m ) m La ecuación no tiene solución si m. m m 6 Nas dúas beiras dun río hai dúas palmeiras. A máis alta mide 0 cóbados; a outra, 0 cóbados, e a distancia entre as dúas é de 50 cóbados. Na copa de cada palmeira hai un paaro. Ao descubrir os dous paaros un peie na superficie do río, lánzanse rapidamente e alcanzan o peie ao mesmo tempo. A que distancia do tronco da palmeira máis alta apareceu o peie? 0 d d 0 d 0 (50 ) d 0 La distancia a P es la misma desde las dos palmeras. P 50 0 (50 ) m A 0 m de la palmera más alta.

19 5Solucións aos eercicios e problemas 6 Se a un número de dúas cifras lle restamos o que resulta de inverter a orde destas, o resultado é. Determina cal é o número se sabes que a cifra das unidades é. Pá. 9 es la cifra de las decenas. El número es 0. (0 ) (0 ) El número buscado es 4. 6 Para saldar unha débeda, un banco ofréceme dúas opcións. Pagala dentro de anos cun % de uro anual ou pagala dentro de 9 meses ao 5% de uro anual. Coa segunda opción pago 577, menos ca coa primeira. Calcula o diñeiro que debo. es el dinero que debo; 5% anual 5,5 mensual Con la. a opción pago,0. Con la. a opción pago (,05) 9.,0 (,05) 9 577, 0,04 577, 000 es el dinero que debo. 64 Eercicio resolto Resolver a ecuación Es una ecuación bicuadrada. Hacemos el cambio y. Sustituimos en la ecuación y resolvemos: y 9 9 y y 6 0 y 4 4 Comprueba las cuatro soluciones de la ecuación. Las soluciones son ; ; y. PÁXINA 9 65 Resolve coma no eercicio anterior as seguintes ecuacións bicadradas: a) b) c) d) 6 4 0

20 5Solucións aos eercicios e problemas a) 4 7 y 6 0 y 7y 6 0 Pá. 0 7 ± 7 y ± 5 y 6 y 4 4 b) y 4 0 4y 7y ± 7 y ± 5 y y /4 / / c) 4 y 9 0 y y 9 0 ± y 4 9 ± 0 y 9 y No vale d) 6 4 y 0 6y y 0 ± y ± 5 7 y /4 y /9 / / / / 66 Eercicio resolto Resolver a ecuación. Multiplicamos los dos miembros por ( ), que es el mín.c.m. de los denominadores. ( ) ( ) 0 Resuelve esta ecuación y comprueba las soluciones en la ecuación dada. ± 4 0 ± 7 4 Comprobación: : 4 es solución. 4 4: 4 4 es solución 4 (4) 4

21 5Solucións aos eercicios e problemas 67 Resolve coma no eercicio anterior: a) b) 0 c) d) a) ( ) ( ) ± ± 5/6 b) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) c) ) ( 7 6 ( ) ± ± 9 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ± 4 ± No vale. Pá. 6 Eercicio resolto Resolver a ecuación 7. Dejamos solo el radical en el primer miembro y elevamos al cuadrado los dos miembros: Después de resolver esta ecuación, es necesario comprobar las soluciones en la ecuación dada. Solo uno de los valores que has obtenido es solución de la ecuación.

22 5Solucións aos eercicios e problemas ± ± 5 Comprobación: : 7? No vale. : 7 () 4 Sí vale. La solución es. Pá. 69 Resolve coma no eercicio anterior: a) 7 b) 5 0 c) 7 d) ± 4 ± /6 / Comprobación: : 7 4 es solución. 64 : 7 4? 9 9 no es solución. a) ( ) ( ) ± 9 4 ± Comprobación: : 5 0 es solución. : 5 0 es solución. La ecuación tiene dos soluciones, y. b) 0 ( ) ( ) ± 4 6 ± 5 Comprobación: : 7 es solución. : 7? no es solución. c) ( ) ( )

23 5Solucións aos eercicios e problemas d) ( ) ( ) 4 ± ± 0 Comprobación: : es la solución. Pá. 70 Eercicio resolto Un depósito de auga para rega ten unha billa de abastecemento e un desaugadoiro. A billa enche o depósito en 9 horas. Se ademais da billa se abre o desaugadoiro, o depósito tarda 6 horas en encherse. Determinar canto tarda o desaugadoiro en baleirar o depósito cheo, se está pechada a billa. El grifo llena, en hora, del depósito. 9 El desagüe vacía, en hora, del depósito. Abriendo los dos, llenan en hora del depósito. 6 Por tanto: 9 6 Resuelve la ecuación y di cuál es la solución ( 9 ) 6 6 El desagüe tarda horas en vaciar el depósito. 7 Dúas billas enchen un depósito en horas se se abren á vez. Se só se abre un deles, tardaría 5 horas en encher o depósito. Canto tardará a outra billa en encher o depósito en solitario? Los dos grifos juntos, en hora, llenan del depósito. Uno de los grifos llena, en hora, del depósito. 5 El otro grifo, en hora, llena del depósito. 5 7,5 h 5 5 El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito.

24 5Solucións aos eercicios e problemas 7 Unha billa tarda o dobre ca outra en encher un depósito. Abrindo ás súas á vez tardan horas en encher ese depósito. Canto tardará cada unha delas en enchelo? Un grifo llena, en h, del depósito, y el otro grifo llena, en h, del depósito. Los dos juntos, en hora, llenan. 4 h Uno de los grifos tarda h, y el otro, 4 horas en llenar el depósito. Pá. 4 7 Un pintor tarda horas máis ca outro en pintar unha parede. Traballando untos pintarían a mesma parede en horas. Calcula canto tarda cada un en facer o mesmo traballo en solitario. Un pintor, en hora, pinta de la pared. El otro pintor, en hora, pinta de la pared. Entre los dos, en hora, pintan de la pared. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± 4 6 ± 5 No vale. Uno tarda h y el otro tarda 6 horas en hacer el trabajo en solitario.