Elíxase unha única opción para facer as súas catro preguntas!

Transcripción

1 º BACH. A/B Eame 3ª av NOME: NOTA Elíase unha única opción para facer as súas catro preguntas! OPCIÓN A 1. a) Enuncia (0,5 ptos) e interpreta eométricamente (0,5 ptos) o Teorema de Bolzano. b) Dada a función f()=e +3 ln(1+²), ustifica se podemos asegurar que a súa gráfica corta ó eie OX nalgún punto do intervalo [-1, 0]. (1,5 ptos). a) Enunciado da Regra de Barrow. (0,5 ptos) 4 b) Demostra que a función f dada por f() = é estrictamente positiva en todo + + (0,5 ptos) e acha a área da reión determinada pola gráfica de f, o eie de abscisas e as rectas =-1 e =0. (1,5 ptos) 3. a) Da función G sabemos que G ()= e que G(0)=0, G(1)=-1/4, G()=/3. Áchaa. (1 pto) b) Sea y=a-². Determina o valor de A para que a área entre a curva e o eio de abscisas sea 36 u². (1,5 ptos) 4. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación eométrica (0,5 ptos) do Teorema fundamental do cálculo integral. t b) Dada a función F() = e dt, ten F() puntos de infleión? Xustifica a resposta. (1,5 ptos) 0

2 OPCIÓN B 1. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación eométrica (0,5 ptos) do Teorema de Rolle. 3 8 b) Sea a función f() = 4 + definida en [-1,1]. Comproba se é aplicable o Teorema de Rolle a f() en dito intervalo. (1 pto) c) Sendo f continua e derivable en todo, entre dúas raíces consecutivas de f, cantas pode haber de f? (0,5 ptos). a) Sea f() = e ( 1). Calcula os intervalos de crecemento e decrecemento (0,5 ptos) e a ecuación da recta tanente á gráfica de f() no punto de abscisa =0 (1 pto). 1 b) Calcula e ( 1) d. (1 pto) 0 3. a) Acha a área limitada pola curva y=3--² e as súas tanentes nos puntos de intersección co eie OX. (1,5 ptos) 0 b) Calcula. (1 pto) L ² d 1 4. a) Enunciado da Regra de L Hôpital. (0,5 ptos) 4arctan + ln 1+ ² 4 b) Calcula o seguinte límite: lím. (1 pto) 0 ² f() c) Sea f derivable nun entorno de =0 tal que lím = 1. Calcula f(0), f (0) e f (0). (1 pto) 0 ²

3 º BACH. A/B Recup. 3ª av NOME: NOTA Elíase unha única opción para facer as súas catro preguntas! OPCIÓN A 1. a) Enunciado do Teorema de Weierstrass. (0,5 ptos) b) Se unha función f() é continua en [a,b] e é estritamente decrecente nese intervalo, onde alcanza a función o máimo e o mínimo absoluto? (0,5 ptos) c) Acha a ecuación da recta tanente á curva y=³-6² no seu punto de infleión. (1,5 ptos). a) Enuncia (0,5 ptos) e interpreta eometricamente (0,5 ptos) o Teorema do valor medio do cálculo diferencial. b) Dada g() = a 4 +b+c, calcula os valores de a, b, c para que g() teña no punto (1, -1) un etremo relativo e a recta tanente á gráfica de g(), en = 0, sea paralela á recta y=4. (1,5 ptos) e 3. a) Asíntotas, se as ten, da función: y =. (1,5 ptos) 1 + e e sen b) Calcula o seguinte límite: lím. (1 punto) 0 4 ² a) Calcula a seguinte integral indefinida: d. (1 punto) 6 b) Área comprendida entre as curvas y=²-³, y=-. (1,5 ptos)

4 OPCIÓN B 1. a) Definición (0,5 ptos) e interpretación eométrica (0,5 ptos) da derivada dunha función nun punto. b) Dúas cidades, A e B, distan 6 km e 8 km da orela dun río, que podemos considerar rectilínea, e queren construír mancomunadamente un depósito de auga na beira do río para abastecer ás dúas cidades, as cales distan entre si 409 km. En que punto da orela deben facer o depósito para que a lonitude do cano de conducción sea mínima? (1,5 ptos) e. a) Acha a recta tanente á curva y = no punto de abscisa 0 =ln. (1 punto) 1 + e e b) Calcula a seguinte integral indefinida: d. (1 punto) 1 + e e c) Calcula a área debaio da curva y = desde =0 ata =ln. (0,5 ptos) 1 + e e 3. a) Calcula o seguinte límite:. (1 punto) lím cos ² b) Calcula a seguinte integral indefinida: d. (1,5 ptos) ³ + ² + 4. a) Enuncia (0,5 ptos) e interpreta eometricamente (0,5 ptos) o Teorema do valor medio do cálculo integral. b) Área comprendida entre as curvas y=6-² e y=²-. (1,5 ptos)

5 Eamen 3ª eval. Mat. II, º Bach. A , 16:15-17:45 NOMBRE: espacio para la nota Elíjase una pregunta de cada uno de los bloques. En caso de hacer las dos preguntas de un bloque, se corregirá la primera!! BLOQUE A (4 puntos) 1. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema de Rolle. b) Sea f() derivable. Siendo f par, eiste un a real tal que f (a)=0? (1 punto) c) Es posible aplicar el teorema de Rolle a la función f()=l(1+²) en el intervalo [-1,1]? Interprétalo geométricamente. (1 punto) d) Entre dos raíces consecutivas de f, cuántas puede haber de f? (1 punto). a) Enunciado de la Regla de L Hôpital (0,5 ptos). b) Calcula la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la función f: definida por: a e 1,si 0 f() = b, si = 0 (1,5 ptos) arc tag 1 c) Calcula: lím (1 punto). L( ) 1 d 1 d) Calcula: (1 punto). ( + ) BLOQUE B (3 puntos) 3. a) Enunciado (0,5 ptos) y demostración (1 punto) de la Regla de Barrow. b) Halla el área de la región del plano comprendida entre la curva y=3³-3²++6 y su tangente en el punto de abscisa =1 (1,5 ptos). 4. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas. 1 b) Sea f:[-,] continua en [-,] tal que f(t) dt = f(t)dt, se 1 puede asegurar que eisten b y c en [-,] tales que b -1, c 1 y f(b)=f(c)?. Justifica la respuesta ( ptos).

6 BLOQUE C (3 puntos) 5. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema Fundamental del Cálculo Integral. b) Determina las dos coordenadas (abscisa y ordenada) de los puntos de infleión de la curva de ecuación: y = 1 + t e dt 0 t ( ptos). 6. Un punto se desplaza sobre el eje OX sometido a una fuerza F que, en función de su posición 4, si 0, toma la epresión: F = , si > 0 Se pide: a) Analizar si la fuerza F es una magnitud continua (1 punto) y si es derivable (0,5 ptos). En algún punto tiene un máimo? (0,5 ptos) b) Si el desplazamiento se inicia en el punto de abscisa 0 =-1, epresar el trabajo que se realiza entre dicho punto y un punto arbitrario (NOTA: recuérdese que el trabajo desarrollado por una fuerza F a lo largo de un camino entre los puntos a y b viene dado por la epresión: b W = F d a ) (1 punto)

7 Eamen recup. 3ª ev. Mat. II, º Bach. A , 11:30-1:30 NOMBRE: espacio para la nota Elíjase una pregunta de cada uno de los bloques. En caso de hacer las dos preguntas de un bloque, se corregirá la primera!! BLOQUE A (4 puntos) 1. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema de Bolzano. b) Demuestra que las gráficas de las funciones y=e, y=+3, tienen un punto común en el eje positivo. Es único? (1 punto) c) Calcula: lím sen ( 1 + tag) 4. (1 punto) d) Calcula: e d. (1 punto) 0 tag b. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f() = a + tenga un mínimo relativo en el punto ( 1,4 ) (1,5 ptos). Para estos a y b, calcula las asíntotas (1 punto). b) Halla el área limitada por las curvas y=l, y= y los ejes coordenados (1,5 ptos). BLOQUE B (3 puntos) 3. a) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos de f()=(²+-1) e (1,5 ptos). b) La función f()=³+a²+b+c tiene un punto de infleión para =1, y la recta tangente a la gráfica de f en ese punto es y=-3. Con estos datos, determínese a, b, c (1,5 ptos). 4. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema del valor medio del cálculo diferencial. b) En el segmento de parábola y=² comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,9) halla un punto en el que la tangente sea paralela a la cuerda AB (1 punto). c) Busca el punto de la parábola y=² que está a distancia mínima de la recta +y+4=0 (1 punto). BLOQUE C (3 puntos) 5. a) Enunciado (0,5 ptos) y demostración (1 punto) de la Regla de Barrow. b) Calcula el número positivo k tal que el valor del área de la región limitada por la recta y=k y la parábola y=(-)² sea 36 u² (1,5 ptos). 6. a) Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas. b) 1 Sea f:[-,] continua en [-,] tal que, se puede f(t) dt = 1 f(t)dt asegurar que eisten b y c en [-,] tales que b -1, c 1 y f(b)=f(c)?. Justifica la respuesta ( ptos).

8 Eamen 3ª eval., NOMBRE: Mat. II, º Bach. A-B espacio para la nota BLOQUE I 1. Teorema de Rolle: enunciado (0,5 ptos), demostración (1 pto), interpretación geométrica (0,5 ptos) y ejemplo (0,5 ptos).. Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica del teorema de Bolzano. (1 pto) Se puede asegurar, utilizando el teorema de Bolzano, que la función f()=tag tiene una raíz en π 3π el intervalo,? Razona la respuesta y esboza la gráfica de f en ese intervalo. (1 pto) 4 4 BLOQUE II 3. Enunciado (1 pto) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del Teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones continuas. Dada la función F = sen( t ) dt, halla los etremos relativos de F en el intervalo 0 π π,. Halla también F (). (1 pto) 4. Enunciado (0,5 ptos) e interpretación geométrica (0,5 ptos) del teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas. Sea y=f() una f. r. de v. r. continua en [-,], tal que 1 1 f () t dt = f () t dt. Se puede asegurar que eisten b y c en [-,] tales que b#-1, c$1 y f(b)=f(c). Justifica la respuesta (1,5 ptos). BLOQUE III 5. Determina el área de la región limitada por la gráfica de la función f()=²++5, el eje OX y las rectas =-1/ e y=+6. (,5 ptos) 6. Representa gráficamente la región limitada por las gráficas de f()=4-² y g()=²-4. Calcula su área. (,5 ptos) BLOQUE IV 7. Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h, a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? (,5 ptos) Calcula: d (1 pto), d (1,5 ptos)

9 Eamen final - 3ª eval. NOMBRE: Mat. II, º Bach. A-B , 9:30 espacio para la nota BLOQUE I 1. a) Teorema de Bolzano: enunciado e interpretación geométrica. (1 punto) b) Qué se puede decir de la gráfica de una función derivable cuya derivada es positiva en todo punto del dominio? (0,5 ptos) c) Demuestra que la ecuación 5 +³++1=0 tiene una única raíz dentro del intervalo [-1,0]. (1 punto). a) Interpretación geométrica de la derivada. (1 punto) b) Halla el valor de la constante c para que la recta que une los puntos (0,3) y (5,-) sea tangente c a la curva y = + 1. (0,5 ptos) BLOQUE II 3. a) Regla de Barrow: enunciado y demostración. (1 punto) b) La parábola y=a (²-), para a>0, delimita con el eje OX un recinto de 1 unidades de superficie. Halla el valor de a. (1,5 ptos) 4. a) Regla de Barrow: enunciado y demostración. (1 punto) b) Representa gráficamente la región limitada por las gráficas de f()=4-² y g()=+. Calcula su área. (1,5 ptos) BLOQUE III 5. Teorema fundamental del cálculo integral: enunciado, demostración e interpretación geométrica. (,5 ptos) 6. Halla la ecuación de la tangente a la elipse ²+y²=4 en el punto en donde corta a la bisectriz del primer cuadrante. (,5 ptos) BLOQUE IV 7. a) Dada la función f = +, estudia el crecimiento y decrecimiento, concavidad y + 1 conveidad y asíntotas. Representa gráficamente f(). (1,5 ptos) b) Eiste algún punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente sea 1/4? (1 punto) Calcula las siguientes integrales: d, d, d