Unidad 6. Ecuaciones ESO. Página 103. Resuelve. montón más un séptimo del montón. x + x 7. = 24 x = 21. x + 2x + 4x = x 2 x = 7 (por tanteo)

Transcripción

1 a las Enseñanzas Académicas Página 0 Resuelve. Traduce a lenguaje algebraico y resuelve por tanteo el problema del papiro egipcio: El montón más un séptimo del montón + 7. Selecciona, entre las siguientes ecuaciones, la traducción algebraica del problema de los elefantes. Resuélvela primero por tanteo e intenta después resolverla aplicando algún otro método de resolución que conozcas. I + + II + + III + + (6) (por tanteo) ( 7) 0 0 ( no es solución) 7. Cuál de las siguientes ecuaciones resuelve el epitafio de Diofanto? I II A qué edad murió? Supongamos que la vida entera de Diofanto duró años. Entonces: Juventud: 6 Su mejilla se cubrió de vello: + Antes de casarse: + 7 Tuvo un hijo: + Su hijo murió a los años. Diofanto vivió luego: + Por tanto, Diofanto vivió: Diofanto murió a los años

2 a las Enseñanzas Académicas. Resuelve, mediante el método geométrico epuesto arriba, las siguientes ecuaciones: a) + b) a) + ÁREA: ÁREA: + ( ) ÁREA: + 00 El área del último cuadrado es 00. Por tanto, su lado mide 0. Así: b) ÁREA: ÁREA: + 0( 69) ÁREA: El área del último cuadrado es 69. Por tanto, su lado mide 6, , 6,

3 a las Enseñanzas Académicas Ecuaciones. Solución de una ecuación Página 0. Es solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Justifica tu respuesta: a) + b) 00 c) 7 0 d) e) 7 f) 6 g) h) 0 + i) 0 j) + 6 k) ( ) l) ( + ) 0 + a) es solución de la ecuación. b) 00 es solución de la ecuación c) no es solución de la ecuación. 0 d) no es solución de la ecuación. e) es solución de la ecuación. 7 f) 6 es solución de la ecuación g) es solución de la ecuación h) no es solución de la ecuación. i) j) 0 es solución de la ecuación. + no es solución de la ecuación. 6 k) ( ) 9 no es solución de la ecuación. l) ( + ) 0 es solución de la ecuación. 0

4 a las Enseñanzas Académicas. En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y di cuál es su grado. a) + Ecuación polinómica de grado. b) 00 Ecuación polinómica de grado. c) 7 0 Ecuación polinómica de grado. e) 7 Ecuación polinómica de grado. g) Ecuación polinómica de grado. h) 0 + Ecuación polinómica de grado. i) 0 Ecuación polinómica de grado. k) ( ) Ecuación polinómica de grado. l) ( + ) 0 Ecuación polinómica de grado.

5 a las Enseñanzas Académicas Página 0. Tanteando, halla la solución entera de estas ecuaciones: a) 0 b) + 0 c) d) ( ) e) ( + ) ( 6) f ) g) + 0 h) 7 i) 6 66 j) k) + 6 l) a) 0 b) c) d) ( ) e) ( + ) ( 6) f) g) Si, entonces Por tanto, la solución no es válida. Sin embargo, si, entonces Luego es la solución. h) Si, entonces. Por tanto, la solución no es válida. Si 6, entonces Por tanto, la solución no es válida. Sin embargo, si 7, entonces 7 7. Luego 7 es la solución. i) Si 7, entonces 7 7. Por tanto, la solución no es válida. Si 6, entonces Luego 6 es la solución. j) A esta solución es fácil llegar, ya que lo de dentro de la raíz debe valer para que al hacer la raíz salga 9. Si probamos con 0, tendríamos 7 dentro de la raíz, que no vale. Sin embargo, con, obtenemos 77 +, por lo tanto, es la solución. k) Si 6, entonces Por tanto, la solución no es válida. Si, entonces Luego es la solución. l) Lo primero que vemos es que >, ya que si no saldría la raíz de un número negativo, lo cual es imposible. Si probamos con, tendríamos, que no vale. Si probamos con 6, tendríamos, que no vale. Podemos observar que según probemos con números más altos, más dispares van a ser las igualdades. Podemos concluir que esta ecuación no tiene solución.. Encuentra la solución, aproimando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo por tanteo ayudándote de la calculadora. a) 000 b) + 00 c) 00 d) e) ( ) 07 f ) + 0 g) + 00 h) 00 i) j) + 0

6 a las Enseñanzas Académicas a) Damos valores enteros a : 96 < > 000 Por tanto, es mayor que pero menor que. Damos a los valores,;,6;,7;, 99, < 000,6 99,6 < 000,7 00,9 > 000 Por tanto, aproimando a las décimas,,6. b) Es lo mismo que hallar 99. Damos valores enteros a : 6 < 99 6 > 99 Por tanto, es mayor que pero menor que. Damos a los valores,;,6;,7;, 9, < 99,6 9,6 < 99,7 0, > 99 Por tanto, aproimando a las décimas,,6. c) Damos valores enteros a : 0 < 00 > 00 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,;, 06,9 < 00, 70,0 < 00, 69,6 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas,,. d) Es lo mismo que hallar Damos valores enteros a : 6 79 < > 00 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,;, 6 9,67 < 00, 6,0 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas,,. 6

7 a las Enseñanzas Académicas e) Damos valores enteros a : (6 ) 6 < 07 (7 ) 6 > 07 Por tanto, es mayor que 6 pero menor que 7. Damos a los valores 6,; 6,6; 6,7; (6, ),06 < 07 (6,6 ) 0, < 07 (6,7 ) 7, Por tanto, aproimando a las décimas, 6,6. f) Damos valores enteros a : + 0 < > 0 Por tanto, es mayor que pero menor que. Damos a los valores,;,;,;, +,,7 < 0, +,,9 > 0, +,, > 0 Por tanto, aproimando a las décimas,,. g) Damos valores enteros a : + 0 < > 00 Por tanto, es mayor que y menor que 6. Damos a los valores,;,;,;, +, 76,967 < 00, +, 6,6 < 00, +, 96,6 < 00,6 +,6 06,976 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas,,. h) Damos valores enteros a : < > 00 Por tanto, es mayor que 6 y menor que 7. Damos a los valores 6,; 6,; 6,; 6, 6, 9,77 < 00 6, 6, 99, < 00 6, 6, 0,7 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas, 6,. 7

8 a las Enseñanzas Académicas i) Damos valores enteros a :,7 < 6 6, > Por tanto, es mayor que pero menor que 6. Damos a los valores,;,;,6;,,,7 <,,,97 < 6, 6,,0 > Por tanto, aproimando a las décimas,,. j) Damos valores enteros a : < 0 0 > 0 Por tanto, es mayor que pero menor que. Damos a los valores,;,;,;,, 69,67 < 0,,,0 < 0,, 0,7 > 0 Por tanto, aproimando a las décimas,,.

9 a las Enseñanzas Académicas Ecuaciones de primer grado Página 07. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 9 b) c) d) e) + f ) + ( ) g) + h) i) ( + ) j) ( + ) k) + 9 l) ( )( + ) ( + ) ( ) m) ( )( + ) + n) 7 ( ) ( 7) a) + 9 b) c) d) ( ) + + ( ) + 0 (0 + ) + ( ) e) + f) + ( + ) 6 ( + ) ( )

10 a las Enseñanzas Académicas ( ) g) + h) ( + ) 7( ) ( ) 7 + 0( + 7) i) ( + ) j) ( + ) ( ) + (9 ) ( 7) + 0 ( ) ( + + ) k) + 9 ( + ) 9 l) ( )( + ) ( + ) + 9( + ) (9 ) ( ) ( + ) ( ) m) ( )( + ) + ( ) n) ( 7) ( 9) ( ) + ( 7) + 00( ) ( + ) + 0( 7)

11 a las Enseñanzas Académicas Ecuaciones de segundo grado Página 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) + 0 f ) g) + 0 h) 0, + 0, 0 a) b) c) d) e) f) g) h) ± 6 ± ± y 6± 6 9 6± 6 6 6± 0 Solución doble. 6± 6 9 6± 0 Solución doble. 7± 9 7± ± No tiene solución ± ( ) ± + ± 7 y ± 6 ± ± y ± 9 ± 9 60 ± No tiene solución. 0, ± 00, 0, 0, ± 00, 0, 0, ± 079, No tiene solución.

12 a las Enseñanzas Académicas Página 09. Resuelve estas ecuaciones: a) 7 0 b) c) 9 0 d) + 0 e) f) 7 0 g) ( + ) + ( ) ( + ) h) a) 7 0 b) ± y ± No tiene solución c) 9 0 d) ( + ) 0 0 y 9 ± 9 y e) f) ( 7) 0 0 y 7 ( ) 0 0 y g) ( + ) + ( ) + 6 h) ( ) + ( 6 + 9) ± 9 y No tiene solución.

13 a las Enseñanzas Académicas Página 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + ) ( + ) 9 b) ( + )( 7) ( + 7) + c) ( + )( ) + ( + ) ( + ) + d) ( )( + ) + ( ) ( + ) ( ) a) ( ) 0 0 y b) ( + )( 7) ( + 7) ± ( 0) 9 ± ± 6 6 y 6 c) ± 9 ± 9 9 ± 6 9 ± 6 9 ± y 7 d) (9 + ) 0 0 y 9

14 a las Enseñanzas Académicas Página. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + )( ) + b) + c) d) + a) ( + ) ( ) ( + )( ) + + ( ) ± 00 ( ) 0 ± 0 ± y b) ( + ) ( ) ( + + ) ( + ) ( ) + 6( + ) ( + + ) ± 9 ( ) 7± 7± 9 y c) c m 0 ( )± ( ) ( ) ± 9+ ± d) + c + m c m ( 6)± ( 6) 6± 6 0 6± 6 6±

15 a las Enseñanzas Académicas Resolución de problemas con ecuaciones Página. La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 00 cm. Calcula las dimensiones de este rectángulo ( + 9) La altura es de 6 cm y la base es de cm. No es una solución válida, porque los lados no pueden tener una medida negativa.. Al aumentar 0 m de radio, una finca circular aumenta unos 6 m de superficie. Qué diámetro tiene la finca ampliada? S π r π r + 6 π (r + 0) π r π (r + 0r + 00) 6 r r + 0r r 000 r 0 El diámetro actual es de, aproimadamente, (0 + 0) 0 m.

16 a las Enseñanzas Académicas Página. Se ha fundido un lingote de oro de kg de peso y 0 % de pureza, junto con otro lingote de oro de kg de peso. Cuál era la pureza del segundo, si la de la mezcla resultante es del 67 %? Peso puro del primer lingote 0,, kg Peso total de la mezcla kg Peso puro de la mezcla 0,67,6 kg Kilos puros del segundo lingote,6, 0, kg Pureza del segundo lingote 0, 00 %. Un coche tarda h en cubrir el trayecto entre A-B. Un camión, que ha salido a la misma hora, y realiza el trayecto B-A, tarda h y min en cruzarse con el coche. Cuánto durará el viaje completo del camión? h 00 min; h min 7 min Cuando se cruzan, al coche le faltan min para recorrer el mismo espacio que el camión en 7 min. Por tanto: min 7 El viaje completo del camión dura min 7 h.. Dos albañiles que trabajan asociados reciben 00 como pago de cierto trabajo. Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintas partes de lo que trabajó el otro? Llamamos al tiempo que trabajó uno de los albañiles, entonces, el otro albañil trabajó Uno de los albañiles debe cobrar 000 y el otro, debe cobrar, Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez tardan horas. Cuánto tardará cada uno de ellos por separado en llenar el depósito? Un grifo llena, en h, del depósito, y el otro grifo llena, en h, del depósito. Los dos juntos, en hora, llenan. + h Uno de los grifos tarda h, y el otro, horas en llenar el depósito. 6

17 a las Enseñanzas Académicas Página Hazlo tú En esta misma figura, calcula el valor de para que el lado del cuadrado coloreado sea igual a 6 cm. B P A Q S + (6 ) 6 ` j ± 6 0 6± Hay dos soluciones válidas: y. C R D 7

18 a las Enseñanzas Académicas Ejercicios y problemas Página Practica Resolución mental y por tanteo. Resuelve mentalmente y eplica con palabras el proceso seguido. a) ( + ) 6 b) 7 + c) d) ( + ) + 0 e) f ) 7 a) El único número que elevado al cuadrado da 6 es ; por lo tanto, ( + ), por lo que 6 (6 + ) 6 b) Necesitamos que +, por lo que c) El número que dividido entre da es 6, por lo que la suma del numerador debe dar 6 y, para ello, ( ) d) ( + ) tiene que valer, porque 0. Por tanto, ( + ) tiene que ser igual a 6, porque 6 :. Entonces: + puede ser igual a 6 + puede ser igual a 6 7 e) tiene que valer tiene que ser igual a 0 f) Para que el resultado sea, la raíz cuadrada debe ser la de. El número que restándole 7 da, es ; 7. Busca por tanteo una solución eacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 7 b) + 9 c) ( + ) 6 d) a) b) 60 c) d). Busca por tanteo una solución aproimada de las siguientes ecuaciones: a) b) c) + 0 d) 0,00 e) 0, f ) 0,7 7 a) 7, b), c) d) e) 0,7 f )

19 a las Enseñanzas Académicas Ecuaciones de primer grado. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución de cada una: a) ( + ) ( + ) b) + ( ) + ( + ) 0 c) + 7 ( ) ( + ) d) ( 7) ( + ) (7 ) a) ( + ) ( + ) 6 Comprobación: ( + ) ( + ) b) + ( ) + ( + ) Comprobación: ( + ) + ( ) + 0 c) + 7 ( ) ( + ) Comprobación: (0 ) (0 + ) 9 9 d) ( 7) ( + ) (7 ) Comprobación: [() 7] [() + ] [7 ()] + 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) + c) d) e) + 6 a) + c m c + m ( ) ( + ) b) + 6 6c + m 6 ( + ) c) d) + + ( ) ( + ) c 6 m c m 6 6 ( 6) ( + ) + ( + ) e) + 6c m 6 c + m ( ) ( + ) 7 9

20 a las Enseñanzas Académicas 6. Resuelve y comprueba la solución de cada una de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) ( + ) ( ) ( ) 0 60 a) c + + m 60c + m 0( + ) 0( + ) ( ) + ( ) Comprobación: b) c + + m 0c + m 0 0 ( + ) ( ) + ( ) 0( + ) Comprobación: c) c + + m 0c m ( + ) ( + ) ( + 6) + ( + ) Comprobación: d) c + 6 m 0 c m Comprobación: Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus soluciones: a) ( )( + ) ( ) b) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) c) + a) ( )( + ) ( ) 6 9 (9 + )

21 a las Enseñanzas Académicas b) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) c) + ( ) ( ) e + o c + m ( ) ( ) ( + ) ( + ) Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución y otras tienen infinitas soluciones. Resuélvelas y comprueba los resultados. a) ( + ) ( + ) ( ) b) ( ) + ( ) ( + ) c) + d) a) No tiene solución. b) Tiene infinitas soluciones. c) c + m c m + + Comprobación: + d) c + 7 m c + m Comprobación: Solo una de las siguientes ecuaciones tiene solución única. Resuélvelas y compruébalo. a) + + b) c) d) ( + ) ( ) a) c + m c+ No tiene solución. m b) c + m c + m Tiene infinitas soluciones. c) 0 c + + m 0 c 6 + m Comprobación:

22 a las Enseñanzas Académicas ( ) d) 6 + ( ) + G 6 + G ( + ) 6 ( ) Tiene infinitas soluciones. 0. Resuelve. a) ( ) + ( ) d + n + b) ( + ) ( ) + ( ) c) ( ) ( ) 7 d n d) ( ) ( ) (7 ) ( ) a) c 6 + m c m No tiene solución. b) 0 c m 0 c 6 + m c) c 6 + m c m d) (9 + 6)

23 a las Enseñanzas Académicas Página 6 Ecuaciones de segundo grado. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 9 0 f ) g) 6 00 h) 6 0 a) 0 ( ) 0 b) 0 ( ) 0 c) 0 ( ) 0 d) / e) / f) No tiene solución. g) h) Resuelve. 0/ / 0/ / / / a) + 0 b) c) d) e) f ) + 0 g) h) a) + 0 b) c) ± 6+ ± 0 9± 0 9± ± 9 ± 0 7 d) ± No tiene solución.

24 a las Enseñanzas Académicas e) ± ± 0 7 f) ± + 0 No tiene solución. g) 0 ± ± 0 h) ± 9 ( ) ±. Resuelve igualando a cero cada factor: / / a) ( ) 0 b) ( + ) 0 c) ( + )( + ) 0 d) ( )( + ) 0 e) ( ) 0 f ) ( ) 0 a) 0; 0 Soluciones: 0; b) 0; + 0 Soluciones: 0; c) + 0; + 0 Soluciones: ; d) 0; + 0 Soluciones: ; e) 0 Solución: f) 0 Solución:. Opera y resuelve. a) ( )( + ) ( )( + ) b) ( ) + ( )( + ) 0 c) ( + ) ( + )( ) d) ( + ) (7 + )( + ) 0 a) ( + ) 0 0; b) c) ± ( ) ± 9+ 6 ± ± ; d) ( + + ) ( ) ;. Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 ± ( ) ± ± ( ) a) ( + )( ) ( + )( ) b) ( )( + ) ( + ) 0 c) ( + ) + ( + )( ) d) ( + ) ( ) a) ( + )( ) ( + )( ) ± 6 ±

25 a las Enseñanzas Académicas b) ( )( + ) ( + ) ± ( ) ± 69 ± / c) ( + ) + ( + )( ) ± 6 ± ± / d) ( + ) ( ) ( + ) ± 6 ( ) ± 96 ± Resuelve las ecuaciones siguientes: / a) ( )( + ) ( ) 9 b) ( ) ( + ) ( )( ) ( )( ) c) + + d) ( ) ( ) ( ) e) a) ( )( + ) ( ) ( + 6 9) (7 + ) 0 0 / 7 b) ( ) ( + ) c ( ) ( + ) + + m ( ) ( + ) ± ( )( ) ( )( ) c) e + o 6 c m + ( ) ( ) ± ( ) ± + d) ( ) ( ) + + G ± No tiene solución.

26 a las Enseñanzas Académicas e) + ( ) ( ) ( ) ( ) e o 6 6 6( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) Resuelve. 7( ) a) + d 9 nd n b) + ( ) 9 c) ( + )( + ) d) ( ) a) c 7 + m c m ± ( 7) 0 7 ± ; 0 6 b) 9 e + ( ) 9 o 9 c m + 9 ( ) ± 9 7 ± 6 6 ± ( ) ( 0) ± ± 9 ; 0 ( )( ) c) G e + o 7 ( + ) ( + ) No tiene solución. ± ± ( ) d) 7 + G e 0 o + ( ) ( ) 0 0; 6

27 a las Enseñanzas Académicas. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) + + c) + + d) a) c m c + m + 0 ( )± ( ) ( ) ± ± ; 0 b) 6 c + m 6 c + m ( ) 0 0; Debemos descartar la solución 0, ya que anula algunos denominadores. c) c + m c + m ( + ) 0 0; Debemos descartar la solución 0, ya que anula algunos denominadores. d) c m e o ( 9)± ( 9) 9± 7 9± 9 9± 6; Aplica lo aprendido 9. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos. Cuáles son esos números? Llamemos, +, + a los números. Así: Los números son 7, y Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando 6 a los 9/ de ese número b + l 0c 9 El número es m

28 a las Enseñanzas Académicas. Halla tres números impares consecutivos tales que su suma sea 7. Cualquier número impar se puede escribir de la forma Los números son 7, 9 y.. He pagado,0 por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, cuál es el precio de cada artículo? Precio del bolígrafo, ; cuaderno, ; carpeta, ,0,0, El bolígrafo cuesta, ; el cuaderno,,, y la carpeta,.. Calcula la altura de un árbol que es un metro más corto que un poste que mide el doble que el árbol. Altura del árbol: ; altura del poste,. m. El árbol mide m.. El precio de unos zapatos ha subido un % en diciembre y ha bajado un 0 % en enero. De esta forma, el precio inicial ha disminuido en 6,96. Cuál era el precio inicial?, 0, 6,96 0,9 6,96 6,96 0,0 7 El precio inicial era 7.

29 a las Enseñanzas Académicas Página 7. Con,0 más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,. Cuánto dinero tengo? es el dinero que tengo. +, 7,, + 7, 0,7 es el dinero que tengo. 6. Si al cuadrado de un número le restamos su triple obtenemos 0. Cuál es el número? es el número buscado El número puede ser o 0. Hay dos soluciones. ± 9+ 0 ± 0 7. Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es. Los números son y +. + ( + ) ± + 7 ± 7 Son y 9, o bien, 9 y. Hay dos soluciones. 9. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. De qué número se trata? es el número que buscamos. ( + ) ( + + ) ± + 6 9± El número puede ser, o bien,. Hay dos soluciones. Resuelve problemas 9. Del dinero de una cuenta bancaria retiramos /7; ingresamos después / de lo que quedó y aún faltan para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? es el dinero de la cuenta. _ Retiramos quedan b ` Ingresamos 7 b a 0 había en la cuenta. 9

30 a las Enseñanzas Académicas 0. Un padre de años tiene dos hijos de 9 y años. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? son los años que tienen que pasar. (9 + ) + ( + ) Han de transcurrir años.. Estamos haciendo bocadillos de chorizo para llevar de ecursión. Si ponemos rodajas en cada uno, sobran, y si ponemos, nos faltan. Cuántos bocadillos queremos preparar? Número de bocadillos que queremos preparar: + 0 Queremos preparar 0 bocadillos.. En una fiesta celebrada en un restaurante gallego se sirvieron cigalas (un plato para cada dos personas), almejas (un plato para cada tres) y percebes (un plato para cada cuatro). Si en total se sirvieron 6 platos, cuántas personas había? Número de personas que había en la fiesta: Había 60 personas.. Cuántos litros de aceite de orujo de,60 /l tenemos que añadir a 60 l de aceite de oliva de,0 /l para obtener una mezcla de,0 /l? son los litros de aceite de orujo. cantidad precio coste orujo,6,6 oliva 60,, 60 mezcla + 60,,( + 60) Tenemos que añadir 0 litros.,6 + 6, + 0 0,9 0 l. Al mezclar 0 kg de pintura con 0 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a,0 /kg. Si el precio de la barata es la mitad que el de la otra, cuál es el precio de cada pintura? cantidad precio coste pintura i 0 60 pintura ii 0 0 mezcla 0,0 0, La pintura cara vale, /kg, y la pintura barata,, /kg , /kg. Una marca de café de, /kg se elabora con un 0 % de café colombiano de /kg, y el resto, con otro. Cuál es el precio de ese otro? Para obtener kg de mezcla, ponemos 0, kg de café colombiano y 0,7 kg del otro café. 0, + 0,7, 0,7,7, /kg El precio del café barato es, /kg. 0

31 a las Enseñanzas Académicas 6. Un centro escolar contrató un autobús para una salida al campo. Con todas las plazas ocupadas, el precio del billete es de ; pero quedaron plazas libres, por lo que el viaje costó,. Cuántas plazas tiene el autobús? es el número total de plazas. ( ),,, 6 6 es el número de plazas que tiene el autobús. 7. Un grupo de amigos se van a repartir un premio y les toca a a cada uno. Deciden compartirlo con cuatro amigos más y de esta forma les toca a menos a cada uno. Cuántos son en total a repartir? Llamamos al número de amigos que se van a repartir el premio en un principio. Como el premio es la misma cantidad en ambos casos: premio; ( + ) premio ( + ) + 6 Al principio eran 6 personas, y al final, 0 personas.. Si un número aumenta en un 0 %, resulta unidades mayor que si disminuye en un %. Cuál es ese número?, + 0,9 0, Por tanto, el número es , 9. Un inversor, que dispone de 000, coloca parte de su capital en un banco al %, y el resto, en otro banco al, %. Si la primera parte le produce anualmente 0 más que la segunda, cuánto colocó en cada banco? Si llamamos a lo que depositó en el primer banco, en el segundo depositó 000.,0 ( 000 ),0 + 0,0 90,0 + 0, ,0, ,0 97,70 En un banco depositó 07,0, y en el otro, 97, Dos ciudades, A y B, distan 0 km. Un camión sale de A hacia B a 90 km/h. A la misma hora sale de B hacia A un coche que tarda una hora y cuarto en encontrarse con el camión. Qué velocidad lleva el coche? En una hora, el coche recorre km, y el camión, 90 km. La velocidad con la que se acercan es la suma de ambos, (90 + ) km/h. Tardan, h en recorrer 0 km entre los dos. Por tanto:,(90 + ) 0, +, 0 0 La velocidad del coche es 0 km/h.

32 a las Enseñanzas Académicas. Un ciclista que va a km/h tarda tres cuartos de hora en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de, km. Qué velocidad lleva el que va delante? es la velocidad del que va delante. La velocidad con que se acercan es. Con esa velocidad, deben recorrer, km en 0,7 h., ( ) 0,7, km/h 07,. Ana sale en su coche a 0 km/h. Se para min para echar gasolina y después conduce un buen rato a 00 km/h. Cuando llega a su destino, comprueba que hizo 0 km en horas, contando la parada. Cuánto tiempo condujo a 0 km/h? Llamamos al tiempo que conduce a 0 km/h. El tiempo del viaje, sin parada, es h min,7 h. Por tanto, el tiempo que conduce a 00 km/h es,7. El espacio que recorre a 0 km/h es 0 y el que recorre a 00 km/h es 00(,7 ). Así: , 0 Ana conduce, h a 0 km/h.. Calcula los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 0 cm y en el que la base mide cm más que la altura ( + ) La altura mide 6 cm, y la base, cm. ± ( ) ± 6. Novale.. Los catetos de un triángulo rectángulo suman cm y su área es de 0 cm. Halla las medidas de los catetos de este triángulo. ( ) Área: ± 0 ± 7 Los catetos miden 7 cm y cm, respectivamente.

33 a las Enseñanzas Académicas. La base de un rectángulo mide cm más que la altura. Si disminuimos la altura en cm, el área del nuevo rectángulo será de 60 cm. Cuánto miden los lados del rectángulo? + + ( + )( ) ± 9 ( 70) ± 7 La altura mide 7 cm, y la base, cm. 0.No 7 vale.

34 a las Enseñanzas Académicas Página 6. Un patio rectangular, que mide m menos de ancho que de largo, tiene un estanque central, también rectangular, rodeado por una zona de paso de m de ancho. Si sabemos que el área de esa zona es de m, cuáles serán las dimensiones del patio y del estanque? La superficie que nos dan es la superficie total del patio, S, menos la superficie del estanque, S : m S S S ( ); S ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( + ) m El patio tiene 0 m de largo y m de ancho, y el estanque, 6 m de largo y m de ancho. 7. Cuánto debe valer para que el área de esa figura sea cm? 0 0 Dividimos la figura en dos: un rectángulo y un trapecio rectángulo. El área total de la figura será igual a la suma de las áreas de ambas figuras. A rectángulo b a 0 A trapecio h a + b (0 ) 0 + A total A rectángulo + A trapecio 0 + (0 ) c0 + 0 m ( 0)± ( 0) 6 0 ± ± 0 ± debe valer cm, porque debe ser menor que 0. 6

35 a las Enseñanzas Académicas. Calcula dos números naturales que sumen y tales que al dividir el cuadrado del mayor entre el cuadrado del menor se obtenga de cociente y 7 de resto. Si llamamos a un número, el otro será. ( ) ± 70 ( 6 70) 70 ± ± 70 La solución 67, no es válida, pues no es un número natural. Los números son y , 9. Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, el resultado es. Averigua cuál es el número sabiendo que la cifra de las unidades es. Supongamos que el número es ab, y como b : b + 0a a 0b 9a 9b 9a 9a 6 a El número es el. 0. Un depósito de agua para riego tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. El grifo llena el depósito en 9 horas. Si además del grifo se abre el desagüe, el depósito tarda 6 horas en llenarse. Averigua cuánto tarda el desagüe en vaciar el depósito lleno, estando cerrado el grifo. El grifo llena, en hora, 9 del depósito. El desagüe vacía, en hora, del depósito. Abriendo los dos, llenan en hora 6 del depósito. Por tanto: 9 6( 9) h Tarda en vacias el depósito lleno h.. Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez, tardan horas. Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo? Un grifo llena, en h, del depósito, y el otro grifo llena, en h, del depósito. Los dos juntos, en hora, llenan. + h Uno de los grifos tarda h, y el otro, horas en llenar el depósito.

36 a las Enseñanzas Académicas. Un albañil tarda 9 horas en poner los azulejos de una cocina, mientras que otro tarda 0 horas. Se sabe que si trabajan juntos, entre los dos ponen 6 azulejos menos que si trabajan por separado. Un día que reformaron otra cocina trabajando juntos completaron el trabajo en horas. Cuántos azulejos hay que poner en cada cocina? Tiene infinitas soluciones. Si el primer albañil pone azulejos cada hora, el segundo ha de poner 0 9. Así, si el primero pone 0, el segundo pone, y la cocina tendría azulejos. En este caso, en la segunda cocina pondrían (0 + 6) 60 azulejos. Problemas +. Ana, en su camino diario al colegio, ha comprobado que si va andando a km/h llega minutos tarde, pero si se da prisa y va a km/h llega 0 minutos antes de la hora. Cuál es la distancia al colegio? Llegará puntual si hace la mitad del camino a km/h y la otra mitad a km/h? a) km 0 Si va akm/h tarda,h Si va akm/h tardah hymin Tiene que tardar h y 0 min. b), v km/h, v km/h Llega un poco antes de la hora., +, 0,6 + 0,, h 7' 0". Tenemos tres tipos de tetrabriks con forma de prisma rectangular cuyas bases miden cm 6 cm, cm 6 cm y cm 6 cm, y cuyas alturas son, respectivamente, a, b y c. El primero tiene doble capacidad que el segundo; y el segundo, doble que el tercero. Si la suma de las alturas es 9 cm, cuánto medirá cada una? Llamamos V, V y V a los volúmenes de cada tetrabrik. V 6 a a V 6 b b a b a 6b a, b V 6 b b V 6 c c b c c b c 07, b a + b + c 9,b + b + 0,7b 9,b 9 b a, cm; b cm; c 0,7 9 cm 6

37 a las Enseñanzas Académicas. Luis y Miguel van a visitar a sus abuelos. Como solo tienen una bicicleta, acuerdan que Miguel la lleve hasta la mitad del camino y la deje allí hasta que Luis, que sale andando, la recoja. La segunda mitad, Miguel caminará y Luis irá en bicicleta. De esta forma tardan una hora en llegar a su destino. El que camina va a km/h y el que va en bicicleta, a km/h. Cuál es la distancia que han recorrido? Cuánto tiempo estuvo parada la bicicleta? t : tiempo que emplea Miguel en recorrer la mitad del camino en bicicleta. t ( t) 6t t h Andando tarda h. Distancia: km Tiempo de bicicleta parada: La deja cuando ha pasado h y el otro la recoge a los h. Está parada hora. 6. Una empresa constructora está diseñando dos tipos, A y B, de viviendas unifamiliares con jardín. Tipo A: Parcela rectangular que mide m menos de ancho que de largo. Dentro de la parcela, la vivienda ocupa un cuadrado de 0 m de lado. Tipo B: Vivienda del mismo tamaño que en A, y zona de jardín rectangular con el mismo largo que en A y 0 m menos de ancho. a) Calcula la medida de la base de ambas parcelas para que la superficie del jardín sea la misma. b) Para ese valor de, halla la superficie de cada parcela y la del jardín correspondiente. CASA CASA a) ( 0) ( ) b) Vivienda tipo A A parcela m A jardín m Vivienda tipo B A parcela (00 0) m A jardín m m 7

38 a las Enseñanzas Académicas Página 9 7. En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 0 codos; la otra, 0 codos, y la distancia entre ambas es de 0 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo. A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez? 0 d d 0 d d 0 + ( 0 ) 0 + La distancia a P es la misma desde las dos palmeras. P (0 ) A 0 codos de la palmera más alta. 0 codos. Carmen hace cuentas sobre las compras que ha hecho y observa que el abrigo le ha costado el triple que el bolso; el bolso, menos que la camisa; la camisa, 6 más que los deportivos; los deportivos, el doble que el estuche; el estuche, la mitad que el pantalón, y este, 0 menos que la suma de todos los demás artículos. Calcula el precio de cada compra y el dinero que se gastó Carmen. A B; B C ; C D + 6; D E; E P P A + B + C + D + E 0 A (C ) (D + 6 ) (D + ) (E + ) (P + ) P + B D + 6 D + E + P + C E + 6 P + 6 D P P P + + P + + P P + P 0 P + P 0 P 0 precio pantalón. P 0 P 0 E 0 estuche; D 0 deportivos; C 6 camisa; B bolso; A 6 abrigo Gasto total: 0 Refleiona sobre la teoría 9. Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) + b) + + c) d) ( ) +

39 a las Enseñanzas Académicas a) no es solución. ( ) + sí es solución. b) es solución. + c) no es solución. + no es solución. ( ) 6 es solución. d) ( ) ( ( )) + ( ) 6 6 ( ) 60. Verdadero o falso? Razona las respuestas. a) La ecuación 0 no tiene solución. es solución. noessolución. b) Si multiplicamos por los dos miembros de una ecuación, su solución no varía. c) La ecuación 0 tiene infinitas soluciones. d) El discriminante de una ecuación de segundo grado es b + ac. e) La ecuación a + c 0 no tiene solución si c > 0. a) Falso, 0. b) Verdadero, siempre que sea a ambos miembros. c) Falso, no tiene solución, pues ningún número multiplicado por 0 da distinto de 0. d) Falso, el discriminante es b ac. e) Falso. Si a es negativo, tiene solución. 6. Son equivalentes estas ecuaciones?: ( ) ( ) ( ) Y 0 y 0? Justifica las respuestas. ( ) ( ) ( ) Son equivalentes, porque tienen la misma solución. 0 ( ) No son equivalentes, porque no tienen las mismas soluciones. 9

40 a las Enseñanzas Académicas 6. En la ecuación t t + t + indica: a) Cuál es la incógnita. b) Cuáles son los valores de a, b y c. c) Cuál es el segundo miembro. d) Si es una ecuación completa o incompleta. t t 0 a) La incógnita es t. b) a, b y c 0. c) t + d) Incompleta. 6. En la ecuación a ( ) b : a) Cuáles deben ser los valores de a y de b para que tenga infinitas soluciones? b) Y para que no tenga solución? a + a b a) Para que tenga infinitas soluciones, a 0 a y a b 0 b 6 b) a y b cualquier número distinto de Ejercicio resuelto. 6. Inventa ecuaciones de segundo grado con: a) Dos soluciones: y b) Dos soluciones: y c) Dos soluciones: 0 y d) Una solución: e) Ninguna solución. a) ( + )( ) b) ( ) c + m c) ( + ) d) ( ) 0 e) Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es Δ, qué podemos decir del número de soluciones de la ecuación? Y si Δ 0? Si Δ, el número de soluciones es. Si Δ 0, el número de soluciones es. 0

41 a las Enseñanzas Académicas 67. En la ecuación + m 0: a) Qué valor debe tomar m para que tenga dos soluciones iguales? b) Y para que sean distintas? c) Y para que no tenga solución? a) + m 0 Δ m 0 96 m 0 m 9 b) Para que sean distintas, m 9 y m < 9. c) Para que no tenga solución, 96 m < 0 96 < m m > Cuál debe ser el valor de a para que sea solución de la ecuación ( ) + a 0? Justifica tu respuesta. ( ) + a 0 ( ) + a 0 + a 0 a 7

42 a las Enseñanzas Académicas Página 0 Infórmate Sabías que Ecuación viene del término latino aequatio, que, a su vez, se deriva de aequare (igualar) o aequus (igual). Abajo tienes otras palabras del castellano con la misma raíz. ecuador: Circunferencia máima a igual distancia de los polos. equidistante: Que está a igual distancia. equilátero: Con los lados iguales. Busca otras cuatro palabras que tengan la misma raíz que ecuación. Por ejemplo: equitativo, ecuánime, equilibrio y equinocio. Utiliza tu ingenio En perfecto equilibrio Si cada bola pesa un kilo, cuánto pesa cada caja? kg Las poleas sirven para restar peso. Teniendo esto en cuenta, las balanzas y los juegos de poleas dan lugar a la siguiente ecuación (llamamos al peso de la caja): + ( ) + ( + ) Su solución es. La caja pesa kilogramos.

43 a las Enseñanzas Académicas Usa la equis Completa esta tabla de forma que sumando los números de dos casillas consecutivas obtengas el número de la siguiente: La solución de la ecuación es 7. Por tanto, la tabla queda así: Ingéniatelas como puedas para buscar una solución de esta ecuación: Interpreta, describe, eprésate Escribe un número cualquiera de tres cifras: abc Escribe el mismo número invertido: cba Resta al mayor el menor y suma las cifras de la diferencia obtenida. Esta suma es siempre! a) Comprueba, con ejemplos, que siempre se cumple la afirmación anterior. Sabrías justificar por qué ocurre? b) Analiza y eplica el proceso que se epone a continuación. Sea abc un número de tres cifras. Supongamos que a > c. paso paso paso a b c c b a a b c + 0 c b a a 0 + b c + 0 c b a c a < c a a c c a Sumamos las cifras de la diferencia y 96, ; 9, + 9 +

44 a las Enseñanzas Académicas Página Entrénate resolviendo problemas Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa: Si los envaso por docenas, me sobran. Si tuviera uno más, podría envasarlos, eactamente, en cajas de 0. Casi he recogido 00 huevos. Cuántos huevos recogió el granjero? Considerando los puntos tercero y segundo, puede tener 79 u 9 ó 99. Eliminamos huevos de cada uno de estos grupos (por el punto primero): 7 9 La única cantidad que resulta ser múltiplo de es. Por tanto, el granjero recogió 9 huevos. El reloj de una torre tarda segundos en dar las seis. Cuánto tardará en dar las doce? Entre la primera y la seta campanadas hay intervalos de tiempo. Los segundos se reparten entre y, así, se obtienen segundos entre campanada y campanada. Por lo tanto, para dar las ( intervalos de tiempo) el reloj tarda segundos. Calcula la superficie del cuadrado verde. 6 m 6 m Vemos claramente que el cuadrado grande está formado por cinco cuadrados iguales, uno de los cuales es el verde. La superficie del cuadrado grande es 6 6 m. La superficie del cuadrado verde será 6 7, m.

45 Autoevaluación. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y eplica el proceso seguido: a) ( + ) b) + a las Enseñanzas Académicas a) La suma que hay dentro del paréntesis debe ser, porque es el número que elevado al cuadrado da, por lo que. b) La suma que hay dentro de la raíz debe dar 6, cuya raíz cuadrada es. Por ello, debe ser 9, y el número que elevado al cuadrado da 9 es 7, por lo que 7.. Resuelve, por tanteo, con ayuda de la calculadora. a) ( ) + 0 b) a) 7 b),7. Resuelve. a) ( + ) 9 b) c) + a) 0c + m 0c m 6 6 b) c + m c + m No tiene solución. c) 6c + m 6c m Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 0 b) + 0 c) ( + )( ) 9 9 d) ( )( ) ( ) 6 a) c m 0 0 ( ) 0; b) No tiene solución. c) ( )± ( ) 9 ± 0 7 Solución única. d) ± ±

46 a las Enseñanzas Académicas. Mezclamos 6 kg de harina de,0 /kg con otra de 0,70 /kg para obtener una mezcla de,0 /kg. Qué cantidad tenemos que poner del segundo tipo de harina? Llamamos a la cantidad de harina que desconocemos. La cantidad de la mezcla será 6 +., 6 + 0,7, (6 + ) 7, + 0,7 6,6 +, 0,, Tenemos que poner kg del segundo tipo de harina., kg 0, 6. Un tren sale de A hacia B a km/h. Una hora más tarde sale de B hacia A otro tren a km/h. Si la distancia entre A y B es de km, cuánto tardarán en cruzarse? Como el primer tren sale una hora antes, cuando sale el segundo tren, el primero ya ha recorrido km, y le quedan por recorrer 0 km. Si comenzamos a contar el tiempo desde ahí, se cruzan cuando se igualan los tiempos: t e t v t ; t 9, h Sumando la hora que le quitamos al principio, los trenes se encuentran, horas después de que saliera el primer tren. 7. Tres amigos cobran 0 por hacer un trabajo. El primero trabajó horas y el segundo, que trabajó horas más que el tercero, recibió 0. Cuántas horas y cuánto dinero corresponden a cada uno? 0 0 Como sabemos que el segundo hizo un tercio del trabajo, y el tercero trabajó dos horas menos, el primero trabajó dos horas más, por lo que trabajaron, 0 y horas respecticamente. El primero cobró: 0 6 El tercero cobró: Con una cuerda de m de longitud hacemos un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos mide 6 m. Cuánto medirán el otro cateto y la hipotenusa? + 6 ( ) Catetos: 6 y m; hipotenusa: 0 m Para embaldosar un salón de m de área se han utilizado 7 baldosas rectangulares en las que un lado mide cm menos que el otro. Halla las dimensiones de las baldosas. ( 0,0) 7 ( 0,0) ( 0)± ( 0) ( 6) 0 ± 00 0 ± , m; m La única solución válida es 0, m (no puede ser un valor negativo). Las baldosas miden 0, m 0, m. 6