Ecuaciones de primer y segundo grado

Transcripción

1 Ecuaciones de primer y segundo grado EJERCICIOS 00 Clasifica estas igualdades algebraicas en identidades y ecuaciones. a) + = c) = 8 e) = 8 g) = b) + = d) + = + f) a 7 = a a h) y + = + y a) Ecuación c) Ecuación e) Ecuación g) Ecuación b) Identidad d) Identidad f) Identidad h) Identidad 00 Comprueba si se cumplen las igualdades. a) + = 8, para =. b) =, para =. a) + = 9 8 No se cumple. b) ( ) = Sí se cumple. 00 Calcula a para que la ecuación + a = 0 se cumpla para =. a = 00 Determina los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones. a) + = 0 d) + = 8 + ( ) b) = + 8 e) ( ) + = ( + ) c) ( ) = ( + ) a) Miembros: +, 0 Términos:,, 0 Grado: b) Miembros:, + 8 Términos:,,, 8 Grado: c) = 8 Miembros:, 8 Términos:,,,, 8 Grado: d) + = 8 + Miembros: +, 8 + Términos:,,, 8,, Grado: e) + = + Miembros: +, + Términos:,,,, Grado:

2 SOLUCIONARIO Cuáles de estos valores son solución de la ecuación ( + ) =? a) = b) = c) = d) = a) = Es solución. c) No es solución. b) ( ) ( ) No es solución. d) ( ) ( ) = Es solución. Calcula, probando valores, la solución. a) = 0 b) + = a) = b) = 8 Resuelve estas ecuaciones utlizando la transposición de términos. a) + = c) = 8 e) = g) = b) = d) + = f) 7 = 9 h) = a) = 8 c) = e) = 8 g) = b) = d) = f) = 7 h) = Halla el valor de la incógnita. a) 0 = + b) = 8 c) = a) = b) = c) = Calcula el valor de a para que la solución de + a = 0 sea 7. a = Resuelve estas ecuaciones. a) + = e) = b) = 7 f) + = ( + ) c) + = g) ( ) = 9 d) = 9 h) ( ) + + = ( + ) a) = = e) = 0 = b) 7 = 9 = 7 f) = c) 7 = = g) = = d) = 0 = h) = = Resuelve. a) ( + ) ( ) = ( + 0) b) ( ) ( + ) = ( ) a) = + 0 = = 8 b) 0 = = 7

3 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 Despeja en (a ) = a(8 ) ( + a). a = 8a a a a + = a = a a + 0 Resuelve estas ecuaciones con denominadores a) = + c) ( + ) + = + b) = a) = + ( + ) = 0( + ) + ( + ) + = + = 9 + b) = ( + ) 0 = 0( ) 0 = = 8 = 8 c) ( + ) + = ( + ) + = 8 = 8 = = Resuelve estas ecuaciones. a) = 9 b) 9 = 0 a) = = b) 0( ) = ( 9) 0 0 = 08 = 78 = 0 Despeja en la ecuación. a ( ) = a( 8 ) a( ) = a(8 ) a a = a a a = a = 7 0 La suma de un número y el doble de ese número es 0. De qué números se trata? + = 0 = 0. Los números son 0 y El perímetro de un rectángulo es 00 m. Halla la longitud de sus lados, sabiendo que la base es m mayor que la altura. Altura:, base: + + ( + ) = 00 = 99 Altura = 99 m, base = 0 m 8

4 SOLUCIONARIO 08 El perímetro de un cuadrado es 0 cm. Calcula la longitud de cada lado. Lado: = 0 = cm 09 Antonio tiene de paga semanal y se gasta,0 cada semana. Si quiere comprarse un teléfono móvil que vale, cuánto tardará en ahorrar lo suficiente? Número de semanas que tarda en ahorrar: Ahorro semanal:,0 =,0,0 = = semanas 00 Por cada día de retraso en el pago de una multa de tráfico se aumenta su coste en. Juan tiene una multa por aparcar en doble fila. Cuántos días se ha retrasado en pagar si ha abonado en vez de 0? Días de retraso: = 0 + = 7 días 0 En un rectángulo de base y altura m, sabemos que su perímetro es m. Calcula la longitud de la base. m Como = 0 +, la base mide m. 0 Halla la base de un rectángulo de altura cm y perímetro cm. cm + = = = 8 cm 0 En un zoológico hay el doble número de chimpancés que de gorilas. Si en total son 7 animales, cuántos habrá de cada especie? Gorilas: + = 7 = 7 = 7 Chimpancés: Hay 7 gorilas y chimpancés. 9

5 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 En una clase de alumnos hay doble número de chicas que de chicos. Cuántos chicos y chicas hay? Chicos: = = Chicas: Hay chicos y chicas. 0 La suma de dos números consecutivos impares es. Qué números son? Un número impar: = = = 8 Su consecutivo: + Los números buscados son: + = 8 + = 7 + = 77 + = 8 + = 7 + = 79 0 Escribe la epresión general de estas ecuaciones de segundo grado, y determina sus coeficientes. a) ( )( + ) = e) = 0 b) + = f) = 0 c) = + g) ( ) = d) ( + ) = 0 a) + = 0 Coeficientes: a = b = c = b) + = 0 Coeficientes: a = b = c = c) = 0 Coeficientes: a = b = c = d) + = 0 Coeficientes: a = b = c = 0 e) = 0 Coeficientes: a = b = c = 0 f) = 0 Coeficientes: a = b = c = g) = 0 Coeficientes: a = b = c = 07 Escribe una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes sean: a) a =, b =, c = c) a =, b =, c = 0 b) a =, b = 0, c = d) a =, b = 0, c = 0 a) = 0 c) + = 0 b) = 0 d) = 0 0

6 SOLUCIONARIO 08 Determina si estas ecuaciones son de segundo grado. a) + = + c) ( )( + ) = 0 b) = + d) ( + ) = + a) 7 + = 0 Primer grado c) = 0 Segundo grado b) = 0 Segundo grado d) = 0 Primer grado 09 Resuelve estas ecuaciones. a) = 0 d) = 0 b) + = 0 e) 7 + = 0 c) 0 = 0 f) ( ) = 0 a) =, = d) = 0, = b) No hay solución. e) = 0, = c) = 8, = 8 f) = 0, = 00 Resuelve estas ecuaciones. a) = 7 c) = 7 b) = 7 d) = 7 a) =, = c) = 0, = b) No hay solución. d) = 0, = 9 0 Escribe una ecuación cuyas soluciones sean: a) =, = b) = 0, = a) = 0 b) + = 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) + 8 = 0 d) + = 0 b) = 0 e) + = 0 c) + + = 0 a) =, = d) =, = b) =, = e) = = c) =, = 0 Calcula la solución de estas ecuaciones. a) ( )( + ) = 0 b) + = a) =, = b) =, =

7 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 En la ecuación + + c = 0, obtén el valor de c sabiendo que sus soluciones son y. c = = ACTIVIDADES 0 Indica si estas igualdades algebraicas son ciertas para =. a) + 7 = d) ( ) = b) ( + )( ) = 0 e) (7 )( ) + = 0 c) + + = f) = a) Verdadera c) Falsa e) Falsa b) Verdadera d) Verdadera f) Verdadera 0 + Cuál de los siguientes valores hace cierta la igualdad =? a) = b) = c) = 0 d) = Es cierta con la opción c) = Di cuáles de las igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones. a) ( ) = d) = 0 8 b) = + e) = c) 7 = + f) ( ) = a) Identidad c) Identidad e) Identidad b) Ecuación d) Ecuación f) Ecuación 08 Escribe dos igualdades algebraicas que sean identidades y otras dos que sean ecuaciones. Identidades: = + ; + = + + Ecuaciones: = ; + = 8 09 Halla tres igualdades algebraicas que sean ciertas para estos valores. a) = c) = b) = d) = Podrías escribir una igualdad algebraica que se verifique únicamente para los cuatro valores a la vez? Qué nombre recibe?

8 SOLUCIONARIO a) = 0; + = ; = b) = ; + = 8; = c) + = 0; + = ; = d) = ; 9 +8 = ; 0 = 8 La ecuación ( ) ( ) + + cumple esa condición. = 0 00 Encuentra el error y corrígelo. a) La ecuación = se cumple para = porque =. b) La ecuación = se cumple para = porque =. c) La ecuación + = es cierta para = / porque. + = + = a) La ecuación = se cumple para = porque =. b) La ecuación = se cumple para = porque =. c) La ecuación + = es cierta para = porque + =. 0 Indica si la igualdad = se verifica para los siguientes valores de. a) = d) = b) = e) = c) = f) = Puede eistir algún valor de que cumpla la ecuación? No se verifica para ninguna de las opciones, ya que no tiene solución. 0 Identifica los elementos de las ecuaciones. Ecuación. er miembro.º miembro Incógnitas Grado = ( ) = ( ) 8y y = y + y + 8y y y a b = a a a b a, b z z + = 0 z z + 0 z ( + ) = + 9 ( + ) + 9 ( ) = ( )

9 Ecuaciones de primer y segundo grado Escribe una ecuación para estos enunciados. a) El doble de un número es 8. b) El triple de un número es. c) La mitad de un número es 0. d) La tercera parte de un número es. e) El doble de un número más es 8. f) La mitad de un número menos es 0. g) La cuarta parte de un número menos es 7. h) El doble de un número más 7 es 8. i) La diferencia entre el cuádruple de un número menos 0 es. a) = 8 d) = g) = 7 b) = e) + = 8 h) + 7 = 8 c) = 0 f) = 0 i) 0 = Asigna una ecuación a cada enunciado. a) El cuadrado de un número es 00. b) El cubo de un número es. c) La suma del cuadrado de un número más es 8. d) La diferencia del cubo de un número menos es. e) La mitad del cuadrado de un número es 8. f) La quinta parte del cubo de un número es 0. a) = 00 c) + = 8 e) b) = d) = f) Escribe los enunciados correspondientes a estas ecuaciones. a) + = c) ( + ) = 0 e) = 8 g) b) 7 = d) = f) ( ) = 9 h) a) El doble de un número más es. b) El número 7 menos un número es. c) El doble de la suma de un número más es 0. d) La mitad del cuadrado de un número es. e) El cuadrado de un número menos es 8. f) El triple de la diferencia de un número menos es 9. g) La mitad de la diferencia de un número menos es. h) La tercera parte de la suma de un número más es. = 8 = 0 = + =

10 SOLUCIONARIO 0 Simplifica estas ecuaciones reduciendo términos semejantes, tal como se indica en el ejemplo. a) ( ) + ( 7) = ( + ) b) + = c) ( 9) = 8 7 d) 8 + ( ) + = e) ( + ) ( + ) = a) 0 = = 0 b) = 0 + = 0 c) = = 0 d) = + 0 = 0 e) 8 = = Corrige los errores cometidos al reducir términos semejantes de estas ecuaciones. a) 7 ( ) = + c) ( ) = ( 7) 7 = = = = 0 = 0 b) 8( ) = 8 = 8 + = 0 + = 0 a) 7 ( ) = + c) ( ) = ( 7) 7 + = = = 0 + = 0 = 0 b) 8( ) = 8 = 8 + = = 0 Averigua cuáles de las ecuaciones son equivalentes a la ecuación =. a) = 8 c) = e) = 8 b) = 9 d) = f) = a) Equivalente c) No equivalente e) No equivalente b) No equivalente d) Equivalente f) Equivalente

11 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 Resuelve estas ecuaciones. a) + = 7 e) + = i) = 0 m) 7 = b) = f) 7 = 7 j) = 9 n) = 0 c) + = g) + = k) = ñ) = 8 d) 7 = h) 9 = l) = o) = a) = 7 = i) = b) = + = 8 j) = 7 c) = = 8 k) = 0 d) = + 7 = 9 l) = e) = = 8 m) = f) = = n) = g) = = 8 ñ) = h) = + 9 = 7 o) = 7 00 Resuelve estas ecuaciones. 9 a) = b) = 7 c) = 8 d) 0 a) = 0 = 00 b) 9 = 7 9 = c) = 8 = d) = 9 = 00 = = = = 9 = = = = = 9 0 Halla la solución de las ecuaciones. a) = b) = c) = d) 8 = 8 e) = 7 f) = 8 g) = h) = i) = j) + + = 8 + k) + + = 8 l) + = + 8 m) + = n) + =

12 SOLUCIONARIO a) = = 9 h) = b) = i) = = = j) + = = 7 = c) = k) 8 = 8 = 8 l) 7 = + 8 = 0 d) = = 8 m) = = = 9 e) = f) = 8 ( ) = 8 n) = 8 = g) = = 7 0 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a) 0 = 0 b) + = 8 c) + ( ) = d) ( ) ( ) = ( ) e) 7( + ) + ( + ) = + f) ( ) ( ) = ( ) a) = d) = b) = e) = 8 c) = f) = 0 Obtén la solución de estas ecuaciones de primer grado. a) + + = ( ) + 0 b) ( + 8) = ( ) + c) ( + 8) ( ) = d) ( ) + ( + ) = e) ( + 8) ( ) = f) ( ) = ( + 8) a) 7 = = = 0 = b) + = + = + = = c) + + = = = = 8 d) = 0 = = = 0 e) = = 8 8 = = 8 f) = + = + = = 7

13 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. + 8 a) = e) = 7 8 b) = f) = 0 + c) g) + = = 8 d) = h) 9 = 7 a) = f) = 0 b) = c) = 9 g) = 7 d) = e) = 8 h) = 0 Halla la solución de las ecuaciones. a) + = 0 + c) b) + = d) = 7 = 9 a) b) c) d) + = + + = + 9 = 9 = 0 = + 0 = = = 7 = = = 8 7 = 9 0 = 9 = 0 = 0 Resuelve las ecuaciones. a) + 8 = + b) c) = 0 = + 0 d) 0 = 8

14 SOLUCIONARIO + 8 a) = + + = + = b) + = = = 7 c) 0 = = = 0 0 d) = 9 + = = 8 07 Obtén la solución de las siguientes ecuaciones. a) + + c) = + = b) + + = d) = + + a) = = = + b) + = 9 + = = 0 c) = = 9 = 0 d) = = = 7 08 Resuelve estas ecuaciones. a) y + = y d) + t = (7 t)( ) z z v + v b) + = e) = c) u = u + f) (w 7) = ( w)( ) a) y = c) u = e) v = b) z = 8 d) t = 0 f) w = 9 7 9

15 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 Corrige los errores cometidos en la resolución de la ecuación. 8 ( ) ( + ) + = + + = = + = = = 00 Identifica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado. a) ( + ) = 0 b) ( ) = c) + + = 0 + d) + = ( + ) 8 e) ( + ) + = f) ( + ) ( ) = 8 a) Segundo grado d) Segundo grado b) Segundo grado e) Segundo grado c) Primer grado f) Primer grado 70

16 SOLUCIONARIO 0 Epresa estas ecuaciones de segundo grado de la forma a + b + c = 0, e identifica los términos a, b y c. a) + = 0 b) ( ) = c) ( + ) + 7 = d) ( ) ( ) = 9 a) a =, b =, c = + = 0 b) 0 + = 0 a =, b = 0, c = c) + = 0 a =, b =, c = d) 9 = 0 a =, b =, c = 9 0 Epresa la forma general de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) ( + )( ) = c) + 9 = 7 + b) = + 8 d) (7 ) = 0 a) 8 = 0 c) + = 0 b) 8 = 0 d) 8 = Escribe las ecuaciones de segundo grado cuyos coeficientes son: a) a = b = c = b) a = b = 0 c = 9 c) a = b = c = 0 d) a = b = c = a) + = 0 c) + = 0 b) + 9 = 0 d) + = 0 Halla la solución de las ecuaciones. a) = 0 c) 7 = 0 e) 8 8 = 0 g) = 9 b) = d) = f) 9 = 900 h) a) =, = e) =, = b) =, = f) = 0, = 0 c) =, = g) =, = d) =, = h) =, = = 7

17 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) = 0 e) 9 = 8 b) + 0 = 0 f) 0 = 0 c) 7 = 0 g) = 9 d) = h) + = 0 a) = 0, = e) = 0, = b) = 0, = f) = 0, = c) = 0, = g) = 0, = 9 d) = 0, = 8 h) = 0, = 0 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula general. a) = 0 c) + + = 0 b) = 0 d) + 0 = 0 a) =, = c) =, = b) =, = d) =, = 07 Obtén la solución de las ecuaciones. a) = e) 7 + = 0 b) = f) = c) + = g) = d) = h) = 8 8 a) + = 0, = = + = + b) + = 0 =, = c) + = 0 =, = d) + = 0 =, = = e) 7 + = 0 =, f) + = 0 =, g) + = 0 =, = = = h) = 0 =, = 7

18 SOLUCIONARIO 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A UN NÚMERO? Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( )( + ) = 0 b) ( )( + ) = a) Cuando el número es 0. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. ( ) = 0 ( )( + ) = 0 ( + ) = 0 SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado. Estas serán las soluciones de la ecuación de segundo grado. = 0 = + = 0 = = b) Cuando el producto es igual a un número distinto de 0. PRIMERO. Se realiza el producto y se agrupan los términos en el mismo miembro. ( ) ( + ) = + = + = 0 SEGUNDO. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante. = 0 + = 0 ( + ) = 0 + = 0 = 09 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) = 0 b) ( )( + 9) = 0 c) (7 + )( ) + = d) ( + )( ) = a) = 0, = b) =, = c) =, = 7 d) = 0 =, = e) = 0 =, = f) =, = g) = =, = e) ( + ) + = f) ( + )( + ) = 0 g) + = 7

19 Ecuaciones de primer y segundo grado 070 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DEL TIPO (a + b) = n? Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) = 9 b) ( ) = 9 a) Cuando el término de la derecha es negativo, la ecuación no tiene solución. No eiste ningún número que elevado al cuadrado sea un número negativo. b) Cuando el término de la derecha es mayor o igual que 0 se procede de esta manera: PRIMERO. Se calcula la raíz cuadrada en los dos miembros, teniendo en cuenta el signo positivo y negativo de su resultado. ( ) = 9 ( ) = 9 = ± SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado que resultan. = = = ± = = 07 Halla la solución de las ecuaciones. a) ( + ) = 0 d) ( 8) = 0 b) 9 + = 0 e) ( ) = 7 c) ( + ) = f) ( ) = 8 a) = = b) = = c) + = ±8 =, = 8 d) = = e) = ± =, = 0 8 f) = ± 8 = +, 8 = 07 Escribe una ecuación de segundo grado con estas soluciones. a) 0 y b) y c) 0 y d) 8 y a) + = 0 b) = 0 c) = 0 d) + = 0 7

20 SOLUCIONARIO Resuelve las ecuaciones. a) b) ( ) = ( 0) 7 = c) ( + )( ) 7 = 0 a) = + + = 0 =, = b) =.0 = 89 = 9, = 9 c) ( + )( ) = 0 =, = Calcula el número tal que si le sumamos nos da 0. Si llamamos al número, le sumamos, y es igual a 0: + = 0 = 8 Obtén el número cuyo doble más su triple suman. Si llamamos al número, su doble es y su triple es, y han de sumar : + = = = 7 Determina un número, de forma que la suma de su triple y cuatro veces el número sea. Si llamamos al número, su triple es, y cuatro veces el número es, y han de sumar : + = 7 = = Escribe en lenguaje algebraico los enunciados y resuélvelos. a) La suma de dos números consecutivos es. b) La suma de dos números pares consecutivos es. c) El doble de un número y su mitad suman 0. d) El doble de la suma de un número más 7 es 8. e) El triple de un número menos 8 es 0. f) Un número menos su quinta parte es 80. a) + + = = d) ( + 7) = 8 = Los números son y. El número es. b) + + = = e) 8 = 0 = Los números son y. El número es. c) + = 0 = f) = 80 = 00 El número es. El número es 00. 7

21 Ecuaciones de primer y segundo grado La suma de dos números es y uno de ellos es la cuarta parte del otro. Halla los números. Primer número: Segundo número: + = = Los números son y. Encuentra dos números sabiendo que su suma es 0 y se diferencian en unidades. Primer número: Segundo número: + = 0 = Los números son y 7. La suma de tres números es 0. El primero es el doble del segundo y el segundo es el triple del tercero. Calcula dichos números. Tercer número: Segundo número: Primer número: + + = 0 = Los números son, 99 y 98. Un trayecto en tai cuesta,0 de bajada de bandera y,0 por cada kilómetro. Si pagamos, qué distancia hemos recorrido? Distancia (en km):,0 +,0 = = 7 Hemos recorrido 7 km. En el zoológico hay el doble de tigres que de panteras, y sabemos que en total son 7 animales. Determina cuántos hay de cada especie. Panteras: Tigres: + = 7 = 7 Hay 7 panteras y tigres. 7

22 SOLUCIONARIO Carlos, David y Sergio han ganado.00 que van a repartir así: Carlos tendrá 00 menos que Sergio, y David 00 menos que Carlos. Calcula el dinero de cada uno. Carlos: 00 David: ( 00) 00 Sergio: = =.00 ) =.800 =., Carlos:.0 y 7 céntimos David: 8 y 7 céntimos Sergio:. y 7 céntimos En una clase hay hay en la clase? 7 partes de chicos y las chicas son. Cuántos chicos Alumnos: Chicos: Chicas: = = = 8 alumnos El número de chicos es: 8 chicos. 7 Juan realiza la cuarta parte de un viaje en autobús, la seta parte en moto, tres octavas partes en bicicleta, y los últimos 0 km andando. a) Qué distancia recorrió en total? b) Qué distancia ha recorrido en cada medio de transporte? Recorrido total: En autobús: En moto: En bicicleta: Andando: 0 km 8 a) 0 = = 9 = 9 km 8 b) En autobús: 8 km En bicicleta: 7 km En moto: km Andando: 0 km 77

23 Ecuaciones de primer y segundo grado 08 Luis tiene 9 monedas de, y céntimos. Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si las monedas de céntimo son la tercera parte de las de céntimos, y estas son el quíntuplo de las monedas de céntimos. Monedas de céntimos: Monedas de céntimos: Monedas de céntimo: + + = =. 80 = 0 Monedas de céntimos: 0 Monedas de céntimos: Monedas de céntimo: María se entrena aumentando el recorrido del día anterior en km. Al cabo de siete días, el recorrido total que ha hecho es de km. Cuánto ha entrenado el último día? Día : Día : + Día : + Día : + Día : + Día 7: + Día : + Total: = = El último día entrenó: + = 9 km. 088 Un bebé gana durante su primer mes de vida la quinta parte de su peso, y en el segundo mes aumenta las cuatro quintas partes del peso que aumentó en el mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa.0 g, cuánto pesó al nacer? Peso al nacer: El. er mes ganó: + + = El. o mes ganó: de = =.0. 0 =.0 = =. 007, g El bebé pesó al nacer.007, g. 78

24 SOLUCIONARIO Preguntamos la hora y nos contestan de la siguiente manera: «Lo que queda de día es igual a 7 veces la quinta parte de las horas que han transcurrido». Qué hora es? : lo que queda del día = 7 : lo que ha transcurrido del día = 7( ) = 8 7 = 8 = horas Por tanto, son las 0 de la mañana. Averigua mi edad si tengo el triple de la edad que tenía hace 8 años. Edad actual: = ( 8) Edad hace 8 años: ( 8) = = Actualmente tengo años. Una madre tiene años y las edades de sus tres hijos suman 8 años. a) Cuántos años tienen que pasar para que sumen la edad de la madre? b) Y para que sumen el doble de su edad? a) Años que tienen que pasar: b) Años que tienen que pasar: = = 8 + = = 8 Tienen que pasar años. Tienen que pasar 8 años. Lola tiene ahorradas monedas de 0 céntimos y las cambia por monedas de euro. Tras el cambio, tiene 80 monedas menos. a) Cuánto dinero tiene Lola? b) Si tuviese 0 monedas menos que al principio, cuánto dinero tendría que cambiar? c) Y si las monedas fuesen de 0 céntimos y al cambiarlas obtuviese 0 monedas menos? a) Monedas de 0 céntimos: c) Monedas de 0 céntimos: Monedas de : Monedas de : = 80 = 0 = 0 = 7 Lola tiene 80. Lola tiene. b) = 0 = 0 Tendría que cambiar 0. 79

25 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO? El área de una parcela que tiene forma rectangular es 0 m. Si mide el doble de largo que de ancho, cuánto medirá su ancho? PRIMERO. Identificar la incógnita. Lo que sé Parcela rectangular Área = 0 m El doble de largo que de ancho Lo que no sé Medida del ancho Incógnita () Medida del ancho SEGUNDO. Plantear la ecuación. Ancho Largo = Doble que ancho Área = 0 m Área = largo ancho = 0 TERCERO. Resolver la ecuación. CUARTO. Comprobar e interpretar la solución. COMPROBACIÓN: 0 = 0 = 0 = = =+ = =± = = = = 0 = = 0 0 = 0 = 0 = ( ) ( ) = 0 0 = 0 Ambos valores son soluciones de la ecuación. INTERPRETACIÓN: Descartamos la solución porque no eisten longitudes negativas. Por tanto, el ancho de la parcela es m. 09 Halla las dimensiones de un rectángulo de área 0 cm, siendo la base la mitad de la altura. Base: Altura: = 0 = 0 = = Base: cm Altura: cm 80

26 SOLUCIONARIO 09 Calcula las dimensiones de un rectángulo de 80 cm cuyo largo es cm mayor que el ancho. Ancho: Largo: + ( + ) = = 0 = 8, = 0 Como las medidas de longitud tienen que ser positivas: Ancho: 8 cm Largo: 0 cm 09 Halla la longitud del lado de una parcela cuadrada si su área, más cinco veces su lado, menos 8, es igual a 8. Lado: Área: + 8 = = 0 =, = 0 Como es válida solo la medida positiva, el lado de la parcela mide 0 m. 097 La solución de esta ecuación es = 9. Investiga a qué número equivale el triángulo = 9 = = 0 = Investiga qué relación debe eistir entre b y c para que las soluciones de la ecuación + b + c = 0 sean iguales. Basándote en tus investigaciones, escribe una ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones sean 7. Es posible que si b y c son números enteros y b es impar sean las dos soluciones iguales? Para que las soluciones sean iguales, tenemos que: b c = 0 b c = 0 b = c Una posible ecuación con 7 como solución doble es: + 9 = 0. Si b y c son números enteros y b es impar no puede eistir una solución doble, ya que b sería impar y c es par, por lo que las soluciones no serán iguales. 8

27 Ecuaciones de primer y segundo grado 099 Encuentra el error y recuerda que «no es igual a». Diferencia Factor de cuadrados común y = y y = y y = y y ( + y)( y) = y( y) : ( y) Como = y : y + y = y y + y = y y = y = El error está en el paso en el que dividimos los términos entre ( y), ya que y = 0 y, además, no podemos dividir entre Calcula el tiempo que necesitas para resolver este problema si empleas: partes del tiempo total en leerlo partes del tiempo total en plantearlo partes del tiempo total en resolverlo y minuto y medio en comprobarlo 00 =, 00 = = 0 = Se necesitan minutos para resolverlo. EN LA VIDA COTIDIANA 0 La familia Alcubilla quiere construir una piscina en su jardín. Han estado tomando medidas y se han reunido para ponerse de acuerdo sobre sus dimensiones y su ubicación. Debería tener una parte con una profundidad de, m para que podamos tirarnos de cabeza. Sí, pero también necesitamos una zona con poca profundidad, no mayor de medio metro Por las medidas del jardín, el largo de la piscina no puede pasar de 8 m 8

28 SOLUCIONARIO Siguiendo estas indicaciones, Alberto ha dibujado el siguiente croquis de la piscina. El único aspecto que quedaría por determinar sería el ancho de la piscina, que por las características del terreno en el que se construirá no puede ser superior a 9 m. Además, Celia ha encontrado en unos almacenes una oferta interesante de baldosas para cubrir la piscina, pero de cantidad limitada. Tendrán suficientes baldosas para cubrir la piscina? 0 baldosas 0 cm cm OFERTA cajas máimo La superficie que hay que alicatar es el fondo y las cuatro paredes laterales. Longitud del fondo: + = 8 = 8, m. Área del fondo: 9 8, = 7, m., + 0, Área del lateral con forma de trapecio: 8 = m. Área del lateral de la zona más profunda:, 9 =, m. Área del lateral de la zona menos profunda: 0, 9 =, m. Área total: 7, + +, +, =, m. Área que cubren las baldosas: 0 0 = cm = 90 m. Como, m > 90 m, no tendrán suficientes baldosas. 8

29 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 La fórmula para calcular el espacio recorrido por un móvil, S, que parte con una velocidad inicial, v 0, y que lleva una aceleración, a, durante un tiempo t, es: S = v 0 t + a t Cuánto tiempo tarda en recorrer.000 metros una moto que circula a m/s, con una aceleración de, m/s?.000 = t +,t t + 0t.000 = 0 0 ± t = = 0 ±. 00 = t = 0 00 = +. 8, 8 s 0 00 =. =, s Como la medida del tiempo debe ser positiva, tardará 8,8 s. 0 Los vientos han sido tan fuertes que han partido una torre eléctrica de alta tensión situada en el Cerro de los Mochuelos. 8

30 SOLUCIONARIO La torre medía m de altura y se ha quebrado de tal manera que su etremo superior queda apoyado en el suelo, a una distancia de m de la base. Los técnicos de la empresa encargada del mantenimiento dicen que colocarán unos refuerzos que irán desde la base de la torre hasta la zona donde se ha partido. Qué altura deberían tener estos refuerzos? m Se forma un triángulo rectángulo de base m. Cateto: Hipotenusa: ( ) = = + = 78 = Luego la altura de los refuerzos será de m. 8