PROCESOS ESTOCÁSTICOS: S: EL PROCESO DE WIENER

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1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS: S: EL PROCESO DE WIENER Universidad Complutense de Madrid Juan Mascareñas Universidad Complutense de Madrid Versión inicial: marzo Última versión: abril 2013!!!"#$"%&'()*'"+)",-).)&!"#" $"/&'()*'"+)",-).)&"0).)&1$-21+'3"4'5-6-).7'"8&'9.-1.'"('." 7).+).(-1:";! $"#$"('6%'&716-).7'"+)"$'*"%&)(-'*"<=&*>7-$)*:"?" $!@)5-*-A."+)$"6'+)$':"BC" $!4'+)$-21.+'"$'*"*=()*'*"&1&'*:"BC!

2 1. El Proceso de Wiener 1 El proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo que se caracteriza por tener tres propiedades importantes: 1. Es un proceso de Markov. Lo que significa que la distribución de probabilidad de todos los valores futuros del proceso depende únicamente de su valor actual, no siendo afectada por sus valores pasados, ni por ninguna otra información actual. Por tanto, el valor actual del proceso es la única información necesaria para realizar la mejor estimación de su valor futuro. El proceso de Wiener es un tipo de proceso de Markov con una media nula y una varianza anual igual a la unidad!!(0,1) 2. Tiene incrementos independientes. Lo que significa que la distribución de probabilidad de los cambios en el proceso en cualquier intervalo temporal es independiente de la de cualquier otro intervalo. Así pues, si la variable aleatoria z sigue un proceso de Wiener sus variaciones ("z) para cualesquiera dos pequeños intervalos de tiempo ("t) son independientes. 3. Las variaciones en el proceso ("z) producidas en un intervalo finito de tiempo ("t) se distribuyen normalmente, con una varianza que aumenta linealmente con el tamaño del intervalo temporal. Por tanto, "z = # # es una variable aleatoria del tipo![0,1]) (donde El proceso de Markov implica que sólo la información actual es importante a la hora de establecer los valores futuros esperados del proceso. Así, por ejemplo, los precios de las acciones se pueden modelizar como un proceso de Markov desde el momento en que la información pública es incorporada rápidamente en el precio actual del título, lo que implica que la evolución histórica de los precios no tiene ningún interés de cara a predecir su comportamiento futuro (esta es la base de la denominada forma débil de eficiencia del mercado ). El hecho de que un proceso de Wiener tenga incrementos independientes implica que podamos considerarlo como una versión en tiempo continuo de un recorrido aleatorio. A fin de cuentas el proceso de Wiener se obtiene como el límite de la suma de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente; por ello, tiene una distribución normal 2. 1 Según Finnegan (2005): En 1827 el botánico escocés Robert Brown observó a través de un microscopio el movimiento aleatorio de las partículas de polen en el agua. A este fenómeno se le denomina Movimiento Browniano. Cuando en el siglo XX se descubrió que el proceso de Wiener era un instrumento matemático útil no sólo para modelizar el comportamiento de las partículas de polen sino también los movimientos de los precios bursátiles se le denominó Movimiento Browniano Geométrico. De esta manera Movimiento Browniano se utiliza como expresión coloquial que se aplica a cualquier tipo de fenómeno aleatorio. Técnicamente hablando el modelo de recorrido aleatorio de los precios de las acciones se basa en el proceso de Wiener, que es un caso particular de los procesos aleatorios. 2 También se puede aproximar el proceso de Wiener a una martingala continua cuadrado integrable. Según el teorema de Levy, al caracterizarse por ser un proceso continuo, con varianza finita e incrementos impredecibles, éstos se distribuyen normalmente con una media nula y desviación típica " #t. 1

3 Cuando nos referimos a los precios de las acciones no parece razonable suponer que las variaciones en los precios sigan una distribución normal, entre otras cosas, porque el precio nunca podrá ser inferior a cero. Parece más lógico suponer que los cambios en los precios (los rendimientos) siguen una distribución logarítmico-normal o logonormal, es decir, que los cambios en los logaritmos de los precios se distribuyen según una normal. Lo que significa modelizar el logaritmo del precio como un proceso de Wiener en lugar del propio precio. De esta manera el proceso de Wiener se convierte en una pieza básica del rompecabezas que nos va a servir para modelizar un gran número de variables que varían continuamente o estocásticamente a través del tiempo. Vamos a ver las propiedades del proceso de Wiener más formalmente. Si z(t) sigue un proceso de Wiener, entonces cualquier variación en z ("z) correspondiente a un intervalo temporal "t, satisfará las condiciones siguientes: 1. La relación entre "z y "t viene dada por: donde # t es una variable aleatoria normalmente distribuida con una media nula y una desviación típica igual a la unidad. 2. La variable aleatoria # t no está autocorrelacionada, esto es, E[# t # s ] = 0 para t s. De tal manera que los valores de "z para dos diferentes intervalos de tiempo son independientes entre sí (así z(t) sigue un proceso de Markov con incrementos independientes). Ahora vamos a ver qué implican estas dos condiciones con relación a los posibles cambios esperados en el valor de z a lo largo de un intervalo finito de tiempo T. Subdividiremos el intervalo T en n unidades temporales cuya longitud es "t y, por tanto, n = T / "t. Entonces la variación en el valor de z a lo largo de este intervalo viene dada por: (1) z(s + T) z(s) = Como los # i son independientes entre sí, podemos aplicar el Teorema del Límite Central a su suma y decir que la variación z(s + T) z(s) está distribuida normalmente con una media nula y una varianza igual a T (porque la varianza 3 es igual a n "t = T). Obsérvese que la varianza de los cambios en un proceso de Wiener crece linealmente con el horizonte temporal (porque "z depende de y no de "t). Ejemplo: Supongamos que la variable z, que sigue un proceso de Wiener, toma un valor de 20, lo que significa que dentro de un año su valor estará normalmente distribuido con una media de 20 y una desviación típica de 1. 3 La varianza de un producto formado por una variable aleatoria (#$) y una constante ( ) es igual a la varianza de la variable aleatoria (1) por el cuadrado de la constante ("t). Como hay n subperíodos la varianza del período T es igual a n "t que, a su vez, es igual a T. 2

4 Transcurridos cinco años su valor medio esperado seguirá siendo 20 pero su desviación típica será 1 x o 2,236. El proceso de Wiener no es estacionario porque a largo plazo su varianza tenderá a infinito. Si "t tiende a ser infinitamente pequeño ("t! 0), el incremento en el proceso de Wiener, dz, en tiempo continuo es igual a: (2) Como # t tiene una media nula y una desviación típica unitaria, entonces E[dz] será igual a cero y su varianza será % 2 [dz] = 1 x dt = dt. El proceso de Wiener no tiene una derivada convencional con respecto al tiempo: "z/"t = # t ("t) -1/2, que tiende a infinito conforme "t se aproxime a cero 4. Si tuviésemos que trabajar con dos o más procesos de Wiener deberíamos tener en cuenta sus covarianzas. Así, por ejemplo, si tenemos los procesos z 1 (t) y z 2 (t), E(dz 1 dz 2 ) = & 12 dt, donde & 12 es el coeficiente de correlación entre ambos procesos. Debido a que el proceso de Wiener tiene una varianza y una desviación típica iguales a 1 por unidad de tiempo, dicho coeficiente de correlación también será el valor de la covarianza por unidad de tiempo para ambos procesos Proceso de Wiener generalizado: Movimiento Browniano con tendencia Este tipo de proceso de Wiener es la generalización más simple de la ecuación 2: (3) dx = a dt + b dz donde a y b son constantes. Para comprender la ecuación 3 comencemos centrándonos en el componente a dt, que implica que x tiene una tasa de tendencia esperada a por unidad de tiempo. Así que la ecuación 3, sin el segundo sumando, sería dx = a dt! a = dx / dt " x t = x 0 + a t 4 Si! "z/"t = # t "t /"t = # t / "t 5 Si z1(t) y z 2(t) son variables aleatorias, su coeficiente de correlación será igual a & 12 = Cov(z 1, z 2) / (% z1 % z2) y como, en este caso, % z1 = % z2 = 1 entonces & 12 = Cov(z 1, z 2). 3

5 así que si x 0 = 10! y a = 3 el valor esperado de x 5 = x 5 = 25!. Generalizando para t = 1, 2, 3, 4 y 5 tendríamos los valores mostrados en la tabla 1. t x t-1 a x t Tabla 1 Por otro lado, el segundo componente b dz puede contemplarse como el ruido añadido al primer componente, es decir, la variabilidad del sendero seguido por los valores de la variable x. La cantidad de ruido o variabilidad es b veces un proceso de Wiener. Un proceso de este tipo tiene una desviación típica igual a la unidad, por lo que b veces un proceso de Wiener tendrá una desviación típica igual a b. Para un intervalo de tiempo muy pequeño ("t), la variación de x ("x) será igual a: (4) "x = a "t + b # Por tanto "x tiene una distribución normal cuya media es igual a: a "T, una distribución típica igual a: b, y una varianza igual a: b 2 "t. O para un intervalo de longitud T, que esté normalmente distribuido, su media sería igual a: a T, su desviación típica es: b y su varianza b 2 T. En resumen, el proceso de Wiener generalizado mostrado en la ecuación 3 tiene una tendencia por unidad de tiempo de a y una varianza por unidad de tiempo de b 2. En la figura 1 se muestran tres ejemplos de la ecuación 3 con una tendencia anual de a = 0,2 y una desviación típica anual b = 1. El gráfico abarca los años que van desde 1950 al 2000 aunque la simulación se ha realizado con intervalos "t equivalentes a un mes; por eso los parámetros a y b han sido expresados en términos mensuales (0,2/12 y, respectivamente). La ecuación que gobierna la evolución de x(t) es (el valor de x 1950 = 0): (5) x t = x t-1 + a dt + b dz = x t

6 Fig. 1 Ejemplos de proceso de Wiener con tendencia En la ecuación 5, en cada instante del tiempo t, # t viene caracterizado por una distribución normal de media nula y desviación típica igual a 1. La recta inclinada que aparece en la figura 1 es una línea de tendencia que se obtiene aplicando la ecuación 5 con un valor de # t = 0. Fig. 2 Previsión óptima del proceso de Wiener con tendencia En la figura 2 se muestra la misma ecuación 5 pero sólo hasta el final del año 1974, a partir del cual se calcula la previsión óptima de dicho proceso estocástico desde 1975 hasta Dicha previsión se basa en el último valor alcanzado, porque según la propiedad de Markov sólo el valor de x(t) para diciembre de 1974 es nece- 5

7 sario para construir la previsión. El valor previsto de x para T meses más allá de diciembre de 1974 viene dado por la ecuación: Las figura 3a y 3b son similares a la anterior pero en ella se muestra un sólo ejemplo de proceso de Wiener. Se ha calculado la previsión óptima al final de 1974 pero, además, se han incluido dos intervalos de confianza para la trayectoria prevista de x(t) del 68,26% (±1 desviación típica) y del 95% (±1,96 desviaciones típicas). Recuérdese que la varianza de un proceso de Wiener crece linealmente con el horizonte temporal (T), la desviación típica crece con la raíz cuadrada del horizonte temporal ( ). Por tanto, el intervalo de confianza del 68,26% para T meses en el futuro viene dado por: Fig. 3a Previsión óptima del proceso de Wiener con tendencia e intervalos de confianza del 68,26% y del 95% En las figuras 1, 2 y 3 se puede observar como a largo plazo la tendencia es la variable determinante del proceso de Wiener, mientras que a corto plazo lo es la volatilidad del proceso. Lo que proviene del hecho de que la media de la diferencia (x t x o ) es igual a: a t, y la desviación típica es: b ; si t es grande << t, mientras que si es pequeña ocurre lo contrario. Otra forma de ver esto es considerar la probabilidad de que x t < x o cuando a > 0. La probabilidad es muy pequeña para tamaños grandes de t, pero sólo el 50% para valores pequeños. 6

8 Fig. 3b Previsión óptima del proceso de Wiener con tendencia e intervalos de confianza del 68,26% y del 95% Ejemplo. El saldo de tesorería de una empresa, medido en miles de euros, sigue un proceso de Wiener con una tendencia de 20 por año y una varianza de 900 por año. El saldo inicial es de 100. Al final del año el saldo de tesorería tendrá un valor medio esperado de 120 sujeto a una desviación típica de 30. Al final del segundo año el valor medio esperado será de 140 y su desviación típica será de 42,43% (30 2 ). Mientras que al final de los próximos tres meses tendrá un valor esperado de 105 con una desviación típica de 30 = 15. Como se aprecia en el ejemplo y en la figura 4, cuando t es más grande! (un año, dos años) y la tendencia es positiva (a>0), entonces P[x t < x o ] es más pequeña que cuanto t es pequeño (tres meses); a partir del año 3 x t es siempre superior a x 0. Fig.4 Evolución temporal de X t (± 1 desviación típica) 7

9 2.1 El proceso de Ito Es un proceso de Wiener generalizado en el que los parámetros a y b son, a su vez, funciones del valor de la propia variable y del tiempo, es decir, de x y de t. (6) dx =a(x,t) dt + b(x,t) dz De hecho, la tendencia esperada y la varianza del proceso de Ito varían a lo largo del tiempo. Para pequeñas variaciones temporales ("t) el valor de la variable pasa de x a x+"x, donde: "x = a(x,t) "t + b(x,t) # Ejemplo: En la figura 5 se pueden ver tres gráficas generadas por un proceso de Ito. Para ello se ha supuesto que en el instante t: a) El parámetro a es: a t = 0,1 x t-1 (0,1 x t-1 1) Min (t/x t-1 ; 0,5) b) El parámetro b es: (x t-1 /t) 0,1 c) x 0 = 10 d) x t = x t-1 + a dt + b dz (donde dz es del tipo![0,1]) Fig. 5 Proceso de Ito 3. El comportamiento de los precios bursátiles Vamos a modelizar el movimiento de los precios bursátiles de las acciones (sin dividendos). Se supone que los precios siguen un proceso de Wiener generalizado, es decir, que tienen una tendencia y una varianza constantes. Sin embargo, el modelo no contiene un aspecto clave: la tasa de rendimiento mínima exigida por los inversores para un activo cualquiera no depende de su precio. Es decir, si exigen un 8

10 12% anual a una acción cuyo precio es 10! también se lo exigirían, si todo lo demás no varía, si su precio fuese 20!. Por tanto, el supuesto de la tendencia constante debe ser sustituido por la tasa de rendimiento esperada (es decir, la tendencia esperada en valor absoluto dividida por el precio de la acción). Así, si S t es el precio en el momento t, la tendencia esperada para S t debería ser µs t ; donde µ indica la tasa de rendimiento esperada del activo. Por tanto, para un corto intervalo de tiempo ("t), el incremento esperado será µs t "t. Si la volatilidad del precio de la acción fuese cero, entonces el incremento en el valor del precio ("S t ) sería igual a µs t "t; y si "t! 0 entonces: ds = µ S t dt o también ds/s t = µ dt " S T = S 0 e µ T donde S T y S 0 indican el precio de la acción en el momento 0 y en el T. Así, pues, si la varianza es nula el precio de la acción crecerá continuamente a una tasa compuesta µ por unidad de tiempo. En la práctica, la volatilidad no es nula. Un supuesto razonable es que la variabilidad del rendimiento esperado en un corto plazo de tiempo ("t) es la misma sin importar el precio del activo. Dicho de otra manera, desde el punto de vista del inversor, la incertidumbre sobre el rendimiento esperado es la misma tanto si el precio es de 10! como de 20!. Esto implica que la desviación típica de la variación del rendimiento, en un corto plazo de tiempo ("t), debe ser proporcional al precio de la acción. Luego el modelo puede expresarse así: (7) ds = µ S dt + % S dz = S[µ dt + % dz] O también: (8) ds/s = µ dt + % dz Esta última ecuación es habitualmente empleada para modelizar el comportamiento esperado del precio de las acciones. Ejemplo: Un título que no paga dividendos tiene una volatilidad del 30% anual proporcionando una rentabilidad anual esperada del 15%. El comportamiento futuro de su precio viene dado por: ds/s = 0,15 dt + 0,30 dz Si S t es el precio del activo en el instante t y "S es el aumento del precio durante el intervalo "t: 9

11 "S/S = 0,15 "t + 0,30 # Si el intervalo de tiempo fuese de una semana 0,01923 años y el precio en el momento t es de 10!: "S/10 = 0,15 x 0, ,30 # "S = 0, ,04149 # O lo que es lo mismo, el aumento del precio en una semana es una variable aleatoria distribuida según una normal de media 0,0288! y de 0,04149! de desviación típica (véase en la figura 6 tres simulaciones). Fig.6 Tres ejemplos del comportamiento del precio de la acción durante un año Es necesario hacer un pequeño comentario sobre la expresión 8. Como ya se dijo anteriormente µ indica la tasa de rendimiento esperada del activo para el próximo año sin tener en cuenta el pago de dividendos. A esto se le conoce en finanzas corporativas como g, es decir, el rendimiento esperado por ganancias de capital. Éste es igual al producto del ROE 6 por la tasa de retención de beneficios b. Si suponemos que ésta última es constante entonces es el ROE el que es una variable aleatoria. Por tanto, teniendo en cuenta que la varianza del producto de una constante por una variable aleatoria es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable aleatoria, la volatilidad de g medida por su desviación típica será igual a: (9) %(g) = b x %(ROE) # Este producto es la % de la ecuación 8 Ahora imaginemos un nuevo escenario. Deseamos modelizar la tasa de crecimiento de los ingresos de una empresa a lo largo de los próximos diez años. Para ello utili- 6 El ROE, rendimiento sobre fondos propios, es igual a dividir el beneficio después de intereses e impuestos (BN) entre el valor contable medio de los fondos propios a lo largo del último año (E). 10

12 zaremos una tasa de crecimiento que irá decreciendo con respecto al tiempo según la ecuación siguiente: g t = 12 1,5 t + 0,7 t 2 hasta alcanzar un valor igual 1,5 que se mantendrá constante. La racionalidad de que la tasa de crecimiento de los ingresos tienda hacia un valor de crecimiento bajo a largo plazo estriba en que se supone que la competencia se encargará de reducir dicha tasa de crecimiento hasta un valor de equilibrio que será menor que la tasa media de crecimiento del PIB hasta el infinito. En nuestro ejemplo, el valor de g tiene una desviación típica anual del 30%. La ecuación que modeliza la tasa de crecimiento es: (10) "I/I = g t = Max (12 1,5 t + 0,7 t 2 ; 1,5) "t + 0,30 # Otra forma de modelizar lo anterior es a través de un modelo de reversión a la media 7 en la que ésta tome como base la ecuación de g t vista en el párrafo anterior, es decir, la media va descendiendo de valor según la ecuación mencionada: (11) "I/I = g t = Max [I t-1 b x (I t-1 (12 1,5 t + 0,7 t 2 )) ; 1,5] "t + 0,30 # donde b es la velocidad del ajuste (aquí b = 0,5), e I t-1 es el valor de los ingresos del período anterior (I 0 = 12) En la figura 7 se ve una simulación de ambas ecuaciones (la 10 es la línea azul y la 11 es la roja). Ambas ecuaciones coinciden si la velocidad del ajuste toma un valor de b = 1. Fig. 7 La ecuación (11) modeliza la línea roja (la superior) mientras que la inferior azul- es el resultado de la ecuación (10). 7 Véase Mascareñas, Juan (2013): Procesos estocásticos: Introducción. Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas nº

13 4. Revisión del modelo Al modelo mostrado en el epígrafe anterior se le denomina, a veces, movimiento browniano geométrico. Su versión en tiempo discreto es: (12) "S/S = µ "t + % # o, también (13) "S = µ S "t + % S # dónde la variable "S indica la variación en el precio del activo (S) en un intervalo de tiempo ("t) y # es una variable aleatoria que se distribuye según una normal (0,1). La tasa de rendimiento esperada por unidad de tiempo del activo es µ y la volatilidad del activo viene representada por %. Se supone que estos dos últimos parámetros son constantes. El lado izquierdo de la ecuación 12 muestra el rendimiento proporcionado por el activo en un corto intervalo temporal ("t). El término µ "t indica el valor esperado de este rendimiento, y el término % # es el componente estocástico de dicho rendimiento. La varianza del componente estocástico (y, por ende, del rendimiento) es % 2 "t; y, por tanto, % es la desviación típica del rendimiento en un corto plazo de tiempo ("t). En conclusión, "S/S está normalmente distribuida con una media µ "t y una desviación típica % : (14) "S/S!!(µ "t ; % ) 5. Modelizando los sucesos raros. El proceso de Wiener es un proceso estocástico continuo que no puede reflejar comportamientos raros porque éstos implican una discontinuidad y no dependen del tamaño de intervalo temporal tomado como base. Los sucesos normales se caracterizan porque siguen un proceso estocástico continuo de tal manera que cuanto más se reduzca el valor del mínimo intervalo temporal (t) más se reducirá el tamaño de dichos sucesos 8 (!S); así, en un mes podemos ver muchos cambios normales, en un día veremos menos cambios y un segundo 8 %&'"()*+,-.!"/+0"1,.*+*&/&2+2(0"2(".34,,('3&+"2("/.0"1.0&*/(0"5+/.,(0"2("/.0"043(0.0"0(")+'6('2,7'"3.'06+'6(0" 1.,84("'."2(1('2('"2(/"6+)+9."2("6: 12

14 muchísimos menos. Por tanto, si t! 0 el "S! 0. El proceso de Wiener, como hemos visto, es la herramienta que nos permite modelizar este tipo de procesos. Los sucesos raros son diferentes porque ocurren de forma muy poco frecuente luego siguen un proceso discontinuo o a saltos -. Por supuesto, si se reduce el intervalo temporal de observación (t), la probabilidad de ocurrencia del suceso raro se reducirá pero su tamaño no variará. Es decir, en un segundo se puede producir un salto del mismo tamaño que el observado en un periodo de un mes; lo que sí varía es la probabilidad de ocurrencia porque, en un mes se podrán producir muchos más saltos que en un segundo. Para modelizar estos procesos se utiliza el proceso de Poisson. Si necesitamos modelizar un proceso estocástico continuo que adolece de tener esporádicas discontinuidades ( saltos ) necesitamos combinar ambos procesos. El proceso de Wiener ya lo conocemos así que vamos a ver las características del de Poisson. 5.1 El proceso de Poisson Imagine que N t indica el número de saltos que pueden ocurrir en un proceso aleatorio de manera imprevista hasta el momento t. Los incrementos de N t pueden tomar sólo dos posibles valores: a) 0, es decir, no hay salto y este valor tiene una gran probabilidad de ocurrencia, y b) 1, es decir, hay un salto pero su probabilidad de ocurrencia es muy pequeña. Si tomamos un intervalo temporal infinitesimal (dt) la variación N t que se produce en él (dn t ) tendrá las siguientes características: 1 con probabilidad 'dt 0 con probabilidad 1- 'dt donde ' es la tasa de ocurrencia de los saltos en el periodo dt. El proceso de Poisson tiene las siguientes propiedades: a) Durante un pequeño intervalo de tiempo (!t), en el mejor de los casos puede ocurrir un suceso con probabilidad cercana a 1. b) La información existente en el momento t no sirve para predecir si se va a producir un suceso en el siguiente instante (t+!t) c) Los sucesos ocurren a una tasa constante '. Sin embargo, para poder utilizarlo en la modelización de discontinuidades necesitamos realizarle dos modificaciones. La primera es que ' pueda variar a lo largo del tiempo y la segunda es que los incrementos de N t deben tener una media nula, lo que no ocurre en el proceso de Poisson. 13

15 La ecuación diferencial estocástica que modeliza este proceso que combina sucesos normales y raros quedará de la siguiente forma: (15) ds t = µ S dt + % 1 S dz + % 2 S dj ds t /S = µ dt + % 1 dz + % 2 dj donde µ dt es la tendencia o deriva del proceso (por ejemplo, el rendimiento medio esperado por unidad de tiempo); % 1 dz indica la variación estocástica de dicha tendencia que es proporcional al tiempo (recuerde dz = #, donde # se distribuye según una normal"(0,1)); y, % 2 dj modeliza los impredecibles saltos del proceso (J t = N t 't ; de tal manera que dj tendrá una media nula y, además, será impredecible). Por otra parte, dz y dj son estadísticamente independientes entre sí en cada instante t, de tal manera que conforme los intervalos temporales sean más pequeños, el tamaño de los sucesos normales se reduce mientras se mantiene el de los raros (por eso su correlación debe ser nula). En la figura 8 se muestra un ejemplo de los dos procesos trabajando conjuntamente. Se puede apreciar el comportamiento continuo y aleatorio del proceso de Wiener y los saltos del proceso de Poisson. En el ejemplo se ha modelizado el comportamiento diario del precio de una acción a lo largo de un año. El precio inicial es 15 euros, el rendimiento anual esperado es el 10% sujeto a una desviación típica del 30% anual, mientras que el tamaño del salto se ha fijado en el 20% con una desviación típica del 20% y una tasa de ocurrencia por periodo (') del 1%. ;&-4,+"<:"=.)1.,6+)&('6."2&+,&."2(/"1,(3&."2("4'+"+33&>'").2(/&?+2.")(2&+'6("4'+"3.)*&'+3&>'"2(/"/.0" 1,.3(0."2("@&('(,"A"B.&00.'" 14

16 Bibliografía CHANCE, Don (2005): A Non-Technical Introduction To Brownian Motion. Financial Engineering News. Mar-abril nº teach_notes/teaching-notes.html DIXIT, Avinash y PINDYCK, Robert (1994): Investment under Uncertainty. Princeton University Press. Princeton (NJ). Pp.: FINNEGAN, Jim (2005): Geometric Brownian Motion: Using Excel to Understand the Math Behind the Random Walk of Stock Prices. Financial Engineering News. Mar-abril nº back_to_basics.htm HULL, John (2000): Options, Futures, & Other Derivatives. Prentice Hall. Englewood Cliffs (NJ) (4ª ed.) NEFTCI, Salih (1996): An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. Academic Press. San Diego. California. 15