Momento Magnético de

Transcripción

1 Momento Magnético de un Imán Ley de Faraday y Momento de torsión Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Asignatura: Laboratorio Avanzado II Walter Josué Fuentes Cuéllar Walter Josué Fuentes Cuéllar 1

2 Resumen En el siguiente trabajo se presenta el cálculo del momento magnético de un imán, haciendolo mediante dos métodos diferentes. Un sistema de tres bobinas donde se mide la fem inducida producida por el movimiento del imán a través de ellas (m = (4,87 ± 0,04) 10 3 A m 2 y con el cual podemos comprobar la ley de inducción de Faraday; comparamos con el resultado determinado si contamos con las oscilaciones que efectua un imán cuando intenta estabilizarse al estar inmerso en un campo magnético uniforme (bobina de Helmholtz), el cual se llevo a cabo elaborando una regresión lineal del cuadrado de la frecuencia angular del imán vrs.el cociente de la magnitud del campo magnético entre el momento de inercia del imán, obteniendo m = (3,94 ± 0,60) 10 3 A m 2, llevandonos a concluir que el método de la ley de inducción es más preciso para generar este dato, y conlleva a la comprobación de la ley de Faraday. I. Introducción Una de las expresiones que conforman las ecuaciones de Maxwell esta detallada mediante la le y de inducción de Faraday, la cual describe el fenómeno que ocurre cuando un campo magnético varia con el tiempo generando un campo eléctrico. Pueden existir otras factores u otras formas en las que podemos describir dicho proceso; experimentalmente podemos considerar la fem inducida a través del movimiento de imán pasando por una bobina. Con ello comprobariamos la ley de inducción, pero nuestro trabajo consiste no precisamente en corrobar en la práctica que esto es cierto, si no utlizar dicho análisis para conocer una propiedad inherente al imán, como lo es su momento magnético. Registrando datos de fem inducida en cierto tiempo y haciendo las cosnideraciones físicas necesarias podemos hacer el cálculo de dicho valor; pero se plantea un método alternativo para verificar que los resultados obtenidos sean ciertos, esto se hará mediante el estudio del momento de torsión que sufre el imán al estar sometido a un campo magnético uniforme. Nuestro problema es claro, lo que queremos determinar es el valor de esta característica del imán, y pues comparando resultados de ambos métodos, veremos que se cumple la ley de inducción de Faraday. II. Objetivos Determinar el momento magnético de un imán, mediante la aplicación de la ley de Faraday y considerando el momento de torsión. 1 Esto es consecuencia del principio de conservación de la energía. Comprobar experimentalmente la ley de Faraday, detectando la fem inducida al atravesar un imán por una bobina. III. Marco Teórico Ley de Faraday de la inducción establece: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambiodel flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo. [1] ε ind = dφ dt (1) Con respecto al signo o dirección de esta corriente inducida, aplicamos la ley de Lenz 1 : La dirección de cualquier efecto de la inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto. [1] Para nuestro trabajo usaremos dos formas de calcular el momento magnético del imán. I. Usando la ley de Faraday Campo magnético del imán Consideramos que el imán es pequeño con respecto a las dimensiones de la bobina; hacemos una aproximación de multipolos magnéticos, orientando el momento dipolar m a lo largo del eje[2]: Walter Josué Fuentes Cuéllar 2

3 Según la ley de Faraday tenemos que: ε ind = dφ dt = dφ dz dz dt = dφ dz v ε ind = 3µ 0mNa 2 2 zv (a 2 + z 2 ) 5 2 (7) A dip ( r) = µ 0 m r 4π r 2 (2) Tenemos que m = I a, donde a es el vector de área e I es la corriente. B = µ 0m 4πr 3 (2 cos θˆr + sin θˆθ) (3) Para calcular el flujo magnético consideramos el imán en el origen, y consideramos la superficie limitada por la bobina (esfera). ( µ0 m ) B d a = 4πr 3 2 cos θ r 2 sin θdθdφ Φ = B d a = π 2π 0 0 Φ = µ θ0 0m 4πr 2(2π) cos θ sin θ dθ 0 Φ = µ 0m 4πr (2)(2π) ( µ0 m 4πr 3 2 cos θ ) r 2 sin θ dθ dφ ( ) sin θ Φ = µ 0m 2r sin2 θ 0 (4) Esta expresión es para una espira, considerando las N espiras: Φ = µ 0mN 2r sin 2 θ 0 (5) Tenemos que r = (a 2 + z 2 ) 1 2, y sin θ 0 = a r Φ = µ 0mN 2r a 2 (a 2 + z 2 ) 1 2 (6) donde v es la velocidad con la que pasa el imán por la bobina. Experimentalmente podemos determinar la velocidad con la que viaja el imán y haciendo uso de una interfase conectada a un computador tener el registro para los valores de corriente inducida en términos de fem (Voltios). Si usamos el criterio de la primera derivada, y encontramos los valores máximos para la fem inducida tenemos: ε ind,max = ± 24µ 0mNv (5) 5 2 a 2 (8) Entonces para calcular el momento magnético usaremos la expresión: m = ε ind,max(5) 5 2 a 2 24µ 0 Nv (9) Del gráfico generado podemos obtener el valor de la velocidad considerando un montaje de tres bobinas conectadas en serie, la cual estará conectada a la interfase. Walter Josué Fuentes Cuéllar 3

4 análisis se considera que: t 1 = τ 2 τ 1 (13) t 2 = τ 3 τ 1 (14) Con las ecuaciones (11)-(14) generamos un sistema de ecuaciones con las cuales obtenemos el valor de v 0 y de a. Ahora estamos listos para calcular el valor de v: v = v 0 + at (15) Donde usaremos el tiempo en la bobina 3 (τ 3 ), debido a que podemos aproximar una velocidad terminal constante. Para calcular la velocidad: Consideramos una aceleración constante (diferente al valor de la gravedad), tenemos una expresión: y = y 0 + v 0 t at2 (10) Asumimos un t 0 en la primera bobina, en la siguientes t 1 y t 2, respectivamente. Con lo cual tendremos dos expresiones con respecto a la posición: y 1 = v 0 t at2 1 (11) y 2 = v 0 t at2 2 (12) Donde y 1 es la distancia de la primera bobina a la segunda y y 2 es la distancia de la primera a la tercera bobina. Las lecturas de los tiempos corresponderán a los tiempos que trasncurren entre cada bobina, pero los datos seran tomados del gráfico que se genera con el computador, debido a que esté comienza a contar el tiempo a partir de que se suelta el imán y luego comienza el registro. Para esto asignamos que t 0 = 0, y los datos de tiempo obtenidos son τ 1, τ 2 y τ 3 corresponde al tiempo en que el imán pasa por cada bobina, pero para nuestro II. Usando el momento de torsión magnética Cuando un dipolo magnético m se coloca en una región donde existe una inducción magnética uniforme, se observa que el dipolo comienza a oscilar debido al momento de torsión magnética. τ = m B Si colocamos un imán cílindrico dentro de un campo uniforme, podemos analizar el movimiento oscilatorio que este sufre. Στ = Iα mb sin θ = I d2 θ dt 2 Consideramos que el ángulo es pequeño. mbθ = I d2 θ dt 2 d 2 θ dt 2 = mb I θ (16) Resolviendo la ecuación diferencial, la cual corresponde a la del oscilador armónico simple tenemos: θ = θ 0 cos(ωt + φ) Donde: mb ω = (17) I Para un cílindro el momento de inercia con respecto al eje que pasa en su centro es: I = 1 12 ML2 Walter Josué Fuentes Cuéllar 4

5 V. Procedimiento Experimental y la inducción magnetica será: B = B th + 8µ 0Ni a (18) Si variamos la corriente y medimos la frecuencia de las oscilaciones, podemos obtener el valor de m, haciendo una regresión lineal; para nuestro caso y = ω 2, y x = B I, donde el valor del momento magnético corresponderá a la pendiente de dicho gráfico. IV. Equipo y materiales Imán de neodimio Bobina de Helmholtz Multímetro Cables conductores Hilo Balanza Pie de rey Fuente de corriente DC Interfase Programa analizador de videos, Tracker Brújula Resistor Variable Capacitor variable Cinta metrica Parte I. Usando la ley de Faraday Para esta parte de la experiencia hacemos uso de un sistema de tres bobina conectadas en serie en un tubo e igualmente espaciadas; dicho sistema presenta dos puntas que permiten conectar la interfase y está a su vez se conectara al computador donde se registraran los datos obtenidos. Colocamos el sistema de bobinas en la pared, tratando de ponerlo lo más perpendicular posible para evitar que el imán pegue con las paredes del tubo. También se debe tener el cuidado que la zona de trabajo este libre de cable y conexiones para evitar la influencia de ruidos en las señales reportadas. Los elementos dentro del circuito estan en serie, y agregamos un capacitor variable para filtrar las señales que pasen por la interfase y se registren en el computador; ya con todo el montaje listo, dejamos caer el imán a través del tubo, previamente activando la lectura del programa. Es necesario tener algo debajo del tubo para retener la caida del imán y cuidar que no se dañe. Generamos el gráfico y analizamos nuestros resultados, de este lo que tomaremos en cuenta son los tiempos que le toman al imán pasan por las bobinas y el valor de los picos para la fem inducida. Aplicamos el sistema de ecuaciones planteados en el marco teórico y usando la ecuación (9) obtenemos el valor del momento magnético del imán. Parte II. Usando el momento de Torsión Usaremos la bobina de Helmholtz para registrar datos debido a que con ella podemos asegurar un campo magnético uniforme dentro de la bobina. Ponemos una brújula dentro de la bobina y alineamos la orietanción del campo producido por la bobina con la componente horizontal del campo magnético de la Tierra. Amarramos el imán con un hilo por la Walter Josué Fuentes Cuéllar 5

6 mitad y lo colocamos de forma que cuelgue en el centro de la bobina, sin aplicar ninguna corriente sobre las espiras veremos que este oscila debido al campo magnético terrestre. La conexión del circuito es en serie, conenctado la fuente de voltaje con la resistencia variable y esté a la bobina; por otro lado, se conecta el multímetro a la bobina y la otra punta se conecta a la fuente cerrando el circuito. Si empezamos a variar la corriente usando 0,200A para empezar veremos como el imán oscila, para calcular el valor del momento necesitamos conocer la frecuencia con la que oscila y el campo magnético que se esta aplicando para hacerlo rotar. La magnitud del campo la podemos calcular usando la expresión (18). Para la frecuencia debemos considerar que la oscilación la haga con ángulos pequeños, se usará el programa para analizar el vídeo (Tracker), por ello registraremos videos de dichos movimientos y con esto generaremos el tiempo de cada oscilación y con la aplicación de conceptos de movimiento ondulatorio obtenremos la frecuencia angular. El modelo lineal se usará conlleva el término del momento de inercia, para esto debemos de medir la masa del imán y la longitud que posee. Se tomarán 10 mediciones de estas magnitudes. Tabulando los resultados estamos listos para generar el valor del momento magnético del imán, como resultado de la regresión lineal donde la pendiente de dicho ajuste corresposnde a nuestra incognita. VI. Parte I Hojas de Datos Cuadro 1: Tabla Resultados obtenidos mediante la interfase τ 1 (s) τ 2 (s) τ 3 (s) ε ind,max (V ) N 500 vueltas y 1 (cm) 50,00 ± 0,05 y 2 (cm) 100,00 ± 0,05 a(m) 0.01 µ 0 4π 10 7 Parte II Cuadro 2: Tabla Resultados obtenidos mediante uso de la bobina de Helmholtz I(Kg m 2 ) (4,2 ± 0,1) 10 8 N 22 Vueltas a(m) (0,1445 ± 0,0005) Cuadro 3: Tabla N T (s) f(hz) ω(rad/s) B (10 5 )(T) Cuadro 4: Datos de la Regresión Lineal N B/I ω Walter Josué Fuentes Cuéllar 6

7 VII. Procesamiento de datos experimentales Parte I Introduciendo las ecuaciones (13) y (14) en las ecuaciones (11) y (12), respectivamente, tenemos un sistema de ecuaciones donde haciendo uso del programa Mathematica obtenemos los valores de la velocidad inicial y la aceleración. Siendo los resultados: Parte II Se tomaron videos para registrar los tiempos de oscilación del imán, y se tabularon los resultados obtenidos mediante el Tracker, considerando el tiempo de 10 oscilaciones. Al utilizar la expresión (17) podemos hacer una regresión lineal con la cual obtuvimos lo siguiente: v 0 = 1,98876m/s a = 7,80617m/s 2 Con dichos valores obtenemos una expresión para calcular la velocidad en tiempos siguientes: v(t) = 1, ,800617t Donde al evaluar el valor del tiempo al que imán pasa por la tercera bobina, obtenemos el valor de la velocidad terminal, que usamos para hacer el cálculo del momento magnético. Dicho valor es v(τ 3 ) = 16,026. Evaluando los valores obtenidos y tabulados en la ecuación (9), obtenemos el valor de: m = (4,87 ± 0,04) 10 3 A m 2 (19) Se hicieron varias pruebas para ello: Obteniendo un valor para el momento magnético de: m = (3,94 ± 0,60) 10 3 A m 2 (20) VIII. Discusión de Resultados Parte del porblema del montaje al trabajar con el sistema de las tres bobinas es debido al movimiento del imán a través del tubo, tratando de que no golpee las paredes y se manifieste pérdidas por fricción; con esto se debe procurar que el sistema de las bobinas este lo más perpendicular posible. Como hacemos mediciones directas de longitud entre bobinas y el radio de las mismas, introducimos error al generar el dato numérico del momento magnético del imán. Walter Josué Fuentes Cuéllar 7

8 Cada uno de los montajes tuvo diferentes dificultades, pero analizando la precisión mediante la incertidumbre porcentual de cada uno de ellos, vemos que hacer el cálculo mediante la inducción sobre el sistema de tres bobinas obtenemos mejores resultados (0,82 %), a diferencia de tratar con el momento de torsión (15,28 %). Estos resultados pueden ser debido a que en el montaje de la bobina de Helmholtz es necesario asegurar que el campo magnético generado sea uniforme, que el imán se encuentre al centro de la bobina, poder alinearlo con el campo magnético de la tierra, que sus oscilaciones las efectue barriendo un ángulo pequeño; incluso es importante que el área de trabajo este libre de conexiones, de elementos metálicos que presenten alguna interacción con el imán, ya que esto contribuye a su movimiento y a la tendencia que presenta este elemento a orientarse y alcanzar su estabilidad. En el sistema de las tres bobinas contribuye el hecho de la cantidad de datos por segundo que puede tomar la interfase, con esto podemos generar un resultado más preciso; y en este montaje se reducen los posibles errores durante la toma de datos, por lo ya antes mencionado. Es interesante ver como la forma con la que se suelta el imán muetsra una diferencia en el orden de los picos del gráfico de fem inducida con respecto al tiempo, en la imagen () sesolto el imán con uno de sus polos hacia abajo, y luego se intercambio. Vemos como los picos salen contrarios. IX. Conclusiones Nuestro trabajo fue encontrar el momento magnético de un imán, y se logró hacerlo. Se compararon dos métodos para la obtención de esta característica del imán y vemos que trabajar mediante la ley de inducción de Faraday en un sistema de tres bobinas midiendo la fem inducida presenta mejores resultados que si se considera un imán dentro de un campo magnético uniforme alineandose hasta llegar a la estabilidad. Si tomamos medidas con la bobina de Helmholtz pudiesemos hacer el cálculo del momento magnético con buena precisión, pero necesitamos hacer un buen registro de los datos cuando éste oscila y alejarlo de cualquier influencia del medio donde se realice. Debido a esto se recomienda que el sistema de la tres bobinas es una mejor alternativa para medir dicha cantidad, aun cuando se asume que la aceleración es constante; y como lo planteamos al inicio del experimento generando nuestro resultado y comparando que andan por el mismo orden, podemos comprobar la ley de inducción de Faraday, validada por nuestro experimento. X. Referencias 1. Young, H. & Freedman, R. (2009) Física Universitaria con física moderna (Vol. 2) (12. a ed.). México: Pearson Educación. 2. Griffiths, D. & College, R. (1999) Introduction to Electrodynamics (3. a ed.). New Jersey: Prentice Hall. 3. Serway,R. & Jewett,J. (2008) Física para ciencias e ingeniería (Vol. 2) (7. a ed.). Distrito Federal: Cengage Learning Editores. 4. Wangsness, R. (1989) Campos Electromagnéticos. México: Impresiones Editoriales, S.A. 5. Kingman, R. & Clark S. (2001) An experimental observation of Faraday s law of induction Am. J. Phys. 70(6), XI. Anexos Walter Josué Fuentes Cuéllar 8

9 Momento Magn etico de un Im an Walter Josu e Fuentes Cu ellar 9