Geometría Proyectiva. Héctor Navarro

Transcripción

1 Geometría Proyectiva Héctor Navarro

2 Geometría Proyectiva Es el estudio de propiedades geométricas que son invariantes bajo transformaciones proyectivas

3 Plano proyectivo Si consideramos en el modelo de proyección dos líneas paralelas, estas se encuentran en un punto

4 Plano proyectivo Si consideramos otra recta paralela a las anteriores, las tres rectas se encuentran en el mismo punto

5 Plano proyectivo Para cada familia de rectas paralelas en el plano, se añade un nuevo punto La relación de paralelismo entre rectas es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) Esta relación divide el conjunto de todas las rectas en el plano en clases de equivalencia mutuamente excluyentes

6 Espacio proyectivo La idea anterior puede extenderse a tres dimensiones Dos rectas paralelas tienen el mismo punto ideal asociado Dos planos paralelos comparten una misma línea ideal Si tomamos la línea ideal de cada clase de equivalencia y agrupamos todas estas líneas ideales, obtenemos un plano ideal asociado al espacio euclideano R 3

7 Proyección paralela (u ortográfica) En las proyecciones paralelas las líneas paralelas en el espacio siguen siendo paralelas en el plano de proyección Una proyección paralela corresponde a una proyección perspectiva en donde la cámara está situada a distancia infinita del plano de proyección Bajo proyecciones paralelas, dos objetos del mismo tamaño a distintas distancias tienen proyecciones del mismo tamaño

8 Proyección paralela

9 Transformaciones en espacio de mundo Antes de proyectar los objetos, bien sea en perspectiva o paralela, estos suelen transformarse así como se hacía con los objetos 2D. Para esto se aplican transformaciones de rotación, escalamiento y traslación, las cuáles se representan mediante matrices de 4x4 (usando coordenadas homogéneas)

10 El proceso de visualización 3D es inherentemente más difícil que el proceso de visualización 2D ya que implica mostrar objetos en 3D en un dispositivo 2D Para esto se utiliza la proyección del mundo 3D a visualizar sobre un plano 2D

11 Proyección del objeto sobre el plano Objeto 3D (coordenadas de mundo) Plano de Proyección Π

12 En este caso el ojo (cámara) puede estar en cualquier posición del mundo 3D, y puede estar viendo en cualquier dirección. El plano de proyección puede igualmente estar en cualquier posición del mundo 3D

13 Otra forma de ver el proceso de visualización 3D es el siguiente: y Pirámide de Visualización truncada (View Frustum) z x Ojo (0, 0, 0)

14 Plano lejano (far) y Plano cercano (near) Ojo (0, 0, 0) x z Dirección de visualización (0, 0, -1)

15 Los objetos fuera de la pirámide de visualización son descartados (no son dibujados) Plano lejano (far) y Plano cercano (near) Ojo (0, 0, 0) x z Dirección de visualización (0, 0, -1)

16 El plano cercano tiene los límites que se muestran: Plano lejano (far) t (top) l (left) r (right) y b (bottom) Ojo (0, 0, 0) x z Dirección de visualización (0, 0, -1)

17 El plano cercano tiene los límites que se muestran: Plano lejano (far) (l,t,-n) y (l,b,-n) (r,t,-n) (r,b,-n) Ojo (0, 0, 0) x z Dirección de visualización (0, 0, -1)

18 Veamos la pirámide de visualización desde arriba (plano XZ) p(x,y,z) Z X Cuáles serán las coordenadas del punto p proyectado sobre el plano near?

19 Veamos la pirámide de visualización desde arriba (plano XZ) (0,0,0) p (x, y, z ) p(x,y,z) Z X Cuáles serán las coordenadas del punto p proyectado sobre el plano near?

20 Como p está sobre el plano near, su coordenada z debe ser n (z =-n) Por triángulos semejantes podemos ver que: (0,0,0)

21 Como p está sobre el plano near, su coordenada z debe ser n (z =-n) Por triángulos semejantes podemos ver que: a b = c d a c b d

22 Es decir: z n = x x Luego: x = nx z De forma análoga puede verse que: z n = y y Luego: y = ny z

23 Llegamos entonces a: (x, y, z ) = (-n x/z, -n y/z, -n) Así como en 2D se usaban coordenadas homogéneas para representar las traslaciones como multiplicación de matrices, en 3D haremos lo mismo Así, a cada punto 3D que deseemos proyectar debemos agregarle una cuarta coordenada h=1 Quisiéramos entonces poder representar la proyección de un punto en coordenadas de mundo al plano de proyección como una matriz M 4x4

24 Esta matriz de proyección tiene la forma: m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 Cada punto p (x,y,z,h) será proyectado multiplicando: x c y c z c h c = m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 x y z h

25 En este punto repasaremos los tipos de coordenadas: Coordenadas de mundo (x,y,z,h) son las coordenadas de los objetos en el espacio 3D Coordenadas de proyección (x, y, z, h ) son las coordenadas proyectadas sobre el plano Near. También llamadas coordenadas de recorte (clip) (x c, y c, z c, h c ) Coordenadas normalizadas (x n, y n, z n ) ya no están en coordenadas homogéneas. Los valores de cada coordenada están entre -1 y 1 para puntos dentro de la pirámide de visualización

26 Quisiéramos además que los valores al ser proyectados estén entre -1 y 1 (si están dentro de la pirámide de visualización), es decir debemos mapear el rango (l, r) a (-1, 1) y (b, t) a (-1, 1) Los valores x n, y n, z n deben estar entonces en el rango (-1, 1) siempre que el punto original estaba dentro de la pirámide de visualización

27 Como dijimos anteriormente, deseamos mapear el rango (l, r) al rango (-1, 1). Gráficamente esto puede verse como la recta siguiente: x n (r, 1) x (l, -1)

28 La recta tiene ecuación y=mx+b, o en este caso: x n = (1-(-1))/(r-l)x + b x n = 2 r l x +b x n (r, 1) x (l, -1)

29 De aquí, podemos reemplazar (x, x n ) por (r, 1) para obtener el valor de b: 1= 2 r l r+b b=1 2 r l r b= r l r l 2r r l b= r l r l b= r+l r l

30 Luego, reemplazando b: x n = 2x r l r+l r l Análogamente para y: y n = 2y t b t+b t b

31 Recordemos que: x = nx z y y = ny z Visualización 3D Reemplazando esta ecuación de x en la ecuación anterior: x n = 2x r l r+l r l = 2 nx z r l r+l r l

32 Desarrollando esta ecuación:

33 Análogamente para y: Visualización 3D De aquí podemos obtener algunos valores de la matriz de proyección (visualización): 2n r l r+l 0 r l 0 2n t+b 0 t b t b 0 m 31 m 32 m 33 m Esto hará que h c =-z

34 Nos falta únicamente obtener los valores para m 31, m 32, m 33 y m 34 Recordemos que: x c y c z c h c = Luego, z n = (x m 31 + y m 32 + z m 33 + h m 34 )/-z No tiene sentido que el valor de z n dependa de x o y, por lo que m 31 = m 32 = 0, y obtenemos: z n = (z m 33 + h m 34 )/-z Además h = 1 en coordenadas de mundo z n = (z m 33 + m 34 )/-z m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 Ahora bien, el valor de z n también debe estar normalizado entre -1 y 1 En particular, cuando z=-n, z n =-1 y cuando z=-f, z n =1 x y z h

35 De aquí: 1= nm 33+m 34 n 1= fm 33+m 34 f Luego: m 34 =nm 33 n m 34 =fm 33 +f Igualando: nm 33 n=fm 33 +f m 33 (f n)= (f+n) m 33 = f+n f n Calculamosahoram 34 : m 34 =nm 33 n= n f+n f n n= nf+n f n nf n f n = nf n2 nf+n 2 f n = 2nf f n

36 Luego, la matriz de proyección será: 2n r l 0 2n t b r+l 0 r l 0 t+b t b f+n f n 2nf f n Recordemos que a cada punto es necesario aplicarle esta matriz para obtener coordenadas de recorte. Estas coordenadas de recorte están en coordenadas homogéneas, y deben normalizarse dividiendo por la cuarta componente: x n y n z n = x c h c y c h c z c h c

37 Pero qué pasa si deseamos mover la cámara? Si deseamos mirar hacia arriba, o simplemente movernos hacia delante? Movernos una unidad hacia delante es equivalente a mover todo el mundo una unidad hacia atrás Mirar 15 grados hacia arriba es equivalente a rotar el mundo 15 grados hacia abajo

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43 Una vez que tenemos las coordenadas normalizadas, estas deben mapearse a la ventana que tiene dimensiones w, h Recordemos que las coordenadas normalizadas están entre -1 y 1 Cómo debe hacerse esta transformación?

44 Matrices de modelado Antes de tener los objetos en coordenadas de mundo, a estos se les suelen aplicar operaciones de traslación, escalamiento y rotación para ubicarlos en su posición dentro del mundo Cuando se construyen los objetos estos suelen estar centrados alrededor del punto (0, 0, 0) y pueden tener distintas escalas. Por esto es necesario aplicar estas transformaciones

45 Matrices de modelado Las coordenadas en que se encuentran los objetos apenas son cargados de conocen como coordenadas de objeto, que luego son transformadas a coordenadas de mundo

46 Matrices de modelado De esta forma, si un objeto se repite varias veces, no es necesario tener varias copias del objeto, sino que se tiene una sola copia y se le aplica distintas transformaciones Por ejemplo, las ruedas de un carro, o sillas dentro de una sala Los personajes que se mueven dentro del mundo virtual no cambian su geometría, sino que cambian las transformaciones que se le aplican

47 Objeto 3D (coordenadas de objeto) Objeto 3D (coordenadas de mundo) Objeto 3D proyectado (coordenadas de recorte) Objeto 2D normalizado (coordenadas normalizadas) Objeto 2D en la ventana (coordenadas de dispositivo)

48 en OpenGL OpenGL maneja por separado la matriz de proyección y la matriz de modelado Provee funciones para cargar directamente una matriz de proyección o modelado Otras funciones de alto nivel permiten especificar el frustum glfrustum(l,r,b,t,n,f), la perspectiva gluperspective(fovy, aspect, n, f)

49 en OpenGL fovy es Field of View, es el ángulo entre los planos top y bottom Aspect es el radio aspecto del frustum, esto es, la relación entre el ancho y el alto top Z Y fov alto near far bottom ancho

50 en OpenGL OpenGL provee también otra función muy útil llamada glulookat para controlar la cámara: glulookat(x, y, z, cx, cy, cz, ux, uy, uz) x,y,z especifica la posición de la cámara cx, cy, cz especifica hacia donde está viendo la cámara ux, uy, uz es un vector que especifica hacia donde está el vector up (arriba) de la cámara

51 en OpenGL Otras funciones útiles de OpenGL para trabajar con la cámara son: glmatrixmode(t) glloadidentity() glrotatef(angle, x, y, z) gltranslatef(tx, ty, tz) glscalef(sx, sy, sz)

52 Resumen (o que hay que hacerle a cada vértice) Cada vértice v es extendido a coordenadas homogéneas añadiéndole una 4ta coordenada con valor h=1 Este punto v ahora es multiplicado por la matriz de modelado (coordenadas de mundo) El punto ahora es multiplicado por la matriz de proyección (coodenadas de recorte) El punto es normalizado dividiendo las tres primeras componentes entre la 4ta componente (división perspectiva) Se obtiene como resultado un punto (s x, s y, d z ) s x, s y son llevados a coordendas de dispositivo para poder dibujarse, y d z se utiliza como medida de la distancia del punto original al ojo