Introducción a los Cuaterniones

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1 Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica Introducción a los Cuaterniones Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Haedo Argentina El presente tutorial está especialmente realizado para su uso en la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional U.T.N. - Argentina edutecne 008

2 Introducción a los Cuaterniones Noviembre 008 Licencia Safe Creative nov : 36 : 18 UTC Creative Commons Reconocimiento - NoComercial - SinObraDerivada.5

3 Cuaterniones Índice Cuaterniones...4 Definición...4 Cuaternión nulo...5 Cuaternión conjugado...5 Cuaternión opuesto...5 Valor absoluto o norma de un cuaternión...5 Cuaternión unitario...5 Normalización de un cuaternión...5 Inverso de un cuaternión...6 Álgebra de cuaterniones...7 Suma...7 Resta...7 Propiedades de la suma de cuaterniones...8 La suma de cuaterniones es conmutativa...8 La suma de cuaterniones es asociativa...10 Suma de un cuaternión y su conjugado...10 Producto de cuaterniones...11 Propiedades...11 El producto de cuaterniones no es conmutativo...11 El producto de cuaterniones es asociativo...11 Productos principales...1 Método práctico para hallar el producto de cuaterniones...13 Producto de un cuaternión y su conjugado...16 Conjugado de un producto...18 Representación de puntos a través de cuaterniones...0

4 Cuaterniones 3 Representación de vectores a través de cuaterniones...0 Importancia de los cuaterniones unitarios...1 Representación de rotaciones en el espacio alrededor de un eje...1 Transformación de puntos... Distintas perspectivas...5 Cuadro resumen...5 Rotación de rectas...5 Cuaterniones con el programa Mathematica Bibliografía...34

5 4 Cuaterniones Cuaterniones Los cuaterniones son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i 1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias: i, j y k a los números reales y tal que i j k 1 Definición Un cuaternión es un número de la forma q a a 1 i a j a 3 k a, a 1, a, a 3. "a" se denomina parte real o parte escalar, y "a 1 i a j a 3 k " se denomina parte imaginaria o parte vectorial ". Ejemplo 1 q 3 i 5 j 4 k es un cuaternión Cuaternión nulo Es aquel en que a a 1 a a 3 0 Cuaternión conjugado Dado el cuaternión q a a 1 i a j a 3 k conjugado es q a a 1 i a j a 3 k Ejemplo su cuaternión Dado q 3 i 5 j 4 k q 3 i 5 j 4 k

6 Cuaterniones 5 Cuaternión opuesto Dado el cuaternión q a a 1 i a j a 3 k opuesto es q a a 1 i a j a 3 k su cuaternión Ejemplo 3 Dado q 3 i 5 j 4 k q 3 i 5 j 4 k Valor absoluto o norma de un cuaternión Dado el cuaternión q a a 1 i a j a 3 k se define su norma o valor absoluto como q a a 1 a a 3 Ejemplo 4 Dado q 3 i 5 j 4 k q q 54 q 3 6 Cuaternión unitario Es aquel cuaternión cuya norma o valor absoluto es uno. Normalización de un cuaternión Dado un cuaternión cuya norma no sea igual a uno podemos normalizarlo definiendo un nuevo cuaternión, asociado al primero, mediante la siguiente operación: q 1 q q

7 6 Cuaterniones Ejemplo 5 Dado q 3 i 5 j 4 k a este es : el cuaternión unitario asociado q 3 6 q 1 q 1 q 1 q 1 q q i 5 j 4 k i i j j k k Inverso de un cuaternión Dado un cuaternión q definimos el cuaternión inverso, que designaremosq 1 como q 1 q q Ejemplo 6 Dado q 3 i 5 j 4 k el cuaternión inverso es : q 1 q q q 3 6 q 54 q i 5 j 4 k q i 5 54 j 4 54 k

8 Cuaterniones 7 q i 5 54 j 7 k Álgebra de cuaterniones Suma Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k y q b b 1 i b j b 3 k se define su suma como q 1 q a b a 1 b 1 i a b j a 3 b 3 k Ejemplo 7 Dados q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k q 1 q i 7 7 j 8 11 k q 1 q 18 i 19 k Resta Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k y q b b 1 i b j b 3 k se define su resta como la suma del primer cuaternión más el opuesto del segundo q 1 q a b a 1 b 1 i a b j a 3 b 3 k Ejemplo 8 Dados q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k q 1 1 i 7 j 11 k

9 8 Cuaterniones q 1 q i 7 7 j 8 11 k q 1 q 4 6 i 14 j 3 k Propiedades de la suma de cuaterniones La suma de cuaterniones es conmutativa. Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k y q b b 1 i b j b 3 k q 1 q q q 1 Demostración q 1 q a b a 1 b 1 i a b j a 3 b 3 k por conmutatividad de la suma de números reales b a b 1 a 1 i b a j b 3 a 3 k q q 1 Ejemplo 9 Dados q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k verificar la propiedad conmutativa q 1 q 3 6 i 7 j 8 k 1 1 i 7 j 11 k 18 i 19 k q q 1 A 1 1 i 7 j 11 k 3 6 i 7 j 8 k 18 i 19 k B

10 Cuaterniones 9 A B La suma de cuaterniones es asociativa Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k, q b b 1 i b j b 3 k y q 3 c c 1 i c j c 3 k q 1 q q 3 q 1 q q 3 Demostración q 1 q q 3 a b a 1 b 1 i a b j a 3 b 3 k c c 1 i c j c 3 k a b c a 1 b 1 c 1 i a b c j a 3 b 3 c 3 k por asociatividad de la suma de números reales a b c a 1 b 1 c 1 i a b c j a 3 b 3 c 3 k a a 1 i a j a 3 k b c b 1 c 1 i b c j b 3 c 3 k q 1 q q 3 Ejemplo 10 Dados q i 7 j 8 k, q 1 1 i 7 j 11 k y q i 14 j k verificar la propiedad asociativa q 1 q q 3 q 1 q q 3 q 1 q 3 6 i 7 j 8 k 1 1 i 7 j 11 k 18 i 19 k

11 10 Cuaterniones q 1 q q 3 18 i 19 k 8 7 i 14 j k q 1 q q i 14 j 41 k A q q i 7 j 11 k 8 7 i 14 j k 7 15 i 7 j 33 k q 1 q q i 14 j 41 k B A B Suma de un cuaternión y su conjugado. La suma de un cuaternión y su conjugado es un número real e igual al doble de la parte real de dicho cuaternión. q q a, siendo a la parte real de q. Demostracion Sea q a a 1 i a j a 3 k q a a 1 i a j a 3 k q q a a a 1 a 1 i a a j a 3 a 3 k q q a Ejemplo 11 Dado q 3 6 i 7 j 8 k verificar que q q a q q 3 6 i 7 j 8 k 3 6 i 7 j 8 k

12 Cuaterniones 11 q q 6 Producto de cuaterniones Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k y q b b 1 i b j b 3 k se define su producto, que indicaremos con asterisco "*", como q 1 q a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 a b 1 b a 1 a b 3 a 3 b i b a a b a 3 b 1 a 1 b 3 j b a 3 a b 3 a b 1 a 1 b k Propiedades El producto de cuaterniones no es conmutativo q 1 q q q 1 q 1 q a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 a b 1 b a 1 a b 3 a 3 b i b a a b a 3 b 1 a 1 b 3 j b a 3 a b 3 a b 1 a 1 b k q q 1 a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 b a 1 a b 1 a 3 b a b 3 i b a a b a 1 b 3 a 3 b 1 j b a 3 a b 3 a b 1 a 1 b k en los distintos colores puede apreciarse la desigualdad. El producto de cuaterniones es asociativo Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k, q b b 1 i b j b 3 k y q 3 c c 1 i c j c 3 k q 1 q q 3 q 1 q q 3 Demostración q 1 q q 3

13 1 Cuaterniones a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 b a 1 a b 1 a 3 b a b 3 i b a a 3 b 1 a b a 1 b 3 j b a 3 a b 1 a 1 b a b 3 k c c 1 i c j c 3 k a b c c a 1 b 1 c a b c a 3 b 3 b a 1 c 1 a b 1 c 1 a 3 b c 1 a b 3 c 1 b a c a 3 b 1 c a b c a 1 b 3 c b a 3 c 3 a b 1 c 3 a 1 b c 3 a b 3 c 3 b c a 1 a c b 1 c a 3 b c a b 3 a b c 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1 a 3 b 3 c 1 b a 3 c a b 1 c a 1 b c a b 3 c b a c 3 a 3 b 1 c 3 a b c 3 a 1 b 3 c 3 i b c a c a 3 b 1 a c b c a 1 b 3 b a 3 c 1 a b 1 c 1 a 1 b c 1 a b 3 c 1 a b c a 1 b 1 c a b c a 3 b 3 c b a 1 c 3 a b 1 c 3 a 3 b c 3 a b 3 c 3 j b c a 3 c a b 1 c a 1 b a c b 3 b a c 1 a 3 b 1 c 1 a b c 1 a 1 b 3 c 1 b a 1 c a b 1 c a 3 b c a b 3 c a b c 3 a 1 b 1 c 3 a b c 3 a 3 b 3 c 3 k a a 1 i a j a 3 k b c b 1 c 1 b c b 3 c 3 c b 1 b c 1 b 3 c b c 3 i c b b 3 c 1 b c b 1 c 3 j c b 3 b c 1 b 1 c b c 3 k q 1 q q 3 Productos principales i j k j i k j k i k j i k i j i k j

14 Cuaterniones 13 Método práctico para hallar el producto de cuaterniones Para hallar el producto de dos cuaterniones podemos ayudarnos del uso de una disposición gráfica, de una tabla, y teniendo en cuenta los productos principales. Armaremos la tabla de la siguiente manera : en la columna ubicaremos las componentes del primer cuaternión y en la fila las componentes del segundo cuaternión. Dados q 1 a a 1 i a j a 3 k queremos hallar q 1 q p q 1 \ q b b 1 i b j b 3 k a y q b b 1 i b j b 3 k a 1 i a j a 3 k ADVERTENCIA : Como el producto de cuaterniones no es conmutativo debemos tener cuidado con la ubicación de los cuaterniones; siempre debe escribirse en la columna el primer cuaternión.

15 14 Cuaterniones Ahora completamos la tabla q 1 \ q b b 1 i b j b 3 k a a b a b 1 i a b j a b 3 k a 1 i a 1 b i a 1 b 1 i i a 1 b i j a 1 b 3 i k a j a b j a b 1 j i a b j j a b 3 j k a 3 k a 3 b k a 3 b 1 k i a 3 b k j a 3 b 3 k k usando los productos principales y obtenemos q 1 \ q b b 1 i b j b 3 k a a b a b 1 i a b j a b 3 k a 1 i a 1 b i a 1 b 1 a 1 b k a 1 b 3 j a j a b j a b 1 k a b a b 3 i a 3 k a 3 b k a 3 b 1 j a 3 b i a 3 b 3 ahora sumamos todos los productos que contribuyan a la parte real del producto, todos los que contribuyan a la parte vectorial "i ", a la parte vectorial "j " y a la parte vectorial "k ". Para ellos podemos reordenar la tabla así : q 1 q p p 1 i p j p 3 k p q 1 q a b a b 1 i a b j a b 3 k a 1 b 1 a 1 b i a 1 b 3 j a 1 b k a b a b 3 i a b j a b 1 k a 3 b 3 a 3 b i a 3 b 1 j a 3 b k

16 Cuaterniones 15 p a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 a b 1 b a 1 a b 3 a 3 b i b a a b a 3 b 1 a 1 b 3 j b a 3 a b 3 a b 1 a 1 b k que es la misma expresión que habíamos escrito anteriormente. Ejemplo 1 Dados q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k hallar p q 1 q Usaremos el método práctico. q 1 \ q 1 1 i 7 j 11 k i 3 7 j 3 11 k 6 i 6 i k 6 11 j 7 j 7 j 7 1 k i 8 k 8 k 8 1 j 8 7 i 8 11 q 1 \ q 1 1 i 7 j 11 k i 1 j 33 k 6 i 6 i 7 4 k 66 j 7 j 7 j 84 k i 8 k 8 k 96 j 56 i 88 reordenando

17 16 Cuaterniones q 1 q p p 1 i p j p 3 k 3 36 i 1 j 33 k 7 6 i 66 j 4 k i 7 j 84 k i 96 j 8 k p q 1 q p i j k q 1 q i j 101 k Producto de un cuaternión y su conjugado. El producto de un cuaternión y su conjugado es un número real e igual al cuadrado de la norma o valor absoluto q q a a 1 a a 3 Sea q a a 1 i a j a 3 k q a a 1 i a j a 3 k q \ q a a 1 i a j a 3 k a a a a a 1 i a a j a a 3 k a 1 i a 1 a i a 1 a 1 a 1 a k a 1 a 3 j a j a a j a a 1 k a a a a 3 i a 3 k a 3 a k a 3 a 1 j a 3 a i a 3 a 3 reordenando

18 Cuaterniones 17 q q p p 1 i p j p 3 k a a a 1 i a a j a a 3 k a 1 a a 1 i a 1 a 3 j a 1 a k a a a 3 i a a j a 1 a k a 3 a a 3 i a 1 a 3 j a a 3 k q q a a 1 a a 3 Ejemplo 13 Dado q 3 6 i 7 j 8 k q 3 6 i 7 j 8 k verificar que q q a a 1 a a 3 q \ q 3 6 i 7 j 8 k i 3 7 j 3 8 k 6 i 6 3 i k 6 8 j 7 j 7 3 j 7 6 k i 8 k 8 3 k 8 6 j 8 7 i 8 8 q \ q 3 6 i 7 j 8 k i 1 j 4 k 6 i 18 i 36 4 k 48 j 7 j 1 j 4 k i 8 k 4 k 48 j 56 i 64 reordenando

19 18 Cuaterniones q q p p 1 i p j p 3 k 9 18 i 1 j 4 k i 48 j 4 k i 1 j 4 k i 48 j 4 k q q q q a a 1 a a 3 Conjugado de un producto El conjugado de un producto de cuaterniones es igual al producto de los conjugados en sentido opuesto. Dados q 1 y q q 1 q q q 1 Demostración q 1 q a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 b a 1 a b 1 a 3 b a b 3 i b a a 3 b 1 a b a 1 b 3 j b a 3 a b 1 a 1 b a b 3 k q 1 q a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 b a 1 a b 1 a 3 b a b 3 i b a a 3 b 1 a b a 1 b 3 j b a 3 a b 1 a 1 b a b 3 k q 1 q a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 b a 1 a b 1 a 3 b a b 3 i b a a 3 b 1 a b a 1 b 3 j b a 3 a b 1 a 1 b a b 3 k q q 1 Ejemplo 14 Dados q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k verificar que q 1 q q q 1

20 Cuaterniones 19 q 1 q i j 101 k q 1 q i j 101 k ver ejemplo 10 A q 1 1 i 7 j 11 k q i 7 j 8 k q \ q i 7 j 8 k i 7 j 8 k 1 i 1 3 i k 1 8 j 7 j 7 3 j 7 6 k i 11 k 11 3 k 11 6 j 11 7 i 11 8 q \ q i 7 j 8 k i 7 j 8 k 1 i 36 i 7 84 k 96 j 7 j 1 j 4 k i 11 k 33 k 66 j 77 i 88 reordenando q q 1 p p 1 i p j p 3 k 3 6 i 7 j 8 k 7 36 i 96 j 84 k i 1 j 4 k i 66 j 33 k p q q 1 p i j

21 0 Cuaterniones p i 163 j 101 k B A B Representación de puntos a través de cuaterniones Todo punto del espacio tridimensional puede ser representado mediante un cuaternión cuya parte real es cero. Si P P 1, P, P 3 P 0 P 1 i P j P 3 k Ejemplo 15 Representar el vector P (-7, 4, 6) como un cuaternión P 0 7 i 4 j 6 k Representación de vectores a través de cuaterniones Todo vector del espacio tridimensional puede ser representado mediante un cuaternión cuya parte real es cero. si v v 1 i v j v 3 k Ejemplo 16 v 0 v 1 i v j v 3 k Representar el vector v 3 i 8 5 j 3 4 k como un cuaternión v 0 3 i 8 5 j 3 4 k

22 Cuaterniones 1 Importancia de los cuaterniones unitarios La importancia de los cuaterniones unitarios reside en que a través de ellos se pueden representar rotaciones en tres dimensiones de manera muy sencilla.si q es un cuaternión unitario, éste puede pensarse como una esfera de radio 1 en el espacio 4 D.Y podemos representar una rotación en el espacio 4 D, en donde a 1, a, a 3 son las componentes de cualquier eje arbitrario y a el ángulo de rotación. Representación de rotaciones en el espacio alrededor de un eje. Una rotación alrededor de un vector unitario n un ángulo Θ puede pensarse como un cuaternión. y Sea n n 1 i n j n 3 k n 1 y un ángulo Θ el cuaternión que representa la rotación alrededor del eje es : q Cos Θ n 1 i n j n 3 k Sin Θ Comprobemos que es un cuaternión unitario : q Cos Θ n 1 n n 3 Sin Θ Como n 1 n n 3 1 pues n 1 q Cos Θ Sin Θ q = 1 Ejemplo 17 Representar mediante un cuaternión una rotación de 90 o alrededor del eje x. Eñ eje x escrito como un vector es : n i

23 Cuaterniones y Θ 45o el cuaternión que representa la rotación es q Cos Θ n 1 i n j n 3 k Sin Θ q Cos 45 o i Sin 45 o q i Transformación de puntos Para rotar un punto en el espacio alrededor de un vector unitario n y un ángulo Θ se sigue el siguiente procedimiento: Dado el punto P, el vector eje con respecto al cual se desea rotar y el ángulo a rotar, el transformadodel punto P es : P Ejemplo 18 Rotar el punto P 0, 3, 90 o alrededor del eje x. el cuaternión que representa la rotación es q i q i el punto P escrito como cuaternión P 0 0 i 3 j k P q P q P q P

24 Cuaterniones 3 q \ P 0 0 i 3 j k 0 0 i j k 3 k j 0 j k reordenando q P p p 1 i p j p 3 k j k 0 0 j 3 k P 3 j 3 k P P P q j 5 k P \ q i 0 j 0 k j j k k 5 k 5 j 0 0

25 4 Cuaterniones P \ q i 0 j 0 k j 1 j 1 k k 5 k 5 j 0 0 reordenando P q p p 1 i 0 j 0 k j 1 k j 5 k 0 0 P q P q 1 5 j 1 5 k P q P q j 3 k escrito como punto P 0,, 3 P 0,,3 P 0,3,

26 Cuaterniones 5 Distintas perspectivas Al realizar rotaciones con cuaterniones pueden adoptarse dos perspectivas distintas. Una considerando fijos los ejes del marco de referencia, y otra considerando fijo el punto a rotar. Si consideramosfijo el marco de referencia, el producto q P q representa una rotación del punto en sentido antihorario, y el producto q P q representa una rotación del punto en sentido horario. Este tipo de perspectiva suele llamarse rotación con perspectiva central. En cambio si consideramosfijo el punto, el producto q P q representa una rotación del marco de referenciaen sentido horario, y el producto q P q representa una rotación del marco de referencia en sentido antihorario. Este tipo de perspectiva suele llamarse rotación con perspectiva axial. Cuadro resumen Rotación con perspectiva central q P q rotación en sentido antihorario q P q rotación en sentido horario Rotación con perspectiva axial q P q rotación en sentido horario q P q rotación en sentido antihorario Rotación de rectas Mediante la rotación en el espacio con cuaterniones las rectas se transforman en otras rectas. Demostración

27 6 Cuaterniones Una recta en el espacio que para por el punto A A 1, A, A 3 y es paralela al vector u a 1, a, a 3 escrita en forma paramétrica es : x A 1 a 1 t y A a t z A 3 a 3 t Para simplificar la demostración vamos a aplicarle una rotación alrededor del eje x de un ángulo Θ. El cuaternión que representa la rotación es : q Cos Θ Sin Θ i q Cos Θ Sin Θ i y vamos a considerar a P como un cuaternión en el cual sus componentes son : P 0 A 1 a 1 t i A a t j A 3 a 3 t k su transformado será P q P q q \ P 0 A 1 a 1 t i A a t j A 3 a 3 t k Cos Θ 0 Cos Θ A 1 a 1 t i Cos Θ A a t j Cos Θ A 3 a 3 t k Sin Θ i 0 Sin Θ A 1 a 1 t Sin Θ A a t k Θ Sin A 3 a 3 t j 0 j k

28 Cuaterniones 7 reordenando q P p p 1 i p j p 3 k 0 Cos Θ A 1 a 1 t i Cos Θ A a t j Cos Θ A 3 a 3 t k Sin Θ A 1 a 1 t 0 Sin Θ A 3 a 3 t j Sin Θ A a t k P Sin Θ A 1 a 1 t Cos Θ A 1 a 1 t i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 j t Sin Θ a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 k P P q P \ q Cos Θ Sin Θ i 0 j 0 k Sin Θ A 1 a 1 t Cos Θ A 1 a 1 t i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 j t Sin Θ a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 k

29 8 Cuaterniones Por cuestiones de espacio la tabla se irá completando por columas P \ q Sin Θ A 1 a 1 t Cos Θ A 1 a 1 t i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 j t Sin Θ a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 k Cos Θ Sin Θ Cos Θ A 1 a 1 t Cos Θ Cos Θ A 1 a 1 t i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 Cos Θ j Θ t Sin a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 Cos Θ k P \ q Sin Θ A 1 a 1 t Cos Θ A 1 a 1 t i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 j t Sin Θ a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 k Sin Θ i Sin Θ Sin Θ A 1 a 1 t i Cos Θ Sin Θ A 1 a 1 t t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 Sin Θ k Θ t Sin a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 Sin Θ j P \ q 0 j 0 k Sin Θ A 1 a 1 t 0 0 Cos Θ A 1 a 1 t i 0 0 t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin Θ A 3 j 0 0 t Sin Θ a Cos Θ a Sin Θ A Cos Θ A 3 k

30 Cuaterniones 9 Simplificando y ordenando P p p 1 i p j p 3 k Sin Θ Cos Θ Sin Θ Cos Θ Cos Θ A 1 a 1 t A 1 a 1 t i A a t j A 3 a 3 t k Cos Θ Sin Θ A 1 a 1 t Cos Θ A 1 a 1 t i Sin Θ A 3 a 3 t j Sin Θ A a t k P 0 t a 1 A 1 i t Cos Θ a Sin Θ a 3 Cos Θ A Sin t Sin Θ a Cos Θ a 3 Sin Θ A Cos Θ A 3 k llamando b 1 Cos Θ a Sin Θ a 3 b Sin Θ a Cos Θ a 3 C 1 Cos Θ A Sin Θ A 3 C Cos Θ A Sin Θ A 3 P 0 t a 1 A 1 i t b 1 C 1 j t b C k se pone en evidencia que es una recta. En forma similar puede realizarse la rotación alrededor de los otros ejes coordenados. Ejemplo 19 Rotar el segmento que une los puntos P 0, 3, y Q 3,, 0 90 o alrededor del eje x. el cuaternión que representa la rotación es q i q i los puntos escritos como cuaterniones P 0 0 i 3 j k Q 0 3 i j 0 k P q P q Q q P q Transformamos sólo los extremos del segmento ya que hemos demostrado que la transformada de una recta es

31 30 Cuaterniones una recta, y el segmento está incluido en la recta. P j 3 k del ejemplo 15 Q q Q q Q q Q q \ Q 0 3 i j 0 k 0 3 i j 0 i 0 3 k 0 0 j k Q 3 Q P q 3 i j k P \ q 3 3 i 0 j 0 k 3 i i 3 i j j k 0 0 k k j 0 0 reordenando Q 3 i k Transformado : segmento que pasa por P 0,, 3 y Q 3, 0,

32 Cuaterniones 31 P 0,,3 P 0,3, Q 3,0, Q 3,,0 Cuaterniones con el programa Mathematica 6 Para trabajar con cuaterniones en el Mathematica 6 debemos primero cargar el paquete correspondiente que se llama : " Quaternions", y se carga de la siguiente manera: Quaternions` Ejemplo 0 Ingreso de cuaterniones Para ingresar un cuaternión se procede así: Si q 3 i 5 j 4 k q Quaternion, 3, 5, 4 Quaternion, 3, 5, 4 Si a la instrucción le agregamos dos puntos antes del símbolo igual se carga el cuaternión en la memoria pero no lo escribe en la pantalla. q : Quaternion, 3, 5, 4 Ejemplo 1 Encontrar el cuaternión conjugado de q 3 i 5 j 4 k

33 3 Cuaterniones Conjugate q Quaternion, 3, 5, 4 Ejemplo Encontrar el cuaternión opuesto de q 3 i 5 j 4 k q Quaternion, 3, 5, 4 Ejemplo 3 Encontrar valor absoluto de q. Abs q 3 6 Ejemplo 4 Normalizar el cuaternión q q Abs q Quaternion 3 3, 1 6, 5 3 6, 3 3 Ejemplo 5 Hallar el cuaternión inverso de q. q Abs q Quaternion 1 7, 1 18, 5 54, 7 Ejemplo 6 Hallar la suma de q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k

34 Cuaterniones 33 Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion, 18, 0, 19 Ejemplo 7 Hallar la resta de q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion 4, 6, 14, 3 Ejemplo 8 Verificar la propiedad conmutativa de la suma con los cuaterniones del ejemplo 3. Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion, 18, 0, 19 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion, 18, 0, 19 Ejemplo 9 Suma de un cuaternión y su conjugado. q Conjugate q Quaternion 4, 0, 0, 0 Ejemplo 30 Hallar el producto de q i 7 j 8 k y q 1 1 i 7 j 11 k Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion 114, 163,, 101 Ejemplo 31 Verificar que el producto de cuaterniones no es conmutati Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion 114, 163,, 101

35 34 Cuaterniones Quaternion 1, 1, 7, 11 Quaternion 3, 6, 7, 8 Quaternion 114, 103, 58, 151 Ejemplo 3 Hallar el producto de un cuaternión por su conjugado. q Conjugate q Quaternion 54, 0, 0, 0 Ejemplo 33 Rotar el punto P 0, 3, 90 o alrededor del eje x. Quaternion, Conjugate Quaternion, Quaternion 0, 0,, 3, 0, 0 Quaternion 0, 0, 3,, 0, 0 P 0,,3 P 0,3, Bibliografía Santaló, 1966, Geometría Proyectiva, Eudeba, Buenos Aires. Kuipers, Santaló, 1999, Quaternions and Rotation Sequences, Princenton University Press, New Jersey.