TV: TeleVisión Plan 2010 Codificación de subbandas

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1 TV: TeleVisión Plan 00 Codificación de subbandas ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

2 Codificación de subbandas Introducción Operaciones básicas Diezmado Interpolación Reconstrucción perfecta con dos subbandas Filtros espejo en cuadratura Asignación de bits ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

3 Codificación de subbandas Técnica en el dominio de la frecuencia La señal se divide en subbandas por medio de un conjunto de filtros (banco de filtros de análisis) Cada subbanda es muestreada a su frecuencia de Nyquist (W i ) y codificada (por ejemplo de forma diferencial) Las bandas con menor importancia pueden codificarse con menor resolución (o incluso no transmitirse) W W W 3 W 4 W 5 f ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 3

4 Esquema de la codificación de subbandas (I) F. análisis M Codificador Decodificador M F. síntesis F. análisis M Codificador Decodificador M F. síntesis F. análisis 3 M Codificador 3 Multiplexor Demultiplexor Decodificador 3 M F. síntesis 3 F. análisis M M Codificador M Decodificador M M F. síntesis M La señal pasa a través de un conjunto de filtros paso banda (banco de filtros de análisis) que cubren el rango de frecuencias de ésta Se muestrea la salida de los filtros porque el número de muestras necesario para reconstruir cada banda es más reducido. Este proceso se llama diezmado El número de muestras requerido depende del ancho de banda del filtro. El proceso de retener una muestra de cada M se representa por M ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 4

5 Esquema de la codificación de subbandas (II) Las bandas de paso de los filtros pueden solaparse o no La salida de cada filtro es cuantificada y codificada usando un esquema de codificación apropiado (por ejemplo ADPCM, cuantificación vectorial, etc.) Puesto que bandas diferentes tienen diferente relevancia para el destinatario, cada banda es cuantificada con diferente precisión o incluso eliminada La salida de los codificadores es multiplexada y transmitida En el receptor se demultiplexa la información recibida y se entrega a cada decodificador La salida de cada decodificador es interpolada insertando el número apropiado de ceros entre muestras consecutivas y se lleva a cada filtro de síntesis. Se representa por M el proceso de insertar M- ceros entre cada dos muestras consecutivas La salida de todos los filtros se combina para obtener la señal reconstruida En resumen, la codificación de subbandas está determinada por Los bancos de filtros de análisis y síntesis El esquema de cuantificación o asignación de bits El tipo de codificación empleada ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 5

6 Operaciones básicas ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 6

7 Diezmado (M=) Sea x[n] una secuencia, (n=...-,0,,...). Diremos que la secuencia y[n] se obtiene M-diezmando la secuencia x[n] si y[n]=x[m n]. La relación entre x[n] e y[n] es relativamente fácil de obtener. Si M=: { y[ n]} {, x[ 4], x[ ], x[ 0], x[ ], x[ 4 ], } La transformada de Fourier de la secuencia x[n] es: [ ] [ ] [ ] [0] [] [] jw jnw j w j w jw j w X e x n e x e x e x x e x e jw/ jw jw/ jw/ jw X e x[ ] e x[ ] e x[0] x[] e x[] e X e x e x e x x e x e jw/ jw jw/ jw/ jw [ ] [ ] [0] [] [] ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 7

8 Diezmado (M=) Por otra parte Luego: jw jnw Y e y[ n] e y[ ] e y[ ] e y[0] y[] e y[] e jw jw jw jw x[ 4] e x[ ] e x[0] x[] e x[4] e jw jw jw jw / / X e jw X e jw Y( e jw ) jw/ jw/ X e X e jw Ye Teniendo en cuenta que jw/ jw/ j j( w X e X e X e )/ Y e X e X e jw jw/ jw/ Y z X z / X z / ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 8

9 X Diezmado (M=): Ejemplo n Transformada de Fourier de la secuencia xn [ ] aun [ ] jw jnw n jnw n ( e ) x[ n] e a e jw 0 0 ae jw ae ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 9

10 Diezmado (M=): Ejemplo La secuencia diezmada respetando de cada dos muestras es cuya transformación de Fourier es: n yn [ ] a un ( ) Y( e ) y[ n] e a e a e a e jw jnw n jnw jw n jw 0 0 que coincide con jw/ jw/ jw/ jw/ ae ae X( e ) X( e ) jw/ jw/ jw/ jw/ ae ae ae ae jw Y( e ) jw/ jw ae ae La operación de diezmado produce una compresión en el dominio del tiempo, por lo que cabe esperar una dilatación en el dominio de la frecuencia. ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 0

11 Diezmado (M=): Ejemplo X e j / X e j / Ye j ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

12 Diezmado (M=): Ejemplo Xe X e jω/ jω/+jπ Xe jω/ ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

13 Diezmado (M=): Ejemplo -j Y(e ) -j Y(e ) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 3

14 Diezmado (M arbitrario) En un diezmado de orden arbitrario la secuencia resultante es y[n]=x[mn]. El espectro correspondiente a esta secuencia se obtiene sumando M copias del espectro de la secuencia de partida, dilatadas en el factor M y desplazadas /M radianes, esto es: o en términos de la transformada Z: Ye jw M M X ej 0 M Yz M M X W M M z donde W M e j 0 M ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 4

15 Interpolación La interpolación es, básicamente la operación contraria al muestreo. Un M interpolador intercala M- ceros entre dos muestras adyacentes de la secuencia de partida: n x si n M M y[ n] 0 en caso contrario n Mn M Y( z) y[ n] z x[ n] z X z n n En consecuencia, la interpolación produce una dilatación en el dominio del tiempo, y, por consiguiente, una compresión en el dominio de la frecuencia. jw Y ( e ) X ( e jwm ) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 5

16 Interpolación: Ejemplo Si se interpola la secuencia xn [ ] aun n [ ] con M=, la secuencia resultante tiene por transformada: Y jw jn j wn n jwn n ( e ) y[ n] e x[ n] e a e j w ae j w ae El espectro es idéntico al obtenido para la secuencia original comprimido en frecuencias por un factor de : jw jw Ye ( ) Xe ( ). ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 6

17 Diezmado + interpolación Si se aplican consecutivamente procesos de diezmado e interpolación del mismo orden, M, el resultado no será, en general la señal de partida debido a la aparición de solapamiento ( aliasing ). Solamente si la señal de partida está limitada en banda al intervalo (-/M, /M), se dispondrá después del proceso de copias del espectro de partidas libres de distorsión. Este fenómeno se ilustra en la figura donde las áreas sombreadas originarán distorsión de solapamiento, haciendo imposible recuperar la señal de partida. ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 7

18 Ejemplos de diezmado + interpolación xn [ ] 8 ncos/n sin/n ( n) 3 j ( ) exp / si, ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 8

19 Diezmado + interpolación (N=) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 9

20 Diezmado + interpolación (N=3) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 0

21 Diezmado + interpolación (N=4) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

22 Reconstrucción perfecta ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas -

23 Codificación con dos subbandas x[n] H ( z ) Cod- MUX H ( z) Cod- Dec- K ( z) DEMUX y[n] Dec- K ( z) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 3

24 Reconstrucción perfecta con dos subbandas y [ n] w [ ] v [ n] n u [ n] x[n] H ( z) K ( z) y[n] H ( z ) K ( z ) y [ n] w [ ] v [ n] n u [ n] Para la rama superior / / Wz Yz Y z V z W z Y z X z H z Combinándolas Uz KzWz Kz YzYz KzX zhz X zhz U z V z K z ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 4

25 Reconstrucción perfecta con dos subbandas Para la rama inferior KzX zhz X zhz U z K z W z K z Y z Y z Combinando ambas ramas: YzUzUz X z HzKzHzKz X z HzKzHzKz X z T z X z S z Si queremos reconstrucción perfecta, a lo sumo y[n] debe ser una versión amplificada y retardada de x[n] ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 5

26 Reconstrucción perfecta con dos subbandas Esto es: H, H, K y Y K z c X z z Fijando z z z K z de manera que se cumpla la condición anterior se obtienen las diferentes soluciones a este problema. En forma matricial: que implica H z H z X z Y z K z K z cz X z H z H z X z H z H z Kz Kz cz 0 H z H z ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 6

27 Reconstrucción perfecta con dos subbandas Despejando c z K z K z H z H z H z H z H z H z ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 7

28 Reconstrucción perfecta con dos subbandas y filtros FIR Si imponemos que los filtros (tanto de análisis como de síntesis sean FIR) deben ser FIR: Lo que implica cz Kz Hz H z H z H z H z H z cz Kz Hz H z q z H z H z H z H z Q z Q z z q Luego q debe ser impar (todos los términos pares de Q(z) y Q(-z) se cancelan). Q(z) puede tener un número arbitrario de coeficientes de potencias pares (que se cancelarán entre sí), pero un único coeficiente de potencia impar. ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 8

29 Reconstrucción perfecta con dos subbandas y filtros FIR Cualquier factorización de la forma Q z Q z Q z, donde tan sólo un único coeficiente de potencias impares de z es distinto de 0, es solución del problema. Basta tomar: y H z Q z H z Q z pero las soluciones obtenidas pueden: Tener anchos de banda muy diferentes Adolecer de un fuerte solapamiento espectral Es necesario introducir algún requisito adicional ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 9

30 Filtros espejo en cuadratura (QMF) ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 30

31 Filtros espejo en cuadratura (QMF) Como hemos visto, la salida, Y(z) puede escribirse: Yz X z H z K z H z K z X z H z K z H z K z X z T z X z S z Donde z H z K z H z K z T z H z K z H z K z S El término que representa el solapamiento espectral, S(z), puede eliminarse: Si K z H z y K z H z Sz HzHzHzHz 0 ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 3

32 Filtros espejo en cuadratura (QMF) En estas condiciones: T z Si z H z H z H z H z T c z se obtendrá una reconstrucción perfecta. Esta condición equivale a. condiciones Y n c X n T e j cte y arg T e j. Si se verifican ambas ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 3

33 Filtros espejo en cuadratura (QMF) Para el diseño de los filtros QMF se escoge primero un filtro paso bajo, H z H z el filtro paso alto como su imagen especular: H z y se define H L j ( e ) H H j ( e ) H L j ( e ) H H j ( e ) 0 / 0 / ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 33

34 Filtros espejo en cuadratura (QMF) Si z H es un filtro FIR de fase lineal y z H es su filtro espejo, z H z H z H z H z H z H z T Será también de fase lineal, pero no está claro que j e T sea constante. Al forzar que los filtros baso alto y paso bajo sean uno la imagen especular del otro alrededor de la frecuencia =/ se traduce en N K H N L N L L z h z h z h z H ] [ ] [ ] [ ] [ ) ( ] [ h h L H ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 34

35 QMF. N= ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 35

36 QMF. N arbitrario En general, la función de transferencia, T(z) para un sistema de orden N viene dada por la expresión T ( z) 4 N ( i, j) i j h[ i] h[ j] z con lo que es imposible satisfacer T( z) c z excepto si se hace h[i]=0 para todo i distinto de 0 y N-, lo cual conduce a una discriminación más pobre según crece el orden del filtro!!. La respuesta plana es imposible de alcanzar para valores de N distintos de N= y N=, pero si es posible aproximarse a ella tanto como se desee mediante técnicas de optimización numéricas. Usualmente se escogen los filtros con un número par de etapas y formando un par simétrico - antisimétrico, esto es, que, además verifican y por consiguiente, h [ n] h [ N n] L L h [ n] h [ N n] H H ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 36

37 QMF. N arbitrario ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 37

38 Asignación de bits ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 38

39 Asignación de bits La señal de cada banda, x t se muestrea a una frecuencia f R bits por muestra, la tasa necesaria para transmitir la señal es: I M f R y se codifica usando Si (para simplificar) suponemos que todas las subbandas tienen la misma anchura: W W W y f M M De donde I W M M R Suponiendo que las subbandas no se solapan, la potencia total de la señal es la suma de las potencias de cada subbanda y, de manera similar, el error de reconstrucción es la suma de la potencia de ruido de reconstrucción para cada subbanda: M x x, r SBC i M, r, i ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 39

40 ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 40 Asignación óptima de bits Minimizar M x R M r r,, Sujeto a la condición: M R MR Empleando la técnica de los multiplicadores de Lagrange: 0, M M x R R MR R, log ln log x R De donde, aplicando M R MR, resulta: M M i i x x R R,, log

41 Bibliografía N.S: Jayant y P. Noll, Digital Coding of Waveforms: Principles and Applications to Speech and Video, Prentice Hall Signal Processing Series, New Jersey, 984. S. Khalid, Introduction to Data Compression, 3 rd ed., Elsevier, San Francisco, 006. M.Vetterli y J. Kovacevic, Wavelets and Subband Coding, Prentice Hall Signal Processing Series, Prentice Hall, New Jersey, 995. ETSIT-UPM (Plan 00) Codificación de subbandas - 4