UTILIZACIÓN DE HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS DE SIMULACIÓN EN LA ENSEÑANZA DEL CIRCUITO TRANSITORIO

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2 UTILIZACIÓN DE HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS DE SIMULACIÓN EN LA ENSEÑANZA DEL CIRCUITO TRANSITORIO Fº Javier Alcántara Benjumea Patricio Salmerón Revuelta Resumen En este artículo se pro pone un nuevo método para la impartición de prácticas como apoyo para la enseñanza del bloque temático "El Circuito Transitorio". Está basado en simultanear en una misma sesión una parte teórica junto con una parte de simulación por ordenador utilizando los programas Pspice, Matlab y Simulink. Este conjunto de programas resulta muy apropiado para la simulación de los circuitos transitorios desde dos puntos de vista diferentes: análisis en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. El alumno participa así en su propio proceso de aprendizaje. Se describen como ejemplo seis prácticas de las cuales, tres fueron simuladas con Pspice y otras tres en el entorno Matlab/Simulink. Palabras Clave : Simulación, Circuito Transitorio, Enseñanza, Prácticas, Evaluación. INTRODUCCIÓN La reciente implantación de los nuevos planes de estudios hace necesario un nuevo planteamiento de la docencia en muchas de las asignaturas de las enseñanzas técnicas ya que, en general, se dispone de menos créditos teóricos y prácticos. El profesorado debe, por tanto, encontrar fórmulas que garanticen la impartición de unos contenidos mínimos, sin que ello suponga un efecto negativo en el alumnado, a causa de la condensación de la materia en menos horas de clase. Entre las experiencias que se proponen, ya centrados en la enseñanza de los circuitos eléctricos, está la de utilizar el ordenador como herramienta de trabajo; esto permite efectuar simulaciones y visualizar las formas de onda de interés. Los programas generales de simulación de circuitos (el programa Pspice es uno de los más populares) representan una herramienta eficaz para la representación y el análisis de todo tipo de circuitos eléctricos y electrónicos. Así se avanza en los contenidos teóricos a través de dos apoyos fundamentales: por una parte el menor tiempo requerido para preparar el circuito respecto a su montaje en el laboratorio, y por otra parte, es posible un análisis completo del comportamiento del circuito con la ayuda de las facilidades informáticas que los mismos incluyen. No obstante, una sesión exclusiva de simulación deja un poco huérfana el aspecto teórico del circuito. El alumno sabe cómo responde en todos los aspectos pero no sabe porqué responde de esa manera; asimismo, tampoco es capaz de predecir cómo va a responder el circuito ante una variación de uno de sus parámetros. Una posible solución a este problema consiste en integrar en cada sesión práctica una exposición teórica y una simulación por ordenador que ilustre los conceptos adquiridos en la exposición previa. Fundamentalmente este enfoque es un apoyo docente interesante en unidades temáticas donde se dan, bien una gran variedad de formas de ondas o bien distintas presentaciones de respuestas en frecuencia de complicado desarrollo matemático. Dentro de la teoría de circuitos es el caso del circuito transitorio o el estudio de la resonancia en circuitos doblemente sintonizados. Además de Pspice, en esta comunicación se propone la utilización del programa matemático Matlab y del lenguaje de bloques de Simulink, para abordar el estudio del circuito transitorio a partir de tres aspectos diferenciados: formulación de la ecuación diferencial, método de las variables de estado y método de la función de transferencia El planteamiento de la ecuación diferencial hace posible obtener un esquema en el dominio del tiempo construido mediante integradores y bloques de amplificación lo que permite al alumno seguir el recorrido de la señal. Por otro lado, los comandos propios de Matlab permiten la resolución numérica de un circuito a partir del método de las variables de estado. Un enfoque éste también en el dominio del tiempo pero donde el alumno trabaja con un diseño más compacto. Por último, el bloque Transfer Fcn permite plantear un análisis en el dominio de la frecuencia a partir de la función de transferencia, donde el alumno maneja directamente las frecuencias naturales del circuito. De esta manera se realiza el estudio del comportamiento dinámico de un circuito a partir de tres procedimientos que

3 clásicamente se estudiaban por separado. Matlab/Simulink se convierte así en una herramienta software que junto con Pspice componen un completo repertorio de herramientas informáticas, para apoyar la docencia de este tipo de materia. Los autores han desarrollado un conjunto de prácticas de simulación apoyándose en las herramientas citadas englobadas dentro de la asignatura de Teoría de Circuitos. Al finalizar el curso se propuso como una parte de la evaluación de la asignatura, un examen de simulación que el alumno llevó a cabo en un ordenador. El resultado fue satisfactorio dado el interés mostrado por el alumnado durante el curso y los buenos resultados obtenidos en el examen. 2.- CONSIDERACIONES SOBRE LA UNIDAD TEMÁTICA EL CIRCUITO TRANSITORIO El circuito transitorio es una unidad temática de gran importancia dentro de la Teoría de Circuitos. Aquí el alumno estudia cómo en circuitos dinámicos, donde las cargas y los elementos conectados cambian constantemente, las variables de tensión e intensidad vienen dadas por formas de onda que evolucionan a lo largo del tiempo. En circuitos que incluyen elementos almacenadores de energía es posible separar la respuesta en una parte transitoria y otra permanente. La respuesta transitoria representa la respuesta natural del circuito hasta el régimen permanente mientras que la respuesta permanente sólo depende de la excitación del circuito. El análisis del transitorio se puede hacer desde dos puntos de vista diferentes: por una parte el análisis en el dominio del tiempo mediante el planteamiento de la ecuación diferencial del circuito, o bien mediante el método de las variables de estado y por otra el análisis en el dominio de la frecuencia a través de la Transformada de Laplace. Con el objeto de hacer independiente la lectura de este trabajo en lo que sigue se describe brevemente cada uno de los dos enfoques ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Un circuito eléctrico de orden n, es decir, aquel constituido por n elementos almacenadores de energía que no es un circuito impropio ( no contiene cortes inductivos ni bucles capacitivos ) puede ser descrito por una ecuación diferencial de orden n o bien por un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. En el primer caso el circuito queda descrito por una ecuación diferencial escalar y en el segundo caso se dice que el circuito queda descrito por un conjunto de ecuaciones de estado. A partir de la ecuación de estado siempre es posible de forma simple obtener la ecuación diferencial escalar. El planteamiento de la ecuación diferencial es un procedimiento clásico ya utilizado por el alumno en sus estudios de física, mientras que el planteamiento de la ecuación de estado es un método de utilización más reciente dentro de la electrotecnia, derivado de la teoría de control, con grandes ventajas en la formulación y resolución de un circuito eléctrico. En este trabajo se considerará la respuesta al escalón de un circuito de 2º orden (fuente de intensidad del tipo escalón unitario, resistencia, bobina y condensador conectados en paralelo, figura ) Figura. Circuito R-L-C paralelo excitado por una intensidad de tipo escalón La tensión v y cualquier intensidad en los elementos del circuito puede expresarse como la incógnita de una ecuación diferencial de segundo orden. Así la intensidad que circula por la bobina, i L, se obtiene de la ecuación (). + i RC + i LC i L L L = u( t) LC El mismo circuito de la figura se puede describir a partir de la ecuación vectorial (2), donde [ ] T x ( t ) = Ax( t ) + BuS( t ) x( t ) = x, x2 es el vector de estado ( x y x 2 son las variables de estado ), A es una matriz 2x2, B u S( t ) = us, us2 es un vector que se relaciona con las excitaciones del circuito. es una matriz x2 y [ ] T Cualquier forma de onda de salida del circuito y(t) se puede expresar en función de las variables de estado y de las entradas, y( t ) + u(t) v R L C - () (2) = Cx ( t ) + Du ( t ) (3) donde C y D son matrices de dimensión x2 y x respectivamente para el circuito de segundo orden. En el circuito de la figura se eligieron como variables de estado x = v C e x 2 = i L y como salida i L. Con tal elección resulta: S

4 0 0 A = B = / LC / LC /LC C = [ 0] D = [ 0] ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA El método de la función de transferencia se basa en la aplicación sistemática de la transformada de Laplace. La definición matemática de la transformada de Laplace es: L [ ] f(t) = F( s ) = f ( t )e esto es, se efectúa una transformación para llevar formas de onda o circuitos del conjunto de definición del tiempo t hacia el plano de Gauss de las frecuencias complejas s=σ+jω. La función de transferencia H(s) se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la respuesta del circuito a estado cero (sin condiciones iniciales) y la transformada de Laplace de la excitación. H(s) es una función racional de la variable s; las raíces del polinomio del denominador se denominan los polos naturales de la red y son el origen de la respuesta natural. Si en el circuito de la figura se toma la intensidad de la bobina como señal de salida, la función de transferencia viene dada por (6), H( s ) 0 st dt (4) (5) I L = = LC (6) IS 2 s + s + RC LC La ecuación característica de la ecuación diferencial (), la ecuación obtenida a partir del determinante, det(a-si)=0, y la ecuación obtenida de igualar a cero el polinomio del denominador de (6), son las mismas y constituye la ecuación característica del circuito, ( 7). 2 s + s + = 0 (7) RC LC Sus raíces constituyen las frecuencias naturales; así pues, la ecuación (7) marca el nexo de unión entre las tres formas de abordar el análisis dinámico de los circuitos eléctricos. En el circuito RLC paralelo de la figura dependiendo de los valores de R, L y C se distinguen tres tipos de soluciones. En efecto, definidos los parámetros, α, coeficiente de amortiguamiento y ωo, frecuencia natural no amortiguada, (8), α = / 2RC y ω 0 = / LC (8) Si α>ω 0 la solución es del tipo sobreamortiguada y la expresión es de la forma: st s2t 2 2 L ( t) = A e + A2e con s,2 = α ± α ω 0 (9) i Si α=ω0 la solución es del tipo críticamente amortiguada y la expresión es de la forma: αt L ( t) = ( A t + A2 ) e (0) i Si α<ω 0 la solución es del tipo subamortiguada y la expresión es de la forma: 2 2 [ Acosωd t + A2senωd t] con ω = α 0 α = t d i ( t) e ω L () Es muy importante que el alumno distinga perfectamente entre los tres tipos de soluciones, (9), (0), y () tanto analítica como gráficamente, además de cómo influyen los valores relativos de los parámetros del circuito en el tipo de solución. Las simulaciones por ordenador se configuran como una herramienta pedagógica muy adecuada para conseguir los objetivos anteriores. 3.- SIMULACIÓN EN PSPICE Actualmente es muy común dentro de las Enseñanzas Técnicas el uso del ordenador y de programas informáticos como complemento didáctico al contenido de la asignatura. En concreto, en Electrotecnia se suelen usar para tal fin los programas de simulación. Entre los programas más usados para la simulación de circuitos electrónicos y eléctricos está el Design Center (o DesignLab en la versión 8). Se trata de un paquete de programas que permiten construir, simular y estudiar circuitos eléctricos. Los programas más importantes son: - Schematics: para la creación y edición de esquemas de circuitos. - Pspice: para la simulación del circuito y posterior compilación de los resultados numéricos. - Probe: para la visualización gráfica de los datos generados en la simulación. Se presenta a continuación tres ejemplos de prácticas de circuitos transitorios realizados en Pspice

5 3..- ESTUDIO DE LA RESPUESTA DE UN CIRCUITO RLC PARALELO EN EL TIEMPO (ANÁLISIS PARAMÉTRICO) Una de las opciones más útiles en Pspice es el análisis paramétrico (Parametric). Mediante esta opción el programa permite la variación de una de los parámetros del circuito (como por ejemplo, el valor de una de los elementos del circuito) tomando valores establecidos por el usuario. De esta forma puede hacerse varias simulaciones en paralelo del circuito y comparar las distintas respuestas. Esta técnica se puede aplicar al estudio de un circuito RLC para variar las frecuencias naturales y obtener los tres tipos de respuestas del circuito (amotiguamiento crítico, subamortiguamiento y sobreamortiguamiento). Figura 3: Configuración física de dos pistas de una PCB Las pistas se pueden modelar con los elementos mostrados en la figura 4. Dado el circuito RLC de la figura anulando la fuente de intensidad, para los valores L=0,2 H, C=5 µf Y R=50Ω, 00Ω y 200Ω con unas condiciones iniciales I L (0)= A y v c (0)=500 V, se obtiene las curvas de la figura 2, al hacer la simulación del circuito mediante la opción del análisis paramétrico. Figura 4: Circuito equivalente de la configuración anterior Al hacer la simulación en Pspice del circuito equivalente y aplicar como entrada un pulso de tensión de 5 V de amplitud y 50 ms como tiempos de subida y bajada, aparece una tensión v en la pista 2 que tiene la forma representada en la figura 5. Figura 2: Respuesta del circuito RLC paralelo. El alumno puede, de esta manera reconocer la forma de onda correspondiente a cada tipo de respuesta del circuito ESTUDIO DEL ACOPLAMIENTO EN CIRCUITOS DIGITALES Como primera aplicación del estudio de los fenómenos transitorios se ha considerado el fenómeno de las capacidades cruzadas (Crosstalk) entre las pistas de un circuito impreso. Dicho fenómeno produce acoplamiento entre estas pistas induciéndose tensiones indeseadas. Se consideró la configuración física de la figura 3, donde se representan dos pistas de Cu en un circuito impreso sobre una placa de fibra de vidrio y una pista común. Figura 5: Resultado de la simulación en Pspice ESTUDIO DE LO S TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. En los Sistemas Eléctricos de Potencia cobra especial importancia los fenómenos transitorios. Como ejemplo se consideró el que se produce en la conmutación de bancos de condensadores (Figura. 6)

6 Figura 6: Diagrama unifilar del Sistema Eléctrico de Potencia En dicha figura se observa como en un momento dado se conecta un segundo banco de condensadores de 20 MVA. El transitorio que se produce afecta a la tensión en el nudo conectado a las dos líneas de transmisión. El circuito monofásico equivalente (figura 7) se simuló en Pspice y se obtuvo la curva representada en la figura 8 para la tensión del nudo del sistema. Figura 7: Circuito equivalente del S.E.P. a) Las herramientas necesarias para la simulación del circuito transitorio mediante las tres técnicas planteadas en la sección anterior se encuentran disponibles entre los bloques de Simulink. Estos bloques son los integradores y multiplicadores (para plantear la ecuación diferencial), el bloque State Space (para resolver un sistema mediante variables de estado) y el bloque Transfer Fcn (para resolver un circuito conocida su función de transferencia). b) Matlab posee los comandos adecuados para el estudio de los circuitos transitorios mediante las tres técnicas citadas incluyendo comandos que de una forma directa analizan la función de transferencia de un circuito (comendos tf2zp, residue, zp3tf, etc.) c) El entorno Matlab-Simulink permite la visualización de cualquier forma de onda del circuito mediante los bloques scope y plot xy de forma interactiva. d) Posibilidad de almacenar y procesar los datos numéricos de una simulación en el entorno Matlab mediante los comandos propios de este programa, con la potencia de cálculo que eso conlleva. e) Posibilidad de modelizar de una forma sencilla y cómoda elementos y circuitos eléctricos. De esta forma se pueden construir modelos más complejos a partir de estos modelos sencillos. f) Flexibilidad y posibilidad de elección del método de integración numérica más adecuado al tipo de circuito que se va a simular, pueden modificarse los pasos de simulación máximo y mínimo, la tolerancia, etc. Figura 8: Representación de la tensión en el nudo del S.E.P. 4.- SIMULACIÓN EN MATLAB- SIMULINK El entorno de simulación Matlab/Simulink representa una herramienta muy adecuada para el estudio de los circuitos transitorios. Las ventajas más importantes de Matlab-Simulink son las siguientes: g) Simulink dispone de funciones de enmascaramiento que permite personalizar los bloques o los subsistemas creando un nuevo cuadro de dialogo y opcionalmente un nuevo icono del bloque. Esto supone la posibilidad de un diseño con modelos jerarquizados, proporciona una interfaz de usuario descriptiva y personalizada, y protege los bloques de alteraciones no deseadas. A continuación se van a exponer los resultados de tres ejemplos realizados en este entorno de simulación.

7 4..- SIMULACIÓN MEDIANTE VARIA- BLES DE ESTADO UTILIZANDO MATLAB Para la simulación mediante variables de estado se consideró el circuito mostrado en la figura 9 donde una de las fuentes presenta una función salto lo que provoca un transitorio. Se desarrolló en Matlab un programa que ejecutó este algoritmo y representó gráficamente la tensión Vc(t) que se puede ver en la figura SIMULACIÓN MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ESCALAR gvc R E u(t) R 2 C + V c Para realizar esta simulación se usan el bloque integrador junto con los bloques multiplicadores y sumadores de Simulink para obtener la forma de onda de la variable de salida del circuito. Figura 9: Circuito simulado mediante las variables de estado E 2 - Se tomó como ejemplo un circuito RL con intensidad inicial en la bobina I 0 y con una fuente de alterna. (Figura ). Para la simulación en Matlab se utilizó el método trapezoidal de integración para resolver la ecuación de estado del circuito (2). Este método consiste en la obtención de forma iterativa del vector de variables de estado x(t) a partir del valor del mismo vector un instante anterior determinado por t aproximando la integral por el área trapezoidal entre t- t y t, en la ecuación t x (t) = x t t) + [ Ax ( t) Bu ( t) ] dt (2) ( + t t s Cualquier variable del circuito se obtiene en función de las variables de estado y las entradas (3).En el caso particular del circuito representado en la figura 9 y para R =4 Ω, R 2 =5 Ω, E =80 V; E 2 = 90 V, C=0.04 F y g=2 se tiene: Figura : Circuito RL con fuente de alterna La fuente se desconecta en un momento determinado to. El diagrama de bloques en Simulink para el cálculo de la intensidad es el que se representa en la figura 2. gr A = = 25 C( R + R ) B = C( R + R ) C( R + R ) = ) ) [ 2,7 2,7] (3) si se elige como variable de estado V c (t). Figura 2 : Diagrama de bloques del circuito RL Al desconectar la fuente en 0,4 s y para R= Ω, L=0,00 H, I 0 =0,2 A y V 0 = V siendo V 0 la amplitud de la tensión alterna, se obtiene en la siguiente gráfica (Figura 3): Figura 0 : Gráfica de la tensión del condensador obtenida en Matlab

8 Figura 5: Esquema en Simulink de la simulación Figura 3: Representación gráfica de la intensidad en el circuito RL SIMULACIÓN A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANFEREN CIA Para hacer la simulación de un circuito eléctrico mediante la función de transferencia es necesario el bloque denominado Transfer Function, en el cual se introducen como entradas los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia H(s). Se simuló el circuito representado en al figura 4. Figura 6: Representación gráfica de IL. 5.- CONCLUSIONES Figura 4: Circuito de segundo orden Para este circuito la función de transferencia eligiendo como variable de salida la Intensidad en la bobina IL es: I L(0 ) 2 V s C (0 ) + s+ IL( s) Ig IgL LC H( s) = = Ig 2 R s s + s + L LC (4) Para los valores concretos R=2k, R'=500 Ω, L=0 mh, C=00 pf, Ig=0 ma, se obtienen unas condiciones iniciales I L (0 - )=2 ma y V C (0 - )=4 V y la función de transferencia siguiente: s s + 0 H ( s) = (5) s s + 0 En las figuras 5 y 6 puede verse el esquema empleado en Simulink para hacer la simulación y la representación gráfica de IL(t) respectivamente. 2 En este artículo se presenta un nuevo procedimiento para la enseñanza de la unidad temática El circuito transitorio para la docencia de la electrotecnia dentro de las carreras técnicas. Este procedimiento se basa en simultanear en una misma sesión una parte teórica, junto con una parte de simulación por ordenador utilizando las herramientas Pspice, Matlab y Simulink. El programa Pspice proporciona una herramienta eficaz para la simulación de circuitos transitorios y la visualización y análisis de los resultados numéricos. El entorno Matlab/Simulink permite de manera directa la simulación de un circuito transitorio a través de tres procedimientos de análisis diferentes: planteamiento de la ecuación diferencial del circuito, análisis mediante variables de estado y análisis en el dominio de la transformada de Laplace o función de transferencia del circuito. De esta manera al alumno se le presentan simultáneamente los tres métodos de análisis de circuitos. En las simulaciones realizadas se comprueba que no existen diferencias apreciables entre los tres métodos para el cálculo de la respuesta del circuito aportando cada uno una visión diferenciada de la fenomenología. El esquema seguido incluye tres simulaciones realizadas en Pspice de circuitos transitorios y otras tres en Matlab/Simulink, lo que permite ilustrar

9 gráficamente los tres tipos de respuesta transitoria de un circuito lineal. El enfoque seguido se convierte así en un apoyo docente en la enseñanza del circuito transitorio, que puede se extendido a otras unidades temáticas de los circuitos eléctricos y que ha sido probado con satisfacción por los autores. REFERENCIAS [] F. J. Alcántara y P. Salmerón. "La Enseñanza del Circuito Transitorio en el Entorno Matlab- Simulink" VII Congreso Universitario de Innovación Educativa en las Enseñanzas Técnicas, Huelva, Vol., pp , Septiembre 999. [2] Pérez S., Salmerón, P. El uso del Pspice en la enseñanza de los circuitos eléctricos III Jornadas Universitarias sobre innovación educativa en las enseñanzas técnicas, Ferrol, Vol III, pp , Septiembre 995. [3] Pérez, S., Pérez, C. M., Rodríguez, J., Salmerón P. Simulación de circuitos eléctricos mediante Design Center Revista de enseñanza y tecnología, pp 4-46, Diciembre 996. [4] Chua, L. O., Desoer, C. A., Kuh, E. S. Linear and nonlinear circuits, McGraw-Hill, 987. [5] Thomas, R. E., Rosa A. J., The analysis and design of linear circuits, Prentice Hall, 998. [7]Allan GreenWood. Electrical Transient in Power Systems. John Wiley, 99 [8]The Design Center. Circuit Analysis Users's Guide, Microsim Corporation, 998. [9] User guide, Simulink 2.0, The Math Works Inc, 997.