Sobre los espacios regulares y normales T 3, T 4. Teoremas de Urysohn y Tiezte.

Transcripción

1 Sobre los espacios regulares y normales T, T 4. Teoremas de Urysohn y Tiezte. Nota al lector: Utilizaremos las expresiones entorno y entorno abierto indistintamente durante la formulación de los teoremas y sus respectivas demostraciones siempre y cuando quede claro en el contexto de las mismas. Comenzemos introduciendo el concepto de espacio regular, con él conseguiremos en primer lugar fortalecer el axioma de separación T 2 o Hausdor, a partir de las condiciones del mismo, es decir: Definición : Diremos que un espacio Hausdor (Y, T) es regular o T, si para cada punto y Y y para cada cerrado A contenido en Y, tal que y / A, entonces existen un abierto U entorno de y, y V abierto que contiene a A, tal que U V =. Esta denición tiene formulaciones equivalentes que vienen relacionadas con la siguiente proposición Proposición : Las siguientes propiedades son equivalentes 1. Y es un espacio regular. 2. Para cada y Y y para cada, U, entorno abierto de y existe otro entorno abierto V (de y) que verica las siguientes inclusiones: y V V U.. Para cada y Y y para cada cerrado A, con y / A, existe un entorno abierto V de y en Y, tal que V A = 1 2. Para cada U, entorno abierto de y, tomemos Y \ U que es cerrado en Y con y / Y \ U. Así, por ser Y un espacio regular existen sendos abiertos disjuntos, uno entorno abierto de y, y V, y un abierto W Y \ U. Además Y \ W es cerrado y V (Y \ W ), luego V (Y \ W ). Y como V (Y \ U) V (Y \ W ) =, tenemos y V V U. 2. Basta tomar Y \ A, que es entorno abierto de y, de modo que por 2 existe un abierto incluido V Y \ A tal que se verica la siguiente cadena de relaciones V V Y \ A de modo que V A =. 1. Como A es cerrado y y / A, entonces existe un entorno abierto de y, V, tal que su adherencia no corta a A, es decir 1

2 V A =. Además A Y \ V y V Y \ V =, luego hemos encontrado un entorno abierto de y, V, y un abierto que contiene a A, Y \ V, que tienen intersección vacia. Teorema : Todo subespacio de un espacio regular es regular. Además el producto arbitrario de espacios es regular si y solo si cada uno de los elementos del producto lo es. Supongamos que X es subespacio de Y. Entonces dados x X y A X cerrado en X tales que x / A, es claro que x Y y B cerrado en Y tal que A = X B. Por ser Y un espacio regular tenemos por denición que existe un entorno S del punto x en Y y un abierto W de B en Y, tal que cumplen S W =. Ahora basta intersecarlos con el subespacio X, es decir, S = S X y W = W X y tenemos el resultado pues estos son los abiertos en X tales que S W = La demostración es análoga a la del axioma Hausdor. Teorema : Sea Y regular y A Y subconjunto innito. Entonces existe una familia {U n : n 0} de abiertos tales que sus adherencias son dos a dos disjuntas y tales que su intersección A U n para cada n 1. Procederemos por inducción y tomaremos U 0 =. Tomemos U 0...U n tales que sus clausuras son disjuntas dos a dos y además A U k para cada 1 k n, y tomemos A n denido como A n = A n i=0u i Así A n es un conjuntos innito, pues las adherencias son disjuntas dos a dos. Sean a y b puntos distintos en A n, por ser Y un espacio regular se tiene que podemos encontrar un abierto V y W tal que a V V Y [ n i=0u i {b} ] b W W Y [ n i=0u i V ] Deniremos ahora U n+1 = V en caso de que V A sea nito y U n+1 = W en otro caso. Entonces con esta denición las adherencias de la familia U 0...U n+1 son disjuntas dos a dos y además se tiene que A U k para cada 1 k n + 1. Esto concluye la demostración. 2

3 Caracterizaremos ahora que ocurre con las aplicaciones de espacios regulares X, en las aplicaciones en un espacio cociente dada una relación de equivalencia. Si la proyección no cumple propiedades restrictivas no se puede esperar nada de la estructura topológica del cociente, es decir, por cociente las propiedades de un espacio topológico vía una relación de equivalencia no son heriditarias. Este resultado insatisfactorio se puede mejorar si la aplicación proyección entre el espacio topológico X y su cociente verica una condición, como veremos en el siguiente resultado. Teorema : Sea X un espacio regular y sea la proyección p : X X/R donde R es una relación de equivalencia en X entonces si p es cerrada se tiene que R X X es cerrada. Tomemos (x, y) / R, vamos a encontrar un entorno del punto (x, y) U V CR. Entenderemos CR formalmente como el complementario de la relación de equivalencia, es decir que ningún punto del producto cartesiano de U V pertenece a la relación de equivalencia, que son dos abiertos tales que p(u) p(w ) =, pues si existiera algun elemento tal que se satisciera lo anterior se tendría que existirían dos puntos uno de U y otro de V de modo que estarían relacionados no cumpliendose U V CR. Notese que (x, y) / R p(x) p(y) x / p 1 p(y) por ser X en particular Hausdor y es cerrado de modo que por ser la aplicacion proyección cerrada tenemos que p 1 p(y) es cerrado en X luego existen abiertos disjuntos de modo que x U y p 1 p(y) V. Pero por ser p una aplicación cerrada (resultado sobre proyecciones) tenemos p(y) W de modo que p 1 p(y) p 1 (W ) V luego U p 1 (W ) es el entorno buscado de (x, y). Corolario : Si X es regular y p : X X/R es cerrada y abierta entonces X/R es Hausdor La prueba es evidente a partir de lo anterior pues p es cerrada y X es regular luego el conjunto R X X es cerrado, ademas la aplicación p es abierta, luego como en concreto el espacio es Hausdor por ser R X X es cerrado, entonces X/R es Hausdor. Teorema :Sea X un espacio regular y A X cerrado en X, entonces X/A es Hausdor. Sean dos elementos a 1, a 2 de X/A.Estudiemos por casos. Supongamos que a 1, a 2 X/A [A], entonces es trivial pues X A es Hausdor, luego existen dos abiertos disjuntos que separan al conjunto

4 y se quedan completamente contenidos en X A. Ahora supongamos sin perdida de generalidad que a 2 = [A], además p 1 (a 1 ) es un único punto y p 1 (a 1 ) / A. En consecuencia como A es cerrado y p 1 (a 1 ) no está en A tenemos el resultado, pues X es regular y por tanto existen dos abiertos disjuntos que separan a A cerrado y p 1 (a 1 ), que es un único punto. Llamemoslos U, V. Evidentemente p(u) y p(v ) son abiertos por ser la aplicación p abierta, lo que nos da una separación por medio de dos abiertos disjuntos de a 2 y a 1. Deniremos ahora un nuevo modelo de axioma de separación aún mas fuerte que el anterior. Definición : Diremos que un espacio de Hausdor es normal o T 4 si para cada par de cerrados disjuntos existen dos entornos abiertos que los separan, es decir cuya intersección es vacía. Claramente todo T 4 T T 2. Estudiemos algunas formulaciones equivalentes a partir de las cuales caracterizaremos los espacios normales. Proposicin : Las siguientes formulaciones son equivalentes 1. Y es normal 2. Para cada cerrado A y abierto U A hay un abierto V que cumple las siguiente cadena de inclusiones A V V U. Para cada par de conjuntos cerrados A, B, existe un abierto U con A U y U B = 4. Para cada par de conjuntos cerrados existen entornos cuya adherencia también es disjunta. Demostración : La prueba es similar a la del caso en el que Y era regular. Teorema : La normalidad es invariante bajo aplicaciones continuas cerradas suprayectivas Un subespacio en general de un espacio normal no es normal, si el subespacio es cerrado en un espacio normal entonces es normal. 4

5 El producto cartesiano de espacios normales no es necesariamente normal. En cualquier caso, si el producto es normal cada factor que conforma tal producto es normal. Sea Y un espacio normal supongamos f : Y Z tal que f es continua y suprayectiva, entonces tomemos dos conjuntos disjuntos cerrados arbitrarios A,B en Z, por ser f una aplicación suprayectiva y continua, tenemos que la imagen inversa de cerrados es cerrado y ademas estos dos conjuntos son disjuntos es decir f 1 (A) y f 1 (B) que son cerrados en Y donde f 1 (A) f 1 (B) =, pues si existiera un x punto que estuviera en ambos entonces x f 1 (A) y x f 1 (B) de modo que f(x) A y f(x) B luego contradiría la suprayectividad pues A y B son disjuntos, ahora como Y es es un espacio normal, tenemos que existen un par de abiertos supongamos C 1, C 2 tal que verican f 1 (A) C 1 y f 1 (B) C 2 con C 1 C 2 = aplicando la proposición anterior existe V 1, V 2 tal que sus adherencias respectivamente verican f 1 (A) V 1 V 1 C 1 y f 1 (B) V 2 V 2 C 2 además V 1 V 2 C 1 C 2 =, luego tomando las imagenes de f(v 1 ) y f(v 2 ) que son cerradas pues f es cerrada son dos cerrados que contienen a A y B respectivamente pues f(a) f(v 1 ), f(b) f(v 2 ), basta comprobar que f(v 1 ) f(v 2 ) =, si hubiera un punto en la intersección sería x f(v 1 ) y x f(v 2 ) luego f 1 (x) V 1 V 2 pero esto es vacío de modo que hemos concluido la prueba. Es evidente pues un cerrado en un subespacio es también cerrado en el espacio ambiente el cual es normal, luego tomando los abiertos pertinentes y cortandolos con el subespacio tenemos el resultado. El resultado se obtiene de aplicar los pertinentes resultados obtenidos para espacios Hausdor pues los espacios normales son Hausdor, y utilizar adecuadamente las dos armaciones anteriores. Teorema de Urysohn Como ya sabemos en general dada un aplicación entre dos espacios topológicos, la caracterización de que esta aplicacion sea o no continua depende directamente de de lo relativo a cada uno de los espacios topológicos de partida y llegada, es decir si Y es un conjunto nito con mas de un elemento y tomamos su 5

6 topología discreta y su topología trivial es claro que la aplicación identidad g : (Y, T D ) (Y, T T rivial ) es siempre continua pero la aplicación inversa no lo es. Así los espacios normales adquieren una gran importancia pues siempre existen funciones continuas no constantes con valores reales denidas de la forma f : X E 1. El siguiente resultado nos caracteriza cuándo el conjunto Y es normal, en terminos de la existencia de una aplicación continua entre subconjuntos del propio Y. Antes de enunciarlo señalemos que en adelante E 1 := (R, T u ). Teorema (P.U rysohn) : Sea Y un espacio topológico Hausdor,entonces las siguientes armaciones son equivalentes: 1. Y es normal 2. Para cada par de conjuntos cerrados y disjuntos, A y B, en Y, existe una aplicación continua f : Y E 1, llamada aplicación de Urysohn relativa a A y B (es importante hacer notar que efectivamente depende directamente de quienes sean A y B), que verica las siguientes propiedades (a) 0 f(y) 1 y Y (b) f(a) = 0 a A (c) f(b) = 1 b B 2 1. Como para cada par de cerrados disjuntos A y B existe una aplicación continua que satisface dichas tres condiciones entonces tomando U = { { y : f(y) < 4} 1 y V = y : f(y) > 4} se tiene que A U, B V y estos son abiertos, lo que completa el resultado Denamos R = {r Q : r = k2 n /0 k2 } n 1 Veamos que a cada r R le podemos asociar un abiertou(r) que verique las siguientes propiedades A U(r) y U(r) B = Si r < r U(r) U(r ) (esto último nos dice que la desigualdad preserva el orden salvo adherencia del primer término) Consideremos el conjunto denido como { ( ) } k D m = U 2 m : k = 0, m D 0 esta formado por dos elementos U(0) y U(1). Tomemos, para que satisfaga las relaciones pedidas, por ejemplo U(1) = Y \ B 6

7 U(0) = H cualquier abierto que verique (que existe por la condición de normalidad ) A H H U(1) = Y/B Asumamos por inducción que hemos construido hasta D m 1. Solo necesitaremos denir los U ( ) k 2 para k impares, pues para m k pares tenemos que ( ) ( ) ( ) k k k 2 2 U 2 m = U 2 2 n = U 2 n 1 donde este último ya esta denido en D m 1. Para el que tenemos en virtud de D m 1 la siguiente estimación. Suponiendo ahora que k es impar, podemos denir para U(k/2 m ) como un abierto U que satisfaga la siguiente relación, que vuelve a existir por normalidad, ( ) ( ) k 1 k + 1 U U U U 2 m Esto completa la demostración pues D m es constructible. Queda por denir f. Tomemos ahora U(1) = Y y observemos que m D m = {U(r) : r R}. Consideremos: 2 m f(y) := inf {r R : y U(r)} y Y Es evidente que esta aplicación así denida verica la condición (a). Es más esta aplicación cumple f(b) = 1, pues b B, b U(1) = Y, y f(a) = 0, pues a A, a U(r) r. Basta comprobar la continuidad de la aplicación y habremos terminado. Sea f(y 0 ) = r 0, si r 0 no es ninguno de los extremos del intervalo [0, 1] entonces elijamos un ε de modo que el intervalo quede contenido dentro de [0, 1], es decir, W = (r 0 ε, r 0 + ε) [0, 1]: y tomemos dos puntos r, r R tales que veriquen r 0 ε < r < r 0 < r < r 0 + ε (se pueden tomar por la densidad de R en [0, 1]). Entonces U = U(r ) U(r ) es un entorno de y 0 y además f(u) W, pues y U(r ) f(y) r y análogamente y / U(r ) f(y) r. De ser r 0 {0, 1} bastará tomar U como el entorno abierto U(r ), si r 0 = 0, o X U(r ), sir 0 = 1, para que f(u) W,. Corolario : En la prueba no es vinculante el hecho de que la aplicación termine en el intervalo[0, 1],cualquier intervalo cerrado y acotado se puede sustituir en la prueba. 7

8 Teorema de extensión de Tieztze. Muy a menudo en matemáticas es importante conocer bajo qué ciertas condiciones podemos extender una función a conjuntos mas amplios. Este tipo de resultados apararecen en muchos contextos diferentes como en variable compleja, para extender funciones holomorfas a conjuntos mas amplios para lo cual disponemos de teoremas muy celebres como el de extensión de Riemann. En el contexto de la geometría diferencial y mas en general en el contexto de las variedades diferenciables muy a menudo necesitamos de disponer de una función que sea continua y diferenciable ya no solo en la topología relativa inducida en la supercie tratada en cuestión, si no en todo el espacio,tal que su restricción a la supercie sea la función original, y en este contexto las extensiones de funciones juegan un papel esencial en la teoría de la geometria diferencial moderna. Para ello formalizaremos el concepto de extensión continua de una función. Definición :Sean X,Y espacios topológicos y A X, y sea f : A Y continua diremos que f posee una extensión en X que llameremos f si se satisfacen las dos siguientes condiciones: 1. f : X Y es una función continua 2. f(x) = f(x) x A, lo que abreviadamente escribiremos como fa = f(x), es decir, si su restricción sobre el subespacio A coincide con la funcion original. Teorema (H.T ietze) : Sea X un espacio Hausdor. Las siguientes propiedades son equivalentes: 1. X es un espacio topológico normal 2. Para cada cerrado A X y para cada función continua f : A E 1 existe una extensión continua F := f : X E 1.En particular, si f(a) < c en A, se puede elegir F adecuadamente de modo que F (x) < c x X 2 1. Supongamos que en virtud de 2 tenemos dos cerrados disjuntos A y B y denamos la siguiente aplicación f : A B X E 1 tal que f(a) = y 0 y f(b) = y 1, entonces existe una extensión continua de esta función llamemosla F : X E 1 y existen entornos abiertos de y 0,y 1 llamemos U,V tal que U V =, entonces F 1 (U), F 1 (V ) son entornos disjuntos de A, B respectivamente, en efecto es claro que son entornos pues, y 0 U,y 1 V y F es extensión de f entonces f(a) = F (A) lo que nos da que f 1 (y 0 ) F 1 (y 0 ), y analogamente f 1 (y 1 ) F 1 (y 1 ) ahora basta ver que son disjuntos, en efecto supongamos un punto w de F 1 (U) F 1 (V ) entonces 8

9 w F 1 (U), w F 1 (V ) luego F (w) U y F (w) V de modo que esta en la intersección de ambas F (w) U V, pero el conjunto es vacío, luego llegamos a una contradicción lo que nos da la demostración Probaremos un lema previo a la demostración que nos servirá para la construcción de la F, la cual realizaremos en tres etapas Lema Técnico : Supongamos g : A E 1 continua que verica g(a) c para todo a A. Entonces existe una aplicación continua denida en todo el espacio que llamaremos h : X E 1 que cumple 1. h(x) < c x X 2. h(a) g(a) 2c a A Demostración del Lema: Denamos los siguientes conjuntos A + = { a A : g(a) c } A + = { a A : g(a) c } Por construcción estos conjuntos son cerrados disjuntos en A, pues son la imagen inversa de cerrados, es decir cerrados. En particular son cerrados en X. Como X es un espacio normal, por el Teorema de Urysohn tenemos que existe una función h : X E 1 de modo que para todos los elementos de A + tomará el calor c y para todos los elementos de A tomará el valor c, y la función de Urysohn satisfacerá que c h(x) c, lo cual nos da lo que queríamos demostrar. La prueba del teorema la realizaremos en etapas: 1 Etapa : Supongamos que f(a) c en A. En virtud del lema anterior tenemos que existe una función continua, h 0 : X E 1, que cumple las tesis del lema, en concreto h 0 (x) < c y h 0 (a) f(a) 2c a A. Si consideramos ahora la función f h 0 : A E 1, aplicando nuevamente el lema técnico anterior, existe una función h 1 : X E 1 continua tal que (el papel que jugaba c en la primera iteración lo juega ahora 2c ) h 1 (x) 2c 1 x X f h 1 (x) h 0 (x) 2c 2c a A 9

10 Por inducción, si suponemos que h 1, h 2..., h n estan denidas y todas ellas verican ( ) n 2c 1 h n (x) x X f n i=0 h i (x) 2c ( ) n 2 c a A y aplicamos el lema de nuevo tenemos que existe una función continua h n+1 : X E 1 que verica la siguiente estimación h n+1 (x) 2 1 n+1 f i=0 ( ) n 2 c = 1 h i (x) 2c ( ) n+1 2 c x X ( ) n+1 2 c a A } Queda así construida la familia de funciones continuas { hn : X E 1. Se puede probar que la función denida como F (x) = h 0 n (x) es una función continua en X. La segunda desigualdad muestra, por la convergencia del segundo miembro a 0 cuando n es sucientemente grande, que h 0 i (x) = f(a) = F (a). Ahora empleando la primera desigualdad y las estimaciones fundamentales para series de funciones, tenemos n N F (x) = h n (x) 0 h n (x) 1 c 0 0 ( ) n 2 = 1 c = c 2 Etapa : Supongamos ahora que f(a) < c en A. La extensión F que hemos construido en la primera etapa satisface que F (x) c. Consideremos el conjunto A 0 = {x X : F (x) = c}, entonces A 0 es cerrado, pues es la imagen inversa de dos puntos {±c} por una aplicación continua, es decir F 1 ({±c}), y los puntos son cerrados en la segunda topología, y claramente A 0 A =. Entonces existe una función de Urysohn denida en todo el espacio ζ : X E 1 tal que sobre los conjuntos A y A 0 actua como la siguiente función indicatriz { ζ(x) = 0 x A 0 ζ(x) = 1 x A donde en virtud del teorema se satisface que su extensión al espacio X cumple que 0 ζ(x) 1. Tomando ahora una función que esta denida como el producto de dos funciones en todo el espacio 10

11 G(x) := ζ(x)f (x), esta es continua (se puede comprobar facilmente) y verica G(a) = ζ(a)f (a) = F (a) = f(a) para a A, luego G es por denición otra extensión de f en todo el espacio topológico X con imagen en E 1.De hecho G(x) < c en X : si x A 0 entonces G(x) = 0 y si esta en complementario de A 0 entonces ζ(a) < 1 de modo que F (x) < c Etapa :f no necesariamente acotada. Si tomamos la aplicación h : E 1 ( 1, 1) denida por el homeomorsmo h(x) = x 1 + x Por la segunda etapa de la prueba, la aplicación h f : A ( 1, 1) tiene una extensión, F, a todo el espacio. De este modo tenemos que f = h 1 F es una extensión de la antigua f, que en efecto coincide con ella para todo a A pues f(a) = h 1 (a) F (a) = h 1 (a)h(a)f(a) = f(a). Esto completa la prueba. Un espacio por el que puede ser sustituido E 1 en el Teorema de Tietze es llamado repliegue absoluto para espacios normales (absolute retract for normal spaces) o, abreviado, AR (normal). Así, tenemos Definición : Y es un AR (normal) si para cada espacio normal X y cada cerrado A X toda función continua f : A Y posee una extensión F : X Y. Corolario : Sea {(Y α, T α ) : α A} una familia de espacios topologicos. Se tiene que α AY α es AR (normal) si y solo si Y α es AR (normal) α A. En particular E n, I n y I son AR (normal). Demostración :Sea X normal y A X cerrado. [ =] Supongamos Y α es AR (normal) α A y f : A α AY α continua. Así, dado que la proyeccion sobre cada componente, p β : α AY α Y β, es continua, p β f : A Y β es continua y dado que Y β es AR (normal), existe una extensión continua de p β f, F β : X Y β. Y concluimos que F : X α AY α con F (x) := α AF α (x) es extensión de f sobre X. [= ] Supongamos α AY α es AR (normal) y f : A Y β continua. Sea s β : Y β α AY α el homeomorsmo sobre el slice S(y 0, β) α AY α tenemos que s β f : A α AY α admite una extensión continua F : X α AY α. Dado que p β s β = 1 Yβ se tiene que p β F es una extension de f sobre X relativo a Y β. Si reemplazamos E n por la esfera n-dimensional S n tenemos el siguiente resultado: 11

12 Corolario : Sea X normal, A X cerrado y f : A S n continua. Entonces existe un abierto U A, que depende de f, sobre el que f admite una extension continua. Demostraci ón: Consideremos f : A S n E n+1. Por el corolario anterior existe una extensión continua de f, F : X E n+1. Sea U = {x X : F (x) 0}, que es un abierto en X que contiene a A, denimos en U F (x) = F (x) F (x), continua en E n+1 y con imagen en S n. Así F : U S n es extensión de f. Un espacio por el que puede ser sustituido S n en el corolario anterior es llamado entorno replegado absoluto para espacios normales (absolute neighborhood retract for normal spaces) o, abreviado, ANR (normal). Así, tenemos Definición : Y es un ANR (normal) si para cada espacio normal X y cada cerrado A X toda función continua f : A Y posee una extensión F : U Y donde U es un abierto que contiene a A. Observación : Todo espacio AR (normal) es un ANR (normal). El reciproco no es cierto. Corolario :Sea {(Y i, T i ) : i = 1,..., n} una familia nita de espacios topológicos. Se tiene que Y i es ANR (normal) si y solo si Y i es ANR (normal) i {1,..., n}. Demostración :Sea X normal y A X cerrado. [ =] Supongamos Y i es ANR (normal) i {1,..., n} y f : A Yi continua. Así, dado que la proyeccion sobre cada componente, p j : Y i Y j, es continua, p j f : A Y j es continua y dado que Y i es ANR (normal) existe un abierto U j que contiene a A y una extensión continua de p j f a dicho abierto, F j : U j Y j. Concluimos, por tanto, que F : U j Y j con F (x) := F j (x) es extensión de f sobre U j, abierto que contiene a A. [= ] Supongamos Y i es ANR (normal) y f : A Y j continua. Sea s j : Y j Y i el homeomorsmo sobre el slice S(y 0, j) Y i, tenemos que s j f : A Y i admite una extensión continua a un abierto U que contiene a A, F : U Y i. Dado que p j s j = 1 Yj se tiene que p j F es una extension de f sobre U relativo a Y j. 12