PALABRAS CLAVE Tasas implícitas Tasas de mercado - Dynamic Nelson y Siegel (DNS) Tendencia Solver

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1 ESTRUCTURAS DE TASAS DE INTERES TAGLIAFICHI, Ricardo Alfredo Faculad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos Aires Área Técnica RESUMEN Ese rabajo iene por objeo un análisis y aplicación de los modelos desarrollados para el cálculo de la esrucura de asas de inerés. El esudio de la esrucuras de asas iene implicancias en el cálculo del riesgo financiero y en la macroeconomía. Para la macroeconomía el cálculo de esa esrucura sirve a los efecos de conocer las expecaivas con respeco a la inflación y al crecimieno del produco bruo. Para el cálculo de riesgo financiero permie esablecer la composición de los flujos de fondos y el riesgo de aumeno de cosos por el descalce de los mismos. La expecaiva queda expuesa en la esrucura enconrada y cuál es la asa de inerés implícia en cada uno de los periodos implicados en la curva enconrada. Esa presenación esá separada en las siguienes pares. La primera raa el problema de la esimación de la esrucura de asas, la segunda pare desarrolla los modelos que se uilizan en el mercado, la ercera se muesra un desarrollo aplicado a la economía de nuesro país, la cuara pare se desarrolla un modelo de aplicación en planilla elecrónica de cálculo y finalmene se muesran las conclusiones sobre los disinos modelos. PALABRAS CLAVE Tasas implícias Tasas de mercado - Dynamic Nelson y Siegel (DNS) Tendencia Solver

2 INTRODUCCION El área de finanzas, ano en las insiuciones financieras como en los proyecos de inversión, es imprescindible el análisis de la esrucura de asas de inerés que se aplica para el cálculo del riesgo de asa de inerés para las primeras como para el cálculo de la asa inerna de reorno de los proyecos de inversión Para consruir una curva de asas de inerés o lo que llamamos esrucuras deasa de inerés se debe parir de esrucuras de asas observables conocidas como asas spo o asas del mercado y que será la base del cálculo de la esrucura que podamos calcular. Recordemos que desde el puno de visa de la macroeconomía la esrucura de asas de inerés es un índice de la evolución de lo que espera el mercado en lo referene a asa de inflación y crecimieno del produco bruo inerno. También la esrucura de asas que se calcule a parir de las asas spo aplicada a las enidades financieras permie rasladar al riesgo del descalce de los flujos de fondos lo que esima el mercado que va a suceder en el coso financiero. TASAS SPOT Las asas spo surgen del mercado por ello es imporane deerminar en qué mercado, localidad y riesgo crediicio del omador, y en qué momeno se esá calculando la esrucura de asas. Como ejemplo podemos omar la esrucura de asas en los EEUU y la Argenina en disinos momenos de la economía para poder apreciar los cambios en las mismas. Tasas Spo de los Treasury Bonds Como se puede apreciar la volailidad de las observaciones en los plazos de vencimieno va decreciendo a medida que los plazos son más largos, y como consecuencia los valores máximos decrecen para dichos plazos en el siglo pasado pero es inverso el comporamieno en el úlimo año periodo perido 09/ /2016 meses promedio minimo maximo volailidad meses promedio minimo maximo volailidad 3 6,851 2,732 16,02 2, ,157 0,010 0,260 0, ,079 2,891 16,481 2, ,196 0,020 0,310 0, ,201 2,984 16,394 2, ,348 0,110 0,500 0, ,302 3,107 15,822 2, ,498 0,260 0,650 0, ,558 3,777 15,65 2, ,775 0,640 0,980 0, ,724 4,204 15,765 2, ,996 0,790 1,280 0, ,933 4,347 15,005 2, ,383 1,070 1,700 0, ,047 4,384 14,979 2, ,708 1,330 2,040 0, ,079 4,352 14,975 2, ,946 1,500 2,260 0, ,142 4,433 14,936 2, ,143 4,443 14,925 2,164

3 Tomando los valores medios de las observaciones 1 expuesas en la abla anerior se puede consruir una esrucura de asas para odos los plazos calculando una endencia logarímica, siguiendo una regresión lineal del ipo: TNA = ln() (0.17) (0.055) R 2 = Observando el resulado de aplicar el modelo de endencia logarímica a ambas series se puede deerminar que difieren principalmene en el nivel de la ecuación y en su dispersión. Es por ello que en la serie de los úlimos 12 meses la ordenada al origen enga una ala probabilidad de ser nula La curvaura o pendiene, es similar en ambos casos y su derivada nos sirve como indicaivo del periodo en que la derivada indica que la angene en ese puno cambia a valores menores a los 45, marcada con dao imporane para el cálculo de los modelos DNS. También es imporane observar que la dispersión de ambos esimadores indica que los mismos no son nulos 1 La información para el periodo es la abla informada en el working paper Analyzing he Term Srucure of Ineres Raes using he Dynamic Nelson-Siegel Model wihtime-varying Parameers Siem Jan Koopman Max I.P. Mallee Michel van der Wel. La información mensual es omada de la página web www. federalreserve.com

4 Tasas Spo en Argenina Las asas spo en nuesra economía ienen una esrucura muy disina a la del país del nore o a los de la comunidad Europea. Como había expresado en un principio, la esrucura de asas desde el puno de visa macroeconómico es un índice de las expecaivas del mercado en cuano a asa de inflación y crecimieno de la economía. Anes de comenzar con el análisis de cuáles serían las asas spo que se pueden omar como referencia para consruir una esrucura de asas, repasemos con que información se cuena en el mercado para ese análisis. Hasa fin del 2011 el BCRA publicaba en forma diaria las asas enre las enidades financieras por plazos de 1 día, 30, 60, 90, 180, 360 y 545 días, lo que implicaba ener una idea de la esrucura de asas acivas en el mercado financiero. El dao oficial más acualizado para usar son los plazos y asas de las Lebacs (leras emiidas por el BCRA a disinos plazos en pesos). La caracerísica de ese papel es que los plazos no son esándar y no odos los plazos ienen coización cada semana, de manera que se han esandarizado en los plazos más cercanos (por ejemplo las leras de 91 días se omaron como de 90 días y así sucesivamene) y se consideraron aquellos plazos que uvieron coización por encima de la media de las observaciones). Los resulados del año 2012 se exponen a coninuación: TNA = *ln () (0.41) (0.18) R 2 = 0.86 El comporamieno durane el año 2014 es basane parecido solo que por efecos macroeconómicos el nivel u ordenada al origen se eleva y la ecuación para ese año oma los siguienes valores: TNA = ln () (0.55) (0.28)

5 R 2 = Si omamos el comporamieno de los mimos papeles para el periodo 15/12/2015 al 16/06/2016 por efeco de las expecaivas macro, la siuación cambia poniéndonos frene a una esrucura de asas en siuación de crisis. Definía el profesor Van Horne 2 a esas esrucuras como en el coro plazo eso esá mal pero en el más largo plazo engo la esperanza que mejorará. TNA = * ln () (0.38) (0.27) R 2 = EL CÁLCULO DE LA TENDENCIA Una vez deerminado cuales son las asas spo a uilizar debemos concenrarnos en enconrar la esrucura de asas aplicables al flujo de fondos que nos afeca. Es imporane recordar que los ejemplos uilizados represenan esrucuras de asas de las variables observables en la economía, mienras que en casos de unidades económicas las asas spo serían las asas con que las empresas se financian en el mercado. En ambos casos ano las asas spo de las Lebac como las asas a las que se puede acceder en el mercado, son la base de la esrucura de asas que se uilizaran para el cálculo de los riesgos de asa de inerés del flujo de fondos de la empresa. La endencia es uno de los cálculos esadísicos con los que se raa de inferir el valor de la asas de inerés en los plazos que no se muesran en las asa spo. Como se ha podido apreciar en economías esables los plazos expuesos son los mismos a ravés del iempo, cosa que no sucede en economías como la nuesra donde la ofera de dinero abarca un plazo mayor cuando hay esabilidad y el espacio se achica cuando aparece en el horizone la inceridumbre. 2 Financial Markes Raes & Flows - James C. Van Horne - Third Ediion Prenice Hall Inernaional Ediions 1990 New Jersey

6 Se puede decir que inceridumbre siempre hay el problema es cuál es la magniud de la misma y en función de ella hacer las esimaciones correspondienes. Si se observan daos del año 2012 se puede observar que hay oferas de fondos para más de un año con un nivel que oscila enre el 13% y 15 %, es decir el mercado no supone un crecimieno de la inflación y iene como horizone que exisirá esabilidad en la economía, cosa que no podemos observar en el primer semesre de Las herramienas con las que se cuena para el cálculo de la endencia son las siguienes y esán uilizables en la planilla elecrónica Excel En ese grafico se pueden observas res ipos de endencia aplicable cada una de ellas con su nivel de ajuse Los modelos, lineal y polinomico, marcan una evolución creciene de la asa de inerés mienras que el logarímico modera dicho crecimieno No pasa lo mismo en el primer semesre de Como ya comenara la presenación de curvas inversas da en principio una idea de crisis, que si se maniene cualquiera de las endencias aplicables seguiríamos en un esado de crisis durane un largo iempo. En consecuencia a parir de las asas spo enconradas para una fecha dada aparecen dos cálculos que son el nivel de asas u ordenada al origen y la endencia. El raamieno de la ordenada al origen es un ena que debe considerarse como el salo probable paralelo de la curva o endencia resulane de las observaciones de las asas spo. LAS TASAS FORWARD Cuando se consideran inversiones a largo plazo siempre es imporane raar de conocer cuál será el coso, si es que esamos en la posición de deudor, o el beneficio, si es que esamos en la posición de inversor, de una operación financiera a parir de la evolución de la asa de inerés en el fuuro.- Para ello es imporane raar de deerminar qué valores podrá omar la asa de inerés en el periodo fuuro de la operación que vamos a realizar. Conocemos que se hacemos un análisis

7 de la evolución pasada de las asas de inerés vemos que ellas no se han manenido consanes a ravés de los periodos pasados.- Cuando nos referimos a la asa de inerés, esamos refiriéndonos a la asa de inerés que omamos como marco para nuesras decisiones. Esa puede ser una asa que enga volailidad cero (asa libre de riesgo), o una asa que represene un coso de oporunidad aplicada a ciero ipo de operación.- Para conocer cuál es la asa que es la asa fuura que rige para una operación, se pare de las asas spo o más precisamene de la esrucura de asas enconrada. n ( 1+ Rn ) = (1+ R1 )(1+ + 1r1 )( r1 )...(1+ + n 1r1 ) para = 1 Dónde: R n Represena la asa acual (spo) o proveniene de la esrucura de asas de inerés para cada periodo en una operación de n periodos +qr Represena la asa de fuuro implícia, calculada a parir de la asa spo o proveniene de la esrucura de asas, para un periodo (1) en el momeno +1 En sínesis la asa de inerés para un periodo de n años es la resulane de considerar la asa implícia en cada uno de los periodos inervinienes en función de las asas coizadas en el día de la fecha para operaciones de disinos periodos de vencimieno, siendo la del primer periodo la asa spo para operaciones a un año de plazo.- Como consecuencia de lo anerior se deduce que: 1+ r + n 1 (1+ R1 )(1+ + 1r1 )(1+ + 2r1 )...(1+ r = (1+ R )(1+ + 1r1 )(1+ + 2r1 )...(1+ (1+ R = (1+ 1 n+ 1 n+ 1) n Rn ) + n 1 1 )(1+ r ) + n 1 1 r + n 1 A parir de ese caculo y considerando la esrucura de asas obenida se puede calcular cual sería la asa esperada en cada periodo EL MODELO DE NELSON Y SIEGEL Y SUS MODIFICACIONES Una solución a los problemas de la endencia es la que proponen Nelson y Siegel (1987) que sugieren para una curva de asas fuuras en un momeno deerminado con un ipo de funciones de aproximación. Ese enfoque es muy popular gracias a su conveniene y parsimoniosa aproximación exponencial de res componenes. BIS 3 (2005) informa que acualmene nueve de rece bancos cenrales que informan sus méodos de esimación de la curva de asas de inerés al BIS usan Nelson-Siegel o alguna de sus modificaciones. ) 3 Bank of Inernaional Selemens

8 El modelo de Nelson y Siegel permie capurar la dinámica de oda la curva de rendimieno y ha sido someido a modificaciones como las expuesas por Diebold y Li (2006) o por Svensson (1984) con un modelo de cuaro facores. En el modelo paramérico de Nelson y Siegel se supone que la asa de inerés forward llamada R() para el periodo esá dada por: Dónde: son parámeros a ser calculados y esán deerminados por sus condiciones iniciales, mienras que λ1 y λ2 son consanes emporales asociadas a la ecuación. A fin de eviar una sobreparamerización del modelo lo auores proponen una solución a la ecuación diferencial que es la que sigue: Las asas spo TNA se obiene como promedio de las asas forward. De esa manera Nelson y Siegel arriban a esa curva: Haciendo los cálculos correspondienes se obiene: Las asas de inerés se denoan por TNA (τ) en el iempo y madurez τ. Para un iempo dado, el rendimieno de la curva θ (τ) es alguna función suavizada que represenan las asas de inerés (rendimieno) como una función de la madurez τ. Una descripción funcional parsimoniosa de la curva de rendimieno es propuesa por Nelson y Siegel (1987). La formulación de Nelson-Siegel se modifica por Diebold y Li (2006) para reducir la coherencia enre los componenes de la curva de rendimieno. Donde β = (β1, β2, β3), esán dados para el periodo, con plazo τ y coeficiene fijo λ que deermina la caída exponencial del segundo y ercer componene de la formula anerior La curvaura y la forma de la curva de rendimieno esán deerminadas por los res componenes y sus coeficienes asociados en β. El primer componene oma el valor 1 (consane) y por lo ano puede ser inerpreado como el nivel general que igualmene influye

9 en las asas de inerés de coro y largo plazo. El segundo componene converge a uno como τ 0 y converge a cero como τ para un deerminado periodo. Por lo ano ese componene influye sobre odo en las asas de inerés a coro plazo. El ercer componene converge a cero como τ 0 y como τ pero es cóncavo en τ, para una dada. Ese componene por lo ano se asocia con las asas de inerés de mediano plazo. Pueso que el primer componene es el único que es igual a uno como τ, su correspondiene coeficiene β1 generalmene esá relacionado con la asa de inerés a largo plazo. Por definición la pendiene de la curva de rendimieno como [θ( ) θ(0), es fácil verificar que la pendiene converge a β2 para una dada. Finalmene, la forma de la asa puede ser definido por [θ (τ ) θ(0)] [θ( ) θ (τ )] para una maduración media τ, digamos, dos años y para una dada. Puede ser demosrado que esa forma equivale aproximadamene a β3. En caso de observar una serie de y(τi) de las asas de inerés para un conjuno de N diferenes plazos τ1 <... < τn disponible en un iempo dado, podemos calcular la curva de rendimieno por el modelo de regresión simple Para i = 1,..., N. Las aleraciones ε1,..., εn se suponen que son independienes con media cero y varianza consane σ2 para un periodo dado. El méodo de mínimos cuadrados proporciona esimaciones para el βj coeficienes j = 1, 2, 3. Esas esimaciones de core ransversal pueden obenerse de las asas de inerés para diferenes plazos de vencimieno disponibles en el momeno. La serie de regresión calcula para β, para los períodos de iempo = 1,..., T, aparecen fueremene correlacionados con el iempo. En oras palabras, los coeficienes son predecibles y por lo ano, el marco de Nelson-Siegel puede uilizarse para la previsión de esa manera. Eso ha sido reconocido por Diebold y Li (2006) que implemenaron el siguiene procedimieno de dos pasos: en primer lugar, esimar el β por mínimos cuadrados de sección ransversal para cada ; en segundo lugar, esas esimaciones como res series de iempo y aplicar méodos de series de iempo para la previsión de β y por lo ano el rendimieno de la curva θ (τ; λ, β). Diebold y Li (2006) compara sus predicción de dos eapas con los méodos de series de iempo univariados y mulivariados. Los diferenes méodos producen resulados similares. Pero, el enfoque del pronósico en dos eapas hace mejores predicciones que el de la serie direca de diferenes asas de inerés, especialmene para los plazos más largos. β1 es una variable que es independiene del iempo de la madurez e inerpreada para reflejar la larga de la curva de rendimieno, o sea el puno final de la curva.

10 β2 influye en el inicio de la curva (ambién llamado exremo coro) y es ponderada por una función del iempo de madurez. Esa función es 1 si τ = 0 y ligeramene exponencial. Disminuye a cero cuando τ es grande β3 ambién es función de τ pero esa función se hace cero para τ = 0. En ese caso, disminuye y luego regresa a cero cuando τ crece. Por lo ano, el impaco de βs es la adición de una joroba en la curva β4 es ora función de τ, que es 0 para τ = 0, disminuye y enonces iende a cero cuando τ crece. De esa manera se añade la segunda joroba de la curva λ afeca a las funciones de peso para β2 y β3; por lo ano, deermina en el modelo DNS, la carga del parámero λ deermina la forma de la curva de rendimieno. En los esudios aneriores, el valor predeerminado es el fijar un valor para λ sin esimación. Por ejemplo, Diebold y Li (2006) fija λ en mienras Diebold, Rudebusch y Aruoba (2006) esiman que λ es igual a Yu y Zivo (2007) adopan esos valores para λ en su esudio empírico referene a bonos corporaivos. Sosienen que el Λij(λ) de λ no son muy sensibles a diferenes valores de λ, se puede ilusrar gráficamene. Por lo ano sosienen que λ puede ser fijo al que maximiza la carga en el componene de curvaura en un mediano plazo (es decir, 30 meses para λ = y 23,3 meses para λ = 0,077) 4. No es lo mismo que sucede en esa pare del coninene y mucho menos en siuaciones de esrucuras de asa inversas. En consecuencia hay que buscar una solución para el cálculo de λ Los valores de β2 y β3 dependen de los valores que oma el valor de λ. Cuando se oma un valor de λ = 0.06 el valor máximo de β3 oma su máximo en 31 meses aprox. Y converge en 100 meses, mienras que con λ = 0.35 el máximo esa en 4 a 5 meses y converge en 17 meses 4 Analyzing he Term Srucure of Ineres Raes using he Dynamic Nelson-Siegel Model wih Time- Varying Parameers. Siem Jan Koopman, Max I.P. Mallee, Michel van der Wel. Deparmen of Economerics, VU Universiy Amserdam Deparmen of Finance, VU Universiy Amserdam Tinbergen Insiue, Amserdam

11 LA SOLUCION PROPUESTA Considerando las mismas consideraciones de Nelson y Siegel, Diebold y Li y Diebold, Rudebusch y Aruoba, el valor de λ sería el valor de (meses) en el que la endencia logarímica iene una pendiene de 45 Aplicado ese crierio a la siuación de nuesro país y generalizado al reso se endría que cambiar el valor de λ considerando la endencia logarímica de la corva resulane de las asas spo considerada Aplicando esa solución se obienen las siguienes esrucuras de asas de inerés para la úlima semana de 2016 Plazo TNA TNA/100 coef DNS (TNA-DNS)^2 ln() [ln()]^2 TNA*ln() 1 34,89 0,349 0,351 0,000 0,000 0,000 0, ,29 0,333 0,331 0,000 0,693 0,480 23, ,20 0,322 0,318 0,000 1,099 1,207 35, ,60 0,306 0,310 0,000 1,386 1,922 42, ,41 0,304 0,305 0,000 1,609 2,590 48, ,98 0,300 0,301 0,000 1,946 3,787 58, ,26 0,303 0,301 0,000 2,079 4,324 62, ,26 0,303 0,302 0,000 2,303 5,302 69,669 0,000 0,000 0, ,88 11,115 19, ,747 Función a minimiza 0, aplicar solver Tendencia logarimica β1 0, Valores que a 34,56076 β2-0, cambian con el b -2,21344 β3-0, solver λ 0, Valor s/angene σ DNST 0,00240 En ese caso esa curva de DNS uilizando como variable el valor de λ se puede observar como oma en consideración un cambio en la normalidad de la economía en un plazo de 1 año dada la coización de las Lebac para esa fecha, cosa que la endencia no lo refleja

12 Aplicando los mismos concepos a las curvas de los bonos de EEUU, enemos el siguiene cuadro calculado de la misma forma Plazo TNA TNA/100 coef DNS (TNA-DNS)^2 ln() [ln()]^2 TNA*ln() 1 0,16 0,002 0,002 0,000 0,000 0,000 0, ,20 0,002 0,002 0,000 1,099 1,207 0, ,35 0,003 0,003 0,000 1,792 3,210 0, ,50 0,005 0,004 0,000 2,485 6,175 1, ,78 0,008 0,008 0,000 3,178 10,100 2, ,00 0,010 0,011 0,000 3,584 12,842 3, ,38 0,014 0,015 0,000 4,094 16,764 5, ,71 0,017 0,017 0,000 4,431 19,632 7, ,95 0,019 0,019 0,000 4,787 22,920 9,316 0,000 0,000 0, ,01 25,450 92,850 30,655 Función a minimiza 0, aplicar solver Tendencia logarimica β1 0, Valores que a -0,19539 β2-0, cambian con el b 0,38371 β3-0, solver λ 0, Valor s/angene σ DNST 0,00069 Evidenemene DNS con el ajuse propueso mejora la esimación presenada por la endencia sobre odo en el largo plazo COMO CALCULAR LOS COEFICIENTES β Y FIJAR EL VALOR DE λ La planilla elecrónica de cálculo Excel viene en nuesra ayuda. Como se pudo apreciar en los cuadros aneriores odos esos cálculos fueron hechos usando esa herramiena y el Solver que iene incluido. Se sabe que a parir de la fórmula: Donde es el valor esimado para cada periodo en función de los coeficienes de la ecuación β1, β2, β3 y λ. También se sabe que:

13 En consecuencia si se hace que sea mínimo cambiando los coeficienes β1, β2, β3 maneniendo el valor de λ escogido por la pendiene de la endencia logarímica, se obienen los mejores valores que se pueden omar para el calculo de ETTI esrucura de asas emporales de inerés Plazo TNA TNA/100 coef DNS (TNA-DNS)^2 1 0,16 0,002 0,002 0, ,20 0,002 0,002 0, ,35 0,003 0,003 0, ,50 0,005 0,004 0, ,78 0,008 0,008 0, ,00 0,010 0,011 0, ,38 0,014 0,015 0, ,71 0,017 0,017 0, ,95 0,019 0,019 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,01 Función a minimiza 0, β1 0, β2-0, β3-0, λ 0, En las columnas sombreadas esán los daos de las asas spo. La columna siguiene es la asa expresada en asa i A coninuación en función de la asa expresada como i y el valor de de la columna plazo expresado en meses se calcula la formula DNS La siguiene columna es el cálculo de la asa i real menos la asa i calculada con DNS elevada al cuadrado luego se aplica Solver como sigue

14 QUE SE HACE CON LOS RESIDUOS Es ineresane el uso de los residuos sobre odo para calcular un salo paralelo de la esrucura enconrada. Ese es un ema más complicado que excede al cálculo financiero básico, pero por su imporancia debe ser aplicado dado que en el riesgo financiero una suba de las asas de inerés dado el descalce de los flujos de fondos provoca fueres pérdidas que deben ser soporadas por las Enidades financieras. Por lo prono y lo más básico que podemos aplicar y como se lo vio en los gráficos que se adjunaron cada curva iene una curva paralela que es aplicar el promedio de los errores y muliplicarlos por el coeficiene de variación de Kupiec, dado que no se iene una disribución que represene a esas variaciones. El valor del salo por encima seria:

15 Siendo K el coeficiene de la disribución alargada de Kupiec según el nivel de seguridad que se desee adopar, como ejemplo para un 99% de seguridad el coeficiene es CONCLUSIONES Porque es imporane el cálculo de la esrucura de asas, quizás es para coninuar con una idea que dice (1+i) n no exise. Mucho más en economías en siuaciones de inesabilidad, razón por la cual la esrucura de asas permie omar una serie de decisiones en cuano a riesgos de asa desde ambos senidos el de los deudores y el de los acreedores El modelo DNS ha sido adopado por los principales bancos del mundo para esablecer las curvas de asa de inerés para los disinos periodos, y como se ha demosrado esas curvas deecan mucho mejor las expecaivas de las asas de inerés a parir de ciero nivel observado La modificación propuesa en ese rabajo de modificar el coeficiene λ es una forma de capar las variaciones que presenan las variables macro económicas sobre odo en épocas de crisis En economías esables que el coeficiene λ varíe enre 0.08 y 0.07 no afeca mucho a la curva de asas a esablecerse, cosa que no sucede cuando el coeficiene lambda oma valores mayores a 0.20 El problema no resuelo en ese rabajo es el salo que puede presenar la curva de asas enconrada. Hay soluciones a ese problema pero no es precisamene el ema del cálculo de la esrucura de asas BIBLIOGRAFIA Diebold, F X & C Li (2006). Forecasing he Term Srucure of Governmen Bond Yields. J. Economerics 130, Diebold, F X, C Li & V Yue (2007). Global Yield Curve Dynamics and Ineracions: A Generalized Nelson-Siegel Approach. J. Economerics, forhcoming. Diebold, F X, S Rudebusch & S Aruoba (2006). The Macroeconomy and he Yield Curve. J. Economerics 131, Nelson, C & A Siegel (1987). Parsimonious Modelling of Yield Curves. Journal of Business 60-4, Yu, W & E Zivo (2007). Forecasing he Term Srucures of Treasury and Corporae Yields: Dynamic Nelson-Siegel Models Evaluaion. Working Paper.