Fundamentos básicos. Antenas de hilo

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1 Fundamentos básicos. Antenas de hilo Aurora Andújar Linares Jaume Anguera Pros PID_

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3 Índice Introducción... 5 Objetivos Mecanismo de radiación Ecuaciones de radiación Dipolos Espiras Teoría de imágenes: monopolos y dipolos sobre planos conductores Plano eléctrico conductor infinito con conductividad infinita Hilo horizontal Hilo vertical Monopolo Plano eléctrico conductor infinito con conductividad finita Plano eléctrico conductor de dimensiones finitas Lecturas obligatorias y complementarias Bibliografía

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5 5 Introducción En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo que el humilde razonamiento de un solo individuo. Galileo Galilei ( ), astrónomo y físico italiano Este módulo versa sobre los fundamentos básicos de radiación, que permiten calcular de una manera metódica la radiación producida por una distribución arbitraria de corrientes sobre una estructura conductora. En este sentido y partiendo de las ecuaciones de Maxwell, se presenta de modo resumido el método que permite encontrar la ecuación que relaciona las corrientes sobre una estructura cualquiera con el campo electromagnético radiado. Con el objetivo de simplificación de cálculo y sin pérdida de generalidad, se aplica el método a distribuciones lineales de corriente que se corresponden con las que se encuentran en antenas de hilo tales como los dipolos, que son objetivo de estudio del presente módulo. El procedimiento matemático presentado permite además abordar problemas más complejos, como las agrupaciones de antenas. Aunque las agrupaciones de antenas son objeto de estudio en el módulo Agrupaciones de antenas, se muestra en el presente módulo cómo se puede abordar el cálculo de estructuras formadas por varios hilos. En este sentido, se analiza una espira cuadrada como combinación de cuatro hilos. Por último, el módulo finaliza con el estudio de la influencia del plano de masa sobre el comportamiento de las antenas. Ejemplos de planos de masa son la misma superficie de la Tierra o las estructuras metálicas de aviones y barcos en el caso de antenas embarcadas. El mecanismo matemático presentado en este módulo trasciende al campo de las antenas más básicas, ya que permite entender y analizar todas aquellas antenas en las que se conozca su distribución de corriente, ya sea volumétrica, superficial o lineal. En la mayoría de los casos esta distribución se aproximará, lo cual resulta relativamente sencillo para antenas simples. Para antenas más complejas, se recurrirá a técnicas de cálculo numérico que permitirán conocer dicha distribución de corriente de manera más precisa. Una vez queda definida la distribución de corriente, se aplica el procedimiento matemático expuesto en este módulo para poder calcular los campos radiados.

6 6 Objetivos Los principales objetivos de este módulo son los siguientes: 1. Conocer el mecanismo de radiación de las ondas electromagnéticas de manera cualitativa. 2. Comprender las expresiones matemáticas que permiten caracterizar este mecanismo de radiación de manera cuantitativa. 3. Conocer el mecanismo para calcular los campos radiados por un dipolo elemental, así como los parámetros de antena más relevantes: diagrama de radiación, potencia radiada, resistencia de radiación y directividad. 4. Entender cuáles son las limitaciones del dipolo elemental. 5. Calcular los campos radiados, el diagrama de radiación, la potencia radiada, la resistencia de radiación y la directividad de antenas lineales básicas: dipolos y espiras. 6. Conocer y saber modelar el efecto del plano de masa en el comportamiento de una antena. 7. Comprender la limitación multifrecuencia de las antenas dipolo.

7 7 1. Mecanismo de radiación Este apartado aborda de manera cualitativa el mecanismo de radiación de una antena a fin de introducir el concepto físico de la generación de una onda electromagnética. La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y magnéticos que se propagan a través del espacio transportando energía de un lugar a otro. Dicha radiación electromagnética puede propagarse en el vacío. De este modo, para que el fenómeno de la radiación electromagnética tenga lugar es importante disponer de una fuente y de un conductor, aunque en ocasiones un dieléctrico será suficiente para establecer las condiciones de contorno deseadas que permitan la radiación. La fuente se encarga de inducir una corriente y esta corriente genera a su vez un campo eléctrico y un campo magnético que, si se dan las condiciones adecuadas, se propagarán en forma de onda electromagnética a la misma frecuencia que la corriente alterna generada por la fuente. Serán las condiciones de contorno establecidas por el conductor las que determinarán si existirá una onda electromagnética que se propague o no. A modo de ejemplo, se supone un dipolo y un observador situado en la región de campo lejano, o región de Fraunhofer. Es necesario introducir en este punto las diferentes regiones del espacio que determinan el comportamiento principal de los campos electromagnéticos cuando éstos se evalúan a una determinada distancia de la fuente (figura 1). Figura 1. Regiones de campo Campo cercano reactivo, campo cercano radiado o región de Fresnel, y campo lejano o región de Fraunhofer La particularidad de la región de campo lejano, o región de Fraunhofer, es que en ella predominan los campos radiados y el diagrama de radiación es independiente de la distancia. Por ello, el comportamiento radioeléctrico de las antenas que se presentarán a lo largo de este módulo y en el resto de módulos se estudiará siempre considerando la región de campo lejano. En la región intermedia, o región de Fresnel, el diagrama de radiación se modifica

8 8 según la distancia. A su vez, la región de campo cercano es la que determina el comportamiento reactivo de la antena ya que, a diferencia de la zona de Fraunhofer, en esta zona del espacio predominan los campos inducidos, que resultan interesantes a la hora de analizar las perturbaciones que sufren las antenas en presencia de objetos cercanos. Una vez analizadas las tres regiones del espacio que caracterizan el comportamiento de los campos electromagnéticos, se retoma el ejemplo anterior. De este modo, se presenta un dipolo que se alimenta a través de una fuente que genera una corriente alterna que se distribuye a lo largo del hilo. Esta distribución de corriente genera a su vez campos eléctricos y magnéticos que dan Ved también En este módulo se retoma el ejemplo que se ha venido desarrollando a lo largo del módulo La antena en un sistema de comunicación. lugar a la radiación electromagnética. La distribución de corriente a lo largo de la estructura varía en función de la frecuencia. Esta variación de corriente produce variaciones en el diagrama de radiación de la antena. Figura 2. Radiación producida por una antena de hilo (dipolo de 40 cm) en el dominio del tiempo excitado por un pulso gaussiano El dipolo está colocado de forma vertical y centrado en la figura.

9 9 De manera cualitativa, puede entenderse que la fuente genera un frente de onda que se propaga en el espacio. A su vez, las discontinuidades de la estructura (los extremos del dipolo) generan otros frentes de onda que, en el punto de observación de campo lejano, pueden sumarse constructiva o destructivamente, lo que da lugar al valor de campo eléctrico y magnético en esa posición del espacio (figura 2). Si este análisis se realiza para todas las posiciones del espacio, se determina el diagrama de radiación de la antena y, a partir de este, es posible obtener los diferentes parámetros que caracterizan el comportamiento de la antena, tales como la potencia radiada, la resistencia de radiación, la directividad, la eficiencia, la ganancia, etc. La representación mostrada en la figura 2 ha sido obtenida mediante simula1 ción por FDTD. En el instante t = 0,83 ns, el primer frente de onda es el pro- (1) FDTD es la sigla de la expresión inglesa Finite Difference Time Domain. ducido por la fuente situada en el centro del dipolo y corresponde a un pulso gaussiano que presenta un gran ancho de banda. La razón de excitarlo con un pulso y no con una señal de tipo sinusoidal estriba en que con el pulso puede determinarse dónde se producen las reflexiones, mientras que si se hubiese realizado con una excitación periódica en régimen armónico, las reflexiones quedarían enmascaradas. Para t = 1,36 ns, se producen dos nuevos frentes de onda debido a los extremos del dipolo. Del mismo modo, para t = 2,03 ns, se genera un nuevo pulso producido por la reflexión del pulso en los extremos al llegar a la discontinuidad donde se encuentra la fuente. Para t = 2,9 ns, se producen dos nuevos pulsos en los extremos a consecuencia del pulso anterior una vez éste ha llegado a los extremos. Se concluye, por tanto, que la simulación en el dominio del tiempo permite caracterizar la antena cuando se transmiten pulsos con alto contenido espectral, como los sistemas UWB2. Obsérvese que, dependiendo de la longitud y la geometría de la antena, los frentes de onda se generan en posiciones e instantes diferentes, dando lugar a un determinado diagrama de radiación. (2) UWB es la sigla de la expresión inglesa Ultra Wide Band.

10 10 2. Ecuaciones de radiación Una vez presentado de manera cualitativa el mecanismo de radiación, es necesario abordar en este apartado cuáles son los instrumentos matemáticos que se utilizarán para calcular de manera cuantitativa el fenómeno de la radiación. Tal y como se anticipaba en el apartado anterior, los campos radiados dependen fuertemente de la distribución de corriente en una estructura tipo hilo o del campo eléctrico en el caso de una apertura. Son las ecuaciones de Maxwell las que se encargan de relacionar estas corrientes o campos con los campos radiados. Debido a su complejidad, en primer lugar se presentan las definiciones que se utilizarán a lo largo de este apartado, a fin de facilitar su posterior análisis y seguimiento: = Campo eléctrico (V/m) = Campo magnético (A/m) = Densidad de flujo eléctrico (C/m2) = Densidad de flujo magnético (Wb/m2) = Densidad de corriente eléctrica (A/m2) = Densidad de corriente magnética (V/m2) = Densidad de carga eléctrica (C/m3) = Densidad de carga magnética (Wb/m3) = Permitividad eléctrica (F/m) = Permeabilidad magnética (H/m) Antes de exponer las ecuaciones de radiación definidas por Maxwell, es necesario citar a otros grandes científicos que con sus descubrimientos participaron activamente en el desarrollo y posterior asentamiento de las ecuaciones de Maxwell como base fundamental de la teoría electromagnética. A continuación se citarán brevemente las leyes que establecieron dichos científicos, así como su relevancia en la teoría electromagnética actual: 1) La ley de Ampère relaciona la integral del campo magnético alrededor de un bucle cerrado con la corriente que circula a través de dicho bucle. De este modo, la integral de línea alrededor de una curva cerrada de la densidad de campo magnético da como resultado el valor de la corriente que atraviesa dicha superficie definida por el bucle cerrado, multiplicada por la permeabilidad en el vacío, tal y como se observa en la ecuación siguiente: Ved también Podéis ver la figura 3 del módulo La antena en un sistema de telecomunicación de esta asignatura.

11 Hoy en día forma parte de una de las cuatro ecuaciones que constituyen las bases del electromagnetismo. 2) A su vez, la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total en el exterior de una superficie cerrada equivale al valor de la carga que encierra dicha superficie dividida por la permitividad. Tanto la tercera como la cuarta ecuación de Maxwell están basadas en esta ley ) La ley de Faraday establece que la tensión inducida en cualquier circuito cerrado es igual a la variación temporal del flujo magnético a través del circuito: 2.3 El significado del signo menos en la ecuación anterior se deriva de la ley de Lenz, que establece que la dirección o el sentido de la tensión generada es tal que cualquier corriente resultante produce un campo magnético en dirección opuesta al campo magnético que creó dicha tensión. Las ecuaciones de Maxwell, por tanto, resultan una combinación de las leyes anteriores. En ellas queda recogido el principio de conservación de la energía a través de la ecuación de continuidad y de ellas se desprende que un campo eléctrico variable en el tiempo genera un campo magnético variable en el tiempo y, recíprocamente, la variación temporal del campo magnético genera un campo eléctrico también variable en el tiempo. Se puede visualizar la radiación electromagnética como dos campos que se generan mutuamente, por lo que no necesitan ningún medio material para propagarse y, por tanto, queda demostrado que las ondas electromagnéticas pueden propagarse en el vacío a una velocidad igual a la velocidad de la luz (c m/s). Tabla 1. Expresión general de las ecuaciones de Maxwell Ecuaciones integrales Ecuaciones diferenciales

12 12 Ecuaciones integrales Ecuaciones diferenciales Cabe destacar que en las expresiones anteriores se han incorporado a las corrientes y cargas eléctricas, las corrientes y cargas magnéticas. Éstas no son más que un utensilio matemático que permite simplificar los cálculos en algunas ocasiones. No obstante, es necesario remarcar que se trata de cargas y corrientes ficticias que no existen en la realidad. El hecho de introducirlas permite incorporar el principio de dualidad a las ecuaciones de Maxwell. Si a las expresiones anteriores se les añade la variación temporal de la fuente: 2.4 los campos variarán de la misma manera y, de este modo, las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar de acuerdo a las ecuaciones siguientes. 2.5 Estas ecuaciones, junto con la ecuación de continuidad, son las que definen el fenómeno de la radiación electromagnética: 2.6 No obstante, no es posible calcular los campos eléctricos y magnéticos de manera directa a través de las ecuaciones de Maxwell sin operar previamente. De este modo, manipulando las ecuaciones de Maxwell es posible obtener las expresiones generales de los campos y respectivamente: donde se define como la constante de propagación. Existen, por tanto, dos métodos para calcular los campos radiados:

13 13 1) El primero de ellos consiste en resolver las ecuaciones de Maxwell teniendo en cuenta la ecuación de continuidad más las condiciones de contorno mediante un proceso tedioso de diferenciación e integración. 2) El segundo de ellos propone una simplificación del cálculo por medio del uso de unas funciones auxiliares intermedias conocidas como potenciales. De este modo, aplicando la condición de Lorentz ( ) a las ecuacio- nes de Maxwell y teniendo en cuenta únicamente cargas y corrientes eléctricas, se obtienen las relaciones entre los campos eléctricos y los vectores potenciales y, que dan lugar a dos ecuaciones de onda escalares y dos ecuaciones de onda vectoriales respectivamente: 2.9 El procedimiento para el cálculo de los campos radiados que se desarrollará en el presente apartado está basado en este último método. La nomenclatura que se utilizará para definir los parámetros requeridos queda recogida en la figura 3. Figura 3. Descripción del sistema de coordenadas Figura 3 Definición gráfica de los vectores (vector definido entre el origen de coordenadas y las coordenadas del punto de observación), (vector definido entre el origen de coordenadas y las coordenadas de la fuente) y (vector que define la distancia entre cualquier punto de la fuente al punto de observación). Ved también La solución a las cuatro ecuaciones de onda anteriores da como resultado el valor de los potenciales lores de y : y φ, que permitirán calcular posteriormente los va- Podéis ver la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético en en el módulo La antena en un sistema de telecomunicación de esta asignatura.

14 14 El campo radiado 2.10 Estrictamente, el campo radiado se obtiene de las componentes Aθ y Aφ del vector potencial A partir de dichos potenciales es posible obtener fácilmente el campo eléctrico como. Una vez se obtiene el campo eléctrico, el cómputo del campo magnético es directo, ya que ambas magnitudes están relacionadas a través de la impedancia del medio. Es importante remarcar que el primer término hace referencia a los campos inducidos o al campo cercano, mientras que el segundo se utiliza para calcular los campos en la región de campo lejano. En este sentido, si se considera únicamente la región de campo lejano, o región de Fraunhofer, donde el diagrama de radiación de la antena es independiente de la distancia, las componentes de los campos radiados pueden expresarse según las ecuaciones siguientes El vector suele ser expresado en función del vector de radiación con: donde el vector de onda k se define como: 2.15 y, en coordenadas esféricas, cada componente resulta: 2.16 de acuerdo

15 15 Por tanto, los campos radiados pueden calcularse a través de la distribución de corriente de la estructura. En el caso de aperturas, el procedimiento es exactamente el mismo, con la diferencia de que al disponer únicamente del valor del campo en la apertura, será necesario calcular las corrientes equivalentes mediante el teorema de equivalencia. A su vez, también podrán ser resueltos mediante el mismo mecanismo los problemas asociados a elementos Lectura recomendada Sobre el teorema de equivalencia, podéis consultar la obra siguiente: C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley. situados sobre planos conductores. En este caso será necesario aplicar teoría de imágenes. Figura 4. Distribución uniforme y triangular Es importante destacar que el vector de radiación no es más que una transformada de Fourier. Este hecho permite tener una aproximación cualitativa del diagrama de radiación de una antena una vez conocida su distribución de corriente. De este modo, si se imaginan dos dipolos, uno alimentado con una distribución de corriente constante (distribución uniforme), y otro con Ved también La teoría de las imágenes se estudia en el apartado 5 de este módulo.

16 16 una distribución de corriente triangular (distribución triangular), y se tiene en cuenta que el diagrama de radiación se obtiene como una transformada de Fourier, sería posible anticipar, sin realizar un cálculo previo, que el diagrama de radiación del primer dipolo presentaría mayor directividad que el diagrama de radiación del segundo dipolo, ya que la transformada de una distribución uniforme presenta un lóbulo principal más estrecho aunque con lóbulos secundarios más elevados que los que presenta la transformada de una distribución triangular (figura 4). La figura 4 muestra un ejemplo para dos hilos de corriente de longitud L = 2,5 λ en los que el diagrama de radiación del hilo con distribución de corriente uniforme presenta un lóbulo principal más estrecho pero con unos lóbulos secundarios mayores que el del caso triangular. Aun así, el nivel de los lóbulos está por debajo de 13 db respecto al lóbulo principal y la directividad viene marcada por dicho lóbulo, que es más estrecho en el caso uniforme. Este hecho se traduce en más directividad. Ejemplo práctico I Ved también A fin de consolidar los conceptos, a continuación se presenta el cálculo de los campos radiados para un dipolo de longitud infinitesimal (l << λ) situado en el eje z (figura 5). Figura 5. Dipolo elemental de longitud l << λ situado en el eje z Con esta aproximación, la corriente puede considerarse constante a lo largo de la estructura, hecho que facilita considerablemente los cálculos: 2.17 donde la función δ(x a) es la función delta de Dirac y toma valor unidad para x = a. Observad que la ecuación 2.17 pone de manifiesto que la corriente está únicamente definida en el hilo, tomando valores nulos en cualquier otro punto del espacio, siendo: 2.18 El vector de radiación se calcula como: Podéis repasar diversos conceptos mencionados en este ejemplo, tales como el sistema de coordenadas esférico, la densidad de potencia radiada y el valor de la resistencia de radiación en el módulo La antena en un sistema de telecomunicación de esta asignatura.

17 En este caso, al tratarse de un dipolo infinitesimal de longitud l << λ, el seno puede aproximarse por su argumento, quedando de este modo el vector de radiación definido de la siguiente manera: 2.21 El vector de radiación presenta, por tanto, una única componente en el eje z. A partir de esta ecuación es posible calcular el vector potencial, que en este caso también presentará una única componente en z. No obstante, tal y como se ha estudiado, el sistema de coordenadas utilizado en antenas es el sistema de coordenadas esférico, ya que permite definir de manera unívoca la posición a partir de los ángulos θ y φ. Por ello, a fin de calcular los campos radiados, es necesario realizar un paso intermedio para convertir las coordenadas rectangulares del vector de radiación en coordenadas esféricas mediante las siguientes matrices de campo: 2.22 De este modo, Nz = I l expresado en coordenadas esféricas utilizando la matriz unitaria de transformación quedaría como: 2.23 Teniendo en cuenta que en la zona de campo lejano la componente radial del campo es despreciable, el vector potencial de la forma: queda únicamente definido por la componente θ 2.24 Una vez calculado el vector potencial, es posible calcular los campos radiados a través de las relaciones definidas en las ecuaciones 2.12:

18 El cálculo de los campos radiados permite caracterizar por completo todos los parámetros de antena. De este modo, es posible calcular la densidad de potencia radiada a través del vector de Poynting, del siguiente modo: 2.31 Teniendo en cuenta la relación existente entre el campo eléctrico y el campo magnético, es posible simplificar la expresión anterior como: 2.32 La representación de la densidad de potencia da lugar al diagrama de radiación de potencia, que difiere del diagrama de radiación de campo en el hecho de que uno responde a la función sen2θ, mientras que el otro lo hace para la función sen θ. Ambos diagramas son exactamente iguales en apariencia si son representados en escala logarítmica. Es importante destacar que la expresión de campo eléctrico, o, de modo equivalente, la densidad de potencia, anticipa que en el diagrama de radiación aparecerá un nulo de campo eléctrico en la dirección θ = 0º. Figura 6. Diagrama de radiación del dipolo elemental de longitud l << λ situado en el eje z Representación gráfica de los principales cortes φ = 0 y φ = 90 del diagrama de radiación correspondiente al dipolo elemental de longitud l << λ situado en el eje z Una vez conocida la densidad de potencia, es posible completar el cálculo de la potencia radiada integrando esta para toda la superficie. De este modo:

19 19 El conocimiento del valor de la potencia radiada permite conocer el valor de la resistencia de radiación (ecuación 2.35), que es aquella resistencia que disiparía la misma potencia que la radiada por la antena: 2.35 La directividad en función de (θ, φ) se calcula de acuerdo con: 2.36 siendo D = 1,5. De los cálculos anteriores se extraen las conclusiones siguientes: El diagrama de radiación se calcula en la región de campo lejano, ya que es en esta región donde permanece invariable con la distancia. Los campos inducidos en la región de campo cercano son puramente reactivos, hecho que permitiría calcular la reactancia de la antena. El dipolo infinitesimal presenta un nulo de campo en el eje z (eje en el que está alineado el dipolo (figura 5)), mientras que su máximo se encuentra en el plano XY. Su diagrama es omnidireccional y presenta simetría de revolución respecto al eje z (figura 6). La directividad del dipolo infinitesimal es constante e independiente de la longitud eléctrica (ecuación 2.36), y de valor D = 1,5 (1,7 db). La resistencia de radiación del dipolo infinitesimal es reducida, ya que l << λ, lo que indica que su eficiencia también lo será. Es importante destacar que la resistencia de radiación decrece con el tamaño eléctrico de la antena y lo hace de forma cuadrática (ecuación 2.35). Este hecho pone de manifiesto que, en general, las antenas eléctricamente pequeñas presentarán una baja resistencia de radiación y, consecuentemente, una baja eficiencia de radiación, lo que dificultará a su vez la adaptación de la antena a la impedancia del generador. El campo eléctrico y el campo magnético están relacionados a través de la impedancia del medio, que en espacio libre es η = 120π (Ω). En la región de campo lejano no existe componente radial, lo que indica que el campo eléctrico y el campo magnético son ortogonales a la dirección de propagación y ortogonales entre sí. La impedancia de entrada del dipolo infinitesimal es puramente capacitiva. Esta conclusión se extrae del cómputo de los campos cercanos de acuerdo con J. Anguera y A. Pérez. El dipolo elemental presenta polarización lineal vertical, ya que únicamente se observa componente de campo eléctrico en la dirección θ. Lectura complementaria Acerca de las conclusiones recogidas aquí, puede consultarse la obra siguiente: J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN:

20 20 En el caso del dipolo elemental sería posible calcular directamente el vector potencial, ya que en este caso el vector de radiación, sin tener que calcular previamente. No obstante, se ha creído conveniente introducir el cálculo teniendo en cuenta este paso intermedio, ya que para geometrías más complejas será el procedimiento utilizado. A pesar de que en términos generales el dipolo elemental es poco eficiente, encuentra su aplicación como sonda de campo eléctrico, por ejemplo, para testear la radiación electromagnética producida por las antenas integradas en terminales de telefonía móvil en presencia del cuerpo humano.

21 21 3. Dipolos En el apartado anterior se ha analizado minuciosamente el comportamiento de un dipolo elemental. Su reducida eficiencia de radiación, así como su impedancia altamente capacitiva, lo convierten en una antena de rendimiento reducido. Por ello es necesario introducir en este apartado las antenas de tipo hilo de longitudes comparables a la longitud de onda de la frecuencia de operación. Pese a que éstas presentarán un comportamiento similar al del dipolo elemental en términos de diagrama de radiación, permitirán conseguir una eficiencia de radiación elevada, así como una impedancia de entrada que posibilitará una posterior adaptación a fin de proporcionar el ancho de banda requerido para cubrir aquellos servicios de comunicaciones especificados. Con esta finalidad, se analiza en detalle a lo largo de este apartado el comportamiento de un dipolo de longitud l = λ/2. Tal y como se anticipaba en el apartado anterior, el procedimiento de cómputo de los campos radiados utilizado en el dipolo elemental es ampliable a todas aquellas estructuras tipo hilo. En este sentido, el procedimiento para determinar las propiedades de radiación que se desarrollará en este apartado y a lo largo del apartado posterior será el mismo que el desarrollado para el caso del dipolo elemental. No obstante, una de las diferencias fundamentales reside en el hecho de que en esta ocasión la corriente que circula por la estructura no puede aproximarse por una constante, ya que la estructura puede considerarse como una suma de elementos de longitudes infinitesimales que interactúan entre ellos con diferentes amplitudes y fases. Este hecho dificultará las expresiones matemáticas que se han de desarrollar, ya que deberá incluirse en ellas una distribución de corriente de tipo sinusoidal de la siguiente forma (teniendo en cuenta que el dipolo está alineado nuevamente con el eje z, tal y como indica la figura 7): 2.37 siendo: 2.38

22 22 Figura 7. Dipolo de longitud comparable a λ situado en el eje z Una vez conocida la distribución de corriente sobre la estructura, es posible conocer su vector de radiación, que adopta el sentido físico de una transformada de Fourier de la corriente a lo largo de la estructura. De este modo: En el caso de que la integral resultante fuera complicada de desarrollar, otro procedimiento para calcular el vector de radiación consistiría en descomponer el dipolo de longitud comparable a la longitud de onda de operación en una serie de dipolos infinitesimales para los cuales podría considerarse una distribución de corriente constante a lo largo del dipolo infinitesimal, con lo que se simplifica de este modo el cálculo del vector de radiación correspondiente. Para cada uno de ellos se calcularían los campos radiados, y la suma de estos daría lugar a los campos radiados asociados a toda la estructura. De este modo, Nz expresado en coordenadas esféricas utilizando la matriz unitaria de transformación quedaría como: 2.41 Teniendo en cuenta que en la zona de campo lejano la componente radial del campo es 0, el vector potencial queda únicamente definido por la compo- nente θ de la forma: 2.42

23 23 Una vez calculado el vector potencial, es posible calcular los campos radiados por medio de las relaciones definidas en la ecuación 2.12: Si particularizamos las expresiones generales de los campos calculadas anteriormente para el caso del dipolo de longitud correspondiente a la mitad de la longitud de onda de operación (l = λ/2), la densidad de potencia radiada definida previamente queda de la siguiente manera: 2.49 La representación de la densidad de potencia da lugar al diagrama de radiación de potencia, que coincide con el diagrama de radiación de campo si ambos son representados en escala logarítmica. Es importante destacar que la expresión de campo eléctrico o, de manera equivalente, la densidad de potencia anticipa que en el diagrama de radiación aparecerá un nulo de campo eléctrico en la dirección θ = 0º. Del mismo modo, y tal como ocurría con el dipolo elemental, presenta simetría de revolución alrededor del eje z con el máximo de radiación localizado en el plano XY.

24 24 Figura 8. Diagrama de radiación correspondiente al dipolo elemental de longitud l = λ/2 situado en el eje z Representación gráfica de los principales cortes φ = 0º y φ = 90º Una vez conocida la densidad de potencia, es posible completar el cálculo de la potencia radiada integrándola para toda la superficie: El conocimiento del valor de la potencia radiada permite conocer el valor de la resistencia de radiación (ecuación 2.52), ya que la resistencia de radiación es aquella resistencia que disiparía la misma potencia que la radiada por la antena: 2.52 La directividad se calcula de acuerdo con: 2.53 De los cálculos anteriores se extraen las conclusiones siguientes: El diagrama de radiación se calcula en la región de campo lejano, ya que es en ésta donde permanece invariable con la distancia.

25 25 Los campos inducidos en la región de campo cercano son puramente reactivos, hecho que permitiría calcular la reactancia de la antena. El dipolo l = λ/2 presenta un nulo de campo en el eje z (eje en el que está alineado el dipolo figura 7 ), mientras que su máximo se encuentra en el plano XY. Su diagrama es omnidireccional y presenta simetría de revolución respecto al eje z (figura 8). La directividad del dipolo l = λ/2 (ecuación 2.53) es ligeramente superior a la del dipolo elemental, siendo D = 1,64 (10 log(1,64) = 2,1 db o 2,1 dbi, donde las unidades dbi vienen referidas respecto a la antena isotrópica). A partir de este resultado, la directividad puede expresarse en dbd, que es una unidad referida a la directividad del dipolo l = λ/2. Por ejemplo, una directividad de 2 dbd es una directividad 2 db superior a la del dipolo l = λ/2. Por lo tanto, 2 dbd = 4,1 db = 4,1 dbc. La resistencia de radiación del dipolo l = λ/2 es aproximadamente de 73,1 Ω, tal y como indica el cómputo numérico anterior (ecuación 2.52), así como los resultados de la simulación mostrados en la figura 9 con una eficiencia de radiación elevada (> 80%), teniendo en cuenta que las pérdidas asociadas a los materiales utilizados habitualmente para la construcción de este tipo de antenas son reducidas. El campo eléctrico y el campo magnético están relacionados a través de la impedancia del medio, que en espacio libre es η = 120π (Ω). En la región de campo lejano no existe componente radial, lo que indica que el campo eléctrico y el campo magnético son ortogonales a la dirección de propagación y ortogonales entre sí. La polarización del dipolo l = λ/2 es lineal y alineada con el eje del dipolo, que coincide además con el carácter vectorial de la corriente. Hay que resaltar que la polarización generalmente se considera en la dirección del máximo. Para el dipolo bajo estudio alineado en el eje z (figura 6) no hay una sola dirección de máxima radiación, ya que cualquier dirección en el plano θ = 90º (plano XY) contiene un máximo. Para este plano, la polarización sigue el vector θ, que coincide justamente con el eje Z y por tanto se trata de una polarización lineal vertical.

26 26 Figura 9. Impedancia compleja de un dipolo de longitud comparable a λ La figura 9 muestra la impedancia compleja de un dipolo en función de la frecuencia obtenida por simulación electromagnética mediante el método numérico de los momentos (MoM3). (3) MoM es la sigla de la expresión inglesa Method of Moments, método de los momentos. Los pasos por cero de la parte imaginaria de dicha impedancia de entrada determinan las diferentes frecuencias de resonancia asociadas a dicha estructura, cada una de las cuales presenta una distribución de corriente específica (figura 10). Se comprueba cómo, a medida que aumenta la frecuencia, la distribución de corriente a lo largo de la estructura se torna más variable, hecho que se traduce en diagramas de radiación con más lóbulos y, por tanto, de poco interés práctico (figura 11). Es importante subrayar que, para las dos primeras resonancias (figura 11a-11b), los diagramas son parecidos, pero no iguales, y muy diferentes que los que se obtienen a otras frecuencias (figura 11c-11f). Por tanto, obtener una antena que opere igual a varias frecuencias (antena multifrecuencia) no es sencillo y para su diseño e implementación se debe recurrir a técnicas especiales, como, por ejemplo, la aplicación de la geometría fractal. H. Hertz, físico alemán que demostró experimentalmente la emisión y recepción de ondas electromagnéticas demostrando a su vez la validez de las ecuaciones de Maxwell.

27 27 Figura 10. Distribuciones de corriente asociadas a la antena dipolo para diferentes longitudes Los dipolos están alineados en el eje Y. a. l = 0,5λ; b. l = 1λ; c. l = 1,5λ; d. l = 2λ; e. l = 2,5λ y f. l = 3λ Figura 11. Cortes principales del diagrama de radiación de la antena dipolo para diferentes longitudes a. l = 0,5λ; b. l = 1λ; c. l = 1,5λ, d. l = 2λ; e. l = 2,5λ y f. l = 3λ

28 28 4. Espiras En apartados anteriores se ha analizado el comportamiento de los dipolos, tanto de los elementales como de aquellos cuyo tamaño es comparable a la longitud de onda de operación. No obstante, es necesario introducir en este apartado el modelo de otro radiador básico: la espira elemental. Tal y como se introduce en el apartado 2, el procedimiento matemático desarrollado para el cálculo de los campos radiados puede ser aplicado a cualquier antena que pueda descomponerse en una serie de elementos lineales. De este modo, puede aproximarse una espira elemental de la siguiente manera (figura 12). Figura 12. Espira elemental situada en el plano ZY El tamaño eléctrico de la espira elemental es mucho menor a la longitud de onda de operación, tal y como ocurría con el dipolo elemental (l << λ). Consecuentemente, la corriente que circula por la espira puede aproximarse por una corriente constante definida como la superposición de cuatro vectores de corriente, cada uno de ellos asociado a uno de los tramos de la espira. Es importante destacar que la espira está contenida en el plano ZY. De este modo:

29 donde la corriente, que se asume constante en todos los tramos de la espira, queda definida de la siguiente manera: 2.55 Una vez definidos los vectores de corriente para cada uno de los tramos de la espira, se calcula un vector de radiación para cada uno de ellos: 2.56 Cabe destacar que el vector de radiación diación se aproximará al vector de ra- con la diferencia de un cambio de signo en el sentido de la co- rriente y en la evaluación de δ(y ), ya que su posición en el espacio es diferente. De esta manera: 2.57 Lo mismo ocurre con los vectores y :

30 De este modo, se calcula el vector de radiación total como la suma de los cuatro vectores asociados a cada uno de los tramos de la espira: 2.60 Como cabía esperar, el vector de radiación presenta dos componentes, una de ellas en la dirección y la otra en la dirección. Se analiza en primer lugar la componente en : 2.61 Teniendo en cuenta que sen(kz (l/2)) kz (l/2), pues : 2.62 Sustituyendo las coordenadas rectangulares del vector de onda k por sus correspondientes coordenadas esféricas, el vector de radiación en la dirección da como resultado: 2.63 Análogamente, la suma de los vectores de radiación en la dirección da como resultado:

31 Una vez calculados los vectores de radiación en coordenadas rectangulares, es necesario realizar el cambio a coordenadas esféricas a través de las matrices de conversión presentadas a lo largo del apartado 2. En este sentido, los vectores de radiación en coordenadas esféricas quedan definidos como: 2.65 Es importante recordar que en la zona de campo lejano la componente radial del campo es 0. Hay que destacar que se calculan los campos en la región de Fraunhofer, ya que es en esta donde el diagrama de radiación permanece invariable con la distancia. De este modo, el vector potencial queda única- mente definido por la componente θ y φ de la forma: Una vez calculado el vector potencial, es posible calcular los campos radiados por medio de las relaciones definidas en la ecuación 2.12:

32 32 Cabe destacar que, en este caso, el desarrollo se ha realizado considerando una aproximación rectangular de la espira elemental situada en el plano φ = 90º Lecturas recomendadas cumpla que la espira es elemental (l << λ). El cálculo del vector de radiación y los campos radiados de una espira elemental circular puede encontrarse en la obra siguiente: Pese a que el procedimiento mostrado anteriormente resulte un tanto tedioso, C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley. (plano ZY). Asimismo, existe un método generalizado que permite obtener el vector de radiación para espiras de geometrías arbitrarias, siempre y cuando se es importante remarcar que se trata de un procedimiento general que permite calcular de manera relativamente sencilla los campos radiados de cualquier estructura que pueda descomponerse en hilos de corriente. Del mismo modo, el método permite determinar los vectores de radiación de agrupaciones de antenas, únicamente conociendo su situación en el espacio y la corriente que circula por cada uno de sus elementos. A partir de las expresiones de los campos radiados se puede determinar no sólo el diagrama de radiación de la espira, sino también otros parámetros de antena, tales como la densidad de potencia radiada, la potencia total radiada al espacio, la resistencia de radiación, la directividad, etc. Por ello, tal como se procedió en el estudio del dipolo elemental, a continuación se caracterizará el comportamiento radioeléctrico de la espira elemental a partir del cálculo de dichos parámetros. La densidad de potencia radiada por la espira resulta en: 2.74 La representación de la densidad de potencia da lugar al diagrama de radiación de potencia, que, representado en escala logarítmica, presenta la misma forma que el diagrama de radiación de campo. De la expresión anterior se obtiene que para la dirección φ = 0º existe un nulo de campo eléctrico, mientras que el máximo de radiación tendrá lugar en la dirección φ = 90º. El desarrollo detallado de estos cálculos se encuentra en: J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN:

33 33 Figura 13. Representación gráfica de los principales cortes a. φ = 0 ; b. φ = 90 del diagrama de radiación correspondiente a la espira elemental de longitud l << λ situado en el plano ZY (figura 12). Una vez conocida la densidad de potencia, es posible completar el cálculo de la potencia radiada integrándola para toda la superficie. De este modo: 2.75 El conocimiento del valor de la potencia radiada permite conocer el valor de la resistencia de radiación, que, como ya sabemos (ecuación 2.76), es aquella resistencia que disiparía la misma potencia que la radiada por la antena: donde A se corresponde con el área de la espira A = l. Este resultado se puede generalizar a espiras de contorno arbitrario siempre y cuando se tenga en cuenta una espira elemental (l << λ). La directividad en la dirección del máximo se calcula de acuerdo con: 2.77 Lectura recomendada Sobre la generalización de este resultado, puede consultarse la obra siguiente: J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN:

34 34 donde la densidad de potencia ( ) en la dirección del máximo tiene lugar para (φ = 90º). Por tanto, se observa, tal y como ocurría en el caso del dipolo elemental, que el diagrama de radiación presenta simetría de revolución alrededor del eje x con el máximo de radiación en φ = 90º y con los nulos de radiación en (θ = 90º, φ = 0º) y (θ = 90º, φ = 180º) (figura 13). De los cálculos anteriores se extraen las conclusiones siguientes: El diagrama de radiación se calcula en la región de campo lejano, ya que es en ésta donde permanece invariable con la distancia. Los campos inducidos en la región de campo cercano son puramente reactivos, hecho que permite calcular la reactancia de la antena, que en este caso será de tipo inductivo. La espira elemental presenta un nulo de campo en el eje x (eje perpendicular al plano ZY, que es en el que se encuentra la espira), mientras que su máximo se localiza en el plano ZY. Su diagrama es omnidireccional y presenta simetría de revolución respecto al eje x (figura 12, figura 13). La directividad de la espira elemental es constante e independiente de la longitud eléctrica, y de valor D = 1,5 (1,7 db). La resistencia de radiación de la espira elemental es reducida, ya que l << λ, lo que indica que su eficiencia también lo será. Es importante destacar que la resistencia de radiación decrece con el tamaño eléctrico de la antena y lo hace en un factor de elevación igual a 4 (ecuación 2.76). Cabe remarcar en este punto que la espira elemental presenta una resistencia de radiación menor a la del dipolo elemental para dimensiones comparables, ya que mientras la resistencia de radiación de este último decrece con la longitud eléctrica elevada al cuadrado (ecuación 2.35), la de la espira lo hace elevada a un factor 4 (ecuación 2.76). El campo eléctrico y el campo magnético están relacionados a través de la impedancia del medio, que en espacio libre es η = 120π (Ω). En la región de campo lejano no existe componente radial, lo que indica que el campo eléctrico y el campo magnético son ortogonales a la dirección de propagación y ortogonales entre sí. La espira elemental presenta una polarización lineal alineada con el plano de la espira.

35 35 A pesar de la poca eficiencia de la espira elemental, se utiliza como sonda de campo magnético. Entre sus diversas aplicaciones se encuentra la de medir la corriente sobre antenas, lo que permite calcular el diagrama de radiación de dichas antenas a partir del vector de radiación. Lectura recomendada Sobre el cálculo del diagrama de radiación de antenas a partir de corrientes, puede consultarse la obra siguiente: C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley.

36 36 5. Teoría de imágenes: monopolos y dipolos sobre planos conductores Hasta el momento se han considerado antenas en el espacio libre. En la práctica, sin embargo, muchas antenas se encuentran o forman parte de un sistema más complejo. Por ejemplo, las antenas de radiodifusión están ubicadas verticalmente sobre el suelo. Otras se encuentran embarcadas en aviones, barcos, coches, etc., donde la estructura metálica debe tenerse en cuenta a la hora de diseñar la antena. En este apartado se van a analizar antenas en presencia de planos conductores. Aunque las condiciones del análisis son aproximadas, los conceptos derivados tienen una repercusión trascendental que se puede aplicar en situaciones más complejas. El problema general que se debe resolver consiste en encontrar los campos radiados a partir de una distribución de corriente en presencia de un plano conductor. Concretamente, este apartado considera tres situaciones diferentes: 1) Plano eléctrico conductor infinito con conductividad infinita. Representa una situación académica pero en la que los conceptos son extrapolables a numerosas situaciones. 2) Plano eléctrico conductor infinito con conductividad finita. En este apartado se tiene en cuenta la no idealidad del plano conductor. 3) Plano eléctrico conductor finito. Es la situación más cercana a la realidad. A pesar de que la primera situación es puramente académica, va a permitir derivar la mayoría de los conceptos útiles para el diseño de antenas en presencia de planos conductores Plano eléctrico conductor infinito con conductividad infinita En este subapartado se presenta cómo tratar el problema de la radiación de una antena cuando esta se encuentra sobre una superficie conductora. La consideración es que el conductor es de conductividad infinita y de extensión infinita. En la práctica esta situación no se da, pero sí es aproximada para algunos conductores como los típicos utilizados en antenas embarcadas (conductividades del orden de 107 S/m) y de extensiones eléctricamente grandes.

37 37 Imaginad una distribución de corriente arbitraria (no necesariamente unidimensional) dispuesta sobre un plano conductor. Hasta el momento se sabe cómo a través del vector de radiación es posible abordar el problema de radiación mediante integración de las corrientes. Pero ahora la cuestión reside en cómo tratar el problema en presencia del conductor (figura 14). Figura 14 a. Situación original donde una distribución de corriente arbitraria en un volumen V1 se encuentra en presencia de un plano conductor eléctrico plano (S) de dimensiones infinitas y conductividad infinita. b. Mediante teoría de imágenes se sustituye el problema por uno equivalente en el que la nueva corriente imagen debe satisfacer las condiciones de contorno derivadas de las ecuaciones de Maxwell. c. La radiación del problema a es la suma de los campos debidos a las dos distribuciones de corriente teniendo en cuenta que el campo sólo existe en el volumen V Hilo horizontal Para ver la aplicación del procedimiento ilustrado en la figura 14, se considera, sin pérdida de generalidad, un elemento lineal de corriente eléctricamente pequeño dispuesto horizontalmente sobre un plano conductor de extensión infinita con conductividad infinita (figura 15). Figura 15 a. Dipolo horizontal sobre plano conductor a una altura h. b. Problema equivalente formado por dos dipolos separados una distancia h respecto al plano conductor, donde la corriente de la imagen está invertida para satisfacer las condiciones de contorno en el conductor. Así pues, el problema consiste en calcular los vectores de radiación correspondiendo al dipolo superior y al dipolo imagen:

38 El cálculo de resulta: 2.79 Por lo que el vector de radiación para el volumen V1 resulta: 2.80 Dado que el dipolo es eléctricamente corto (l << λ) y con el objetivo de simplificar el cálculo matemático: 2.81 y se obtiene: 2.82 Repitiendo análogamente para el dipolo inferior, se tiene que: 2.83 El vector de radiación total resultante es: 2.84 Pasando a coordenadas esféricas se obtiene: 2.85 Y el campo eléctrico radiado se calcula directamente a partir del potencial vector : 2.86

39 39 Mediante la integración del vector de Poynting, se obtienen la directividad y la resistencia de radiación: Lectura recomendada Sobre la directividad y la resistencia de radiación, puede consultarse la obra siguiente: 2.87 C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley. Lectura recomendada 2.88 Mediante la ecuación 2.86 se representa el diagrama de radiación para dos situaciones (figura 16). En la primera, la altura h (figura 15) es igual a λ/4, y en la segunda a λ/2. Figura 16. Cortes del diagrama de radiación para φ = 0 (figura 15) para h = λ/4 y h = λ/2 En la obra siguiente se analiza por qué aparece un máximo y un nulo en la dirección perpendicular al plano conductor. J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN:

40 40 Lecturas recomendadas Observaciones: El campo producido es el producto del campo originado por el dipolo horizontal multiplicado por el término 2Ilsen(khcos(θ)) (ecuación 2.86). Este término recibe el nombre de factor de agrupación. Es importante subrayar que si el dipolo no fuese elemental, el procedimiento hubiese sido el mismo obteniendo como resultado el diagrama del elemento por el factor de agrupación. Por tanto, conociendo el diagrama del elemento aislado, pueden obtenerse las Acerca de las observaciones recogidas aquí, pueden consultarse las obras siguientes: C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley. J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN: expresiones de los campos totales. Para alturas pequeñas en términos de la longitud de onda (h << λ), la radiación tiende a cero, dado que la imagen cancela la radiación producida por el dipolo superior. Matemáticamente, el factor de agrupación tiende a cero. En efecto, 2Ilsen(khcos(θ)) tiende a cero si h << λ, ya que kh 0. Esta conclusión es importante, pues indica que Ved también El factor de agrupación se estudia en en el módulo Agrupación de antenas de esta asignatura. hilos de corriente horizontales dispuestos muy cercanos en términos de la longitud de onda sobre un plano conductor radian poco y requieren la aplicación de técnicas que mitiguen dicho efecto. Una posible técnica consiste en utilizar superficies sintéticas como un conductor magnético artificial (AMC, artificial magnetic conductor), que tiene la particularidad de que la imagen va en el mismo sentido. No obstante, este comportamiento es selectivo en frecuencia y está, por tanto, limitado. Para alturas que sean múltiplos impares de λ/4 ( ) exis- te un máximo de radiación en la dirección cenital (θ = 0º). En cualquier caso, este efecto puede explicarse teniendo en cuenta que la onda que viaja perpendicularmente hasta el conductor y se refleja recorre un camino de longitud λ/2 y, por tanto, un desfase de 180º (consúltese J. Anguera y A. Pérez). Teniendo en cuenta que el plano conductor añade una fase adicional de 180º, la fase total es cero y por tanto se produce una suma constructiva (figura 16). Para alturas que sean múltiplos pares de λ/2 o, lo que es lo mismo, múltiplos enteros de λ:, existe un mínimo de ra- diación en la dirección cenital θ = 0º. La explicación de este fenómeno se muestra con detalle en J. Anguera y A. Pérez. El mismo razonamiento aplicado en la observación anterior puede aplicarse aquí y, en este caso, el desfase total resultante es de 180º, con lo que hay una interferencia destructiva. La directividad para alturas eléctricas muy pequeñas (h < 0,05λ) tiende a ser 5 veces la del elemento aislado, es decir, D = 5 1,5 = 7,5. Para alturas muy elevadas (h > 5λ), es 4 veces la del elemento aislado, es decir, D = 6, aunque con el inconveniente de que aparecen muchos lóbulos en el diagrama. Ejercicio La demostración formal de que para alturas que sean múltiplos impares de λ/4 ( ) existe un máximo de radiación en la dirección cenital (θ= 0º) queda propuesta como ejercicio.

41 Hilo vertical En la figura 17 se muestra una antena de hilo dispuesta verticalmente sobre un plano conductor. Al igual que en el caso anterior y sin pérdida de generalidad, se considera que la antena es pequeña en términos eléctricos (l << λ). Este hecho conlleva una simplificación en el cálculo, pero no resta importancia a las conclusiones que se obtienen, pues pueden generalizarse para antenas de cualquier longitud. Figura 17 a. Dipolo de longitud l situado a una altura h con respecto a un plano eléctrico conductor de extensión y conductividad infinitas. b. Problema equivalente formado por dos dipolos de longitud l separados una distancia 2 h, donde la corriente que atraviesa el dipolo imagen lo hace en el mismo sentido que la que atraviesa el dipolo original, a fin de satisfacer las condiciones de contorno en el conductor. En el problema equivalente no existe plano conductor. Para el cálculo de se sigue el mismo procedimiento que en el caso anterior: 2.89 El vector de radiación resulta: 2.90 Considerando que el dipolo es eléctricamente pequeño (l << λ) con el objetivo de simplificar el cálculo matemático: 2.91 se obtiene: Lectura recomendada Sobre las generalizaciones de estas conclusiones, puede consultarse la obra siguiente: C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley.

42 que en coordenadas esféricas es: 2.93 Si se repite el mismo procedimiento para el dipolo inferior, es directo demostrar que: 2.94 Por lo tanto, la suma de ambos vectores resulta: 2.95 Finalmente, se obtiene el campo eléctrico radiado: 2.96 Mediante la integración del vector de Poynting, se calculan la directividad y la resistencia de radiación: Lectura recomendada Sobre el cálculo de la la directividad y la resistencia de radiación, podéis consultar la obra siguiente: 2.97 C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley.

43 43 Conclusiones: Análogamente a la situación con el hilo horizontal, el campo producido es el producto del originado por el dipolo vertical aislado multiplicado por el factor de agrupación 2Ilcos(khcos(θ)). Para alturas pequeñas en términos de longitud de onda (h < 0,05λ), la radiación no tiende a cero, como sí sucedía anteriormente. La directividad para alturas eléctricas pequeñas tiende al doble de la directividad del dipolo aislado, es decir, D = 2 1,5. Para separaciones elevadas (h > λ), la directividad es 4 veces la del dipolo aislado, pero con el inconveniente de que el diagrama de radiación presenta muchos lóbulos. Puede demostrarse a partir de la representación gráfica de las ecuaciones 2.96 y Existe siempre un nulo de radiación en la dirección cenital (θ = 0º), lo cual es lógico, ya que el dipolo aislado tiene un nulo en esa dirección, dado que el campo radiado es producto de la radiación producida por el dipolo, multiplicado por el factor de la agrupación (ec. 2.96) Monopolo Una antena monopolo consiste, en su configuración más general, en un hilo dispuesto sobre un plano de masa (figura 18a). Mediante teoría de imágenes, se sustituye este escenario por un par de hilos con una corriente que circula por ambos en el mismo sentido (figura 18b). Por tanto, el monopolo radia como un dipolo pero teniendo únicamente en cuenta la radiación en el espacio z > 0 (esto es, únicamente por encima del plano de masa). Figura 18 a. Antena monopolo. b. El problema equivalente del monopolo es un dipolo. Dado que está radiando en el semiplano z > 0, la directividad del monopolo es el doble que la del dipolo equivalente. Así pues, para un monopolo de longitud λ/4, la directividad es 3 db superior a la del dipolo de longitud λ/2, con lo que Lecturas recomendadas Acerca de las observaciones recogidas aquí, pueden consultarse las obras siguientes: C. A. Balanis (1997). Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley. J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN:

44 44 resulta de 5,1 db. Recuérdese que la directividad es la capacidad de concentrar la potencia y, por tanto, al radiar el monopolo de la misma manera que un dipolo pero en un volumen mitad, su directividad es el doble. Ejemplo práctico II Se pretende diseñar una antena embarcada en el techo de un tren de modo que el diagrama de radiación presente un nivel de campo radiado de igual amplitud en las direcciones θ = 0º y (θ = 90º, φ = 0º) (podéis ver los ejes en la figura 19). Se considera la hipótesis de que el tejado del tren es eléctricamente infinito y de conductividad infinita. El diseñador ha pensado en combinar los diagramas de una antena con un máximo de radiación en (θ = 90º, φ = 0º) como es un monopolo vertical y un dipolo horizontal cercano al conductor que radia con un máximo en θ = 0º. Dado que el sistema debe presentar la mayor simplicidad posible, el diseño presenta un solo punto de excitación, siendo la geometría de la antena la presentada en la figura: se trata de un monopolo en forma de L con un brazo vertical de longitud h y un brazo horizontal de longitud Lx. Figura 19. Monopolo en L situado en un plano conductor de conductividad y dimensiones eléctricamente muy grandes (infinitas a efectos de los cálculos del problema) Antes de buscar los valores de h y Lx que satisfacen el diseño, responded a las siguientes cuestiones: a) Considerando que la corriente sobre el monopolo es unitaria, calculad los campos radiados Eθ(θ,φ) y Eφ(θ,φ) en coordenadas esféricas y en función de h y Lx. b) Para φ = 0º, cómo es la polarización para cada valor de θ? c) Obtened la expresión del campo E radiado si Lx = 0 y h = λ/4. Expresadlo de la forma Eθ(θ,φ) y Eφ(θ,φ). Cuál es la dirección del máximo de radiación? Cómo es la polarización en dicha dirección? d) Dibujad el corte del diagrama de radiación para φ = 0º en escala logarítmica, con un margen dinámico de 30 db y anotando claramente los máximos y nulos de radiación. Con el objetivo de diseñar la antena para que cumpla lo comentado en el enunciado, es decir, que la radiación sea de la misma amplitud tanto en θ = 0º como en (θ = 90º, φ = 0º) y teniendo en cuenta que h + Lx = λ/4: a) Calculad el valor de h y Lx en función de la longitud de onda. b) Cómo es la polarización en las direcciones θ = 0º y (θ = 90º, φ = 0º)? c) Si la corriente presenta una distribución triangular (figura 4), razonad de manera cualitativa cómo varía la amplitud de campo radiado en las direcciones del apartado anterior ( se mantendrán iguales o hay alguna que aumenta en detrimento de la otra?). d) De modo heurístico, proponed una expresión para la resistencia de radiación en función de h y Lx teniendo en cuenta que h + Lx = λ/4. Por cuestiones de robustez mecánica, se decide construir el monopolo sobre un sustrato de la misma altura que el tramo h de la antena, de manera que el brazo Lx se imprime sobre el sustrato tal y como indica la figura 20. Lecturas recomendadas Podéis consultar las obras siguientes: J. Anguera; A. Pérez (2008). Teoria d antenes. Enginyeria La Salle (Estudios Semipresenciales). ISBN: A. Andújar; J. Anguera; C. Puente; A. Pérez (2009). On the Radiation Pattern of the L-Shaped Wire Antenna. Progress In Electromagnetics Research Magazine (vol. 6, pág ).

45 45 Figura 20 La parte horizontal del monopolo en L está impresa sobre un sustrato de constante dieléctrica εr; la parte vertical atraviesa el sustrato. Considerando el sustrato de constante dieléctrica εr: a) Qué le sucede al diseño inicial? b) Varía la frecuencia de resonancia? c) Varía la resistencia de radiación? Solución a) Mediante teoría de imágenes se descompone el problema en el mostrado en la figura 21: Figura 21 Descomposición del problema en el hilo de corriente original y su imagen, donde la imagen vertical mantiene el mismo sentido, mientras que la horizontal lo invierte. El vector de radiación es la suma de y, siendo el correspondiente al tramo vertical y al conjunto horizontal superior (V1: volumen en z > 0) e inferior (V2: volumen en z < 0):

46 Realizando el cambio a coordenadas esféricas: y teniendo en cuenta la relación entre el vector de radiación radiado y el campo eléctrico, se obtiene: Considerando que, se simplifica y finalmente se obtiene: b) Para φ = 0º no existe componente de campo Eφ, sino que únicamente existe componente Eθ, con lo que la polarización es siempre lineal para cualquier dirección de θ. c) Si Lx = 0, lo que queda es un monopolo de longitud h. Si, además, h = λ/4, se obtienen las ecuaciones del campo radiado por el monopolo λ/4: La polarización es lineal teniendo el máximo de radiación en θ = 90º. En el plano θ = 90º, el campo está alineado según y por tanto la polarización es lineal y vertical. Se comprueba que para la dirección normal al plano θ = 0º, aparece un nulo de radiación. d) Se trata del diagrama de radiación de un hilo vertical de un cuarto de longitud de onda que se denomina monopolo λ/4.

47 47 Figura 22. Diagrama de radiación de un monopolo de longitud λ/4 e) En φ = 0º, las expresiones del campo quedan: donde ya se han sustituido los valores de kx y kz por sus correspondientes en función de θ y φ. El campo en θ = 0º es el debido únicamente al primer término, dado que la aportación del segundo (el del brazo vertical) es nula. Por tanto, una vez eliminado el factor 30, el módulo de Eθ queda: Para θ = 0º se anula el numerador, pero también el denominador. Para ello se sustituye sen(x) x (x << 1), de modo que: De esta manera se resuelve la indeterminación: Para θ = 90º el campo es el debido al monopolo (el brazo vertical), ya que el campo del primer término (el debido al brazo horizontal) se anula, con lo que resulta: Para que la amplitud sea igual en las dos direcciones (ecuaciones y 2.110), se debe cumplir que k Lx = 1, y h = 0,09λ. f) La polarización en el plano φ = 0º es siempre lineal, siendo horizontal en θ = 0º y vertical en θ = 90º.

48 48 g) Si la corriente no es triangular en lugar de uniforme, ocurre que el brazo vertical acarrea un factor ponderador menor en la expresión del campo, dado que la corriente decrece hacia el extremo abierto. Por tanto, en esta situación se radiará más en θ = 90º que en θ = 0º (figura 23). Figura 23. Corte φ = 0º de la componente de campo Eθ La simulación tiene en cuenta una situación real, es decir, una corriente que es máxima en el punto de excitación y decrece hasta el extremo. Se observa que radia más en θ = 90 que en θ = 0. h) Sabiendo que el monopolo vertical presenta una Rrad = 36 Ω (C. A. Balanis) y que el monopolo (h = 0) Rrad = 0 Ω, se propone una expresión del tipo lineal: Aunque es un modelo simple, la razón de proponer la expresión anterior es que muestra que la resistencia de radiación decrece al acercar eléctricamente el hilo al plano conductor. i) Para responder a este apartado, deben analizarse las antenas en medios materiales, lo cual está explicado en J. Anguera y A. Pérez. El diseño se ve modificado, ya que la frecuencia de resonancia disminuye. La máxima disminución se obtiene si toda la antena está inmersa en un dieléctrico: Por tanto, como máximo disminuiría este valor. j) Para recuperar el comportamiento inicial, habría que recortar los brazos vertical y horizontal. Si el dieléctrico presenta pérdidas, se traduce en aumento de las pérdidas óhmicas de la antena y, por tanto, en una disminución de la eficiencia de radiación. k) La resistencia de radiación varía ligeramente (ecuación 2.112), siendo ligeramente menor (figura 24).

49 49 Figura 24. Monopolo sobre εr = 1 y sobre εr = 4 Se observa cómo disminuye la frecuencia de resonancia. La antena monopolo es muy utilizada en sistemas de comunicación de telefonía móvil como elemento para dar cobertura a celdas pequeñas Plano eléctrico conductor infinito con conductividad finita En la realidad, la conductividad infinita no existe y debe analizarse qué impacto provoca una conductividad finita. En antenas dipolo/monopolo ubicadas sobre buenos conductores (cobre σ = 5,9 107 S/m), por ejemplo, antenas