1. Comparación de dos muestras cuando no es posible aplicar las pruebas t.

Transcripción

1 Parte 5. Pruebas no paramétricas. Autor: Santiago Perez Lloret En este documento analizaremos brevemente algunas pruebas de hipótesis que pueden aplicarse cuando las pruebas t no son válidas y nos focalizaremos sobre la prueba de Χ 2 (chi-cuadrado). 1. Comparación de dos muestras cuando no es posible aplicar las pruebas t. Es imprescindible tener en cuenta que los efectos de emplear una prueba de confrontación de hipótesis cuando sus requerimientos (también llamados asunciones ) no se cumplen, pueden ser graves. Lo que ocurrirá será que el error α o el β se incrementarán en una magnitud imposible de precisar. De esta manera lo único que conseguiremos será un resultado en el que no podemos confiar. Por ello, cuando las asunciones para la aplicación de las pruebas t no se cumplen, debemos recurrir a otras alternativas. Comentaremos brevemente algunas de ellas. A continuación le mostramos la distribución poblacional de dos variables creatinina y hematocrito evaluada a partir de una base de datos que incluyó más de pacientes con enfermedades renales.

2 Observe que mientras que el histograma de distribución de frecuencia para la variable hematocrito muestra una distribución que se ajusta casi perfectamente a la distribución gaussiana, la creatinina no. En cambio ella muestra un sesgo positivo (es decir, hacia la derecha). Se observa que la distribución normal no provee un modelo satisfactorio para el análisis de esta variable. En estos casos se pueden emplear transformaciones matemáticas. Existen un buen número de ellas y su objetivo es, mediante la manipulación matemática, de los datos, poder analizar, mediante métodos paramétricos (como las pruebas t), variables cuyas distribuciones se alejan de la normalidad. Una de las más sencillas es la transformación, que consiste en obtener el logaritmo en base 10 de los datos originales. Observe como esta manipulación nos devuelve una nueva variable, logaritmo base 10 de la creatinina con una distribución que se aproxima bastante a la normalidad, Hay situaciones donde las transformaciones no pueden aplicarse. Debemos reservar para estos casos las llamadas pruebas no paramétricas. Su principal

3 desventaja es que frecuentemente presentan menos poder estadístico en comparación con las pruebas paramétricas. Esto implica que -en muchos casosno podremos rechazar H0 aún a pesar de que H1 sea en realidad verdadera. Asimismo, las pruebas paramétricas nos permiten evaluar ciertos parámetros poblacionales, basadas en la distribución muestral de la media, cosa que es imposible con las pruebas no paramétricas. Por ello, estas pruebas deben reservarse como última opción. En la siguiente Tabla resumimos las diferentes pruebas que podemos utilizar en diferentes situaciones. Prueba paramétrica Prueba t para muestras independientes Situación Comparación de 2 muestras independientes Prueba no paramétrica correspondiente Prueba U de Mann- Whitney Prueba t para muestras dependientes Comparación de muestras apareadas Prueba de Wilcoxon Análisis de la Varianza (ANOVA) ANOVA para medidas repetidas Comparación de 3 o más muestras independientes Comparación de 3 o más muestras dependientes Prueba de Kruskal-Wallis Prueba de Friedman

4 2. Análisis de datos categóricos mediante la prueba de χ2 (Chi-cuadrado). La prueba de Chi-cuadrado es una prueba de gran versatilidad que nos permite evaluar asociaciones entre variables categóricas (ya sean nominales u ordinales). Sin embargo, antes de pasar a describirla en mayor detalle, nos detendremos a analizar un concepto de fundamental importancia, la independencia probabilística de los eventos. Eventos independientes. Regla de la multiplicación. Sabemos que no existe ninguna relación entre el color de pelo y el sexo, de modo tal que no hay razón para suponer que existe una asociación entre estas dos características. Supongamos que se evaluó el color de pelo en 500 hombres y un número similar de mujeres y que se observaron estos resultados, Mujeres Hombres Total Rubios 250 (25%) 250 (25%) 500 (50%) Pelirrojos 50 (5%) 50 (5%) 100 (10%) Morochos 200 (20%) 200 (20%) 400 (40%) Total 500 (50%) 500 (50%) 1000 (100%) Observando los datos podemos llegar a la conclusión que la frecuencia de sujetos con cabelleras de los diferentes colores es la misma en ambos sexos. En otras palabras, podemos afirmar que los eventos ser hombre (o ser mujer) y pelo

5 rubio (o morocho o pelirrojo), son independientes entre sí. Analicemos con más detalle la base matemática del concepto. Podemos calcular con bastante precisión el porcentaje de sujetos en cada celda conociendo los porcentajes de la fila y columna marcadas como total. Así, la siguiente fórmula nos permitirá conocer el porcentaje de mujeres con pelo rubio: p(mujer y pelo rubio) = p(pelo rubio) * P(mujer) donde p= frecuencia relativa (o más sencillamente probabilidad) De la columna de totales obtenemos que la p(pelo rubio) = 0.5 o 50%. Asimismo de la fila totales obtenemos que la p(mujer) = 0.5 o 50%. Así, P(mujer y pelo rubio) = 0.5 * 0.5 = 0.25 o 25%, que es el valor que figura en la tabla. Aplicando el mismo procedimiento podemos calcular los valores de todas las celdas. Las probabilidades de los eventos (ser mujer/hombre por un lado y tener el pelo de algún color por el otro) se denominan probabilidades marginales. Por otro lado, podemos emplear una fórmula análoga para calcular la cantidad de mujeres de pelo rubio, no ya la probabilidad. Veámosla, cantidad de mujeres * cantidad de sujetos de pelo rubio cantidad de mujeres de pelo rubio= cantidad total de sujetos evaluados 500 * Que es similar a la cantidad de mujeres de pelo rubio que figuran en la tabla. Diremos que 2 eventos son independientes cuando la probabilidad de su ocurrencia conjunta (por ejemplo, ser mujer y de pelo rubio) es igual a la multiplicación de las probabilidades marginales de los dos eventos. El

6 mismo concepto aplica al cálculo de la cantidad de sujetos en cada circunstancia. El funcionamiento de la prueba de Chi-cuadrado se basa en este concepto. Esencialmente esta prueba nos permitirá calcular la probabilidad (valor p) de que las dos variables categóricas sean independientes entre sí. Si dicha probabilidad es inferior a 5% (p<0.05) descartamos la hipótesis de la independiencia (que será H0) y aceptamos la hipótesis que establece una asociación entre las dos variables en análisis. 3. Pasos de la prueba de Chi-cuadrado. Comencemos con un ejemplo. Un investigador estaba interesado en evaluar la eficacia de una nueva vacuna para el cólera en un grupo de sujetos expuestos y no expuestos. Para ello se siguió durante 12 meses dos grupos de sujetos: uno expuesto y otro no expuesto a la vacuna. Se registró la frecuencia de diarrea severa. Observó los siguientes resultados, Diarrea Sin Diarrea Total Vacuna Sin vacuna Total Paso 1. Reformular la pregunta científica en forma de hipótesis estadísticas. El interés recae en investigar la posible asociación entre determinada vacuna y la aparición de diarrea. Dicho de otra manera, deseamos averiguar si existe una diferencia entre la probabilidad de presentar diarrea habiendo sido vacunado y la

7 probabilidad de presentarla sin haber recibido la vacuna. Con estos conceptos, ya estamos en condiciones de definir nuestras hipótesis: H0= p(diarrea/vacuna+) = p(diarrea/vacuna-) H1= p(diarrea/vacuna+) p(diarrea/vacuna-) Paso 2. Seleccionar la prueba estadística adecuada. Dado que estamos estudiando dos variables categóricas, emplearemos la prueba de Chi-cuadrado. Estamos comparando la frecuencia relativa de una variable (diarrea) en dos grupos independientes de sujetos (expuestos o no a la vacuna) y nos queda determinar el tamaño de las frecuencias esperadas. Más adelante nos referiremos a esto, por el momento supongamos que no son pequeñas, por lo cual podemos utilizar la prueba de Chi-cuadrado. Esta prueba se puede utilizar para comparar 2 variables categóricas (ordinales o nominales) que contengan cualquier cantidad de niveles. Se denominan niveles a los diferentes valores que pueden tomar cada una de estas variables. Paso 3. Seleccionar el nivel de significación para la prueba. Continuaremos trabajando con nivel de significancia deseado de 5%, lo que determina que el error α = Pasos 4 y 5. Seleccionar el valor crítico para dicho nivel de significancia y realizar los cálculos de la prueba estadística seleccionada. Pasaremos ahora a describir en mayor profundidad las bases matemáticas de esta prueba. Su estudio, nos permitirán arribar a una mejor comprensión del funcionamiento de esta prueba. De manera similar a los casos anteriores, se trata de comparar dos conjuntos de datos, un conjunto de datos será teórico y asumirá que H0 es verdadera. El otro

8 conjunto estará conformado por los datos observados. Se busca calcular una distancia relativa entre los dos conjuntos de datos. Si dicha distancia supera el valor crítico seleccionado en función del nivel de significancia deseado, entonces habremos arribado a un valor estadísticamente significativo y estaremos en condiciones de rechazar H0 y aceptar H1 como verdadera. Empecemos por armar nuestro modelo teórico asumiendo que H0 es verdadera. Para ello necesitamos valernos de la regla de la multiplicación. Si asumimos que los eventos exposición a la vacuna y diarrea son independientes, luego podemos calcular las probabilidades de las celdas de la tabla empleando para ello la información contenida en las filas y columnas señaladas como totales. En la siguiente tabla le mostramos cómo: Diarrea Sin Diarrea Total Vacuna 711* * Sin Vacuna 711* * Total Analizando un caso, este concepto deberá quedar más claro. Si la presencia de diarrea fuera independiente de la aplicación previa de la vacuna (es decir si H0 fuera verdadera), entonces las frecuencias relativas de diarrea en los grupos vacunados y no vacunados debería ser similar. Esto nos permite calcular el número teorico de sujetos que debería haber en cada grupo. Así, si H0 fuera verdadera, en muestra muestras de 3297 sujetos vacunados y 1017 no vacunados, deberíamos haber observado 543 y 168 casos con diarrea.

9 Ahora solo nos resta observar estos números teóricos (llamados esperados ) con los valores reales (llamados observados ), En la siguiente figura, observará una comparación entre ambos conjuntos de datos, Tabla de Valores Observados Tabla de Valores Esperados Diarrea Sin diarrea Total Diarrea Sin diarrea Total Vacuna Sin Vacuna Χ 2 Vacuna Sin Vacuna Total Total El conjunto de datos teórico está representado por la tabla de contingencia de valores esperados y la tabla de contingencia de valores observados representa el conjunto de datos real. El estadístico Chi-cuadrado, que da origen al nombre de la prueba, es una medida de la distancia relativa entre ambos conjuntos de datos. Volviendo a los pasos de la prueba, primero debemos seleccionar el valor crítico de acuerdo al nivel de significación deseado. En otras palabras, debemos seleccionar el valor de Chi-cuadrado que represente la distancia mínima entre el conjunto de datos teórico y el conjunto de los observados que nos permitirá concluir que existe una asociación entre exposición a la vacuna y diarrea. En otras palabras, está será la distancia máxima entre ambos conjuntos que podría ser atribuida al azar.

10 Para la selección de este valor crítico nos valdremos de la Tabla de valores de la distribución Chi-cuadrado que le mostramos en el Apéndice I. Para esto sólo necesitamos conocer el valor que se calcula como el (número de columnas 1) * (número de filas 1), lo que en este caso equivale a (2 1) * (2 1) = 1*1=1 y el nivel de significancia deseado, que era Así obtenemos que el valor crítico de Chi-cuadrado = 3.84 Ahora sólo resta calcular el valor Chi-cuadrado para la distancia entre los dos conjuntos de datos. Afortunadamente este valor es calculado frecuentemente por todos los paquetes informáticos de estadística, así que nos contentaremos con decirle que en este caso el valor de chi-cuadrado fue de Paso 6. Obtener la conclusión de la prueba estadística. Ahora solo nos resta comparar los valores de chi-cuadrado crítico (3.84) con el valor calculado (294.11). Dado que > 3.84 concluimos que la probabilidad de que H0 sea verdadera es < 5% (p<0.05), lo cual nos permite rechazarla y aceptar H1 como verdadera. De esta manera podemos concluir que la probabilidad de padecer diarrea habiendo recibido la vacuna no es similar a la probabilidad de sufrirla no habiendo recibido la vacuna, por lo cual debe existir una asociación entre la diarrea y la exposición a la vacuna, o lo que es lo mismo, que estos eventos no son independientes. Asunciones de la prueba de Chi-cuadrado. La prueba de Chi-cuadrado puede ser aplicada a un gran número de circunstancias, la única limitación es cuando se presentan frecuencias esperadas bajas. Con frecuencias esperadas hacemos referencias a los valores de las celdas en la tabla de valores esperados. Se sugiere que cuando se observe que el valor de cualquier celda < 2 o cuando un 20% o más de las celdas tienen valores < 5, se

11 utilice otra prueba. Bajo estas condiciones el valor de Chi-cuadrado se infla espuriamente, incrementando el error alfa en una magnitud desconocida. En otras palabras, el riesgo de aceptar H1 siendo H0 verdadera se incrementará de una manera no controlable. En estas situaciones se recomienda el empleo de la prueba exacta de Fisher. Esta prueba es menos potente que la de Chi-cuadrado pero no presenta sesgos con frecuencias esperadas pequeñas. No entraremos en detalles sobre sus cálculos, baste decir que sus resultados se interpretan de manera similar a los de la prueba de Chi-cuadrado. Estimado participante, hemos arribado al final del módulo!!!. Esperamos que los textos lo hayan ayudado a comprender mejor la forma en que los investigadores diseñan los estudios y analizan sus resultados. Nos gustaría que retuviera en la mente los siguientes conceptos fundamentales:

12 Existen diversos diseños de estudios de investigación clínica, siendo algunos de los más frecuentes los estudios transversales, los de casos y controles, los de cohortes y los ensayos clínicos aleatorizados controlados. Siempre se debe intentar utilizar los diseños que presenten menor predisposición a los sesgos. Los estudios clínicos aleatorizados controlados bien diseñados y conducidos son los que tienen menor probabilidad de sufrir sesgos. Cuando estos no puedan utilizarse, deberán preferirse los estudios de cohorte. Sin embargo, cuando el evento en estudio ocurre con baja frecuencia o presenta una latencia muy importante, deberá utilizarse un estudio de casos y controles. Los resultados de los estudios de investigación puede analizarse mediante pruebas de confrontación de hipótesis. La mayor parte de las veces las variables cuantitativas podrán ser utilizadas mediante una prueba t de Student, mientras que las variables ordinales o nominales podrán ser analizadas mediante la prueba de Χ2.

13 Apéndice I. Tabla de valores de la distribución t. Probabilidad por fuera del intervalo t y +t (2 colas) 40% 20% 10% 5% 2% 1% 0.5% 0.2% 0.1%

14 (Para obtener los valores asociados a 1 cola debe dividir el % del encabezado de la tabla por 2. Así, para buscar el 5% utilizando una cola, debe buscar el correspondiente valor en la fila marcada como 10% ). Tabla de valores de la distribución chi-cuadrada. Probabilidad en el extremo superior v

15 v se calcula como (el número de filas 1) * (el número de columnas 1)